Operations Research. Die Simplexmethode. LP-Dualität. Die Simplexmethode. Rainer Schrader. 18. Juni Zur Erinnerung: Gliederung

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1 Operations Research Rainer Schrader Die Simplexmethode Zentrum für Angewandte Informatik Köln 18 Juni 00 1 / 1 / 1 Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode Zur Erinnerung: wir haben ein LP-Dualität lineares Programm (LP) wie folgt definiert: max c T x Ax b Dualisierung führt auf das folgende duale Programm min b T y y T A = c y 0 (1) () wir schreiben das duale Programm in der folgenden Form: max b T y A c 4 A5 y 4 c5 I 0 () / 1 4 / 1

2 max b T y A c 4 A5 y 4 c5 I 0 das dazu duale Programm lautet: mit x = v u ergibt sich daraus und dies ist äquivalent zu min cu cv + 0w Au Av Iw = b u, v, w 0 min cx Ax b max cx Ax b damit ist das Duale des Dualen wieder das Primale LP-Dualität () Beispiel: Wir betrachten das Problem min x 1 x + 1 x sd x 1 + x x 1 x 1 + 4x x / x 1 0 Dieses lineare Programm ist äquivalent zu LP-Dualität max x 1 + x 1 x sd x 1 x + x 1 x 1 + 4x x / x / 1 6 / 1 LP-Dualität LP-Dualität Dieses lineare Programm ist äquivalent zu max x 1 + x 1 x sd x 1 x + x 1 x 1 + 4x x / x 1 0 Dual dazu ist das lineare Programm min y 1 + y sd y 1 + y y = y 1 + 4y = 1 y 1 y = 1/ y 1, y, y 0 Dual dazu ist das lineare Programm min y 1 + y sd y 1 + y y = y 1 + 4y = 1 y 1 y = 1/ y 1, y, y 0 Das letzte lineare Programm ist zb äquivalent zu max y 1 y sd y 1 y y 1 + 4y = 1 y 1 + y = 1/ y 1, y 0 / 1 8 / 1

3 allgemeine Form linearer Programme: wir betrachten das folgende primale Programm: max c T x + d T y Ax + By a Cx + Dy = b y 0 das zugehörige duale Programm lautet Beweis: Übungsaufgabe min u T a + v T b u T A + v T C = c T u T B + v T D d T u 0 LP-Dualität max c T x Ax b seien x primal und y dual zulässig min nach der schwachen Dualität gilt c T x b T y die KKT-Bedingungen lauten damit ergibt sich: A T y = c c T x b T y = 0 Ax b y 0 LP-Dualität b T y A T y = c y 0 (4) 9 / 1 10 / 1 Satz 1 (Starke Dualität) LP-Dualität Eine primal zulässige Lösung x ist genau dann optimal, wenn es eine dual zulässige Lösung y gibt mit der Eigenschaft c T x = b T y In diesem Fall ist y notwendigerweise dual optimal Beweis: nach Satz 15 ist x genau dann optimal, wenn es zusammen mit einem y die KKT-Bedingungen erfüllt dann ist genau dann der Fall, wenn gilt: x ist primal zulässig y ist dual zulässig c T x = b T y Korollar LP-Dualität Seien (P) und (D) ein Paar primal-dualer linearer Programme Dann gilt genau eine der folgenden Alternativen: (i) (P) und (D) sind unzulässig (ii) eines der beiden ist unbeschränkt, das andere unzulässig (iii) beide besitzen zulässige und damit auch optimale Lösungen Beweis: ist ein Programm unbeschränkt, so muss das andere wegen der schwachen Dualität unzulässig sein sind beide zulässig, so sind beide beschränkt und besitzen damit optimale Lösungen dann ist aber auch y notwendigerweise dual optimal 11 / 1 1 / 1

4 LP-Dualität LP-Dualität Beispiel für (i): max x 1 + x x 1 x 0 x 1 + x 1 min y y 1 y = 1 y 1 + y = 1 y 1, y 0 (5) Korollar (Satz vom komplementären Schlupf) Eine primal zulässige Lösung x ist genau dann optimal, wenn es eine dual zulässige Lösung y gibt mit der Eigenschaft y ist dann notwendigerweise dual optimal y T (b Ax) = 0 (6) die beiden Programme sind dual zueinander beide Polyeder sind offensichtlich leer Beweis: es gilt c T x b T y = (A T y) T x b T y = y T (Ax b) damit folgt die Behauptung aus Satz 1 es gilt stets y 0 und b Ax 0, damit gilt (6) nur, wenn y i = 0, falls b i a T i x > 0 1 / 1 14 / 1 Beispiel: primales Problem: das dazu duale Problem: min x 1 x + 1 x sd x 1 + x x 1 x 1 + 4x x / x 1 0 max y 1 y sd y 1 y y 1 + 4y = 1 y 1 + y = 1/ y 1, y 0 LP-Dualität Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode optimale Lösungen sind x 1 = 0, x = 1 9, x = 5 9, y 1 = 1 9, y = 5 18 mit c T x = = yt b 15 / 1 16 / 1

