Klausur zur Vorlesung

Transkript

1 Intitut für Thermodynamik 11. Augut 2010 Techniche Univerität Braunchweig Prof. Dr. Jürgen Köhler Klauur zur Vorleung Wärme- und Stoffübertragung Für alle Aufgaben gilt: Der Rechen- und Gedankengang mu erkennbar ein! Interpolationvorchriften und Stütztellen ind anzugeben. Hilfmittel ind zugelaen, Verwenden Sie, ofern benötigt, die Gröberdiagramme au dem Skript. Die Bearbeitungzeit beträgt 90 Minuten. Fall Eratzergebnie angegeben ind, müen diee auf jeden Fall verwendet werden. Aufgabe 1: Strahlung 14 von 50 Punkten Kurzfrage: Welche grundätzliche mathematiche Vorgehen mu gewählt werden, um au einer gegebenen gerichteten, pektralen Autrahlung auf eine hemiphäriche pektrale Autrahlung zu chließen? Eine Kugel mit einem Durchmeer von 10 cm liegt auf einer im Verhältni zu den Abmaßen der Kugel ehr großen, ebenen Glaplatte. Die im relevanten Wellenlängenbereich opake Glaplatte hat einen Reflektiongrad von 0,2. Die Kugel it ein chwarzer Strahler. Die Kugel hat eine homogene Temperatur von 180 C und gibt einen Strahlungwärmetrom von 40 W an die Platte ab, die ebenfall eine homogene Temperaturverteilung aufweit. a) Gegen welchen Wert geht der Sichtfaktor F KP von der Kugel auf die Platte? Gegen welchen Wert geht der Sichtfaktor F P K von der Platte auf die Kugel? (Fall Sie die Ergebnie nicht durch eine Rechnung ermitteln, begründen Sie Ihre Antwort knapp in Worten und ggf. mit einer Skizze.) b) Wie groß ind die Emiionkoeffizienten von Kugel und Platte? c) Welche Temperatur hat die Platte? Rechnen Sie dabei o, al ob keine Wechelwirkung mit anderen trahlenden Flächen (abgeehen von Kugel und Platte) aufträte. d) Wie groß it die totale, hemiphäriche Autrahlung der Kugel? e) It die pektrale, hemiphäriche Autrahlung der Kugel bei 6,2 µm oder bei 6,3 µm größer? Denken Sie daran, Ihre Antwort zu begründen! 1

2 Löung zu Aufgabe 1: KF: E mu eine Integration über den geamten Halbraum durchgeführt werden. a) Alle Strahlen, die nach oben gehen, treffen nie auf die Platte. Alle Strahlen, die nach unten gehen, treffen bei einer ehr großen Platte irgendwann auf die Platte. Der Sichtfaktor it alo 0,5. b) Die Kugel it lt. Aufgabe ein chwarzer Strahler, d.h., der Emiionkoeffizient it 1. Die Platte lät keine Strahlung durch (opak) und reflektiert 0,2. Alo aborbiert ie einen Anteil von 0,8. Emiionkoeffizient = Aborptionkoeffizient = 0,8. c) E kann Gleichung verwendet werden. Von den drei Summanden im Nenner wird der erte zu Null, da ɛ 1 = 1. Der dritte Summand geht ebenfall gegen Null, da A 2 A 1. Genau genommen geht er nicht gegen Null wird aber irrelevant klein gegenüber dem mittleren Summanden. Darau ergibt ich mit A 1 = 0, 0314 m 2 eine Plattentemperatur von 374,7K. d) Mit Hilfe de Stefan-Boltzmann-Geetze ergibt ich M = 75, 1 W e) Da Wienche Verchiebunggeetz liefert für einen Körper mit einer Temperatur von 180 C = 453,15K eine maximale Abtrahlung bei 6, 39µm. 6, 3µm liegt damit definitiv näher am Maximum al 6, 2µm und hat omit eine höherer Autrahlung. 2

3 Aufgabe 2: Beheizter Würfel 16 von 50 Punkten Kurzfrage: Welche Gechwindigkeit it im Bereich de Blaenieden die charakteritiche Gechwindigkeit, die z.b. zur Bildung einer Re-Zahl verwendet werden kann. Ein Würfel mit einer Oberfläche von 24 cm 2 hängt an einem dünnen Draht in ruhender Luft, die eine Temperatur von 50 C beitzt. Durch den Draht wird der Würfel mit elektrichem Strom verorgt, o da der Würfel von innen beheizt werden kann. Der Würfel it au Silber und oll aufgrund der guten thermichen Leitfähigkeit von Silber tet eine einheitliche Temperatur haben. Wärmeübertragung durch Strahlung oll zur Vereinfachung der Aufgabe volltändig vernachläigt werden. Hinwei: Sie finden Stoffdaten zu Silber im Anhang de Skript. a) Zunächt wird dem Würfel über lange Zeit eine elektriche Leitung von 1,75 W zugeführt. Welche Temperatur tellt ich im Würfel ein? (Gehen Sie zunächt von einem Schätzwert der Würfeltemperatur von 90 C au, um evtl. erforderliche Stoffwerte betimmen zu können) b) Dann wird die elektriche Leitung auf 1 W geenkt. Auf welche Temperatur inkt der Würfel nach langer Zeit? (Gehen Sie vereinfachend davon au, da der Wärmeübergangkoeffizient zwichen Würfel und Luft den gleich Wert wie unter a) annimmt) c) Im vorherigen Aufgabenteil it vereinfachend davon augegangen worden, da der Wärmeübergangkoeffizient kontant bleibt. Wird der tatächliche Wärmeübergangkoeffizient durch diee Vereinfachung unter- oder überchätzt? d) Auf welche Temperatur it der Würfel 5 Minuten nach der Reduktion der elektrichen Leitung von 1,75 W auf 1 W geunken? (Gehen Sie bei dieem Aufgabenteil von einem Wärmeübergangkoeffizienten von α = 17 W K m au.) 3

