Aufgabe 1: Differential- und Integralrechnung (160 Punkte)

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1 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Lösungen der Übungsklausuren Übungsklausur Aufgabe : Differential- und Integralrechnung (6 Punkte) a) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen ganzrationalen Funktion fünften Grades, die durch den Punkt P ( / ) verläuft, im Nullpunkt ( / ) einen Sattelpunkt und bei eine Nullstelle besitzt, bei der der Funktionsgraph die Steigung m hat. ( Punkte) (Hinweis: Die Lösung ist f ( ) ). Benutzen Sie für den Fall, dass Sie kein Gleichungssystem erstellen können, das folgende Gleichungssystem: ( ) a b c 9 ( ),a 7b c, ( ) a 6b 6c, Lösung: Allgemein gilt: f ( ) a f ( ) a b f ( ) a c b c b d e f d e 6c d I. N(/) f ( ) II. Sattelpunkt bei (/) f ( ) III. Sattelpunkt bei (/) f ( ) IV. P (/) f ( ) V. Nullstelle bei f ( ) VI: Steigung : f ( ) Somit ergibt sich: I. f ( ) a( ) b( ) c( ) d( ) e( ) f f II. f ( ) a( ) b( ) c( ) d( ) e e III. f ( ) a( ) b( ) 6c( ) d d IV. f ( ) a( ) b( ) c( ) a 6b 8c V. f ( ) a( ) b( ) c( ) a 6b c VI. f ( ) a( ) b( ) c( ) a b 7c Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

2 Einführung in die Gleichungslehre b) Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion f aus (a) durch. (67 Punkte) 6 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

3 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an der Stelle. (6 Punkte) X : f ( ) f ( ), 8 ( siehe Aufgabe b) t( ) 6, b somit : m b, 8 ( ) b t ( ), 8 6, 6, 6 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 7

4 Einführung in die Gleichungslehre d) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von der Tangente aus Aufgabe (c) sowie der negativen -Achse und der y-achse eingeschlossen wird. (9 Punkte) t ( ), 8 6, 9, A, 9 t ( )d, 8 [ 6, ] ( 6, ( 9, ) 6, ( 9, )) ( 6, 7) 6, 7, 9 F( ) F( 9, ) e) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von dem Graphen von f und der -Achse eingeschlossen wird. ( Punkte) A f( )d ( F( ) F( ) ) F( ) F( ) ( ( 97, 97 ) 97, 97 7,, 98 f ( )d 6 6 [ ] [ ] ( 7, ) 8 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

5 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung f) Gegeben sei die Funktion g mit g( ),, 7. Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von dem Graphen von f und dem Graphen von g eingeschlossen wird. (8 Punkte) f() g(),, 7 g() ( 6 7) ± 9 7 ± 7 A [ f ( ) g( )] d [ f ( ) g( )] [ 7 ] [ 7 ] ( F( ) F( ) ) ( (, ) ) F( 7) (, ),, 7 F( ) d 7 Aufgabe : Deskriptive Statistik (6 Punkte) In einer Modellschule soll die phasenweise Aufhebung der Koedukation erprobt werden. Dazu wurde im Rahmen des Mathematikunterrichts eine reine Mädchenklasse eingerichtet. Zum Vergleich wurde in der Parallelklasse weiter ohne Geschlechtertrennung unterrichtet. In einem Test in dem maimal Punkte zu erreichen waren, sollte der Erfolg dieses Versuches überprüft werden. In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse der Mädchen beider Klassen erfasst, wobei die Punktezahlen der Mädchen aus den reinen Mädchenklassen grau hinterlegt sind Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 9

6 Einführung in die Gleichungslehre a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel M für die Gesamtgruppe und auch jeweils für die reine Mädchenklasse ( M Geschlechtertrennung ( M G M ). ( Punkte) ) und die gemischten Klasse ohne n 6 67 n (gesamt) (nur Mädchen) (gemischt) 76 arithm. Mittel arithm. Mittel arithm. Mittel 8 6,9 66,7 8 8 Median Median Median b) Bestimmen Sie den Median Md (bzw. Md M und Md G ) für die drei Gruppen und vergleichen sie diesen mit dem jeweils entsprechenden Mittelwert. Erläutern Sie mögliche Ursachen für Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