5 lineares Produktionsmodell lineares Produktionsmodell es sollen n Güter der Typen P 1, P,, P n produziert werden dazu werden die Rohstoffe R 1,, R m verwendet die ökonomischen Produktionsparameter seien a ij = benötigte Menge von R i zur Produktion einer Einheit von P j c j = Gewinn pro Einheit bei Produktion von P j b i = Anzahl Einheiten von R i im Vorrat gesucht ist ein Produktionsplan, der den Gewinn maximiert der optimale Produktionsplan ergibt sich als Lösung des folgenden linearen Programms: max c 1 x c n x n sd a 11 x a 1n x n b 1 a m1 x a mn x n b m x 1,, x n 0 was, wenn wir anstatt zu produzieren, den Vorrat an Rohstoffe verkaufen? welche Preise sollten die Rohstoffe mindestens erzielen? () 1 / 1 18 / 1 lineares Produktionsmodell der Preis der Rohstoffe sollte mindestens so groß sein wie der bei ihrer Verarbeitung erzielte Gewinn dies lässt sich durch das folgende lineare Programm ausdrücken: lineares Produktionsmodell Problem () ist in Matrixschreibweise» max c T» x A b x I 0 min b 1 y b m y m das dazu duale Problem ist sd a 11 y a m1 y m c 1 a 1n y a mn y m c n y 1,, y m 0 (8) min b T y A T y Iz = c y 0, z 0 wegen z 0 ist letzteres aber äquivalent mit (8): (9) die beiden Programme () und (8) sind dual zueinander: min b T y A T y c y 0 (10) die Preise y 1,, y m, die sich als Optimallösung von (8) ergeben, sind die sog Schattenpreise der Güter R 1,, R m 19 / 1 0 / 1

6 lineares Produktionsmodell Interpretation des komplementären Schlupfes: x i > 0 = (y T A) i = c i : wird im Optimum das i-te Produkt produziert dann kann durch den Verkauf der Rohstoffe nicht mehr Gewinn erzielt werden (y T A) i > c i = x i = 0: Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode kann durch den Verkauf der Rohstoffe mehr Gewinn erzielt werden so sollte das i-te Produkt nicht produziert werden 1 / 1 / 1 Zur Erinnerung: Simplexalgorithmus wir betrachten ein lineares Optimierungsproblem der Form: min c T x Ax = b x 0 das dazu duale lineare Programm ergibt sich als: max b T y A T y c seien x primal und y dual zulässig nach der schwachen Dualität gilt c T x b T y (11) (1) Simplexalgorithmus es gilt eine der drei Alternativen: das Problem ist unzulässig ({x 0 Ax = b} = ) die Zielfunktion ist unbeschränkt (min c T x = ) das Optimum wird in einer Ecke angenommen Ecken entsprechen Basislösungen sei r = rg A und v 0 v ist genau dann eine Ecke von P, wenn gilt: es existiert eine Indexmenge N mit N = n r v j = 0 für alle j N; nach der starken Dualität gilt c T x = b T y genau dann, wenn beide optimal sind die Teilmatrix A B der r Spalten A j mit Index j / N bildet eine Spalten-Basis von A (Basislösung) A B v B = b, A 1 B b 0 4 / 1 / 1

