Gleichseitige Dreiecke im Kreis. aus der Sicht eines Punktes. Eckart Schmidt

Transkript

1 Gleichseitige Deiecke im Keis aus de Sicht eines Punktes Eckat Schmidt Zu einem Punkt und einem gleichseitigen Deieck in seinem Umkeis lassen sich zwei weitee Deiecke bilden: das Lotfußpunktdeieck und das pespektive Deieck im Umkeis Diese beiden Deiecke eweisen sich als ähnlich Betachtet man alle gleichseitigen Deiecke im Umkeis, so lassen sich Invaianten de Lotfußpunktdeiecke und de pespektiven Deiecke im Keis aufzeigen ZB haben die Lotfußpunktdeiecke den gleichen Schwepunkt und sind flächengleich wähend die pespektiven Deiecke im Keis im Lemoine-Punkt und den Bocad-Punkten übeeinstimmen Gemeinsam ist allen Lotfußpunktdeiecken und pespektiven Deiecken im Keis de gleiche Bocad-Winkel Geabeitet wid mit katesischen Koodinaten, wenn auch PC-gestützt Invaiante Gößen de Lotfußpunktdeiecke Ein Punkt P habe vom Mittelpunkt M eines Keises vom Radius den Abstand p De Uspung eines katesischen Koodinatensystems liege im Punkt M, und de Punkt P ehalte die Koodinaten P( p;0 Betachtet weden gleichseitige Deiecke UVW im Keis Gibt man eine Ecke des gleichseitigen Deiecks die Koodinaten U ( cosϕ; sinϕ,

2 so ehält man die andeen Ecken fü die Winkel ϕ ±0 Die Seitenlänge des gleichseitigen Deiecks betägt 3 Lotet man von P auf die Seitengeade VW des gleichseitigen Deiecks, so ist de Lotfußpunkt p A ( cosϕ + psin ² ϕ; sinϕ sin ϕ Entspechende Dastellungen egeben sich fü die Lotfußpunkte BB und C zu den Winkeln ϕ ±0 Fü die oientieten Abstände des Punktes P von den Seiten de gleichseitigen Deiecke gilt PA + PB + PC 3, wie eine Flächenbilanz de gleichseitigen Deiecke unmittelba aufzeigt Die Seitenlänge BBC eines Lotfußpunktdeiecks eechnet sich zu 3 3 a + p cosϕ PU Die Seitenlängen de Lotfußpunktdeiecke sind also bis auf den 3 Fakto die Abstände des Punktes P von den Ecken des gleichschenkligen Deiecks Die Quadatsumme de Seitenlängen eweist sich als konstant: 9 a ² + b ² + c ² ( +, Fü den Umkeisadius von A BBC egibt sich p p³ ³cos(3ϕ Damit haben alle Lotfußpunktdeiecke den gleichen Flächeninhalt: ab c 3 3 Δ 6

3 Satz : Lotet man von einem Punkt auf die Seitengeaden gleichseitige Deiecke in einem Keis, so haben die Lotfußpunktdeiecke den gleichen Flächeninhalt und stimmen in de Quadatsumme ihe Seitenlängen und damit in ihem Bocad- Winkel übeein Zu Bocad-Geometie eines Deiecks sei hie nu angemekt, dass es in einem Deieck zwei Punkte die Bocad-Punkte gibt, die übe den Seiten echts-, bzw linksseitig unte dem gleichen Ehebungswinkel gesehen weden Die Bocad-Punkte BB liegen auf dem Thales-Keis übe de Umkeismitte M und dem Lemoine-Punkt L Dabei ist de Winkel LMB gleich dem Ehebungswinkel und wid als Bocad-Winkel ω angespochen, de sich wie folgt beechnen lässt ([], S60: a² + b² + c² cotω cot A + cot B + cot C Δ Fü die Lotfußpunktdeiecke egibt sich dann cotω 3( + Invaiante Punkte de Lotfußpunktdeiecke De Schwepunkt eines Lotfußpunktdeiecks A BBC eechnet sich unschwe als Mittelpunkt von M und P zu S( p ;0

4 Satz : Lotet man von einem Punkt P auf die Seitengeaden gleichseitige Deiecke in einem Keis, so haben die Lotfußpunktdeiecke den gleichen Schwepunkt, einen gemeinsamen isodynamischen Punkt sowie in P einen gemeinsamen isogonen Punkt Die isodynamischen Punkte eines Deiecks sind die beiden Schnittpunkte de Apollonius-Keise Diese Schnittpunkte eechnen sich zu + p( + p cos(3ϕ sin(3ϕ J( ;0 und J ( ; p Die Lotfußpunktdeiecke stimmen also in einem de beiden isodynamischen Punkte übeein, wähend de andee isodynamische Punkt einen Keis um den Schwepunkt mit dem Radius p /( duchläuft Die isogonalen Bilde de isodynamischen Punkte sind die beiden isogonen Punkte, die man ehält, wenn man übe/unte den Seiten gleichseitige Deiecke zeichnet und die Schnittpunkte de Ecktansvesalen de Spitzen betachtet Im esten Fall spicht man auch vom Femat-Punkt Die isogonen Punkte eechnen sich zu p + cos(3ϕ sin(3ϕ F ( ; und F ( p;0 Dabei eweist sich das isogonale Bild des isodynamischen Punktes, in dem die Lotfußpunktdeiecke nicht übeeinstimmen, als de eingangs vogegebene Punkt P, de somit gemeinsame isogone Punkt alle Lotfußpunktdeiecke ist De andee isogone Punkt bescheibt einen Keis um den Schwepunkt mit

