Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (3) 7+(3) 23 (3) 70+(9) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Die Bratwürste am Stand von Grilli Willi sind die mit Abstand besten Bratwürste in der Stadt. Somit hat er quasi eine Monopolstellung mit der Absatz-Preis Funktion x(p) = p, wobei x der Absatz in Stück pro Tag und p der Preis pro Bratwurst in Cent ist. Für den Tagesgewinn in Abhängigkeit vom Absatz hat sich folgende Funktion herausgestellt: G(x) = x x x 600. Der Tagesgewinn wird ebenfalls in Cent angegeben. (a) Zu welchem Preis sollte Grilli Willi die Bratwürste verkaufen, um maximalen Gewinn pro Tag zu erzielen? Wieviele Bratwürste sollten dafür pro Tag verkauft werden? Weisen Sie nach, dass es sich wirklich um maximalen Gewinn handelt. Gehen Sie im folgenden von den unter (a) ermittelten Absatzmengen aus. (b) Wie hoch sind für Grilli Willi der Gewinn und die Kosten pro verkaufter Bratwurst?

2 Aufgabe 2 : (a) Gegeben sei die Funktion f : D(f) R R \ {2} mit f(x) = 2x x + 1. Für welches maximale Intervall bzw. welche maximalen Intervalle I D(f) ist f(x) streng monoton wachsend? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der 1. Ableitung. Falls die Funktion f(x) invertierbar ist, bestimmen Sie f 1 und geben Sie f 1 einschließlich Definitions- und Wertebereich an. Falls f(x) nicht invertierbar ist, begründen Sie Ihre Antwort. sin(1 x) (b) Gegeben sei die Funktion g : D(g) [0, ) W (g) R mit g(x) = 100x Ermitteln Sie lim g(x). Der Lösungsweg ist anzugeben. x 1 Geben Sie eine Funktion g 1 : D(g 1 ) = [0, ) R an, für die g 1 (x) = g(x) für alle x D(g) gilt und die für alle x D(g 1 ) stetig ist. Tipp: g 1 ist eine Erweiterung von g. Aufgabe 3 : Der Bratwurststand von Grilli Willi hat täglich von 10 bis 18 Uhr geöffnet. In dieser Zeit werden täglich 600 Bratwürste verkauft, wobei der Absatz während der Öffnungszeit ziemlich gleichmäßig ist. Jede Anlieferung von Bratwürsten verursacht Fixkosten in Höhe von 24e. Aus technischen Gründen ist die Lieferung nur zu jeder vollen Stunde (also 10 Uhr, 11 Uhr,...) möglich. Die Lagerung einer Bratwurst vor Ort verursacht Lagerkosten von 10 Cent pro Stunde. Grilli Willi möchte die Summe aus Liefer- und Lagerkosten minimieren. (a) Zu welchen Uhrzeiten sollte Grilli Willi die Bratwürste liefern lassen? Wieviele Bratwürste sollten jeweils geliefert werden? Geben Sie den Lösungsweg an. Betrachten Sie im Folgenden die unter (a) ermittelte Lösung. Falls Sie (a) nicht lösen konnten, gehen Sie von 4 Lieferungen aus. (b) Wie hoch sind die Lagerkosten pro Tag und wie hoch sind die durchschnittlichen Lagerkosten pro Bratwurst pro Tag am Bratwurststand (Tag 8 Stunden Öffnungszeit)? (c) Skizzieren Sie den Lagerbestand L = L(t) für einen Tag in Abhängigkeit von der Zeit t in Stunden und geben Sie L(t) explizit als stückweise lineare Funktion an. Zusatzaufgabe: (d) Wieviele Bratwürste sind um 13:40 Uhr auf Lager? Geben Sie den Rechenweg an.

