ELEKTROMAGNETISCHES. übereinstimmen, sind diese Energiewerte mit dem Faktor 1.18 zu multiplizieren.

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1 Kapitel 12 ELEKTROMAGNETISCHES FREQUENZSPEKTRUM Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich in Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus. Radiowellen, Lichtwellen, Röntgenstrahlung... Unterschied: Frequenz der Schwingung. Im Vakuum gilt λ = c/ν. Der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums ist nur winziger Ausschnitt, nämlich der, der beim Durchgang durch die Atmosphäre die geringste Absorption erfährt. Frequenz ν Art Energie Hz der Strahlung Wellenlänge der Photonen 1 Gamma pm 1 MeV Röntgen Å 100 ev Ultraviolett Sichtbar 500 nm 2.0 ev Infrarot µm 10 mev Mikrowellen m 1 µev Radiowellen 1 Damit die Energiewerte exakt mit der angegebenen Wellenlänge und Frequenz übereinstimmen, sind diese Energiewerte mit dem Faktor 1.18 zu multiplizieren. Aus der Quantentheorie folgt: Die elektromagnetische Feldenergie ist gequantelt. Photonen erscheinen in ganzzahligen Einheiten von E = hν = hω. Der Impuls eines einzelnen Photons ist p = hk. 101

2 "! - H - 4 Strahlungsquellen Quellen und Detektoren in den verschiedenen Frequenzbereichen sind sehr unterschiedlich. Ursache für die Strahlung (Photonen) sind immer beschleunigte Ladungen. Radiowellen: LC-Schwingkreis, Thomson Beziehung ω 0 = 1/ L C. Mikrowellen: Klystron (gepulste Elektronenstrahlen laufen durch Resonatoren und induzieren im geeigneten Hohlraumresonator ein periodisches B-Feld). Magnetron (Elektronenpaket läuft mit der Zyklotronfrequenz (siehe Seite 62) an geeigneten gekoppelten Hohlräumen vorbei). 4 A I = J H A 2 = A J ) J A A Infrarot: Rotationsübergänge, Molekülschwingungen (nur bei Molekülen mit permanentem elektrischen Dipolmoment, z.b. OH, optisch aktive Gitterschwingungen. Sichtbarer, naher UV Bereich: elektronische Übergänge in den äußeren Schalen der Atomhülle H! L UV, Röntgen Bereich: elektronische Übergänge in inneren Schalen (hohe Kernladungszahl Z erlaubt kurzwelligere Übergänge). Röntgen, γ-bereich: Kernübergänge, Bremsstrahlung (Synchrotron, Wiggler-Magnet) Die Sonne ist über weite Bereiche ein schwarzer Strahler mit T= 6000 K (siehe folgender Abschnitt). Die Solarkonstante auf der Erdoberfläche ist etwa 1 kw/m 2, auf die obere Erdatmosphäre treffen etwa 1.4 kw/m 2. Bandbreite der Strahlung:

3 2 ) diskrete Strahlung: Emission von Atomen und Molekülen bei nicht zu hohem Druck (freie Atome), aber auch auch von ungestörten Atomen in Kristallgittern (tiefe Temperatur) ergeben Linienspektrum. kontinuierliche Strahlung: Gase bei hohem Druck oder feste Körper Thermische Strahlung Das elektromagnetische Feld (Wärmestrahlung) erlaubt den Energieaustausch eines Körpers mit seiner Umgebung, bis ein Gleichgewicht herrscht. Im Vakuum, bei Abwesenheit eines direkten mechanischen Kontaktes, ist die Wärmestrahlung der einzige praktische Weg zum Energiaustausch. Auch wenn das thermische Gleichgewicht erreicht ist (das bedeutet hier: Körper und Umgebung befinden sich auf gleicher Temperatur), besteht die Wärmestrahlung weiter. Es kommt zum Gleichgewicht zwischen der in das elektromagnetische Feld emittierten und aus dem elektromagnetischen Feld absorbierten Energie. Die Intensität der Wärmeabstrahlung eines Körpers hängt vom Material und der Beschaffenheit seiner Oberfläche ab. Wir definieren den Absorptionskoeffizienten A = absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung (12.1) und betrachten zwei Flächen mit A s = 1 und A < 1, die sich in einer ideal verspiegelten Umgebung im Vakuum befinden. Wir nehmen an, dass sich beide bei gleicher Temperatur befinden. Die Flächen geben jeweils die Leistung P s und P ab. Die Platte mit A s = 1 ( schwarz ) absorbiert den Anteil P vollständig, die andere Platte nur den Bruchteil A P s. Im Gleichgewicht müssen die von den beiden Platten absorbierten Leistungen gleich sein ) I 2 I A = A H 5 F E A C A A s P = A P s (12.2) Die Größen A und P stellen über das Frequenzspektrum integrierte Größen dar, A = A ν dν und P = P ν dν. Da es im obigen Gedankenexperiment zu keiner Frequenzänderung kommt muß Gl.(12.2) auch für die spektralen Größen gelten: A s ν P ν = A ν P s ν (12.3) Mit E ν bezeichnen wir das Emissionsvermögen des Körpers bei der Frequenz ν. Gemeint damit ist die Leistung, die pro m 2, bei der Frequenz ν im Frequenzbereich von 1 Hz in den Raumwinkel 1 Sterad abgestrahlt wird. Die Leistungsabstrahlung bei einer bestimmten Frequenz ist proportional zum Emissionsvermögen des Körpers bei dieser Frequenz P ν E ν (12.4) Damit folgt, dass im thermischen Gleichgewicht, unabhängig vom Material, das Kirchhoffsche Gesetz gilt Eν s A s ν = E ν A ν = K(ν, T ) (12.5)