7 zentrale Idee des Simplexalgorithmus: Simplexalgorithmus untersuche die Basislösungen der beiden Zulässigkeitsbereiche P = {x R n Ax = b, x 0} P = {y R m A T y c} wir nehmen obda an, dass A vollen Zeilenrang m = rg A hat sei B N = {1,, n} eine Partition der Spaltenindices mit B = r die Partition der Indexmenge induziert eine Zerlegung des Problems Simplexalgorithmus dann lässt sich das primale System schreiben als wir nehmen weiter an, dass A B min c T B x B + c T N x N A B x B + A N x N = b x B, x N 0 vollen Rang hat dann ist eine Lösung des Gleichungssystems gegeben durch: x = (x B, x N ) mit x B = A 1 B b x N = 0 weiter ist x eine Ecke von P, falls zusätzlich x B = A 1 B b 0 in diesem Fall bildet A B eine zulässige Basislösung wir nennen die Indexmenge B dann auch selber eine Basis 5 / 1 6 / 1 Simplexalgorithmus Simplexalgorithmus entsprechend lässt sich das duale System schreiben als: wir haben B die folgenden Kandidaten für Lösungen zugeordnet: dann erfüllt y = (A T B ) 1 c B» max b T y A T B y A T N» cb c N das erste Teilsystem es gilt: x R n mit x B = A 1 B b, x N = 0 N y R m mit y = (A T B ) 1 c B (Z) x P x B 0 B weiter ist y zulässig für P, falls zusätzlich A T N y = A T N (A T B ) 1 c B c N da rg A = rg A B, ist y dann auch Ecke von P (Z ) y P A T N y c N weiter gilt c T x = c T B x B + c T N x N = (A T B y) T x B = y T A B x B = y T b wegen der starken Dualität sind x, y optimal, falls sie zulässig sind gesucht: eine Basis B so, dass sowohl x als auch y zulässig sind / 1 8 / 1

8 Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus das Simplexaltableau die primale Strategie ein Beispiel Bemerkungen zum Simplexalgorithmus die revidierte Simplexmethode Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Simplexalgorithmus Das Simplextableau traditionell wird in der Analyse des Simplexalgorithmus immer ein Basiswechsel vorgenommen dh die Spaltenvektoren werden bzgl der jeweiligen Basis A B dargestellt die Restriktion werden nicht dargestellt als: sondern in der Form: A 1 Ax = A B x B + A N x N = b B Ax = I Bx + A N x N = b mit A N = A 1 mit anderen Worten: sei A = A 1 B A B A N, b = A 1 B b dann erhalten wir eine äquivalente Formulierung des primalen Problems (11) in der Form min c T x sd Ax = b, x 0 9 / 1 0 / 1 analog für das duale System» A T A T y = B y sei y = (A T B ) 1 c B Das Simplextableau A T N» cb c N = c wir definieren die reduzierten Kosten c als den dualen Schlupf»»»» cb = c = c A T cb A T y = B c N c N AN T (AB T ) 1 0 B c B = c N AN T (AB T ) 1 c B dann haben wir c B = 0 B und c N = c N A T N (A T B ) 1 c B = c N A T N c B Das Simplextableau die ursprünglichen Zulässigkeitsbedingungen (Z) x P x B 0 B (Z ) y P AN T y c N gehen dann über in : (Z) x B = b 0 (Z ) c T N = c T N c T B A N = c T N y T A N 0 T N erfüllt x die Bedingung (Z ), so ist x primal zulässig erfüllt y die Bedingung (Z ), so ist y dual zulässig 1 / 1 / 1

9 wir setzen z = c T x, dann bedeutet der Basiswechsel: von den Ausgangsdaten z = c T x b = Ax Das Simplextableau» 0 c T B c T N geht man über zu dem Koeffizientenschema» z 0 T B c T N hierbei ist b I B A N b A B A N z = c T B b = c T x = c T B A 1 B b = bt y (1) das Parameterschema (1) ist das Indexmenge B rechnerisch ist es einfach zu ermitteln: Das Simplextableau Simplextableau bzgl der führe auf den Ausgangsdaten Pivotoperationen (elementare Zeilenoperationen) aus, bis in den B-Spalten die Teilmatrix» 0 T B erreicht ist die reduzierten Kosten entsprechen der ersten Zeile des Tableaus I B / 1 4 / 1 Das Simplextableau Das Simplextableau man beachte: die Variablen x i mit Index i B heißen Basisvariablen (bzgl B) links oben steht der negative Zielfunktionswert bzgl der gerade betrachteten Basisvektoren x und y in der Literatur wird das Simplextableau daher oft mit den negativen Kostenkoeffizienten angegeben:»» 0 c T B c T N z 0 T B c T N b A B A N b I B A N die x j mit j N sind die Nichtbasisvariablen bei einem Simplextableau gehen wir immer von einer Problemformulierung vom Typ (11) aus: min c T x Ax = b x 0 (14) insbesondere unterstellen wir automatisch, dass x nichtnegativ sein soll 5 / 1 6 / 1

