Grundlagen der Mathematik

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1 Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n N n ist gerade }, - B = {n N n ist durch 3 teilbar }, - C = {n N n ist kleiner als 20 }. a) Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form an: A C B C (A C) \ B Geben Sie jeweils auch eine Beschreibung in Worten an. Wir haben mit den folgenden Beschreibungen: A C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} B C = {3, 6, 9, 12, 15, 18} (A C) \ B = {2, 4, 8, 10, 14, 16}, - A C = {n N n ist gerade und kleiner als 20 }, - B C = {n N n ist durch 3 teilbar und kleiner als 20 }, - (A C)\B = {n N n ist gerade und kleiner als 20 und nicht durch 3 teilbar }. b) Sei nun D := (A C) (B C) N N. Wieviele Elemente enthält D? Da A C 9 Elemente und B C 6 Elemente enthält, enthält das Produkt D = (A C) (B C) genau 54 = 9 6 Elemente. Bitte wenden!

2 c) Beschreiben Sie die Teilmenge E := {(a, b) D a teilt b} N N zunächst in Worten ( E enthält alle Paare (a, b) natürlicher Zahlen, so dass... ), und geben Sie diese Menge dann in aufzählender Form an. Die Menge E enthält alle Paare (a, b) natürlicher Zahlen, so dass a gerade und kleiner als 20 ist, und b durch 3 und durch a teilbar und kleiner als 20 ist. Wir erhalten also E = {(2, 6), (2, 12), (2, 18), (4, 12), (6, 6), (6, 12), (6, 18), (12, 12), (18, 18)}. (P3) Eine Tautologie ist eine Aussageform über Aussagen, welche für alle Belegungen ihrer Variablen stets wahr ist. Zeigen Sie, dass die folgenden aussagenlogischen Formeln Tautologien sind, und geben Sie jeweils ein Beispiel für Aussagen dieser Form, entweder aus der Mathematik oder aus dem Leben. a) A ( A) (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten) b) (A (A = B)) = B Die Wahrheitstabellen für die beiden Aussagen können schrittweise mit Hilfe der jeweiligen Definitionen wie folgt erstellt werden: A A A ( A) w f w f w w und A B A = B A (A = B) (A (A = B)) = B w w w w w w f f f w f w w f w f f w f w Da die letzte Spalte unabhängig von den Wahrheitswerten von A und B stets wahr ist, handelt es sich tatsächlich um Tautologien. Beispiele für a): Ich habe genug Geld oder ich habe nicht genug Geld (... um mir einen Kaffee zu kaufen). Eine natürliche Zahl ist gerade oder nicht gerade (ungerade). Beispiele für b): Wenn ich (jetzt) zufrieden bin, und wenn ich immer dann, wenn ich zufrieden bin, gute Laune habe, dann habe ich (jetzt) gute Laune. Wenn M eine endliche Menge ist und aus der Tatsache, dass M eine endliche Menge ist folgt, dass P(M) eine endliche Menge ist, dann ist P(M) eine endliche Menge. Siehe nächstes Blatt!

