A B A A A B A C. Übungen zu Frage 110:

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Hannelore Pamela Fuhrmann
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1 Übungen Wahrscheinlichkeit Übungen zu Frage : Nr. : Die Abschlussklassen der Linden-Realschule organisieren zugunsten eines sozialen Projekts eine Tombola. Die Tabelle zeigt die Losverteilung und die damit verbundenen Gewinne. Anzahl der Lose Wert des Gewinns Nieten Kein Gewinn Kleingewinne je, Hauptgewinne je, Ein Los kostet,. Berechnen Sie den Erwartungswert. Um den Gewinn für das soziale Projekt zu erhöhen, geben die Klassen weitere Nieten in die Lostrommel. Welchen Betrag können die Abschlussklassen spenden, wenn alle Lose verkauft werden? (Die Lösung finden Sie auf Seite.) Nr. : Acht gleich große Karten sind mit den Buchstaben A, B und C beschriftet. Die Karten liegen so auf dem Tisch, dass die Buchstaben nicht sichtbar sind. Es werden zwei Karten gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben zu ziehen? Die Karten sollen für ein Glücksspiel verwendet werden. Nebenstehende Gewinnpläne werden geprüft. Für welchen Gewinnplan soll sich der Betreiber entscheiden? Begründen Sie Ihre Aussage. A C A B A A A B Ergebnis der Ziehung Zwei gleiche Buchstaben Der Buchstabe C ist gezogen Restliche Möglichkeiten Gewinnplan 3, Gewinnplan,, 3, kein Gewinn kein Gewinn Einsatz pro Spiel:, (Die Lösung finden Sie auf Seite 3.) Mathematik-Verlag, - -

2 Lösungen: Nr. : Berechnung des Erwartungswerts: Man beachte: Es soll hier nicht der Erwartungswert des ausgezahlten Betrags berechnet werden, sondern der Gewinn, mit dem ein Loskäufer rechnen kann! Die Aufgabenstellung ist hier etwas missverständlich. Zur Berechnung dieses Erwartungswerts benötigt man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse Niete, Kleingewinn und Hauptgewinn. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Loskauf ist immer. Insgesamt sind Lose in der Trommel. Die Wahrscheinlichkeiten sind also: P(Niete) = ; P(Kleingewinn) = und P(Hauptgewinn) = Die zugehörigen Zahlenwerte in Euro sind: Niete: ; Kleingewinn:, ; Hauptgewinn:, ; Loskauf:, Man erhält somit für den Erwartungswert (siehe Formelsammlung): E = +, +, + (, ) =, Ergebnis: Der Erwartungswert (aus Sicht eines Loskäufers) beträgt E =,. (Hinweis: Anschaulich bedeutet dieser Erwartungswert, dass alle Loskäufer im Mittel Ct Verlust machen.) Berechnung des Spendenbetrags: Zur Berechnung des Spendenbetrags muss man von den Einnahmen die Ausgaben abziehen. Da nun weitere Nieten in der Lostrommel sind (insgesamt also Lose) und ein Los kostet, sind die Einnahmen der Klassen =. Die Ausgaben errechnen sich aus den Gewinnen, die ausgezahlt werden müssen: Ausgaben = + = 36 Somit beträgt der Gewinn: 36 =. Ergebnis: Die Abschlussklassen können für das soziale Projekt spenden. Mathematik-Verlag, - -