10 Idee des Simplexverfahrens: Das Simplextableau wir starten mit einer Basis gegeben durch die Indexmenge B sind die zugehörigen Basislösungen x, y primal und dual zulässig: stop andernfalls verändern wir B zu B = B i j und iterieren dabei versuchen wir, von einer Ecke zu einer Nachbarecke zu gehen und zwar so, dass die Zielfunktionswerte in den Ecken schwach monoton steigen Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus das Simplexaltableau die primale Strategie ein Beispiel Bemerkungen zum Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode / 1 8 / 1 Die primale Strategie Die primale Strategie wir unterscheiden im wesentlichen zwei Strategien wir nehmen an, wir hätten (irgendwie) eine Basis B gefunden derart, dass das zugehörige Simplextableau primal zulässig ist, primale Strategie: x ist stets primal zulässig das Verfahren stoppt, wenn y dual zulässig ist dh sei A j der jte Spaltenvektor von A b = A 1 B b = x B 0 B duale Strategie: falls gilt: c j = c T B A j = c T B A 1 B A j 0 für alle j N y ist stets dual zulässig das Verfahren stoppt, wenn x primal zulässig ist so ist y dual zulässig und wir haben eine Optimallösung gefunden wir werden diese beiden Strategien im folgenden beschreiben 9 / 1 40 / 1

11 Die primale Strategie Die primale Strategie sei also c j < 0 für ein j N der einfachen Notation wegen nehmen wir an, wir hätten die Indices so umnumeriert, dass gilt: B = {1,, m} das Simplextableau sieht dann wie folgt aus: 6 4 z c m+1 c m+ c j c n b a 1,m+1 a 1,m+ a 1j a 1n b a,m+1 a,m+ a j a n 0 b k a k,m+1 a k,m+ a kj a kn 5 b m a m,m+1 a m,m+ a mj a mn es ist x j = 0 wir wollen x j erhöhen, da dadurch der Zielfunktionswert sinkt als Ausgleich müssen wir die Basisvariablen verändern wir unterscheiden die Fälle A j 0 und A j 0 41 / 1 4 / 1 Die primale Strategie Die primale Strategie 6 4 z c m+1 c m+ c j c n b a 1,m+1 a 1,m+ a 1j a 1n b a,m+1 a,m+ a j a n 0 b k a k,m+1 a k,m+ a kj a kn z c m+1 c m+ c j c n b a 1,m+1 a 1,m+ a 1j a 1n b a,m+1 a,m+ a j a n 0 b k a k,m+1 a k,m+ a kj a kn 5 b m a m,m+1 a m,m+ a mj a mn b m a m,m+1 a m,m+ a mj a mn ist A j 0, so können wir andernfalls: es existieren i mit a ij > 0: x j beliebig erhöhen die Basisvariablen zum Ausgleich ebenfalls erhöhen wenn wir x j erhöhen, müssen wir x i um a ij x j senken den Zielfunktionswert beliebig klein machen bis die erste dieser Variablen auf Null gefallen ist 4 / 1 44 / 1

12 ist A j 0, so können wir Die primale Strategie x j beliebig erhöhen die Basisvariablen zum Ausgleich ebenfalls erhöhen den Zielfunktionswert beliebig klein machen andernfalls: es existieren i mit a ij > 0: wenn wir x j erhöhen, müssen wir x i um a ij x j senken bis die erste dieser Variablen auf Null gefallen ist dh wir suchen einen Koeffizienten a kj > 0 mit der Eigenschaft b k a kj j ff bi = min a ij > 0 i a ij (15) Lemma 4 Sei B primal zulässig Die primale Strategie (i) Ist A j 0, dann ist das Problem (11) unbeschränkt (ii) Wird andernfalls der Index k gemäß der Pivotregel (15) definiert, dann ist B = (B {j}) \ {k } primal zulässig Beweis: (i) im Fall A j 0 betrachten wir ein beliebiges λ > 0 und setzen dann ist x R n x j = λ x i = b i a ij λ (i B) x l = 0 (l N \ {j}) wieder primal zulässig das nach (15) bestimmte Element a kj heißt Pivotelement 45 / 1 46 / 1 Die primale Strategie Die primale Strategie x j = λ x i = b i a ij λ (i B) x l = 0 (l N \ {j}) Simplexalgorithmus (1) bestimme eine primal zulässige Basis B () sind alle reduzierten Kosten c j, j N nichtnegativ: der Zielfunktionswert ist c T x = c T B b c T B A j λ + c j λ = c T B b + c j λ (wenn λ + ) () dann ist eine Optimallösung gefunden mit x B = b und x N = 0 N (ii) führe elementare Zeilenoperationen auf dem Simplextableau so aus, dass die j te Spalte in den k ten Einheitsvektor überführt wird (4) andernfalls wähle j N mit c j < 0 (5) ist A j 0: stop (das Problem ist unbeschränkt) (6) andernfalls berechne gemäß (15) eine neue Basis B und gehe zu () alle Spalten bzgl B \ {k } bleiben dann Einheitsvektoren und die Fortschreibung von b ergibt b k = b k /a kj 0 b i = b i a ij b k /a kj 0 4 / 1 48 / 1

