Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
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1 Homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Sanddünen und Integralkurven E Ma Lubov Vassilevskaa
2 E Ma Lubov Vassilevskaa
3 E3 Ma Lubov Vassilevskaa
4 Lineare DGL. Ordnung Definition: Eine Differenzialgleichung. Ordnung heißt linear, wenn sie in der Form ' f = g darstellbar ist. Die Funktion g () wird als Störfunktion bezeichnet. homogene DGL. Ordnung g = 0 : ' f = 0 inhomogene DGL. Ordnung g 0 : ' f = g Ma Lubov Vassilevskaa
5 Integration der homogenen linearen DGL. Ordnung Eine homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung ' f = 0 lässt sich durch Trennung der Variablen wie folgt lösen. Wir trennen die beiden Variablen d f = 0 d d = f d Dann werden beide Seiten integriert. Die Integrationskonstante schreiben wir in logarithmischen Form ln C d = f d ln = f d ln C Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefasst ln ln C = ln = f d C Durch Umkehrung erhalten wir die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung in der Form f d = C e C ℝ Ma Lubov Vassilevskaa
6 Lösung der homogenen linearen DGL. Ordnung Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DGL. Ordnung A Aufgabe : ' = 0, =, Aufgabe : ' = 0, 0 =, Aufgabe 3: ' 3 = 0, Aufgabe : ' a 3 b 5 = 0 = 3 0 = 0 =, 0 = 3 Ma Lubov Vassilevskaa
7 Lösung der homogenen linearen DGL. Ordnung Aufgabe 5: ' =, =, Aufgabe 6: =, Aufgabe 7: 0 =, A ' =, ' =, =0 3 = =0 = cos 5 sin =, = =0 3 Ma Lubov Vassilevskaa
8 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung ' = 0, ' = 0 =, ' = 3 =0 Wir vergleichen diese Gleichung mit der homogenen DGL. Ordnung: ' f = 0, f = Die allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL hat folgende Form: = C e f d ) () =, ) a = 3, () = C e C = e, d = C e = C e C = 3 e, =e = C e = 3 e Ma Lubov Vassilevskaa
9 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung Abb. L: Die Integralkurven der DGL b = e, = 3 e Ma Lubov Vassilevskaa
10 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung ' =0 ln = ln C, d = d, =C e d = d Spezielle Lösungen: 0 = 0 = ln = C C =, C =, = e = e Die Abbildung auf der nächsten Seite: Die Integralkurven der DGL entsprechen folgenden Werten der Integrationskonstante i = C i e a : C =, C =, C 3 =, C = 5 Ma Lubov Vassilevskaa
11 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung b Abb. L: Die Integralkurven der DGL Ma Lubov Vassilevskaa
12 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 3 ' 3 = 0 d = 3 d d = 3 d ln = ln C =C e Spezielle Lösungen: 0 =, 0 = 3, 3a C =, C = 3, = e =3 e Ma Lubov Vassilevskaa
13 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 3 Abb. L3: Integralkurven der DGL 3b =C e Ma Lubov Vassilevskaa
14 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung ' a 3 b 5 = 0 ln d = a 3 b 5 d, a b 6 =, C 6 d = a 3 b 5 d ln = =Ce a b 6 ln C 6 a b 6 6 Die Abbildung auf der nächsten Seite: Die Integralkurven der DGL ent sprechen folgenden Werten der Integrationskonstante und der Parameter ) C =, a a =, b= ) C =, a =, b= 3 ) C = 3, a =, 3 b= ) C =, a =, b= 3 Ma Lubov Vassilevskaa
15 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung Abb. L: Integralkurven der DGL b Ma Lubov Vassilevskaa
16 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 5 ' =0 6 d = d 3 3 ln = 6 u = 3 3, du = 6 d, d = d 3 3 d = du = u = ln u ln C = ln C u ln = 3 C 3 Allgemeine Lösung: 5a = C 3 e Ma Lubov Vassilevskaa
17 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 5 = C 3 e Spezielle Lösungen: ) =, ) =, 3 ) =, ) 3 =, = = 3 e 5 3 e 5 3 = = 3 e 3 e 7 9 Eine graphische Darstellung der Integralkurven, die diesen Lösungen entsprechen, folgt. 5b Ma Lubov Vassilevskaa
18 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 5 5c Abb. L5 Die speziellen Lösungen der DGL Ma Lubov Vassilevskaa
19 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 6 ' =0 d =, d ln = d = d d = du = u = ln u ln C = ln C u u =, ln = C Allgemeine Lösung: 6a du = d = C e Ma Lubov Vassilevskaa
20 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 6 = C e Spezielle Lösungen: ) =, ) =, 3 ) =, 6b = e 5 = e 6 3 = e 5 Ma Lubov Vassilevskaa
21 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 6 Abb. L6: Die speziellen Lösungen der DGL 6c Ma Lubov Vassilevskaa
22 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 7 ' cos 5 sin =0 d cos = d 5 sin du ln = = ln C u 0 u 0 u = sin ln =, Cu 0 = Cue 0 = C sin e 0 Allgemeine Lösung: = C ( + sin ) e 7a 0 Ma Lubov Vassilevskaa
23 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 7 = C ( + sin ) e ) (0) =, ) () =, 3 ) () = 3, 0 = ( + sin ) e = 3 = 0 + sin e sin () ( ) sin e + sin () ( ) 0 Eine graphische Darstellung der Integralkurven, die diesen Lösungen entsprechen, folgt. 7b Ma Lubov Vassilevskaa
24 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 7 Abb. L7 : Die speziellen Lösungen der DGL 7c Ma Lubov Vassilevskaa
25 Homogene lineare DGL. Ordnung: Lösung 7 Sternenhintergrund: Abb. L7 : Eine mit GIMP verarbeitete Darstellung von Integralkurven der Aufgabe 7. Der optische Eindruck von Sanddünen der Sahara 7d Ma Lubov Vassilevskaa
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