Typ-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964)

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1 Typ-1-Sprachen Satz 1 (Kuroda ( ) 1964) Eine Sprache L hat Typ 1 (= ist kontextsensitiv) genau dann, wenn sie von einem nichtdeterministischen LBA erkannt wird. Beweis: Sei zunächst L Typ-1-Sprache. Dann existiert eine Typ-1-Grammatik G =(V, Σ, P, S) mitl = L(G), es gilt also r für alle (, r) P (einzige Ausnahme: S ε, aber dann kommt S auf keiner rechten Seite vor). Sei w Σ eine Eingabe. Wir simulieren nun eine Ableitung S G nichtdeterministischen LBA A. w rückwärts mittels eines 34

2 Typ-1-Sprachen Hierzu geht A wie folgt vor (B[i] ist im folgenden das i-te Zeichen auf dem Band): 1 A bewegt den Kopf zum linkesten Symbol auf dem Band, rät nichtdeterministisch eine Regel (, r) P und merkt sich diese im Zustand. 2 Nun läuft der Kopf von A nach rechts zu einer nichtdeterministisch geratenen Position i. 3 Falls B[i] B[i + r 1] = r gilt, schreibt A auf den Bandabschnitt B[i] B[i + 1] das Wort. Ansonsten gehe wieder zu (1). 4 Falls < r gilt, muss M nun jedes Zeichen auf dem Band ab Position i + r um genau r viele Positionen nach links verschieben und den Rest mit auffüllen ( ist eine Kopie von ). 5 A akzeptiert, falls das aktuelle Band mit S beginnt, ansonsten gehe wieder zu (1). Falls S ε eine Produktion in P ist (d.h. ε L(G)), kann A (zusätzlich) beim Lesen von direkt aus dem Anfangszustand in einen Endzustand übergehen. 35

3 Typ-1-Sprachen Für diesen LBA A gilt L(G) =T (A), d.h. jede Typ-1-Sprache ist Sprache eines LBA. Wir zeigen nun die umgekehrte Implikation (nämlich daß jeder LBA eine Sprache vom Typ 1 erkennt). Das folgende Lemma wird hilfreich sein. Lemma 2 Sei G =(V, Σ {$, }, P, S) eine Typ-1-Grammatik mit $, Σund L(G) $Σ. Dann existiert eine Typ-1-Grammatik G mit L(G )={w Σ $w L(G)}. Beweis: O.B.d.A. können wir annehmen, dass gilt: Für jede Produktion (u, v) P gilt 0 v u 1 Jede linke Seite in P, die verschieden von S ist, hat Länge 2. 36

4 Typ-1-Sprachen Sei n die maximale Länge einer linken Seite in P. Wir definieren eine neue Variablenmenge V durch V = V {$, } {L ab, R ab a, b V Σ {$, }}. Die neue Produktionsmenge P enthält S w für $w L(G) und w n + 2, S L ab ur cd für u (V Σ {$, }), u +1=n, a, b, c, d V Σ {$, } und S G abucd, alle Produktionen aus P und L ab x L a b x für (abx a b x ) P, L ab x L ab x für (bx b x ) P, entsprechende Produktionen für den rechten Rand, L $a a und R a a für a V Σ. Dann ist G =(V, Σ, P, S) die gesuchte Grammatik. 37

5 Typ-1-Sprachen Nun zurück zum Beweis von Satz 1. Sei A =(Z, Σ, Γ,δ,z 0,, E) einlba. Aufgrund von Lemma 2 ist z.z., daß {$w w T (A)} von Typ 1 ist. Hierzu simulieren wir A rückwärts mittels der Typ-1-Grammatik G =(V, Σ {$, }, P, S) mitv = {S, A, B} (Γ \ (Σ {})) (Z Γ) und der folgenden Produktionsmenge P: S $A A aa (z, a)b (z, ) (a Γ, z E) B ab (a Γ) (z, a ) (z, a) falls (z, a, N) δ(z, a) a (z, b) (z, a)b falls (z, a, R) δ(z, a), b Γ (z, b)a b(z, a) falls (z, a, L) δ(z, a), b Γ $(z 0, a) $a (a Σ {}) Dann gilt L(G) ={$w w T (A)}. 38