13 Die primale Strategie An dieser Stelle bleiben noch zwei Fragen offen: 1 wie findet man anfänglich eine primal zulässige Basis? terminiert die primale Strategie nach endlich vielen Iterationen? Bevor die Fragen beantworten, ein Beispiel und einige Bemerkungen zum Simplexverfahren Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus das Simplexaltableau die primale Strategie ein Beispiel Bemerkungen zum Simplexalgorithmus Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode 49 / 1 50 / 1 Beispiel: Wir betrachten das Problem x 60 min x 1 x x 100 x 1 +x 00 x 1 40 x 10 x 1 0, x 0 Beispiel Nach Einführen von Schlupvariabeln lautet es: Beispiel min x 1 x 1 6 x 1 + x +x = 100 x 1 +x +x 4 = 00 x 1 +x 5 = 40 x +x 6 = 10 x 1 0, x 0, x 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 wir stellen das Problem weiterhin im Raum der ursprünglichen Variablen dar zu leichteren Lesbarkeit erweitern wir die Tableaus um eine Zeile mit den Variablennamen offensichtlich ist die Basis B = {, 4, 5, 6} eine zulässige Basislösung x / 1 5 / 1

14 Beispiel min x 1 x 1 6 x 1 + x +x = 100 x 1 +x +x 4 = 00 x 1 +x 5 = 40 x +x 6 = 10 x 1 0, x 0, x 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 mit der Basis B = {, 4, 5, 6} hat das Tableau folgende Form: z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel die Basislösung entspricht der Ecke (0, 0) in den ursprünglichen Variablen z x x 4 x 5 x 6 x 1 x x x / 1 54 / z x x 4 x 5 x 6 x 1 x wir wählen zb die letzte Spalte als Pivotspalte nach Regel (15) ist min {100)/, 00/1, 10/1} = 10 damit ist die 4 Zeile die Pivotzeile Beispiel wir führen Zeilenoperationen aus, die die Spalte in den Einheitsvektor e 4 überführen: Mit der Basis B = {, 4, 5, 6} hat das Tableau folgende Form: z x x 4 x 5 x 6 x 1 x z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel 5 55 / 1 56 / 1

15 z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel 5 die Basis besteht jetzt aus, 4, 5, Spalte 5 ist jetzt die eindeutige Pivotspalte es ist x 1 = 0, x = 10, z = 40 ebenfalls eindeutig ist die Pivotzeile x x z x x 4 x 5 x 6 x 1 x 5 5 / 1 58 / 1 das neue Tableau lautet: z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel z x x 4 x 5 x 6 x 1 x z x x 4 x 5 x 6 x 1 x die Basis besteht jetzt aus 1,, 4, 5 es ist x 1 = 10, x = 10, z = 60 x Beispiel x / 1 60 / 1

16 z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel z x x 4 x 5 x 6 x 1 x Beispiel Das neue Tableau lautet: z x x 4 x 5 x 6 x 1 x die Basis besteht aus 1,, 5, 6 und ist optimal es ist x 1 = 00, x = 100, z = 400 x x / 1 6 / 1 Die Simplexmethode Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus das Simplexaltableau die primale Strategie ein Beispiel Bemerkungen zum Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Bemerkung 1: Bemerkungen falls c j < 0 für mehrere j N, so haben wir noch Wahlfreiheit dies führt zu verschiedenen Pivotregeln: wähle j N mit c j minimal (steilster Abstieg) wähle j N mit größter Änderung der Zielfunktion (größter Fortschritt) wähle j N mit j minimal ebenso kann es bei der Wahl des die Basis verlassenden Elements Freiheiten geben es ist keine Regel bekannt, die in solchen Fällen (mathematisch beweisbar) immer die beste Wahl trifft 6 / 1 64 / 1