4 Löung Aufgabe 2 KF: Nach einem Vorchlag von Roenow handelt e ich um die cheinbare Gechwindigkeit, mit der ich die Flüigkeit auf die Verdampferoberfläche zu bewegt. Sie berechnet ich al w = q ρ f h v a) Stationärer Zutand: Ẇ el = Q ab = 1,75W = αa T, mit T = T W T U A = 24 cm 2, α kann ermittelt werden, T U it bekannt. Somit lät ich T W betimmen. Ermittlung von α: Im Anhang de Skripte findet ich eine Nuelt-Beziehung für Würfel: Nu = 5, , 752 ( ) [ 0,252 Ra f 4 mit f4 = 1 ( ) 9 ] , und l P r char = W uerfeloberflaeche2 4 W uerfelvolumen Au der bekannten Würfeloberfläche ergibt ich eine Kantenlänge von 2cm und eine charakteritiche Länge von 18cm. Die Stoffwerte ind bei (50+90)/2 = 70 C zu ermitteln. Lediglich der thermiche Audehnungkoeffizient wird bei T U = 50 C = 323, 15 K ermittelt. β = 1/323, 15K = 0, /K, ν = 0, m 2 / und λ = 0, 0300 W/Km f 4 = 0, 05017, Gr = , P r = 0, 709, Ra = Nu = 103, 25 und damit α = Nu λ l char Somit ergibt ich T W = 92, 3 C = 17, 23 W Km 2 b) E gilt weiterhin Ẇel = Q ab = αa(t W T U ). Diemal it Ẇel = 1 W. Somit ergibt ich eine niedrigere Temperatur für den Würfel: 74,2 C c) Die Temperaturdifferenz zwichen Würfel und Umgebung hat einen deutlichen (linearen) Einflu auf die Gr-Zahl. Wird T kleiner, o inkt auch die Gr-Zahl und damit auch die Ra-Zahl und letztendlich die Nu-Zahl. Bei einer kleineren elektrichen Leitung und damit bei einem kleineren zu erwartenden T ergäbe ich alo ein kleinerer Wärmeübergangkoeffizient. Die Vereinfachung, α gleich zu belaen, führt alo zu einer Überchätzung. d) Der Abkühlproze wird durch folgende DGL bechrieben: du = 1W α A(T dt W T U ) c SilberdT W = 1W α A(T dt W T U ) c ilber dt 1W αa(t W T U ) W = dt, mit c Silber = 235 J und A = 24 cm2 kgk Da da Löen dieer DGL zwar möglich aber recht kompliziert it, hätte e bereit für da Auftellen der DGL und da Herauuchen der Wärmekapazität von Silber die Punkte für dieen Aufgabenteil gegeben. 4