6 Typ-1-Sprachen Satz 3 Sei L eine Sprache. Dann sind äquivalent: L ist kontextsensitiv (d.h., von Typ 1). L ist Sprache einer monotonen Grammatik. ListSpracheeinesnichtdeterministischenLBA. diese Äquivalenzen gelten sogar effektiv, denn die Beweise habe Algorithmen angegeben, die die Formalismen ineinander übersetzen 39

7 Typ-0-Sprachen Satz 4 (Turingmaschinen und Typ-0-Sprachen) Eine Sprache L hat Typ 0 genau dann, wenn sie von einer nichtdeterministischen Turingmaschine erkannt wird. Beweisidee: durch Modifikation des Beweises von Satz 1: Grammatiken Turingmaschinen: hier muss bei der Simulation der Grammatik auf dem Turingmaschinen-Band bei verkürzenden Regeln (linke Seite ist länger als rechte Seite) der Bandinhalt auseinandergeschoben werden. Turingmaschinen Grammatiken: da die Turingmaschine links und rechts Leerzeichen erzeugen kann, muß dafür gesorgt werden, daß diese nach erfolgreicher Berechnung wieder gelöscht werden. 40

8 Typ-0-Sprachen Formal: Wir simulieren eine TM M =(Z, Σ, Γ,δ,z 0,, E) mittelsder Typ-0-Grammatik G =({S, A, B, $ 1, $ 2 } (Γ \ Σ) (Z Γ), Σ, P, S) mit der folgenden Produktionsmenge P: S $ 1 A A aa (z, a)b (a Γ, z E) B ab $ 2 (a Γ) (z, a ) (z, a) falls (z, a, N) δ(z, a) a (z, b) (z, a)b falls (z, a, R) δ(z, a), b Γ (z, b)a b(z, a) falls (z, a, L) δ(z, a), b Γ $ 1 (z 0, a) a a$ 2 a (a Σ) $ 1 (z 0, )$ 2 ε $ 1 $ 1 $ 2 $ 2 Dann gilt L(G) ={$w w T (A)}. 41

9 Zusammenfassung Wir haben jetzt Maschinenmodelle für die Typ-0- (ntm) und die Typ-1-Sprachen (nichtdet. LBA) gefunden. Im weiteren werden wir Komplementierung und Determinisierung dieser Modelle wie in AFS untersuchen: Satz (endliche Automaten) Aus einem nichtdet. endlichen Automaten A können berechnet werden: ein det. endlicher Automat A d mit L(A) =L(A d )und ein nichtdet. endlicher Automat A c mit L(A) =Σ \ L(A c ). Satz (Kellerautomaten) Sei L = {a i b j c k i = j oder j = k}. Dann gilt: L ist von einem nichtdet. Kellerautomaten akzeptierbar, aber nicht von einem det. Kellerautomaten. Das Komplement von L ist nicht kontext-frei. 42

10 Kurodas LBA-Probleme (1964) 1. LBA-Problem Existiert zu jedem nichtdet. LBA A ein nichtdet. LBA A mit T (A) =Σ \ T (A)? ( Abschluß von L 1 unter Komplementen ) 2. LBA-Problem Existiert zu jedem nichtdet. LBA A ein det. LBA A mit T (A) =T (A )? ( Determinisierbarkeit ) Wir betrachten auch die analogen Fragen für Turingmaschinen. 43

11 Komplementierung Satz 5 (Abschluß unter Komplement von Typ-1-Sprachen, Immerman 88, Szelepcsényi 87) Wenn L eine Typ-1-Sprache ist, dann ist auch L =Σ \L eine Typ-1-Sprache. (Beweis vielleicht später, verwendet keine Determinisierung!) Satz 6 (Nicht-Abschluß unter Komplement von Typ-0-Sprachen) Es gibt eine Typ-0-Sprache L Σ,sodassL =Σ \L keine Typ-0-Sprache ist. (Begründung und Beispiele später im Kapitel Berechenbarkeitstheorie) 44

12 Determinisierbarkeit Satz 7 (Determinisierung von Turingmaschinen) Zu jeder nichtdeterministischen Turingmaschine gibt es eine deterministische Turingmaschine, die dieselbe Sprache akzeptiert. 45