17 Bemerkung : Bemerkungen Bemerkung : Bemerkungen seien B und B zwei primal zulässige Basislösungen sei B jetzt nicht primal sondern dual zulässige Basislösungen B und B sind benachbart, falls B = B k j damit erzeugt der Simplexalgorithmus eine Folge von jeweils benachbarten Basislösungen zwischen je zwei benachbarten Basislösungen fällt der Zielfunktionswert schwach dabei kann es passieren, dass die zu benachbarten Basislösungen gehörigen Ecken identisch sind eine Folge von Ecken zyklisch durchlaufen wird in beiden Fällen könnte das Verfahren im Kreis laufen und nicht terminieren dann können wir die primale Simplexstrategie auf dem dualen Programm ausführen die Vorgehensweise jedoch auf dem primalen Simplextableau interpretieren dies führt zur dualen Simplexstrategie es ergeben sich die analogen Aussagen die reduzierten Kosten c l sind alle nichtnegativ ist B nicht optimal, so existiert ein b k < 0 wir wählen die Spalte j (und folglich das Pivotelement a kj < 0) nach der Pivotregel j ff c j c l = max a k l < 0 (16) l a k l a kj 65 / 1 66 / 1 Lemma 5 Bemerkungen (i) Gilt a k l 0 für l = 1,, n, dann besitzt Problem (11) keine zulässige Lösung (ii) Ist der Index j gemäß der Pivotregel (16) bestimmt, dann ist B = (B {j}) \ {k } dual zulässig Beweis: (i) eine zulässige Lösung x 1,, x n also hätte man im Fall a k l 0: 0 > b k = ist nichtnegativ, nx a k l x l 0, l=1 (ii) sei nun a kj gemäß (16) gewählt Bemerkungen wir datieren das Simplextableau wieder so auf, dass die j te Spalte zum j ten Einheitsvektor wird, dann ergibt sich die erste Zeile des aufdatieren Tableaus so: subtrahiere c j mal die neue Zeile k vom reduzierten Kostenvektor c T 0 T der Koeffizient in Spalte l ist also c l = c l c j a k l /a kj 0 was nicht sein kann 6 / 1 68 / 1

18 Bemerkung 4: Bemerkungen Bemerkung 5: Bemerkungen die duale Strategie kann wie folgt hilfreich sein: sei B eine optimale Basislösungen für ein lineares Programm max c T x Ax b wir fügen eine weitere Ungleichung hinzu max c T x Ax b dx t dann bleibt B dual, aber nicht primal zulässig es ist nicht notwendig, immer das gesamte Simplextableau zu berechnen zu der Basis B {1,, n} kann man immer die notwendige Information direkt aus den Ausgangsparametern gewinnen: berechne b = A 1 B b als Lösung der Gleichung A Bx = b berechne y T = c T B A 1 B als Lösung der Gleichung A T B y = c B dann ergeben sich die reduzierten Kosten als c j < 0 c j y T A j < 0 dh c j < mx y i a ij i=1 und wir können mit B dual weiteriterieren diese Situation tritt ua bei Verfahren der ganzzahligen Optimierung auf 69 / 1 0 / 1 die j-te Spalte A j ergibt sich dann als A j = A 1 B A j Bemerkungen damit kann zb bei der primalen Strategie ein Pivotelement a kj nach der Regel (15) bestimmt werden und der Basiswechsel vorgenommen werden hierbei kann die Basisinverse A 1 B B B = (B {j}) \ {k } leicht fortgeschrieben werden diese kompakte Version der Simplexmethode ist als revidierte Simplexmethode bekannt Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode wir wenden uns jetzt der Frage zu, wie wir eine primal-zulässige Startbasis bestimmen dies geschieht in einem vorgelagerten Schritt, der Phase I heißt 1 / 1 / 1

