( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
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- Hennie Stefanie Maurer
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1 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion ist eine Stmmfunktion von f d.h. es gilt: = f für [,] oder ( ) ( ) f ( t) dt = f ( ) integr4 7../ul
2 Beweis des Huptstzes unter der zusätzlichen Vorussetzung: f() Sei m ds Minimum, M ds Mimum der stetigen unktion f im Intervll [, + h] ür die Integrlfunktion ( ) = f ( t) dt) gilt dnn die folgende Aschätzung: mh ( + h) ( ) Mh Division durch h ( + h) ( ) m M Grenzüergng h ( + h) ( ) limm lim lim M f ist stetig h h h h f ( ) ( ) f ( ) = f ist eine Stmmfunktion von f uf [,] ( ) ( ) Ds Prolem der Differentilrechnung: (Aleiten, Derivtion) Gegeen ist eine unktion, gesucht ist die.aleitung ' = f Ds Umkehrprolem der Integrlrechnung: ("Aufleiten", Antiderivtion) Gegeen ist eine unktion f, gesucht ist eine unktion mit ' = f integr4 7../ul
3 Als olgerung us dem Huptstz in der. orm ergit sich nun ein einfches Verfhren zur Berechnung estimmter Integrle. Die Idee wird m folgenden Beispiel erläutert: Ist etw sin d zu erechnen, so etrchte mn die zugehörige Integrlfunktion ( ) sin = d ( ) = cos ist eine Stmmfunktion des Integrnden ( ) = sin f ist nch dem Huptstz (. orm) eine Stmmfunktion von f, unterscheidet sich lso von einer elieigen Stmmfunktion des Integrnden f höchstens in einer Konstnten, d.h. es gilt: ( ) = cos + c mit c R Die Konstnte c ist ddurch estimmt dss () = ist: () = cos + c und dmit c = cos = Wegen ( ) = cos folgt + ( ) d ( ) = sin = cos = üerträgt mn ds Vorgehen uf den llgemeinen ll so erhält mn den Huptstz (. orm) Ist eine Stmmfunktion der im Intervll [,] stetigen unktion f, dnn gilt: f ( ) d = ( ) ( ) Die Berechnung von estimmten Integrlen esteht dmit us zwei Schritten:. Suche zum Integrnden f eine elieige Stmmfunktion. Bilde die Differenzen der unktionswerte von n oerer und unterer Grenze. Beweis des Huptstzes (.orm) Die Integrlfunktion ( ) = f ( t) dt ist eine Stmmfunktion von f. Sie unterscheidet sich von einer elieigen Stmmfunktion von f höchstens in einer Konstnten c, d.h. es gilt: = + c ( ) ( ) D n der unteren Grenze verschwindet gilt: c c ( ) = ( ) + = = ( ) oder lso ( ) = ( ) ( ) ür = erhält mn schliesslich ( ) = f ( ) d = ( ) ( ) Dmit ist der Huptstz ewiesen. Bem.: ür Differenz () - () schreit mn zur Akürzung ( ) ( ) = ( ) integr4 7../ul
4 3 Bem.: Die Stmmfunktion knn durch eine elieige ndere Stmmfunktion ersetzt werden, denn eine llfällige Konstnte wird n der oern Grenze ddiert und n der untern wieder sutrhiert. Beispiele: e d =? () = e ist eine Stmmfunktion von f() = e e d = e = e e = e Bem.: Nicht jedes estimmte Integrl muss mit dem Huptstz erechnet werden. Eine geometrische Interprettion knn die Berechnung vereinfchen wie im folgenden Beispiel: r r r d = Inhlt eines Viertelskreises mit Rdius r 4 vgl. uch in Aschnitt 3. ds einführende Beispiel eines lineren Integrnden. Aufge: Bestimme > so, dss die läche zwischen y =, der -Achse und der Gerden = den Inhlt 9 ht d = = = 9 = 3 integr4 7../ul
5 4 Ergänzungen:. Die Aussge des Huptstzes in der. orm knn m folgenden einfchen Beispiel illustriert werden: Die Aufge ds estimmte Integrl ( + ) d zu erechnen (geometrisch: den Inhlt des gefärten Dreiecks zu erechnen) knn nch dem Huptstz folgendermssen gelöst werden: Zunächst ist zum Integrnden f eine Stmmfunktion zu suchen: In der Skizze sind dzu 4 verschiedene Stmmfunktionen von f drgestellt. D ihre Aleitungen üereinstimmen hen ihre Grphen gleiche Tngentensteigungen, drgestellt n der Stelle -, wo die Aleitung f(-) = - eträgt. Mssgeend ist nun die Stmmfunktion, die n der untern Grenze (-) den Wert ht, lso ( ) = + +. Der Wert des estimmten 9 Integrls stimmt mit ( ) = üerein. Nch der. orm des Huptstzes knn der Wert des estimmten Integrls uch erechnet werden, indem mn für eine elieige Stmmfunktion z.b. ( ) = + die Differenz der unktionswerte () (-) = 4 (- / ) = 9 / (den lächenzuwchs erechnet). Bem.: D (zufälligerweise) f(-) = hen die Preln ls Grphen der Stmmfunktionen den Scheitel n der Stelle - integr4 7../ul
6 5. Der Huptstz edeutet uch, dss durch Integrtion us stetigen unktion differenzierre unktionen entstehen. Integrtion ht lso wie ds folgende Beispiel zeigt eine glättende Wirkung. c integr4 7../ul
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Extrakapitel für M3 1. Integration durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel)
Etrkpitel für M. Integrtion durch Substitution (Umkehrung der Kettenregel Beispiel : Berechnen Sie ds Integrl I = + d D die Wurzel eine innere Funktion ht, substituieren wir diese und leiten dnn b... z
KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion
KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere
Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
10: Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert
Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
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Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
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Mathematik für das Ingenieurstudium
Mthemtik für ds Ingenieurstudium von Mrtin Stämpfle, Jürgen Koch., ktul. Aufl. Hnser München 0 Verlg C.H. Beck im Internet: www.eck.de ISBN 978 3 446 433 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich
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26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
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Die Cuchysche Integrlformel 6.4 39 Abb 6 Integrtionswege im Fresnelintegrl r ir 2 r 6.4 Die Cuchysche Integrlformel Aus dem Cuchyschen Integrlst folgt eine fundmentle Formel für die Drstellung einer holomorphen
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6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4 näherungen für estimmte Integrle 6.4. Diekepler schefssregel Ingenieuren und Nturwissenschftlern pssiert es immer wieder, dss sie es mit Funktionenzu tunhen,dieso