3 Aufgabe 4 : Gegeben sei die Funktion f : D(f) R 2 R mit f(x, y) = y x 2y x 6y. (a) Berechnen Sie das vollständige Differential df((x 0, y 0 ), (dx, dy)) für (x 0, y 0 ) = (16, 11) und (dx, dy) = (0.1, 0.3). Geben Sie den Rechenweg an. (b) Bestimmen Sie die Niveaumenge N c (f) R 2, die den Punkt (x 0, y 0 ) = (16, 11) enthält und geben Sie diese an. Die implizite Darstellung ist ausreichend. Zusatzaufgabe: (c) Gegeben sei die Kurve K R 2, die implizit gegeben ist durch F (x, y) = y x 2y x 6y + 9 = 0. Sei y = g(x) die explizite Darstellung von K in einer Umgebung U von (x 0, y 0 ) = (16, 11), d.h. F (x, g(x)) = 0 für x U. Bestimmen Sie g (16). Aufgabe 5 : Grilli Willi hat eine zweiten Bratwurststand eröffnet. Natürlich beeinflussen sich die Absatzmengen und die Preise gegenseitig. Die Absatz-Preis-Funktionen pro Tag sind p 1 = x x 2, p 2 = x 1 0.2x 2, wobei x 1 und x 2 die Absatzmenge der Bratwürste am ersten beziehungsweise zweiten Stand in Stück und p 1 und p 2 die zugehörigen Preise in Cent pro Bratwurst sind. Die Kosten pro Bratwurst belaufen sich für Grilli Willi auf 2, 05e. (a) Wie hoch sollte Grilli Willi die Preise an den beiden Ständen ansetzen, um maximalen Gewinn zu erzielen (dabei sollen nur die variablen Kosten berücksichtigt werden)? Wieviele Bratwürste würden dann jeweils verkauft werden? Wie hoch ist der Gesamtgewinn? Geben Sie den Lösungsweg an und weisen Sie nach, dass es sich wirklich um maximalen Gewinn handelt. (b) Bei der Herstellerfirma der Bratwürste fallen kurzfristig Abnehmer aus. Sie fragt an, ob Grilli Willi pro Tag Bratwürste abnehmen würde. Sie gewährt dafür einen Rabatt von 3 Cent pro Bratwurst (für die gesamte Menge), so dass die Kosten für Grilli Willi nun nur noch 2,02e pro Bratwurst betragen. Zu welchen Preisen sollte er die Bratwürste an den beiden Ständen verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser? Sollte er das Angebot annehmen? Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Lagrange Methode. Ein Nachweis des Maximums ist nicht gefordert. Wie würde sich der Gewinn näherungsweise ändern, wenn Grilli Willi insgesamt Bratwürste (statt 1 000) pro Tag (zum Rabattpreis) bestellt und mit maximalem Gewinn verkauft? Aufgabe 6 : Zusatzaufgabe Ist die Funktion F : R R : F (x) = 2x x + 14 eine Stammfunktion der Funktion 2x + 5 f : R R : f(x) = auf R? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. 2x2 + 10x + 14