5 dem Radius / Liegt de Punkt P im vogegebenen Keis, so ist P de Femat-Punkt de Lotfußpunktdeiecke Abschließend sei die Otslinie de Ecken de Lotfußpunktdeiecke angespochen Lotet man von einem Punkt auf die Tangenten eines Keises, so ehält man bekanntlich eine Pascalsche Schnecke ([], S6 Nun sind die Seitengeaden de gleichseitigen Deiecke im Keis Tangenten des gemeinsamen Inkeises, dahe liegen die Ecken de Lotfußpunktdeiecke auf eine Pascalschen Schnecke Legt man den Upung des Koodinatensystems in den Punkt P, dann hat diese Pascalsche Schnecke in Polakoodinaten ρ(ψ die Gleichung ρ ± p cosψ Satz 3: Lotet man von einem Punkt auf die Seitengeaden gleichseitige Deiecke in einem Keis, so liegen die Lotfußpunkte auf eine Pascalschen Schnecke Fü einen Punkt P auf dem Inkeis egibt sich de Sondefall eine Kadioide Pespektive Deiecke im Keis Zu einem Punkt P und den gleichseitigen Deiecken UVW in einem Keis weden jetzt die pespektiven Bilde A BBC im Keis betachtet So eechnet sich de pespektive Patne A von Punkt U zu ( p ( + cosϕ ( sinϕ A( ; + p cosϕ + p cosϕ,

6 und die Punkte BB und C ehält man zu den Winkeln φ±0 Die Deiecke A BBC und A B B C eweisen sich als ähnlich, denn ein Seitenlängenvegleich egibt a a b b c c p p³ ³cos(3ϕ Satz Fü gleichseitige Deiecke im Keis sind das Lotfußpunktdeieck eines Punktes und das pespektive Deieck im Keis ähnlich Hintefagt man die invaianten Punkte de pespektiven Deiecke im Keis, so eechnet sich de Lemoine-Punkt L als isogonales Bild des Schwepunktes zu p L(,0 + Die isodynamischen Punkte, dh die Schnitte de Apollonius- Keise, sind J( p,0 und J (,0 p, dh das Pespektivzentum P und seine Spiegelung am Umkeis de gleichseitigen Deiecke Die isodynamischen Punkte teilen die Stecke ML hamonisch im Vehältnis + cotω 3

7 Es sei angemekt, dass die beiden isogonen Punkte sich auf Keisen bewegen Spiegelt man den Lemoine-Punkt an diesen Keisen, so ehält man die isodynamischen Punkte Satz 5: Die pespektiven Deiecke von gleichseitigen Deiecken im Keis haben einen gemeinsamen Lemoine-Punkt und gemeinsame isodynamische Punkte, von denen eine in das Pespektivzentum fällt Bocad-Geometie de pespektiven Deiecke im Keis Die pespektiven Deiecke im Keis haben nicht nu gemeinsame mekwüdige Punkte, sonden auch einen gemeinsamen Beühkegelschnitt mit de Gleichung 3p( + ( x ² ( p + + y² + ( ( ² ( p + + ² ( p + + Diese Kegelschnitt ist eine Ellipse; de Lemoine-Punkt ist de Bianchon-Punkt (Ceva-Punkt des Beühdeiecks De Nebenscheitelkümmungskeis hat den Radius / Satz 7 Die pespektiven Bilde gleichseitige Deiecke im Keis haben eine gemeinsame Beühellipse; Bennpunkte sind die gemeinsamen Bocad-Punkte, Bianchon-Punkt ist de gemeinsame Lemoine-Punkt

8 Die Bennpunkte diese Beühellipse ( 3p( + 3p( B ; ± ( p + + ( p + + liegen auf dem Thales-Keis übe ML, dh auf dem sogenannten Bocad-Keis, mit de Gleichung ( x p ² + y² + ( + ² Dabei gilt cot( LMB 3( + cotω, so dass es sich bei den Punkten BB um die Bocad-Punkte de pespektiven Deiecke im Keis handelt De Bocad-Winkel ist aufgund de Ähnlichkeit de gleiche wie bei den Lotfußpunktdeiecken Ausblick Die Lotfußpunktdeiecke von gleichseitigen Deiecken im Keis bzgl eines vogegebenen Punktes haben bei gleichem Flächeninhalt 3 3 Δ 6 die gleiche Summe de Seitenquadate 9 a ² + b ² + c ² ( +

9 Die bzgl eines vogegebenen Punktes pespektiven Deiecke von gleichseitigen Deiecken im Keis haben bei gleichem Radius die gleiche Summe de ezipoken Seitenquadate a ² + b ² + c ² p + + ( ²² Diese Zusammenhänge lassen sich veallgemeinen: Satz 8 Zu eguläen n-ecken in einem Keis und vogegebenem Punkt haben die Lotfußpunkt-n- Ecke den gleichen Flächeninhalt und die gleiche Summe de Seitenquadate; die pespektiven n-ecke im Keis abe bei gleichem Radius die gleiche Summe de ezipoken Seitenquadate Die zugehöigen Beechnungen egeben: Fü die Lotfußpunkt-n-Ecke Δ n sin(π / n + ( + cos(π / n, s ² + s² + + sn ² n( + sin (π / n; fü die pespektiven n-ecke mit Umkeisadius n( p + cos ( π / n s ² s ² sn ² ( ²² sin ( π / n Eine Veallgemeineung de zugehöigen Bocad-Geometie sei eine weiteen Ausabeitung vobehalten

10 Liteatu [] E Donath: Die mekwüdigen Punkte und Linien des ebenen Deiecks VEB Deutsche Velag de Wissenschaften, Belin 976 [] H Schmidt: Ausgewählte höhee Kuven Kesselingsche Velagsbuchhandlung Wiesbaden, 99 Eckat Schmidt - Holstenstaße - D 3 Raisdof eckat_schmidt@t-onlinede