GTI. Hannes Diener. 18. Juni. ENC B-0123,

Transkript

1 GTI Hannes Diener ENC B-0123, 18. Juni 1 / 32

2 Als Literatur zu diesem Thema empfiehlt sich das Buch Theoretische Informatik kurzgefasst von Uwe Schöning (mittlerweile in der 5. Auflage, von der 4. Auflage sind mehrere in der Unibib ausleihbar). 2 / 32

3 Kommen wir als nächstes zu unserem zweiten Ansatz zur Berechenbarkeit. Diesmal werden wir Berechenbarkeit über eine idealisierte (und extrem vereinfachte) Programmiersprache definieren. 3 / 32

4 Definieren wir zunächst die Syntax; d.h. wie unsere Programme formal aufgebaut sein müssen. Unsere Programme sind aus folgenden syntaktischen 1 Komponenten aufgebaut: Variablen: x 0, x 1,... Konstanten: 0, 1,... Trennsymbole: ; := Operationssymbole: +, Schlüsselwörter: LOOP, DO, END 1 Prinzipiell ist dies kein Alphabet, selbst wenn wir z.b. LOOP als ein Symbol auffassen. Das Problem ist, daß es unendlich viele Variablen und Konstanten gibt. Hier kann man sich mit dem folgendem angedeuteten Trick behelfen: Als Variablen verwenden wir x, x,.... Auf diese Weise benötigt man nur zwei Symbole x, zur Darstellung aller Variablen. 4 / 32

5 LOOP-Programme sind jetzt induktiv definiert 2 : Jede Zuweisung der Form x i := x j + c und x i := x j c ist ein LOOP-Programm. Sind P 1 und P 2 LOOP-Programme, so auch P 1 ; P 2 Ist x i eine Variable und P ein LOOP-Programm, so ist LOOP x i DO P END ein LOOP-Programm. 2 In einer Übung werden Sie eine alternative Definition über eine Grammatik definieren. 5 / 32

6 LOOP-Programme sind bis zu dieser Stelle vollkommen bedeutungslos. 3 D.h. zunächst nur formale Wörter ohne Bedeutung. Ihre Semantik müssen wir ihnen als nächstes geben. 3 Wortspiel 6 / 32

7 Definition Eine Speicherbelegung σ ist eine totale Funktion mit Werten in den natürlichen Zahlen definiert auf der Menge aller Variablen {x 0, x 1,... }. Ist σ nur auf endlich vielen Werten x i1,..., x ik nicht null 4, so schreiben wir in Zeichen Also z.b. [x i1 σ(x i1 ),..., x ik σ(x ik )]. [x 1 5, x 3 42, x 42 3]. Des Weiteren sei σ[x i n] die Speicherbelegung, die definiert ist durch { σ(x j ) falls i j σ[x i n](x j ) = n sonst. 4 D.h. also daß z.b. [x 1 3](x 5) = 0. 7 / 32

8 Wir können nun induktiv eine Übergangsrelation definieren, welche beschreibt, welchen Effekt LOOP-Programme auf Speicherbelegungen hat. Sei hierfür LOOP die Menge aller LOOP-Programme und S die Menge aller Speicherbelegungen. Dann ist (LOOP S) S definiert durch Ist P eine Zuweisung der Form x i := x j + c, so ist P σ σ[x i n], wobei n = σ(x j ) + c. Ist P eine Zuweisung der Form x i := x j c, so ist P σ σ[x i n], wobei n = max{σ(x j ) c, 0}. 8 / 32

9 Gilt P 1 σ σ und P 2 σ σ, so gilt auch P 1 ; P 2 σ σ Ist P von der Form LOOP x i DO Q END, σ(x i ) = n und so gilt Q; Q;... Q σ σ }{{} n mal P σ σ. Man beachte, daß Q zwar die Variable x i verändern darf, dies aber keinen Einfluss darauf hat, wie oft Q durchlaufen wird. 9 / 32

10 Satz Sei P ein Programm und σ eine Speicherbelegung. Dann gibt es genau eine Speicherbelegung σ, so daß P σ σ. Insbesondere gilt dies natürlich, wenn σ eine Start-Speicherbelegung ist. 10 / 32