4 6 Das Verhältnis von Emissions- zu Absorptionsvermögen eines Körpers bei gegebener Frequenz ν hängt nur von der Temperatur ab. Es stellt sich heraus: K(ν, T ) ist gleich der spektralen Strahlungsdichte der Hohlraumstrahlung. Hohlraumstrahlung Ein Hohlraum der Oberfläche F mit einer kleiner Öffnung F F hat die Eigenschaft, dass eintretende Strahlung vielen Reflexionen (und damit verbunden Absorption) unterliegt und nicht mehr austritt. Das Absorptionsvermögen der kleinen Öffnung F ist damit praktisch gleich Eins A 1. Eine solche Anordnung nennt man schwarzer Körper. Heizt man den Hohlraum auf, dann wirkt diese Öffnung als eine Strahlungsquelle mit dem maximalen Emissionsvermögen eines Körpers mit der Temperatur T : Die austretende Strahlung nennt man Hohlraumstrahlung. Über 800 K ist die Hohlraumstrahlung sichtbar. Die Erklärung der spektralen Verteilung der Hohlraumstrahlung war eines der grossen Rätsel am Ende des 19. Jahrhunderts. Die Lösung erfolgte durch Max Planck. Die spektrale Energiedichte: w(ν, T ) [J m 3 Hz 1 ] gibt die Strahlungsenergie im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in der Volumeneinheit an. Die spektral integrierte Energiedichte ist w(t ) = w(ν, T ) dν [J m 3 ]. 0 Als Hohlraum betrachten wir einen Würfel aus metallischen Wänden (idealer Leiter, vollständige Reflexion). An der Oberfläche gilt E = 0. Damit gibt es im Würfel nur stehende Wellen. Diese betrachten wir in einer Dimension und fragen: wie viele Perioden finden auf der Länge 2a Platz λ 1 = 2a = 2a/1 λ 2 = a = 2a/2 λ 3 = 2 3 a = 2a/3 ν n = c 2a n n ist ganzzahlig (n = 1, 2, 3,...) mit der Wellenzahl = k n = 2π λ n = π a n (12.6) In 3 Dimensionen gibt es die stehenden Wellen mit den Komponenten {k x, k y, k z } k = 2π c ν = kx 2 + ky 2 + kz 2 = π a ν = c 2a n 2 x + n 2 y + n 2 z (12.7) n 2 x + n 2 y + n 2 z = c 2a R (12.8)