7 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung ( Punkte) b) Der Mittelwert ist anfälliger bei so genannten Ausreißern, das heißt bei Abweichungen der Werte nach oben oder nach unten. Bei der Bestimmung des Median kommt es nicht auf die Größe der einzelnen Werte an, sondern auf ihre Reihenfolge. Hier ist es so, dass in der reinen Mädchenklasse die Abweichungen nach oben und unten sich in etwa ausgleichen, während bei den gemischten Klassen die Ausreißer nach untendeutlich stärkere Abweichungen hervorrufen als die Ausreißer nach oben. c) Überprüfen Sie den Zusammenhang zwischen Geschlechtertrennung und erreichter Punktezahl mittels des Vierfelder-Korrelationskoeffizienten. ( Punkte) Nur M gemischt < 6,9 7 > 6, Phi-Koeffizient: ϕ, 7 d) Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus (c) in Bezug auf den Erfolg des hier vorgestellten Versuches. (8 Punkte) d): Ein Phi-Koeffizient von,7 steht für eine schwache Korrelation. Ein Zusammenhang zwischen der Aufhebung der Koedukation und den im Test erreichten Punkten lässt sich mit diesem Test nicht eindeutig nachweisen. (Es muss also auch einen statistisch relevanten Anteil an Schülerinnen geben, die in den reinen Mädchenklassen dennoch schlechte Ergebnisse erzielen, aber auch solche in gemischten Klassen, die hohe Punktzahlen erreichen. Nur so lässt sich der relativ geringe Phi-Koeffizient erklären.) Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

8 Einführung in die Gleichungslehre e) In einem anderen Schule wird das gleiche Modellprojekt durchgeführt. Dort erhält man einen Phi-Koeffizienten von,7. Interpretieren Sie auch dieses Ergebnis in Bezug auf das Modellprojekt. (6 Punkte) e): Ein Phi-Koeffizient von,7 steht für eine starke Korrelation. Der Zusammenhang zwischen der Aufhebung der Koedukation und den im Test erreichten Punkten erscheint hier eindeutig gegeben. (Es muss hier viele Schülerinnen geben, die in den reinen Mädchenklassen sehr gute Ergebnisse erzielen und viele, die in gemischten Klassen, die niedrige Punktzahlen erreichen. So lässt sich der relativ hohe Phi-Koeffizient erklären.) Aufgabe : Deskriptive Statistik ( Punkte) In einem Kindergarten wurden verschiedene statistische Daten erfasst. Begründen Sie für jede der vier Tabellen, welcher der folgenden drei Zentralwerte (arithmetisches Mittel, Median und Modalwert) für diese Tabelle bestimmt werden kann und welcher nicht. Tabelle : Das Angebot während der Nachmittagsstunden wurde verändert. Eine Umfrage unter den Kindern zu den Auswirkungen dieser Änderungen ergibt folgende Tabelle: Häufigere Anwesenheit Anwesenheit unverändert Seltener Anwesend 6 Tabelle : Bei einem Geschicklichkeitsspiel wurde erfasst, wie lange die einzelnen Kinder für die Lösung benötigen (Zeit in Minuten): Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

9 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Kind Zeit Tabelle : Die Religionszugehörigkeit der Kinder ergab folgende Tabelle: Röm. Kath. Evangelisch Islamisch Jüdisch sonstige 6 7 Tabelle : Die Körpergröße der Kinder wurde wie folgt erfasst (Angabe in cm): ];8] ]8;] ];] ];] ];6] 7 LÖSUNG: Tabelle : arithmetisches Mittel : Median ~ : Modalwert M : Berechnung nicht möglich, da kein quantitatives Merkmal erfasst wird. Berechnung möglich, da geordnete Rangmerkmale erfasst werden. Berechnung möglich, da sich die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen unterscheiden. Tabelle : arithmetisches Mittel : Median ~ : Modalwert M : Berechnung möglich, da ein quantitatives Merkmal erfasst wird. Berechnung möglich, da quantitative Merkmale erfasst werden, die geordnet werden können. Berechnung nicht möglich, da sich die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen nicht unterscheiden. Tabelle : Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