5 Aufgabe 3: Bank im Regen 20 von 50 Punkten Kurzfrage: Formulieren Sie möglicht allgemein, wie lange man einen Körper al halbunendlichen Körper behandeln darf, um eindimenionale intationäre Wärmeleitprobleme zu löen. Nach einem plötzlichen und heftigen Regenfall im Hochommer in Braunchweig it die Oberfläche einer Holzbank mit einem dünnen Waerfilm bedeckt. Die Bank oll vereinfacht al glatte Platte mit den Abmaßen 0,5 m mal 2,5 m angenommen werden. Wind (2,9 m ) weht entlang der kürzeren Seite. Die Bank it 4 cm dick. Zu Beginn der Betrachtung hat die Bank, ebeno wie die umgebende Luft, eine einheitliche Temperatur von 30 C. E wird alo davon augegangen, da der kurze Regenfall die Bank nicht abgekühlt hat. Für den oben bechrieben Fall gilt eine Lewi-Zahl von Le = 0,9. Folgende Stoffwerte tehen Ihnen für da Problem zur Verfügung: λ ν a Luft 26, W m2 163, ,86 10 K m Waer (flüig) W m2 8, , K m Holz W 0, K m Weiterhin bekannt ind folgende Daten: Partialdruck de Waerdampf in der Luft: 0,03 bar Sättigungpartialdruck Waerdampf bei 30 C: 0,0424 bar Molmaen: M H2 = 2 g und M mol O2 = 32 g mol 6 m2 6 m2 6 m2 a) Welcher Maentrom verduntet an der Oberfläche (nur obere Seite) der Bank? (Hinwei: Verwenden Sie zur Vereinfachung nur den laminaren Anteil der relevanten Sherwood Beziehung.) b) Würde ich der berechnete Maentrom owohl bei einer breiteren al auch bei einer längeren Bank ändern? Wie würden Sie in dieen beiden Fällen vorgehen, um den jeweiligen Maentrom zu betimmen? Gehen Sie ab hier von einem verduntenden Maentrom von 0,18 g au. c) Welcher Wärmetrom wird der Bank und der Umgebung durch die oben betimmte Verduntung entzogen? d) Führt dieer kontante Wärmetrom dazu, da die Temperatur der Bank o lange kontant inkt, bi alle Waer verduntet it? Denken Sie daran, Ihre Antwort zu begründen. Ab hier oll davon augegangen werden, da bereit der heftige Regen die Bank abkühlt. e) Gehen Sie davon au, da der kalte Regen die Oberfläche der Bank chlagartig auf 20 C abkühlt. Wie lange dauert e unter dieen Umtänden nach dem Beginn de Regen bi ein Punkt 2 mm unter der Oberfläche auf 29,5 C abgekühlt it? 5

6 KF: Ein Körper darf o lange al ein halbunendlicher Körper betrachtet werden, bi der Punkt, der ich al letzte in einer Temperatur ändern wird, ich in einem für da Problem weentlichen Maße in einer Temperatur geändert hat. a)zur Betimmung de Maentrom mu zunächt der Stoffübergangkoeffizient βberechnet werden: Dem Anhang lät ich die folgende Nuelt- bzw. Sherwood-Beziehung für den laminaren Anteil entnehmen: Sh = 0, 664 Re 1/2 Sc 1/3 Mit der gegeben Vikoität von Luft, einer charakteritichen Länge von l char = 0,5 m und einer Gechwindigkeit von 2,9 m/ ergibt ich eine Re-Zahl von Mit der gegeben Lewi-Zahl Le = Sc/P r = a/d = 0, 8 und der gegebenen Temperaturleitfähigkeit a der Luft lät ich der Diffuionkoeffizient der Luft zu D = 0, m 2 / betimmen. Damit ergibt ich für die Luft Sc = ν/d = 0, 642. Mit nun bekannter Sc- und Re-Zahl kann die Sh-Zahl betimmt werden: Sh = 171. Darau ergibt β = Sh D l char = 0, m. Da der dünne Flüigkeitfilm ehr chnell mit Luft geättigt it, liegt ein eineitig behinderter Stofftranport vor, o da zunächt β ein au dem Geamtdruck p = 1 bar, dem Waerdampfpartialdruck p w = 0, 03 bar und dem Sättigungdruck p = 0, 0424 bar betimmt werden mu: β ein = 0, m/ Au dem nun bekannten β ein, der Oberfläche der Obereite der Bank A = 1,25 m 2, der Partialdruckdifferenz p = 1240 pa, der Univerellen Gakontante R, der Molmae für Waer M H2 O = 18 g und der mittleren Temperatur T mol m = 303, 15 K lät ich der Maentrom de verduntenden Waer zu: ṁ = β ein A p M H2 O R T m = 0, 0997g/ berechnen b) Würde die Bank an Ihrer kurzen Seite, die die charakteritiche Länge dartellt, verlängert, o müte die ganze Rechnung erneut durchgeführt werden. Bei einer Verlängerung der anderen Seite tiege der Maentrom ebenfall. Allerding könnte da bereit betimmte β ein weiter verwendet werden. Lediglich im letzten Rechenchritt müte mit einer größeren Fläche gerechnet werden. c) Unter Berückichtigung der Verdampfungenthalpie h v bei 30 C ergibt ich Q = 0, kg/ 2429, 7kJ/kg = 437 W. d) Nein, die Verduntung entzieht der Bank Wärme, o da deren Temperatur inkt. Die o enttehende Temperaturdifferenz zwichen Bank und Umgebung führt aber zu einer konvektiven Wärmezufuhr. So ergibt ich nach einiger Zeit ein tationärer Zutand. e) Intationäre Wärmeleitproblem an einer eben Platte, die al halbunendlicher Körper angenommen werden kann: Au T x = 29,5 C, T 0 = 30 C und T = 20 C ergibt ich 0,05 = erfc x 4at mit x = 0, 002 m, der in der Aufgabe gegeben Temperaturleitfähigkeit a für Holz und der geuchten Zeit t. Au einer Interpolation ergibt ich erf c(1,388) = 0, 05 und damit nach einer Umformung die Zeit t = 4, 00. 6