5 F? In einem Koordinatensystem mit k x, k y, k z definiert ein Punkt eine bestimmte im Würfel unterstützte Eigenfrequenz. Der Wurzelausdruck definiert den Radius eines Kugeloktanden. Alle Eigenfrequenzen im Bereich von ν bis ν + dν liegen innerhalb einer Kugelschale mit den Radien R und R + dr. Die Anzahl der erlaubten Moden im Bereich von ν bis ν + dν im Volumen V (Faktor 2 auf Grund der zwei Polarisationsrichtungen): M(ν)dν = πR2 dr = 8πa3 c 3 ν2 dν = 8πV c 3 ν2 dν (12.9) Die Modendichte steigt quadratisch mit der Frequenz an. Um die Energie, die im Strahlungsfeld der stehenden Wellen im Würfel vorliegt zu berechnen, brauchen wir Auskunft über die Besetzung der Moden bzw. die mittlere Energie die in jeder Mode steckt. Raleigh und Jeans gingen von dem Gleichverteilungssatz der statistischen Mechanik aus und setzten die mittlere Gesamtenergie pro stehender Welle W = kt (12.10) eine Größe, die unabhängig von der Frequenz ist. Die spektrale Energiedichte ist gleich der Anzahl der Moden pro Volumseinheit mal der mittleren Energie pro Mode. Mit (12.9) erhält man für die spektrale Energiedichte w(ν, T ) dν = M(ν) W dν (12.11) V bzw. nach Einsetzen von (12.10) w(ν, T ) dν = 8πν2 c 3 kt dν, (12.12) das Raleigh-Jeans sche Gesetz. Die spektrale Strahlungsdichte S(ν, T ), die aus der kleinen Öffnung des Hohlraumes (im Bild auf Seite 104 oben) in den rechten Halbraum tritt, wäre demnach S RJ (ν, T ) = 1 2π 4 ν2 c w(ν, T ) = kt (12.13) c2 (Dimension W/m 2 ). Diesen Ausdruck verglich man mit dem Ergebnis von Gleichung (12.5), dem Wert K(ν, T ). Experimentell fand man den Befund von Gl. (12.13) im Infrarotbereich (also für kleine Frequenzen), allerdings sagt dieses Gesetzt auch vorher, dass die Strahlungsdichte für hohe Frequenzen (ν ) unendlich wird, die sogenannte Ultraviolett Katastrophe: 0 w(ν, T ) dν = (12.14) Planck (1900) fand, dass sich Übereinstimmung mit dem Experiment erzwingen läßt, wenn man fordert: kt für kleine ν W (12.15) 0 für ν Das erreicht man durch die sogenannte Quantenhypothese N F = F = O

6 Die Energie einer stehenden Welle mit der Frequenz ν eines Hohlraumstrahlers kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern nur um diskrete Energiebeträge E = hν ( Quanten ) erhöht oder erniedrigt werden. Die Grundannahme bei der Einführung von Energiequanten ist, dass eine Mode des Strahlungsfeldes nicht kontinuierlich Energie aufnehmen kann, sondern nur in festen Einheiten von h ω = h ν. Die Energiequanten hängen von der Frequenz der Mode ab. Die Größe h heisst Planck sches Wirkungsquantum h = J s (12.16) Jede Mode kann im Prinzip beliebig viele Quanten (Photonen) aufnehmen. Eine Eigenschwingung mit der Frequenz ν trägt die Energie 2 W N = N hν (12.17) Die Anzahl N ist keine Erhaltungsgröße, sie steigt mit der Temperatur an (neue Quanten werden geschaffen). Mit Gl.(12.17) und einer Besetzungswahrscheinlichkeit für N gemäß der Boltzmann-Verteilung ergibt sich (aus der statistischen Physik für ununterscheidbare Bosonen) die mittlere thermische Energie eines Oszillators der Frequenz ν als W (ν) = hν e hν/kt 1 (12.18) Mit diesem Mittelwert in (12.11) folgt das Planck sche Strahlungsgesetz w(ν, T ) dν = 8πhν3 1 c 3 dν (12.19) e hν/kt 1 2 In der Quantenmechanik ergibt sich die Formel als W N = (N ) hν.

7 Für hν kt geht diese Gleichung über in das Raleigh-Jeanssche Gesetz. Die Dimension von w(ν, T ) ist [Jm 3 Hz 1 ]. Mit der Beziehung λ = c/ν und dν = dλ c/λ 2 ist die Planck sche Strahlungsformel in Abhängigkeit von der Wellenlänge (Dimension [Jm 3 m 1 ]) w(λ, T ) dλ = 8πhc 1 λ 5 dλ (12.20) e hc/λkt 1 Das Wien sche Verschiebungsgesetz beschreibt die Position des Maximums der Intensität als Funktion der Temperatur. Sie verschiebt sich mit steigender Temperatur zu kleineren Wellenlängen. λ max T = const = 2.9 [mm K] (12.21) Das Maximum liegt bei 545 nm bei T = 5000 K (2.7 µm bei T = 1000 K). Das Stefan-Boltzmann Gesetz beschreibt die Strahlungsintensität, integriert über alle Frequenzen (steigt mit der vierten Potenz der Temperatur an) w(t ) = ν=0 w(ν, T ) dν T 4 (12.22)