19 wir betrachten das System Ax = b x 0 gesucht ist eine Basis B derart, dass x B = A 1 B b 0 Phase 1 wir können b 0 annehmen (ansonsten multipliziere mit ( 1)) wir betrachten das erweiterte lineare Programm min P m i=1 z i Iz + Ax = b x 0, z 0 (18) hat die Teilmatrix I als primal zulässige Basislösung damit können wir das Simplexverfahren für (18) durchführen (1) (18) Ax = b x 0 min P m i=1 z i Iz + Ax = b x 0, z 0 Phase 1 (1) besitzt genau dann eine zulässige Lösung, wenn (18) eine Optimallösung (x, z) mit Zielfunktionswert 0 besitzt, dh z 1 = = z m = 0 die Basis B einer solchen Optimallösung ergibt b als nichtnegative Linearkombination von linear unabhängigen Spalten von A diese können folglich zu einer zulässigen Spaltenbasis A B von A erweitert werden damit ist das gesuchte B gefunden (sofern (1) überhaupt lösbar ist) (1) (18) / 1 4 / 1 Phase 1 wir haben geklärt, wie wir eine primal-zulässige Basislösung finden es bleibt zu zeigen, dass das Verfahren terminiert insbesondere müssen wir das Zykeln vermeiden wir betrachten dazu die primale Strategie und verwenden eine modifizierte Pivotregel Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode (für die duale Strategie gelten analoge Aussagen) 5 / 1 6 / 1

20 wir starten mit einer primal-zulässigen Basislösung B Endlichkeit sei Endlichkeit α i = (b i, a i1,, a im ) (i = 0, 1,, m) wir nehmen am, dass B aus den ersten m Koordinaten besteht 6 4 dann sieht das Tableau wie folgt aus: z c m+1 c m+ c j c n b a 1,m+1 a 1,m+ a 1j a 1n b a,m+1 a,m+ a j a n 0 b k a k,m+1 a k,m+ a kj a kn b m a m,m+1 a m,m+ a mj a mn 5 dh in jeder Iteration besteht α i aus b i und den ersten m Einträgen der i-ten Zeile des Simplextableaus zu Beginn ist also (mit b 0 = z = b b m ): die Vektoren α 1,, α m α 0 b α = b α m b m 0 1 sind am Anfang linear unabhängig sie bleiben auch nach jedem Pivotschritt linear unabhängig / 1 8 / 1 Endlichkeit Endlichkeit ein Vektor x heißt lexikographisch positiv, wenn die kleinste Koordinate 0 positiv ist zb sind die Vektoren α 1,, α m alle lexikographisch positiv y ist lexikgraphisch größer als x, wenn der Differenzvektor y x lexikographisch positiv ist für je zwei Vektoren x und y gilt somit: x ist lexikographisch größer als y y ist lexikographisch größer als x x = y oder oder die lexikographische (primale) Pivotregel bestimmt das Pivotelement a kj in der Spalte j des Simplextableaus nun so, dass α k a kj j ff αi = lex-min a ij > 0 a ij dh wir wählen die Pivotzeile so, dass der Vektor minimal ist 1 a kj α k (19) lexikographisch da dann insbesondere die erste Komponente minimal ist, verschärft (19) die alte Regel j ff b k bi = min a ij > 0 (15) a kj i a ij der Index k ist eindeutig, da andernfalls die lineare Unabhängigkeit der α i verletzt wäre 9 / 1 80 / 1

21 Beispiel: wir betrachten das folgende Tableau: z x x 4 x 5 x 1 x x 6 die Pivotspalte ist eindeutig: j = als Pivotzeilen kommen i = 1 und i = in Frage für die Vektoren 1 a ij α i folgt: 1 a 1 α 1 = (5, 10, 4, 1) 1 a α = (5, 10, 5, 1) Endlichkeit nach der lexikographischen Regel wird Zeile als Pivotzeile gewählt 5 Lemma 6 Endlichkeit Sind α 1,, α m lexikographisch positiv, dann auch die entsprechenden α 1,, α m nach dem Pivotieren gemäß (19) Beweis: Division durch eine positive Zahl erhält die lexikographische Positivität also ist α k = α k /a kj für i k und a ij 0 ist α i lexikographisch positiv lexikographisch positiv, da α i = α i a ij a kj α k für i k und a ij > 0 folgt die Aussage aus α αi i = a ij α «k a ij a kj 81 / 1 8 / 1 Satz Endlichkeit Bei Anwendung der lexikographischen Pivotregel wird keine Basis wiederholt Damit ist die Anzahl der Iterationen endlich Beweis: der reduzierte Kostenkoeffizient c j ist negativ und α k lexikographisch positiv der erste Vektor α 0 ergibt sich als: α 0 = α 0 c j α k daher ist α 0 lexikographisch (echt) größer als α 0 damit sind alle Vektoren α 0 voneinander verschieden Zwischenfazit: Endlichkeit in der Phase 1 stellen wir entweder fest, dass das lineare Programm (11) keine zulässige Lösung besitzt, oder wir können (zb mit der lexikographischen Regel) eine zulässige Basis B berechnen haben wir B, dann können wir nun das Simplextableau zur tatsächlichen Zielfunktion aufstellen und weiterrechnen um Endlichkeit zu garantieren, kann man wieder die lexikographische Regel verwenden (nun relativ zur Startbasis B und nicht mehr zu I) damit ergibt sich: da das Tableau eindeutig von der Basis bestimmt wird, müssen auch alle Basen voneinander verschieden sein 8 / 1 84 / 1