11 Bevor wir wieder formal einen entsprechenden Berechenbarkeitsbegriff einführen ein Beispiel Sei P = LOOP x 1 DO x 2 := x END; x 1 := x Des Weiteren sei σ 1 = [x 1 3, x 2 2] Dann gilt, mit obiger Definition: (x 2 := x 2 + 1) σ 1 σ 1 [x 2 3] (x 2 := x 2 + 1) σ 1 [x 2 3] σ 1 [x 2 4] Zusammen also (x 2 := x 2 + 1); (x 2 := x 2 + 1) σ 1 σ 1 [x 2 4] 11 / 32

12 Etwas weniger ausführlich machen wir weiter: (x 2 := x 2 +1); (x 2 := x 2 +1); (x 2 := x 2 +1) σ 1 σ 1 [x 2 5] Also, da σ 1 (x 1 ) = 3 LOOP x 1 DO x 2 := x END; σ 1 σ 1 [x 2 5] In einem letzten Schritt P σ 1 [x 1 5, x 2 5] 12 / 32

13 In der Variable x 1 steht also nach Ausführen des Programms P eine 5, was genau die Summe von 2 und 3 entspricht. Allgemein kann man leicht beweisen, daß P [x 1 m, x 2 n] [x 1 m + n, x 2 m + n]. In gewisser Weise berechnet das Programm P also die Addition! 13 / 32

14 In gewisser Weise berechnet das Programm P also die Addition! In welcher Weise genau? Definition Die von P berechnete (k-stellige) Funktion P k : N k N ist definiert durch P k (n 1,..., n k ) = σ (x 1 ), wobei σ die nach obigen Satz die eindeutige Speicherbelegung ist, für die gilt, daß P [x 1 n 1,..., x k n k ] σ 14 / 32

15 Beobachtung Für ein LOOP-Programm P ist P k eine totale Funktion Dies ist schon ein erster Hinweis, daß der Begriff der LOOP-Berechenbarkeit nicht unserem intuitiven Begriff der Berechenbarkeit entspricht, da wir in der Einführung ja gesagt hatten, daß es auch partielle berechenbare Funktionen gibt. 15 / 32

16 Natürlich definieren wir Definition Eine Funktion f : N k N ist LOOP-berechenbar, wenn es ein LOOP-Programm P gibt, so daß P k = f. 16 / 32

17 Syntaktischer Zucker: Normalerweise enthalten imperative Programmiersprachen bedingte Anweisungen. Diese können wir mit einem Trick simulieren (d.h. wir müssen diese nicht extra zu unserer Sprache hinzufügen). Hierzu sei für ein LOOP-Programm P und eine Variable x i IF x i THEN P END die abkürzende Schreibweise für x j := 1; LOOP x i DO x j := 0 END; LOOP x j DO P END; x j := 0; wobei x j eine Variable ist, die nicht in P vorkommt. 17 / 32

18 Syntaktischer Zucker: Dies hat genau den gewünschten Effekt: Gilt P σ σ und ist σ(x i ) = 0, so kann man leicht zeigen, daß IF x i = 0 THEN P END σ σ Für σ(x i ) 0 kann man analog zeigen, daß IF x i = 0 THEN P END σ σ 18 / 32

19 Mit diesen syntaktischen Kohlenhydraten gestärkt können wir jetzt leicht zeigen: Satz Die Addition, (abgeschnittene) Subtraktion, Differenz, Multiplikation, Division (ohne Rest) und die Mod-Funktion (der Rest einer Division) sind alle LOOP berechenbar. 19 / 32

20 Einschub: λ Notation. In der Definition Sei f eine Funktion, definiert durch f (n) = n ist der Name f der Funktion ja eigentlich irrelevant; insbesondere, wenn wir uns später nicht mehr darauf beziehen. Die Lösung sind anonyme Funktionen in Churchs Lambda-Notation: λx.t(x) wobei x eine Variable und t ein Term ist, und für die Funktion steht, die jedes x auf t(x) abbildet. Also in unserem Beispiel λn.n / 32

21 Einschub: λ Notation. In der Definition Sei f eine Funktion, definiert durch f (n) = n ist der Name f der Funktion ja eigentlich irrelevant; insbesondere, wenn wir uns später nicht mehr darauf beziehen. Die Lösung sind anonyme Funktionen in Churchs Lambda-Notation: λx.t(x) wobei x eine Variable und t ein Term ist, und für die Funktion steht, die jedes x auf t(x) abbildet. Also in unserem Beispiel λn.n Diese Notation macht auch den Unterschied zwischen Termen und Funktionen klarer. 20 / 32