8 12.2 Energie und Impuls Offenbar nimmt die Welle vom Sender Energie mit (Strahlungsdämpfung), die Antenne empfängt sie. Das Strahlungsfeld hat die Energiedichte: w em = 1 2 ɛ 0 ( E 2 + c 2 B 2) = ɛ 0 E 2 (12.23) Sie wird mit der Geschwindigkeit c in Richtung des Wellenvektors k transportiert. Die Energie, die pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheit senkrecht zu k transportiert wird, nennen wir Intensität oder Energiestromdichte I = c w em = c ɛ 0 E 2 (12.24) Für eine linear polarisierte Welle E(z =0, t) = E 0 sin(ωt) ist die Intensität I(t) = c ɛ 0 E 2 0 sin 2 (ωt) (12.25) zeitlich periodisch. Im zeitlichen Mittel über viele Schwingungsperioden gilt <I > t = 1 2 c ɛ 0E 2 0 (12.26) Für zirkular polarisierte Wellen ist die Intensität zeitlich konstant. Im Vakuum ist die Intensität der elektromagnetischen Welle gleich dem Betrag des Poynting-Vektors S = c 2 ɛ 0 ( E B ) (12.27) Dieser Vektor gibt die Richtung des Energieflusses (Energie pro Zeiteinheit pro Fläche, W/m 2 ). Die elektromagnetische Welle trägt nicht nur Energie, sondern auch Impuls. Der Impuls pro Volumseinheit ist π em = w em c Die Dimension von π em ist gleich [π em ] Energie m 3 = I c 2 (12.28) s m = kg m/s m 3 = Impuls m 3 Die Dimension von w em entspricht der eines Druckes [w em ] Energie m 3 = kg m/s2 m 2 = Kraft m 2 = Druck Dieser Strahlungsdruck kann mit einer präzisen Waage vermessen werden. Dies gelang erstmals Lebedev in Moskau im Jahre Bei vollem Tageslicht entspricht er der Gewichtskraft von 0.5 mg auf eine Fläche von 1 m 2. Er ist Ursache für die Form des neutralen Kometenschweifes (weg von der Sonne, nicht entlang der Kometenbahn) und wird jetzt in einem Sonnensegel Anwendung finden. 3 Der Strahlungsdruck spiegelt auch den Impulsübertrag wieder, den ein Photon bei Emission oder Absorption auf ein Atom überträgt (Laserkühlen)

9 12.3 Photonen Lange Zeit gab es einen Streit über die Natur des Lichtes. Newton postulierte das Partikel-Bild, Huygen das Wellenbild. Nach der Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch Hertz schien das Wellenbild gesiegt zu haben. Aber die Modellvorstellung des Lichtes als elektromagnetische Welle bedurfte Korrekturen um die UV-Katastrophe (Gleichung 12.14) zu verhindern. Eine Deutung der Plankschen Idee erfolgte durch Einstein: Die Energie des Lichtes wird nicht kontinuierlich eingestrahlt, sondern durch einzelne Quanten, Photonen. Wellenbild und Teilchenbild stehen aber nicht im Widerspruch zueinander. Licht verhält sich bei bestimmten Erscheinungen wie eine Welle (Interferenz, Beugung), bei anderen wie ein Teilchen (Photoeffekt, Taylor-Experiment). Die Photonen-Teilchen sind Vermittler der elektromagnetischen Wechselwirkung. Sie haben eine Ruhemasse von Null, breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c 0 = m/s aus und tragen die Energie: W = h ν (12.29) Formal kann man dem Photon über die Gleichung W = mc 2 eine Masse m = hν/c 2 und den Impuls p = mc = hν/c zuordnen. Der Impulsübertrag erfolgt in Richtung der Photonen Wellenvektors k, sodass für den Impuls eines Photons gilt p = h k (12.30) Die Intensität einer elektromagnetischen Welle ist im Photonenbild durch die Anzahl der Photonen N gegeben, die pro Sekunde pro Flächeneinheit eintreffen I = N hν (12.31) Da die Intensität im Wellenbild gleich I = cɛ 0 E 2 (12.32) war, gilt für die Abhängigkeit der Feldstärke von der Photonenzahl hν E = N (12.33) cɛ 0 Die klassische Beschreibung von Licht als elektromagnetische Welle gilt im Grenzfall großer Photonenzahlen. Das Taylor-Experiment zeigt eindringlich die Photonenstruktur des Lichtes: Eine Kugelwelle wird vom Zentrum emittiert,, A J A J H A mehrere Detektoren befinden sich im Abstand R. Bei hoher Intensität empfangen alle Detektoren die gleiche Strahlungsleistung. Bei genügend hohem zeitlichen Auflösungsvermögen und bei D genügend hoher Empfindlichkeit der Detektoren beobachtet man aber bei sehr kleiner Intensität ein statistisches Eintreffen der Photonen. Die 2 K J G K A A Energie wird nicht gleichmäßig in alle Richtungen ausgesandt, sondern in diskreten Paketen, die im Raum statistisch verteilt sind.