22 Satz 8 Endlichkeit Ein lineares Programm ist entweder unzulässig oder unbeschränkt oder besitzt eine (optimale) Basis, die primal und dual zulässig ist Beweis: Wenn der Simplexalgorithmus stoppt, ist genau eine der im Satz behaupteten Eigenschaften nachgewiesen Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode Die Simplexmethode 85 / 1 86 / 1 Sensitivitätsanalyse sei B eine primal zulässige Basis für das lineare System Ax = b, x 0 für welche Zielfunktionsparameter c R n ist die zu B gehörige Basislösung x optimal? wir wissen: B ist optimal, wenn die reduzierten Kosten nichtnegativ sind: c T N = c T N c T B A 1 B A N 0 T N bzw (A 1 B A N ) T c B I N c N 0 N die dieser Ungleichung genügenden c sind genau die Elemente des polyedrischen Kegels Sensitivitätsanalyse ist B dual zulässig bzgl der festen Zielfunktionsparameter c, so stellt sich dual die Frage: für welche Restriktionsparameter b R m ist die zu B gehörige Basislösung x optimal? nach der primalen Zulässigkeit von b = A 1 B b 0 wieder erhalten wir einen polyedrischen Kegel: P( A 1 B, 0) dh für alle b, die in diesem Kegel liegen, bleibt B optimal P([A 1 B A N ) T I N ], 0) dh für alle c, die in diesem Kegel liegen, bleibt B optimal 8 / 1 88 / 1

23 Die Simplexmethode Die primal-duale Methode Gliederung LP-Dualität ein lineares Produktionsmodell der Simplexalgorithmus Phase I Endlichkeit des Simplexalgorithmus Sensitivitätsanalyse die primal-duale Methode wir betrachten wieder das folgende Paar dualer linearer Programme: min c T x Ax = b x 0 max b T y A T y c wir wollen jetzt das Konzept des komplementären Schlupfes ausnutzen Idee des Verfahrens: Wir erzeugen eine Folge (x i, y i ) von Vektoren, für die gilt: x i 0 y i ist dual zulässig x i und y i erfüllen die Komplementarität x i ist primal zulässig oder by i > by i 1 dh entweder sind (x i, y i ) optimal oder wir verbessern die duale Lösung 89 / 1 90 / 1 Die primal-duale Methode Die primal-duale Methode Annahme: wir kennen eine dual zulässige Lösung y und einen Vektor x 0 mit der Eigenschaft x j > 0 = y T A j = c j (j = 1,, n) min 1 T z Ãu + Iz = b u, z 0 (0) zb hat x = 0 trivialerweise diese Eigenschaft mit y T A j = c j für jede Spalten A j von à sei obda b 0 offensichtlich ist I eine primal zulässige Anfangsbasis für Problem (0) ist b = 0, so ist x = 0 optimal es kann somit mit der primalen Strategie gelöst werden wir nehmen daher P m i=1 b i > 0 an sei à die Teilmatrix aller Spalten A j von A mit der Eigenschaft sei (u, z ) eine Optimallösung falls ζ = 1 T z = 0, so gilt für x = (u, z ) = (u, 0): y T A j = c j wir betrachten das folgende lineare Optimierungsproblem x, y erfüllen die komplementären Schlupfbedingungen x ist primal zulässig für das Ausgangsproblem min 1 T z Ãu + Iz = b u, z 0 (0) 91 / 1 x, y sind folglich optimal 9 / 1

24 Die primal-duale Methode ist ζ > 0, so sei w eine dual optimale Lösung von (0) diese erfüllt ζ = b T w und ÃT w 0, w 1 für jede Spalte A l von A, die nicht zu à gehört, gilt: Al T y < c l also erfüllt der Vektor y = y + εw die duale Zulässigkeitsbedingung A T y c für ein genügend kleines ε > 0, aber liefert einen besseren Zielfunktionswert als y: b T y = b T y + εb T w = b T y + εζ > b T y wir können nun in gleicher Weise mit y anstelle von y verfahren 9 / 1