Grundwissensblatt 8. Klasse. IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

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1 Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form a + by = c (oder auch y = m + t) erfüllen: Jede Lösung ist ein Zahlenpaar, bestehend aus einer - und einer y-koordinate ( y) Es gibt unendlich viele Lösungen Die Punkte, die der Lösung entsprechen liegen auf einer Geraden ( y) ( ) (3 3) Normalfall: Die Geraden zweier Gleichungen schneiden such in einem Punkt, d.h. es gibt genau eine Lösung Lösung ( ) Sonderfall : Die Geraden sind verschieden und parallel, d.h. es gibt keine Lösung Keine Lösung; L = { }

2 Sonderfall 2: Die Geraden fallen zusammen, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen L = {( y) y = + 2} 2. Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Bei linearen Ungleichungen mit zwei Variablen der Form 2y 8 < -4 entspricht die Lösungsmenge in einem Koordinatensystem einer Halbebene. Beispiel y > y =

3 3. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen (LGS) Die Lösung eines LSG mit zwei Variablen nennt man Zahlenpaar, falls das Paar jede Gleichung des Systems erfüllt. (I) 6 + 4y = (II) 3 y = 5 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten bestehen aus zwei linearen Gleichungen mit zwei verschiedenen Variablen. Gleichungssystem (I) 6 + 4y = (II) 3 y = 5 4. Zeichnerisches Lösen eines LGS mit zwei Variablen. Zeichnen des ersten Graphen in ein Koordinatensystem (evtl. mit Hilfe einer Wertetabelle) y y = 2. Zeichnen des zweiten Graphen in das gleiche Koordinatensystem 3. Schnittpunkt der beiden Geraden erfüllt beide Gleichungen und hat die Koordinaten ( y) Lösung des LSG y Schnittpunkt y = - 3

4 5. Zwei Rechenverfahren zum Lösen eines LGS Einsetzungsverfahren: y 3kg y kg Anhand eines Beispiels. Auflösen einer Gleichung nach einer Variable 2. Der Term, den man erhält, wird in die andere Gleichung eingesetzt Auflösen der Gleichung nach einer Variable 3. Bestimmen der. Variable = Bestimmen der anderen Variable durch Einsetzen der ersten Variable in den bei. aufgelösten Term (I ) (I) 5 y = - (II) 6 y = -5 (I) nach y auflösen: (I ) 5 + = y (I ) in (II): 6 (5 + ) = = - 5 = = - 4 in (I ) einsetzen: 5 (- 4) + = y y = -9 Lösung: = {(- 4; -9)} 4

5 Additionsverfahren: + + = = Addition der beiden Gleichungen. Addition beider Gleichungen, sodass eine der beiden Variablen wegfällt 2. Lösung der durch Addition entstandenen Gleichung wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um die andere Variable zu bestimmen 3. Angabe des Zahlenpaars (I) y = 56 (II) 5 + 2y = -26 (I) + (II) : y + (5 + 2y) = 56 + (-26) 6y = 30 y = 5 (*) (*) in (II) einsetzen: = -26 = 7,2 Lösung: = {(7,2; 5)} Häufig muss eine Gleichung mit einer geeigneten Zahl multipliziert werden. (I) 8 6y = 34 (II) -4 9y = 2 Hier muss die zweite Gleichung mit 2 multipliziert werden, damit die Variable rausfällt. 6. LGS in Anwendungssituationen. Variablen einführen 2. Gleichungen aufstellen 3. Gleichungssystem lösen 4. Ergebnis überprüfen und formulieren 5