22 Mehr Syntaktischer Zucker: Ist P ein Programm, so steht der Ausdruck x j := P(x i1,..., x ik ) abkürzend für das Programm x j1 := x 1 ; x 1 := x i1 ;... ; x jk := x k ; P; x j := x 1 ; x 1 := x j1 ;... x k := x jk wobei die Variablen x j1,..., x jk frische Variablen sind, d.h. nirgendwo sonst verwendet werden. Sei beispielsweise ADD das oben behandelte erste Beispiel eines LOOP-Programms. So können wir nun auch, mit etwas Streuen von syntaktischen Zucker, auch Befehle wie x 4 := ADD(x 1, x 2 ) verwenden. 21 / 32

23 LOOP Funktionen sind ausserdem unter einer Vielzahl von Operationen abgeschlossen. Z.B. Fallunterscheidung: Lemma Sind f, g, h : N N LOOP-berechenbar, so auch die Funktion F : N N definiert durch { g(n) falls h(x) = 0 F (n) = f (n) falls h(x) 0 LOOP berechenbar. Beispiel: Die 3n + 1 Funktion. 22 / 32

24 Noch ein weiteres Beispiel: Beispiel Die Fakultätsfunktion λn.n! ist LOOP-berechenbar. 23 / 32

25 Dies ist ein Spezialfall der folgenden primitiven Rekursion Ist h : N 2 N eine Funktion und g N ein Wert, und sei f : N N definiert durch f (0) = g und f (n + 1) = h(n, f (n)); Satz Ist h LOOP berechenbar, so auch die Funktion f. 24 / 32

26 Mehr noch: wir können alles natürlich noch von k Parametern abhängen lassen. Also Definition Sind h : N k+2, g : N k N und f : N k+1 N Funktionen, so daß f (0, y 1,..., y k ) = g(y 1,..., y k ) f (n + 1, y 1,..., y k ) = h(n, f (n, y 1,..., y k ), y 1,..., y k ). So sagen wir, daß f durch primitive Rekursion aus g und h hervorgeht. Satz LOOP-Programme sind unter primitiver Rekursion abgeschlossen; d.h. sind f, g, h wie oben und g, h LOOP-berechenbar, so ist auch f LOOP-berechenbar. 25 / 32

27 WHILE-Programme weiteres Konstrukt. Wie schon angedeutet umfasst der Begriff der LOOP-Berechenbarkeit nicht alle intuitiv berechenbaren Funktionen (konkretes Beispiel später in Form der Ackermann-Funktion). Wir erweitern deshalb unsere Programmiersprache um ein 26 / 32

28 Definition Die Menge der WHILE-Programme ist genauso definiert wie die LOOP-Programme, aber zusätzlich ist auch, wenn P ein WHILE-Programm ist und x i eine Variable, so ist auch WHILE x i 0 DO P END ein WHILE-Programm. 27 / 32

29 Die Semantik der WHILE-Programme ist auch definiert wie die der LOOP-Programme, allerdings gilt zusätzlich: Sind σ 1, σ 2,..., σ n Speicherbelegungen so daß σ j (x i ) 0 für j < n und σ n (x i ) = 0 und P σ j σ j+1 für j < n, so gilt WHILE x i 0 DO P END σ 1 σ n. Ist σ eine Speicherbelegung, so daß σ(x i ) = 0, so gilt WHILE x i 0 DO P END σ σ. 28 / 32

30 Beobachtung LOOP-Schleifen können durch WHILE-Schleifen ersetzt werden. 29 / 32

31 Alle Beobachtungen über LOOP-Programme übertragen sich analog auch auf WHILE-Programme. Mit einer Ausnahme: Beispiel Es gibt WHILE-Programme P und Speicherbelegungen σ, so daß es keine Speicherbelegung σ gibt, mit P σ σ. Trotzdem gilt noch die Eindeutigkeit. Satz Ist P ein WHILE-Programm σ, σ Speicherbelegungen mit P σ σ, so ist σ eindeutig. 30 / 32

32 Definition Die von einem WHILE-Programm P berechnete (k-stellige) partielle Funktion P k : N k N ist definiert durch P k (n 1,..., n k ) = { σ (x 1 ) falls P [x 1 n 1,..., x k n k ] σ falls es kein solches σ gibt., Natürlich definieren wir auch hier Definition Eine partielle Funktion f : N k N ist WHILE-berechenbar, wenn es ein WHILE-Programm P gibt, so daß P k = f. 31 / 32

33 Beispiel Die Funktion sqrt : N N definiert durch { n falls n Qudratzahl ist sqrt(n) = sonst ist WHILE-berechenbar. 32 / 32