und spannen die folgende Ebene auf: E = a + Ru + Rv.
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- Kai Goldschmidt
- vor 7 Jahren
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1 .5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die in den Nullpunkt verschobene Gerade oder Ebene aufspannen: Gerade: G = a + Ru := {a+ru : r =.. } Ebene: E = a + Ru + Rv := {a+ru+sv : r,s =.. } Zwei Geraden mit gleichem Ortsvektor a G = a + Ru und H = a + Rv haben als Schnittpunkt natürlich die Spitze dieses Ortsvektors... und spannen die folgende Ebene auf: E = a + Ru + Rv. Sind zwei Geraden G = a + Ru und H = b + Rv mit verschiedenen Ortsvektoren a und b gegeben, so muss man zur Bestimmung des Schnittpunkts (sofern er überhaupt existiert das folgende lineare Gleichungssystem nach r und s auflösen: a + ru = b + sv. Davon später mehr!
2 Gleichungsdarstellung von Ebenen Ebenen kann man auch mittels einer Gleichung definieren, indem man einen auf der Ebene senkrecht stehenden Vektor n wählt (z.b. in obiger Parameterdarstellung das Vektorprodukt uxv und dann die in der Ebene E liegenden Punkte bzw. deren Orstvektoren Vektoren x durch die Gleichung n(x a = 0 oder nx = na oder nx = c kennzeichnet. Geraden in der Ebene G = a + Ru lassen sich durch eine entsprechende Gleichung beschreiben, indem man für n einen auf u = (, u senkrecht stehender Vektor nimmt, also u 1 n = ( u,u 1 oder -n = (u, u 1. Geraden im Raum lassen sich nicht durch eine einzige Koordinaten-Gleichung charakterisieren. Man braucht hier entweder eine vektorielle Gleichung ux(x a = 0 die besagt, daß die Vektoren zwischen zwei Punkten der Geraden stets ein Vielfaches des Richtungsvektors sind. Oder man beschreibt die Gerade durch zwei Koordinatengleichungen, was geometrisch der Tatsache entspricht, daß eine Gerade (auf viele verschiedene Weisen als Schnittmenge zweier Ebenen darstellbar ist: Die Gerade G = a + Ru ist der Durchschnitt der Ebenen E = a + Ru + Rv und F = a + Ru + Rw, sofern nicht E mit F übereinstimmt.
3 Schnittmenge zweier Ebenen Will man sie durch Lösen von Gleichungen bestimmen, so empfiehlt es sich, eine der beiden Ebenen in Parameterform und die andere durch eine Gleichung darzustellen. Dann kann man nämlich die Parameterdarstellung in die Gleichung einsetzen: E = { a + ru + sv : r,s = -.. } F = { x : nx = c } Die Schnittmenge ist die Menge der Lösungen x = a+ru+sv der Gleichung n(a+ru+sv = c, d.h. r = (c-na-snv/nu, x = a+ ((c-na/nuu + s(v-(nv/nuu falls nu nicht 0 ist, bzw. s = (c-na-rnu/nv, x = a+ ((c-na/nvv + r(u-(nu/nvv falls nv nicht 0 ist. Gilt sowohl nu = 0 als auch nv = 0, so sind die Ebenen parallel. (Warum? Ist dann auch noch na = c, so sind die Ebenen sogar gleich, andernfalls ist ihr Schnitt leer. Falls die Schnittmenge eine Gerade ist, genügt es, einen einzigen Schnittpunkt b zu kennen. Die Schnittgerade ist dann G = b + Rw, wobei man w = (nuv (nvu = (uxvxn nehmen kann. Denn für dieses w gilt nw = (nu(nv (nv(nu = 0 und (uxvw = 0. Ein von 0 verschiedenes Vielfaches von w tut es natürlich auch.
4 Parallelentest: Wie prüft man, ob zwei in Parameterform gegebene Ebenen E = a + Ru + Rv und F = b + Rw + Rz parallel sind? Man bildet die Normalenvektoren n = uxv, p = wxz und testet, ob diese linear abhängig sind: nxp = 0, oder ob einer davon senkrecht auf den beiden anderen Richtungsvektoren steht: nw = nz = 0.
5 Die Hessesche Normalform Beachten Sie, daß es viele verschiedene Parameterdarstellungen bzw. Gleichungsdefinitionen für ein und dieselbe Gerade bzw. Ebene gibt. Unter allen Gleichungen, die eine Ebene bestimmen, gibt es allerdings eine besonders nützliche, die Hessesche Normalform: nx = d, wobei n ein (auf der Ebene senkrechter Einheitsvektor (also n =1 ist. In dieser Form beschreibt d den Abstand der Ebene vom Ursprung, falls 0 d gilt (sonst muß man auf beiden Seiten das Vorzeichen ändern. Bei dieser Darstellung sind n und d eindeutig bestimmt! Hat man eine Ebenengleichung x 3 = c, in der n noch kein Einheitsvektor ist, dividiert man beide Seite durch die Länge von n und erhält so die Normalform (für 0 c: n*x = nx/ n = d bzw. x 3 c = = d. Umformung von Parameterdarstellung in Normalform: n = (u v* oder n = (v u* (entgegengesetzte Richtungen! d = na Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt des von u = ( u 1, u, u 3 und v = (, v, aufgespannten Parallelogramms ist v = ( u u 3 v + ( u 3 u 1 + ( u 1 v u und ein Normalenvektor der Länge d auf dieser Fläche ist gegeben durch n d ( u, v = d ( u u 3 v v d ( u 3 u 1,, v d ( u 1 v u v
6 Umformung einer Ebenengleichung nx = c in eine Parameterdarstellung: Man bestimmt eine spezielle Lösung a = ( a 1, a, a 3 von nx = d (also na = d, indem man eine von 0 verschiedene Koordinate n i des Normalenvektors d n = (, n, n 3 wählt und a i = sowie a = n j a k = 0 für die anderen beiden Koordinaten setzt. i Dann ergänzt man n zu einer Orthogonalbasis (n,u,v (die aus drei paarweise senkrechten Vektoren besteht. Dazu wählt man beispielsweise einen beliebigen Vektor b, der kein Vielfaches von n ist, und bildet die Vektorprodukte u = n b, v = n u. Dann ist x = a + Ru + Rv eine Parameterdarstellung der durch die Gleichung nx = d beschriebenen Ebene. Man kann natürlich im Einzelfall auch die Gleichung x 3 = d explizit lösen, indem man eine der Unbekannten x i, für die der Faktor n i nicht Null ist, auf die eine Seite bringt, etwa c n n 3 x 3 =, und die Lösungsmenge, also die gesuchte Ebene, in folgender Parameterdarstellung mit r = s = x 3 bekommt: d n (,, x 3 =, 0, 0 + r n + n, 1, 0 s 3 1 n, 1, 0. 1 Das geht in der Praxis meist schneller, liefert aber keine Orthogonalbasis. Eine von vielen Anwendungen der Normierung ist die Bestimmung der (beiden! Winkelhalbierenden zweier von Null verschiedener Vektoren u,v : w(u,v = r (u*+v* ( r =.. und h(u,v = r (u*-v* ( r =... Für zwei Geraden G = a + Ru und H = a + Rv mit Schnittpunkt a ist eine Winkelhalbierende gegeben durch W = a + R(u*+v*, die andere (dazu senkrechte durch H = a + R(u*-v*. und
2.5. Geraden und Ebenen
.5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die
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