10 Einführung in die Gleichungslehre arithmetisches Mittel : Median ~ : Modalwert M : Berechnung nicht möglich, da kein quantitatives Merkmal erfasst wird. Berechnung nicht möglich, da keine geordneten Rangmerkmale erfasst werden. Berechnung möglich, da sich die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen unterscheiden. Tabelle : arithmetisches Mittel : Berechnung mittels der Klassenmitte - möglich, da ein quantitatives Merkmal erfasst wird. Median ~ Berechnung möglich, da geordnete quantitative Merkmale erfasst : werden. Modalwert M : Berechnung möglich, da sich die Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen unterscheiden. Aufgabe : ( Punkte) Begründe oder widerlege die folgenden Behauptungen: a) Petra behauptet, dass die Funktion f mit f ( ) k 7 ( k IR ) als Wertemenge immer alle reellen Zahlen besitzt (d. h. W IR ), unabhängig davon, welche Werte man für k einsetzt. ( Punkte) a): Das Grenzwertverhalten einer ganzrationalen Funktion hängt ausschließlich von dem Summanden mit dem höchsten Eponenten ab. Bei der vorgegebenen Funktion ist dies gerade ist, gilt: lim f( ) lim f( ) k. Da hier der höchste Eponent für k > und lim f( ) lim f( ) für k < Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

11 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Da beide Grenzwerte gleich sind, gilt W IR, die Behauptung ist also falsch. b) Peter behauptet, dass für alle integrierbaren Funktionen f, deren Graph symmetrisch zur y-achse verläuft, stets gilt: f ( ) d a a f ( ) d. ( Punkte) b): Für alle integrierbaren Funktionen f, deren Graph symmetrisch zur y-achse verläuft gilt f ( ) f ( ). Die zugehörige Stammfunktion F ist dann jedoch Punktsymmetrisch zum Ursprung, so dass gilt: F( ) F( ). Zudem gilt : F ( )! Somit gilt: a f ( )d F ( ) F( a) F( ) F(a) F( ) F(a) qed!! [ F(a) ] F(a) ( F( ) F(a) ) a f ( )d Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

12 Einführung in die Gleichungslehre Übungsklausur Aufgabe : Differential- und Integralrechnung ( Punkte) a) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph bei eine Tangente mit der Gleichung t ( ) 8 besitzt, im Nullpunkt ( / ) einen Etrempunkt hat und bei 9 die -Achse mit der Steigung m 6 schneidet. (8 Punkte) (Hinweis: Die Lösung ist f ( ) 9 ). Benutzen Sie für den Fall, dass Sie kein Gleichungssystem erstellen können, das folgende Gleichungssystem: ( ) a b c 9 ( ) 6a b c ( ) 6a 6b 6c 8, 8 LÖSUNG: f ( ) a f ( ) a b c b d e c d I. N(/) f ( ) II. Etrempunkt bei (/) f ( ) III. bei 9 die -Achse schneidet f (9 ) IV. bei 9 gilt m 6 f (9 ) 6 V. bei ist t ( ) 8 f ( ) 8 Somit ergibt sich: I. f ( ) a( ) b( ) c( ) d( ) e e II. f ( ) a( ) b( ) c( ) d d III. f (9 ) a(9 ) b(9) c(9) d(9) e 66 a 79b 8c IV. f (9 ) a(9 ) b(9 ) c(9 ) d 6 96 a b 8c 6 V. f ( ) a( ) b( ) c( ) d 8 8a 7b 6c 8 6 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