3 Lösungen: Nr. : Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben : Lösungsvariante : Das gleichzeitige Ziehen zweier Karten entspricht einem zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen, das mithilfe eines Baumdiagramms veranschaulicht werden kann (siehe Schaubild rechts). Die Wahrscheinlichkeiten beim ersten Zug sind: P(A) = ; P(B) = und P(C) = Man beachte, dass beim zweiten Zug nur noch Karten vorhanden sind und von der zuerst gezogenen Sorte eine Karte fehlt. Daraus ergeben sich die im Baumdiagramm abgebildeten Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen der zweiten Karte. Die Ausgänge, die zum Ereignis zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben gehören, sind im Baumdiagramm markiert: (A; B) ; (A; C) ; (B; A) ; (B; C) ; (C; A) und (C; B). Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ausgänge können mit der Pfadregel berechnet werden. Man erhält: P(A; B) = = ; P(A; C) = = ; 6 6 P(B; A) = = ; P(B; C) = = ; 6 6 P(C; A) = = 6 ; P(C; B) = = 6 ; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben erhält man nun mithilfe der Summenregel: P(zwei verschd. Buchstaben) = P(A; B) + P(A; C) + P(B; A) + P(B; C) + P(C; A) + P(C; B) 3 = = 6, % Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben zu ziehen, ist 6, %. 6 Lösungsvariante : Etwas einfacher wird der Rechenweg, wenn man zuerst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zwei Karten mit gleichen Buchstaben berechnet. Denn es gilt: P(zwei verschd. Buchstaben) = P(zwei gleiche Buchstaben) Die Ausgänge, die zum Gegenereignis zwei Karten mit gleichen Buchstaben gehören, sind im nebenstehenden Baumdiagramm markiert: (A; A) ; (B; B) und (C; C). Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ausgänge müssen mit der Pfadregel berechnet werden. Man erhält: P(A; A) = = ; P(B; B) = = ; 6 6 P(C; C) = = Mathematik-Verlag,

4 Mit der Summenregel folgt: P(zwei gleiche Buchstaben) = P(A; A) + P(B; B) + P(C; C) = + + = Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zwei Karten mit verschiedenen Buchstaben : 3 P(zwei verschd. Buchstaben) = = 6, % 6 6 Für welchen Gewinnplan sollte sich der Betreiber entscheiden? Der Betreiber sollte sich natürlich für denjenigen Gewinnplan entscheiden, bei dem er im Schnitt mehr Gewinn macht. Dazu muss man den Erwartungswert beider Gewinnpläne berechnen und zwar aus Sicht des Betreibers. Zur Berechnung der beiden Erwartungswerte benötigt man zuerst die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse zwei gleiche Buchstaben, Buchstabe C ist gezogen und restliche Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zwei gleiche Buchstaben wurde bereits oben berechnet: P(zwei gleiche Buchstaben) = 6 Die Ausgänge, die zum Ereignis Buchstabe C ist gezogen gehören, sind im nebenstehenden Baumdiagramm markiert: (A; C) ; (B; C) ; (C; A) ; (C; B) und (C; C). Mit der Pfadregel erhält man: P(A; C) = = 6 ; P(B; C) = = 6 ; P(C; A) = = 6 ; P(C; B) = = 6 ; P(C; C) = = Mit der Summenregel folgt: P(Buchstabe C) = = Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses restliche Möglichkeiten erhält man mit der Beziehung P(zwei gleiche Buchstaben) + P(Buchstabe C) + P(restliche Mögl.) = Mit den oben berechneten Wahrscheinlichkeiten folgt: + + P(restliche Mögl.) = P(restliche Mögl.) = 6 Für den Erwartungswert des Gewinnplans folgt somit (siehe Formelsammlung): E = P(zwei gleiche Buchstaben) ( 3, ) + P(Buchstabe C) (, ) + P(restl. Mögl.) ( ) +, Hinweise:. Die Wahrscheinlichkeit für den Einsatz ist, da ohne Einsatz erst gar nicht gespielt werden kann.. Die Eurobeträge zu den Ereignissen zwei gleiche Buchstaben und Buchstabe C müssen aus Sicht des Betreibers negativ gewertet werden, da er diese Beträge an den Spieler auszahlen muss. Mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten folgt: E = ( 3, ) + (, ) + ( ) +, =, Der Betreiber nimmt bei Gewinnplan also im Schnitt, pro Spiel ein. Mathematik-Verlag, - -

5 Für den Erwartungswert des Gewinnplans erhält man (siehe Formelsammlung): E = P(zwei gleiche Buchstaben) (, ) + P(Buchstabe C) ( 3, ) + P(restl. Mögl.) ( ) +, Mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten folgt: E = (, ) + ( 3, ) + ( ) +, =, Der Betreiber macht bei Gewinnplan also im Schnitt pro Spiel, Verlust. Ergebnis: Der Betreiber sollte sich für Gewinnplan entscheiden, da er damit im Schnitt, Gewinn pro Spiel macht. Mit Gewinnplan müsste er dagegen mit einem Verlust von, pro Spiel rechnen. Mathematik-Verlag, - -

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