3 Übungsaufgaben mit Abgabetermin Mo, , zu Beginn der Vorlesung (A4) Lösungsmengen (2+2+4 Punkte) Die Lösungsmenge einer Gleichung f(x) = 0 ist die Menge L = {x R f(x) = 0} aller reellen Zahlen x, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. So ist zum Beispiel die Lösungsmenge der Gleichung 3x + 1 = 7 die Menge L = {2}, welche nur aus der Zahl 2 besteht. a) Finden Sie eine möglichst einfache Gleichung in einer Variablen, deren Lösungsmenge gerade die Menge {0, 1, 2, 3} R ist. Hier gibt es sehr viele Möglichkeiten, die vermutlich einfachste lautet x(x 1)(x 2)(x 3) = 0. b) Angenommen, wir haben allgemeiner zwei Teilmengen M 1 R und M 2 R als Lösungsmengen der Gleichungen f 1 (x) = 0 bzw. f 2 (x) = 0 beschrieben. Wie kann man dann die Vereinigung M 1 M 2 als Lösungsmenge einer Gleichung beschreiben? Wie im ersten Fall können wir benutzen, dass ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich 0 ist. Also ist M 1 M 2 die Lösungsmenge der Gleichung f 1 (x) f 2 (x) = 0. c) Können Sie für zwei Mengen M 1 und M 2 wie in b) auch den Durchschnitt M 1 M 2 als Lösungsmenge einer Gleichung beschreiben? Erläutern Sie auch Ihren Lösungsweg. Die Summe von zwei Termen kann im allgemeinen auch gleich 0 sein, wenn die einzelnen Terme nicht 0 sind. Hat man aber zwei nichtnegative Terme, so ist deren Summe genau dann gleich 0, wenn beide gleich 0 sind. Sind nun M 1 und M 2 Lösungsmengen von f 1 (x) = 0 und f 2 (x) = 0, so können wir sie zunächst auch als Lösungsmengen von (f 1 (x)) 2 = 0 und (f 2 (x)) 2 = 0 beschreiben. Da dies nun nichtnegative Funktionen sind, erhalten wir M 1 M 2 als Lösungsmenge von (f 1 (x)) 2 + (f 2 (x)) 2 = 0. (A5) Aussagenlogik I (3+3 Punkte) a) Formulieren Sie die folgenden Aussagen jeweils formal mit Hilfe der in der Vorlesung vorgestellten Symbole, und entscheiden Sie, welche dieser Aussagen wahr und welche falsch sind: Bitte wenden!

4 Für jede natürliche Zahl x und jede natürliche Zahl z gibt es eine natürliche Zahl y mit x = y + z. Formal können wir die Aussage schreiben als x N z N y N : x = y + z. Diese Aussage ist falsch, denn wenn z x, finden wir keine natürliche Zahl y, welche die Gleichung löst. Für jede natürliche Zahl x > 1 gibt es eine natürliche Zahl y und eine natürliche Zahl z, so dass x = y + z. Formal können wir die Aussage schreiben als x N : (x > 1) = ( y N z N : x = y + z). Diese Aussage ist richtig, denn wenn x > 1 ist, ist x 1 ebenfalls eine natürliche Zahl, so dass wir zum Beispiel y = 1 und z = x 1 wählen können, um die Gleichung x = y + z zu erfüllen. Bemerkung: Man kann die Aussage auch anders schreiben, nämlich als x {n N n > 1} y N z N : x = y + z. Für jede natürliche Zahl x gibt es eine natürliche Zahl y, so dass x > y. Formal können wir die Aussage schreiben als x N y N : x > y. Diese Aussage ist falsch, denn für x = 1, finden wir keine solche natürliche Zahl y. b) Formulieren Sie auch die Negationen dieser Aussagen formal und in natürlicher Sprache. Die Negation der ersten Aussage lautet in formaler Schreibweise x N z N y N : x y + z. In Worten: Es existieren natürliche Zahlen x und z, so dass für alle natürlichen Zahlen y gilt, dass x y + z. Schöner ausgedrückt: Es existieren natürliche Zahlen x und z, so dass für keine natürliche Zahl y die Gleichung x = z + y lösbar ist. Diese Aussage ist wahr, wie wir uns schon überlegt hatten, denn x = z = 1 ist eine solche Wahl. Die Negation einer Implikation A = B ist äquivalent zur Aussage A ( B), wie Sie in Aufgabe (A6) zeigen sollen. Die Negation der zweiten Aussage lässt sich in formaler Schreibweise also schreiben als x N : (x > 1) ( y N z N : x y + z). Siehe nächstes Blatt!