13 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Also f ( )! 9 b) Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion f aus (a) durch. (77 Punkte). Definitionsmenge (P) Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt: ID IR.. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-achse (P) Da im Funktionsterm von f sowohl gerade wie auch ungerade Eponenten auftreten, ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung, noch achsensymmetrisch zur y-achse. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 7

14 Einführung in die Gleichungslehre. Grenzwertverhalten (P) lim f ( ) lim f ( ), weil der höchste Eponent von, der im Funktionsterm auftritt, gerade ist (n ) und sein Koeffizient positiv ist ( a ).. Schnittpunkt mit der y-achse (P) Bedingung: f ( ) 9, somit: ( / ) S y.. Schnittpunkt mit der -Achse (P) Bedingung: f ( ) ( ( 9 ± 9 ) 7 ) : ( ( 6 ) 7 ) 7 p q Formel 9( ( )) 6 ± 9 ( ) N /, also ( ) N, / ( ) 6. Ableitungen (P) f ( ) 9 f ( ) 8 f ( ) 8 8 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

15 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung 7. Etrempunkte I. notwendige Bedingung: f ( ) 8 ( 8) : ( ) 9,, ± (, ), p q Formel (9P),9 7, II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f (9P) Überprüfung von : f ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) f () 7 Bei findet also ein ( /)-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. Überprüfung von,9: ( ) ( ) 8 ( ) f () 7 f ( ) ( ) ( ) 8 ( ) Bei,9 findet also ein (/ )-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 9

16 Einführung in die Gleichungslehre Überprüfung von 7,: f ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( 8) ( 8) 8 ( 8) f (8 ) 8 Bei 7, findet also ein ( /)-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Tiefpunkt vor. III. f ): y-koordinaten der Etrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f ( ) 9, denn ist auch Nullstelle. f (,9 ),9,9 9,9 9,, f (7, ) 7, 7, 9 7,,9 Somit ergeben sich die Punkte: TP ( / ) ; HP (,9 / 9, ) und TP (7, /,9 ) (8P) 8. Wendepunkte (8P) I. notwendige Bedingung: f ( ) ± 8 6,,88 ( ), ±, : ( ) p q Formel, II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

17 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Überprüfung von,88: f ( ) f () ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) 8 Bei,88 findet also ein (/ )-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. (Da,88 keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) Überprüfung von,: f () ( ) ( ) 8 f ( ) ( ) ( ) 8 78 Bei, findet also ein ( /)-Vorzeichenwechsel von f statt, d.h. hier liegt ein Wendepunkt vor. (Da, keine Nullstelle von f war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.) III. f ): y-koordinaten der Wendepunkte bestimmen (durch Einsetzen der -Werte in f (,88 ),88,88 9,88, f (, ),, 9, 7,9 Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP (,88 /, ) und WP (, / 7,9 ). Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

18 Einführung in die Gleichungslehre 9. Wertemenge und Wertetabelle (P) Es gilt: lim f ( ) lim f ( ), das heißt es gibt einen tiefsten Punkt des Graphen (somit ein absolutes Minimum, den y-wert des tiefsten Tiefpunktes). Also gilt: \W { y R y,9 }. -Wert,88,9, 7, 9 y-wert, 9, -7,9 -,9 Eigenschaften N, S y, TP WP HP N WP TP N Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

19 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung c) Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von der Tangente t an der Stelle 6 und den beiden Koordinatenachsen begrenzt wird. ( Punkte) I. Tangentengleichung bestimmen: f ( 6) 8 t( ) m b f ( 6) 6 8 ( 6) 6 b 6 8 b Somit ist: t ( ) 6 8 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

20 Einführung in die Gleichungslehre II. Flächenmaßzahl bestimmen: Alternative : Alternative : A g h 8 6 [ ] A 8 8 t( )d 6 d) Gegeben sei die Funktion g mit g ( ) 9. Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die von dem Graphen von f und dem Graphen von g eingeschlossen wird. ( Punkte) f ( ) und 9 g ( ) 9 I. Schnittstellen der beiden Graphen bestimmen: Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