6 VI. Gebrochen rationale Funktionen. Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen Funktionsterme der Form f() =, g() = 2 6 a oder h() = +4 a2 nennt man Bruchterme oder gebrochen rationale Funktionen. Die Zahlen für die der Nenner des Bruchs Null wird, sind nicht in der Definitionsmenge enthalten (Definitionslücke). Asymptote: - eine Gerade, der sich der Graph einer gebrochen rationalen Funktion beliebig genau annähert - Unterschied zwischen waagrechter und senkrechter Asymptote a) Die senkrechte Asymptote, = -4, ist eine Gerade durch die Definitionslücke b) Die waagrechte Asymptote lässt sich leicht durch Einsetzen betragsmäßig hoher -Werte, wie 00 oder 000, feststellen Senkrechte Asymptote = -2 waagrechte Asymptote y = 0 6

7 2. Rechnen mit Bruchtermen Damit man einen Bruchterm kürzen kann, müssen Nenner und Zähler zuerst faktorisiert werden. Danach wird durch den gemeinsamen Faktor geteilt. muss man den Term Nach Faktorisieren und Kürzen mit erhält man: 4 = 4 = (+2) +2 erst faktorisieren, da im Nenner eine Summe steht. wobei 0 sein muss Beachte: Für den Ausgangsterm sind 0 und -2 nicht definiert, d.h. nicht in der Definitionsmenge enthalten, für den gekürzten Term aber nur -2 nicht. Die Äquivalenz beider Terme ist deshalb nur für \ {0;-2} gegeben. Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Bruchtermen addiert bzw. subtrahiert man den Zähler und den Nenner behält man bei = = 2 6( 4) 6( 4) 6( 4) 6( 4) Wenn die Bruchterme, die man addieren bzw. subtrahieren will, nicht den gleichen Nenner haben, muss man sie zuerst auf den gleichen Nenner bringen, bevor man sie addiert (subtrahiert) = 3( 2) ( 2) 2 = = 6 ( 2) ( 2) ( 2) Erweitern mit ( - 2) bzw. Wenn man Bruchterme miteinander multipliziert, wird Nenner mit Nenner multipliziert und Zähler mit Zähler. 2 4(3 ) 3 +5 = 2(3 ) 4(3 )(+5) = 2 4(+5) Kürzen von (3 ) Man dividiert durch Bruchterme, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert = 3 5 = 3 5 = Kürzen von 3 Man geht beim Rechnen mit Bruchtermen genauso vor wie beim Rechnen mit Brüchen. 7

8 3. Negative Eponenten Die Definition der Potenzen wird durch n = n ( 0, n N) erweitert. Dann gilt m n = n+m und m n = m n für beliebige ganze Zahlen, also auch für negative ganze Zahlen, m und n ( 0 und n, m Z) = 5+( 6) ( 2) = 2 = +2 = = Es gilt: =, für Q 0 =, für Q 4. Bruchgleichungen Man formt Bruchgleichungen durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der vorkommenden Nenner in nennerfreie Gleichungen um = = ( 4+) ( 2)( 4) Hauptnenner (3 2) ( 2) ( 4) ( 2)( 4 ) = (2+) ( 2) ( 4) 2 ( 4+) 2(3 2) 6( 4) = = = = 3 = 3 6 Die Lösung der Bruchgleichung kann nur eine Lösung der nennerfreien Gleichung sein, wenn kein Nenner null wird (d.h. 4 0 und Df = Q \ { 4 }) = 3 ist Lösung der Gleichung, weil sie für = 3 definiert ist

9 Bemerkung Man kann Bruchgleichungen auch anders lösen: Wenn man alle Terme der Bruchgleichung 4 = 3 2 die Summanden zusammenfasst, erhält man: auf eine Seite bringt und = 0, für Df = Q \ {0} = = 0 = 0 Da ein Bruchterm null wird, wenn sein Zähler null wird, sieht man sich die Gleichung 6 3 = 0 an. Die wird für = 2 null, deshalb ist 2 eine Lösung der Bruchgleichung, da 2 Df. Verfasser: Anna Wagner Quellen: Inhalt: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Bayern, Jahrgangsstufe 8, S. 62ff und S. 06 Übungsaufgaben: GeoGebra für die Graphen 9