5 In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl x > 1, so dass für alle natürlichen Zahlen y und z die Gleichung x = y + z falsch ist. Schöner ausgedrückt: Es existiert eine natürliche Zahl x > 1, welche sich nicht als Summe zweier natürlicher Zahlen schreiben lässt. Diese Aussage ist falsch, da wir ja bereits gesehen haben, dass ihr Gegenteil wahr ist. Bemerkung: Benutzt man stattdessen die alternative Formulierung der Aussage, so ist die formale Negation etwas einfacher, nämlich x {n N n > 1} y N z N : x y + z. Inhaltlich ist dies dieselbe Aussage wie zuvor. Die Negation der dritten Aussage können wir schreiben als x N y N : x y. In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl, welche kleiner oder gleich jeder natürlichen Zahl ist. Diese Aussage ist wie wir schon argumentiert haben wahr, denn x = 1 ist eine solche Zahl. (A6) Aussagenlogik II (3+3 Punkte) Die folgenden Aussagen sind wichtige Tautologien, da sie jeweils Grundprinzipien für Beweismethoden liefern. ((A = B) (B = C)) = (A = C) (A = B) (( B) = ( A)) ( (A = B)) (A ( B)) Die erste Tautologie liegt dem direkten Beweis zugrunde, die zweite Tautologie begründet den Beweis durch Kontraposition, und die dritte Tautologie führt mit dem Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten zum Beweis durch Widerspruch. 1 a) Formulieren Sie für jede der aussagenlogischen Formeln zunächst ein Beispiel, entweder aus der Mathematik oder aus dem täglichen Leben. Beispiele zur ersten Tautologie: A= Es ist draußen unter 0 Grad. B= Ich finde es kalt. C= Ich ziehe beim Hinausgehen Handschuhe an. Wenn ich es kalt finde, falls es draußen unter 0 Grad sind, und ich Handschuhe anziehe, wenn ich es kalt finde, dann ziehe ich Handschuhe an, wenn es draußen unter 0 Grad sind. 1 Genaueres zu diesen Beweismethoden folgt demnächst in der Vorlesung, hier ist dies nur der Kontext der Aufgabe. Bitte wenden!

6 Oder mathematisch: A= Die natürliche Zahl n ist durch 12 teilbar. B= Die natürliche Zahl n ist durch 4 teilbar. C= Die natürliche Zahl n ist durch 2 teilbar. Aus den Tatsachen, dass jede durch 12 teilbare natürliche Zahl durch 4 teilbar ist, und jede durch 4 teilbare natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, folgt, dass jede durch 12 teilbare natürliche Zahl durch 2 teilbar ist. Beispiele zur zweiten Tautologie: A= Es ist mittwochs 9 Uhr. B= Wir sind im Hörsaal H2. Wenn es mittwochs 9 Uhr ist, dann sind wir im Hörsaal H2. ist äquivalent zur Aussage Wenn wir nicht im Hörsaal H2 sind, dann kann es nicht mittwochs 9 Uhr sein. Oder mathematisch: A= Die natürliche Zahl n ist größer als 10. B= Die natürliche Zahl n ist größer als 5. Wenn die natürliche Zahl n größer als 10 ist, dann ist sie größer als 5. ist äquivalent zur Aussage Wenn die natürliche Zahl n kleiner oder gleich 5 ist, dann ist sie auch kleiner oder gleich 10. Beispiele für die dritte Tautologie: A= Ich bin aufgestanden. B= Ich bin wach. Aus der Tatsache, dass ich aufgestanden bin, folgt nicht, dass ich wach bin. ist äquivalent zur Aussage Ich bin aufgestanden und ich bin nicht wach. Oder mathematisch: A= Alle Primzahlen, die größer als 2 sind, sind ungerade. B= 3 ist ungerade. Aus der Tatsache, dass jede Primzahl größer als 2 ungerade ist, folgt nicht, dass 3 ungerade ist. ist äquivalent zur Aussage Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade und 3 ist gerade (nicht ungerade). (Beide Aussagen sind natürlich falsch.) b) Zeigen Sie, dass die angegebenen Formeln tatsächlich Tautologien sind, d.h. für alle möglichen Wahrheitswerte von A, B und C wahre Aussagen liefern. Die Tabelle zum Beweis der ersten Tautologie sieht wie folgt aus: Siehe nächstes Blatt!

7 A B C A = B B = C (A = B) (B = C) A = C ((A = B) (B = C)) = (A = C) w w w w w w w w w w f w f f f w w f w f w f w w w f f f w f f w f w w w w w w w f w f w f f w w f f w w w w w w f f f w w w w w Die Tabelle zum Beweis der zweiten Tautologie hat folgende Form: A B A = B B A ( B) = ( A) (A = B) (( B) = ( A)) w w w f f w w w f f w f f w f w w f w w w f f w w w w w Die Tabelle zum Beweis der dritten Tautologie hat folgende Form: A B A = B (A = B) B A ( B) (A = B) (A ( B)) w w w f f f w w f f w w w w f w w f f f w f f w f w f w