21 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen ± ± ) ( ) g( ) g( ) f ( II. Flächenmaßzahl bestimmen [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ) ( ) ( ) F( ) F( ) F( ) F( d d d ) g( ) f( d ) g( ) f ( A

22 Einführung in die Gleichungslehre Aufgabe : Deskriptive Statistik (8 Punkte) Nach seinem Studium eröffnet der geschäftstüchtige Norbert in einer deutschen Kleinstadt Nahe der Soester Börde sein Nachhilfeinstitut NorbertsNachhilfe (NN). Um sicher zu gehen, dass seine Eistenzgründung auf soliden Füßen steht besorgt er sich beim Statistischen Landesamt die Entwicklung der Umsätze X i (in. Euro) der Nachhilfeinstitute dieser Stadt aus den letzten beiden Jahren. Quartal I / 6 II / 6 III / 6 IV / 6 I / 7 II / 7 III / 7 IV / 7 X i 8 7 9,, a) Stellen Sie die Entwicklung des Umsatzes in den beiden Jahren mit einem geeigneten Diagramm dar. Können Sie auf dieser Basis empfehlen, in den Markt einzutreten? ( Punkte) Lösung a: ( Punkte) Quartal I / 6 II / 6 III / 6 IV / 6 I / 7 II / 7 III / 7 IV / 7 X i 8 7 9,, Umsätze (in ) I / 6 II / 6 III / 6 IV / 6 I / 7 II / 7 III / 7 IV / 7 Die Entwicklung scheint Schwankungen unterworfen zu sein. Vergleicht man jedoch die Zahlen für die gleichen Quartale aus beiden Jahren (z.b. I/6 mit I/7), so ist stets eine Zunahme der Umsätze zu erkennen. Daher ist ein Einstieg wohl zu empfehlen. 6 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

23 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung Norberts Mutter behauptet, dass es zwischen der Zahl der Arbeitslosen und dem Umsatz der Nachhilfeinstitute einen Zusammenhang gibt. Auch dazu hat er sich statistische Daten besorgt: Quartal I / 6 II / 6 III / 6 IV / 6 I / 7 II / 7 III / 7 IV / 7 Arbeitslosenzahl b) Begründen oder widerlegen Sie diese Vermutung mit Hilfe des Vierfelderkorrelationskoeffizienten. ( Punkte) Lösung b: ( Punkte) Quartal I / 6 II / 6 III / 6 IV / 6 I / 7 II / 7 III / 7 IV / 7 X i 8 7 9,, Arbeitslosenzahl M X i 9, Xi > M Xi < M Arbeitslosenzahl 66,8 S > M S < M 8 a d b c 6 r ϕ (a c )(b d )(a b)(c d ) 6 Der Phi-Koeffizient ist hier gleich. Das ist der höchste Wert der für Phi erreicht werden kann. Man spricht dann von einer perfekten Korrelation. c) Nehmen Sie Stellung zu dem Ergebnis der Teilaufgabe (b). (8 Punkte) Ein Phi-Koeffizient von ( Perfekte Korrelation ) könnte einen deutlichen Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen implizieren. Generell kann man aber aus dem rechnerisch ermittelten Phi-Koeffizienten keinen direkten Rückschluss auf kausale Zusammenhänge ziehen. So könnte man vermuten, dass ein kausaler Zusammenhang der hier untersuchten Variablen eher unwahrscheinlich ist, da der Nachhilfeunterricht mit Kosten verbunden ist und viele Arbeitslose diese Kosten möglicherweise nicht aufbringen können. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 7