4 1. 2. Ergebnisse - nicht vollständig (a) G(x) = x x x 600, G (x) = x x + 12 G (x) = 0 x 1 = 600, x 2 = 66, 67 (entfällt) G (x) = x G (600) < 0 x 1 = 600 ist Maximalstelle von G(x). x(p) = p p(x) = 380 x/4 p(600) = 230. Grilli Willi sollte pro Tag 600 Bratwürste zum Preis von je 2,30e verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen (b) G(600) = g(600) = = 23 k(x) = = Grilli Willi erzielt pro verkaufter Bratwurst einen Gewinn von 23 Cent, wobei die Stückkosten 2,07e betragen. (a) f(x) = 2x x+1 f (x) = 2 (x+1) 2 (b) lim x 1 > 0 x R, x 1 f(x) ist streng monoton wachsend x (, 1) und x ( 1, ). f(x) ist invertierbar: f 1 : R \ {2} R \ { 1} : f 1 (x) = = lim cos(1 x) = 1 100x x 1 200x 200 g 1 : [0, ) R : g 1 (x) = 100x für 0 x < für x = 1 100x für x > 1 3. T = 8 Stunden, m = 600, k 0 = Cent, k l = 10 8 = 80 Cent, kleinste Zeiteinheit ist die Stunde (a) x (th) 2m k = k l = = 189, n (th) = 600 = 3, ,74 Variantenvergleich: n 1 = 3, x 1 = 600/3 = 200, t 1 2 = 8/3 Z entfällt n 2 = 2, x 1 = 600/2 = 300, t 2 2 = 8/2 = 4, K 2 = = = 168e n 3 = 4, x 1 = 600/4 = 150, t 3 2 = 8/4 = 2, K 3 = = = 156e Grilli Willi sollte um 10 Uhr, 12 Uhr, 14 Uhr und 16 Uhr jeweils 150 Bratwürste liefern lassen. (b) K l = = 6 000, 6 000/600 = 10 die durchschnittlichen Lagerkosten pro Bratwurst und Tag betragen 10 Cent. (c) Skizze t 0 t t 2 < t 4 L : [0, 8] R : L(t) = t 4 < t t 6 < t 8 x 2 x

5 (d) 13 : 40 Uhr entspricht t = 11, L( ) = Bratwürste auf Lager. = 25 um 13:40 Uhr sind noch 4. f(x, y) = y x 2y x 6y 5. (a) f x (x, y) = 3 x y x, f x (16, 11) = 2, f y (x, y) = 2y 2 x 6, f y (16, 11) = 8 df((x 0, y 0 ), (dx, dy)) = ( 0.3) = 2.6 (b) f(16, 11) = 9 N c (f) = {(x, y) R 2 y x 2y x 6y = 9} (c) g (x 0 ) = F x(x 0,y 0 ) = 2 = 1 F y (x 0,y 0 (Ableitung einer impliziten Funktion) ) 8 4 oder umformen nach y mit quadratischer Lösungsformel: y = x + 3 ± x + 6 x x 9 = x + 3 ± x, - entfällt, da y 0 = 11 g(x) = 2 x + 3, g (x) = 1 x, g (16) = 1 4 (a) E(x 1, x 2 ) = 235x 1 0.1x x 1 x x 2 0.2x 2 2 G(x 1, x 2 ) = 30x 1 0.1x x 1 x x 2 0.2x 2 2 G x1 = x x 2, G x2 = x 1 0.4x 2 G x1 = G x2 = 0 x 1 = 500, x 2 = 350, p 1 = 220, p 2 = 225, G(350, 500) = G x1 x 1 = 0.2, G x1 x 2 = 0.2, G x2 x 1 = 0.2, G x2 x 2 = 0.4, det(h G ) = ( 0.2) ( 0.4) > 0 und G x1 x 1 < 0 (x 1, x 2 ) = (500, 350) ist Maximalstelle von G(x 1, x 2 ). Am Stand 1 sollten 500 Bratwürste zum Preis von je 2,20e und am Stand 2 sollten 350 Bratwürste zum Preis von je 2,25e verkauft werden, um maximalen Gewinn von 145e zu erzielen. (b) NB: x 1 + x 2 = L(x 1, x 2, λ) = 33x 1 0.1x x 1 x x 2 0.2x λ(1 000 x 1 x 2 ) L x1 = x x 2 λ, L x2 = x 1 0.4x 2 λ, L λ = x 1 x 2 L x1 = L x2 = L λ = 0 x 1 = 590, x 2 = 410, λ = 3, p 1 = 217, p 2 = 222, G neu (590, 410) = Grilli Willi sollte die Bratwürste am Stand 1 zu 2,17e und am Stand 2 zu 2,22e verkaufen, um maximalen Gewinn von 170,50e zu erzielen, d.h. er sollte das Angebot annehmen, da 170, 50 > 145. G neu = 300 Der Gewinn würde näherungsweise um 3e sinken. 6. F (x) ist eine Stammfunktion von f(x) auf R, weil D(f) = D(F ) = R und F (x) = ( 2x x + 14) 2x+5 = = f(x). 2x 2 +10x+14