24 Einführung in die Gleichungslehre Aufgabe : Deskriptive Statistik ( Punkte) Zwei Kurse mit bzw. Schülern schreiben eine Probeklausur in Mathematik. Die erreichten Punkte können der folgenden Häufigkeitstabelle entnommen werden. Punkte < i < i < i < i < i Kurs A Kurs B Punkte < i 6 6 < i 7 7 < i 8 8 < i 9 9 < i Kurs A Kurs B 6 a) Bestimmen Sie jeweils den arithmetischen Mittelwert, Median und Modalwert für beide Kurse. (8 Punkte) Lösung a: (8 Punkte) Punkte Klassenmitte Kurs A Summe Kurs B Summe Summe: 8 je Punkte M,6 M, je Punkte Md ( ) ( ) Md je Punkte Mo Md Md Md 6 7 Mo Md 8 Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen

25 Lösungen der Übungsklausuren zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung b) Die Standardabweichung des Kurses B beträgt s 6, 8. Berechnen Sie die Standardabweichung für den Kurs A. ( Punkte) Lösung b: ( Punkte) Punkte Klassenmitte Kurs A Summe ( i M) 99,7 966,9 69, 7, 9 8,99 6 6, , , , ,6 Summe: 799,9 M,6 s n n i ( M) s². i Standardabweichung: 8, c) Beurteilen Sie die Ergebnisse der arithmetischen Mittelwerte und der Standardabweichungen. Welche Schlüsse kann der Lehrer ziehen? (8 Punkte) Lösung c: (8 Punkte) In beiden Kursen wird in etwa der gleiche Mittelwert erreicht (ca. Punkte). Dies könnte bedeuten, dass das Leistungsniveau der beiden Kurse vergleichbar ist. Allerdings ergeben sich deutliche Unterschiede bei der Standardabweichung (s 8, bei Kurs A und s 6,8 bei Kurs B). Eine große Standardabweichung bedeutet: Das Leistungsniveau der Schüler des Kurses ist sehr unterschiedlich. Die Ursache könnte auch ein hohes Anspruchsniveau der Klausur sein. Eine kleine Streuung bedeutet: homogenes Leistungsniveau der Schüler des Kurses. Die Ursache könnte auch ein geringeres Anspruchsniveau der Klausur sein. Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen 9

26 Einführung in die Gleichungslehre Aufgabe : Differentialrechnung ( Punkte) Gegeben sei eine ganzrationale Funktion sechsten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-achse verläuft, die bei T ( / ) einen Tiefpunkt besitzt und für die gilt: lim f ( ) die folgenden Behauptungen: lim f ( ). Begründen oder widerlegen Sie a) Carsten behauptet, dass diese Funktion mindestens zwei Nullstellen besitzt. ( Punkte) Die Behauptung ist wahr. Da der Tiefpunkt unterhalb der -Achse liegt und beide Grenzwerte betragen folgt unmittelbar die Behauptung. b) Herri behauptet, dass diese Funktion immer eine gerade Anzahl von Nullstellen besitzt. ( Punkte) Die Behauptung ist falsch. Eine achsensymmetrische Funktion sechsten Grades kann im Nullpunkt ein Etrema besitzen. In diesem Fall ist die Zahl der Nullstellen ungerade, da auf Grund der Achsensymmetrie die Zahl der Nullstellen links und recht von der y-achse (größer Null und kleiner Null) gleich sein muss. Zu diesen Nullstellen kommt dann noch. Somit gilt für die Zahl der Nullstellen: n a, sie ist also ungerade. c) Jörg behauptet, dass diese Funktion höchstens fünf Etremstellen besitzen kann. ( Punkte) Die Behauptung ist wahr. Die notwendige Bedingung für eine Etremstelle ist f (. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion sechsten Grades ist aber fünften Grades. Die notwendige Bedingung für Etrema ergibt somit eine Gleichung fünften Grades die maimal fünf Lösungen besitzen kann. ) d) Ilse behauptet, dass diese Funktion mindestens zwei Tiefpunkte besitzt. ( Punkte) Die Behauptung ist wahr. Die gegebene Funktion hat bei T ( / ) einen Tiefpunkt und ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. Somit muss auch bei T ( / ) ein Tiefpunkt sein. QED Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen