π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

Transkript

1 Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei u cos, v cos, lso v sin und u sin. Dnn gilt: cos (t) u v dt cos(x) sin(x) u v sin (t) dt u v cos(x) sin(x) + 1 cos (t) dt cos(x) sin(x) + x cos (t) dt Dmit folgt cos (t) dt 1 (cos(x) sin(x) + x), lso r x dx r π π cos (t) dt r 1 (cos( π ) sin( π ) + π ) r 1 (cos( π ) sin( π ) + π ) r π. 1: Dmit ist der Flächeninhlt der Kreisscheibe in der Tt r x dx πr. 8.3 Volumenberechnungen Die Idee zur Berechnung von Volumin von Körpern im Dreidimensionlen ist im Grunde die gleiche wie bei der Berechnung von Flächeninhlten: Wir zerlegen den Körper K R 3 in Scheiben, deren Flächeninhlt wir kennen und integrieren dnn den Flächeninhlt ller dieser Scheiben: Sei G eine Gerde in R 3 (für gewöhnlich wählen wir die x-achse). Für jedes x G sei E x die zu G senkrechte Ebene durch x. Der Schnitt von E x mit dem Körper K hben den Flächeninhlt f(x). Dnn ist ds Volumen V (K) unter gewissen Vorussetzungen gegeben ls ein Integrl über x f(x). Genuer identifizieren wir die Gerde G mit R und erhlten somit eine Funktion f : R R. Wir setzen vorus: (1) f ist (zumindest stückweise, d.h. uf Teilintervllen) stetig 7

2 () K ist beschränkt, in dem Sinn, dss f(x) für x < oder x > b (mit, b R) Dnn bilden die Riemnn-Summen zu einer Unterteilung S n (f) f(ξ k )(x k+1 x k ) k x < x 1 <... < x n b und Zwischenpunkten ξ k [x k, x k+1 ], k,..., n 1 eine Annäherung für ds Volumen von K und ntürlich gleichzeitig für ds Integrl f dx, weswegen wir V (K) : f dx definieren. Besonders interessnt ist, dss ds Volumen von K nur von den Flächeninhlten f(x) der Schnittflächen mit den Ebenen E x bhängt und nicht von der Form dieser Flächen. Diese Aussge nennt mn ds Prinzip von Cvlieri. Proposition 8.5 (Prinzip von Cvlieri) Es seien K 1, K R 3 zwei Körper und G eine Gerde. Wenn für jede zu G senkrechte Ebene E gilt, dss der Flächeninhlt von K 1 E gleich dem von K E ist, dnn ist V (K 1 ) V (K ). Beispiel 8.6 (Kugel) Sei B r R 3 eine Kugel mit Rdius r >, z.b. mit dem Ursprung (,, ) ls Mittelpunkt. Forml ist dies die Menge B r { (x, y, z) R 3 x + y + z r }. Wir wählen ls Gerde G die x-achse. Die zur (y, z)-ebene prllele Ebene durch (x,, ) schneidet dnn (für x [, r]) die Kugel B r in Kreisscheiben { (y, z) R y + z r x } mit Rdius r x. Diese hben lso den Flächeninhlt f(x) π(r x ). Dmit ist ds Volumen der Kugel mit Rdius r gegeben durch V (B r ) f dx r π(r x 1 3 x3 ) 4 3 πr3 π(r x )dx π(r r3 ) π( r3 ) 73

3 Ds Beispiel der Kugel in R 3 ist ein Spezilfll eines Rottionskörpers, lso einer Menge, die entsteht, wenn mn den Grphen einer Funktion um die x-achse rotieren lässt und die von dieser Fläche eingeschlossenen Punkte betrchtet. Für solche Körper knn mn ds Volumen folgendermßen berechnen. Proposition 8.7 (Volumen von Rottionskörpern) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion und f(x) für lle x [, b]. Sei K der Körper in R 3, der entsteht, wenn wir den Grphen von f um die x-achse rotieren lssen. Dnn ht K ds Volumen V (K) πf(x) dx. Im obigen Beispiel ist f(x) r x mit x [, r]. Beispiel 8.8 (Kreiskegel) Als nächstes betrchten wir für festes h > und R > den Kreiskegel, der entsteht, wenn mn den Grphen der Funktion f : [, h] R, x R h x, lso ein Stück einer Ursprungsgerden mit Steigung R/h, um die x-achse rotieren lässt. Ds Volumen ist hier h h V (K) πf(x) dx π R h x dx ( ) R h 3h πx3 1 3 h πr Ansttt eines Kreiskegels knn mn uch llgemeinere Kegel betrchten. Diese entstehen folgendermßen: Mn geht von einer Fläche F in einer Ebene E R 3 und einem Punkt p E mit Abstnd h > von E us. Der Kegel K(F ) entstehe nun ls die Menge der Punkte uf den Verbindungsstrecken zwischen p und Punkten in F. Eine Pyrmide ist zum Beispiel ein Kegel mit qudrtischer Grundfläche F. Für ds Volumen von Kegeln knn mn zeigen: Proposition 8.9 Sei K K(F ) ein Kegel mit Grundfläche F mit Flächeninhlt A A(F ) und Höhe h. Dnn ist ds Volumen V (K) gegeben durch V (K) 1 3 h A. Insbesondere hängt V (K) nur von A(F ) und nicht von der speziellen Form von F b. Beweis: Sei x [, h], p x der Punkt uf dem Lot von p uf E mit Abstnd x zu E und E x die zu E prllele Ebene durch p x. Dnn gilt für den Flächeninhlt f(x) des Schnitts K E x ( ) h x f(x) A. h 74

4 Dmit folgt für ds Volumen h h ( ) h x V (K) f dx A dx h 1 ( ) 3 h x h 3 A ( h) h 1 3 A h. 8.4 Bogenlänge Wir widmen uns nun dem Problem, wie mn z.b. die Länge der Kreislinie oder von llgemeineren gekrümmten Linien im R nlytisch berechnen knn. Die Idee ist wieder, eine gekrümmte Linie durch immer kürzere gerde Streckenstücke zu pproximieren und dnn einen Grenzwert zu bilden. Zunächst müssen wir uns klr mchen, ws eine gekrümmte Linie sein soll, von der wir die Länge messen wollen. Definition 8.1 Ein differenzierbrer Weg γ : [, b] R, t γ(t) (x(t), y(t)) ist eine Abbildung, so dss t x(t) und t y(t) beides differenzierbre Funktionen sind. γ() heißt Anfngspunkt und γ(b) heißt Endpunkt von γ. Beispiel 8.11 (1) Sind p, q R, so ist die Verbindungsstrecke von p nch q γ : [, 1] R, t p + t (q p) () Die Kreislinie des Einheitskreises knn mn durch den Weg γ : [, π] R, t (cos(t), sin(t)) beschreiben. Hier sind Anfngs- und Endpunkt gleich dem Punkt (1, ). (3) Jeder Funktionsgrph einer differenzierbren Funktion f : [, b] R führt uf einen Weg γ : [, b] R, t (t, f(t)). Um Längen von Wegen zu messen, müssen wir zunächst wissen, wie mn Längen von gerden Verbindungsstrecken misst. Sind p (x, y), q (u, v) R, so ist der Abstnd zwischen p und q gegeben durch den Abstnd von p q zum Ursprung, lso nch Pythgors (x u) + (y v). Identifizieren wir R mit C, so ist dieser Ausdruck übrigens gerde der komplexe Betrg der Zhl p q (x u) + i(y v). 75

5 Für p (x, y) R bezeichnen wir deshlb p : x + y ls die Länge von p. Insbesondere gilt für R die Gleichung p p für lle p R. Sei nun γ : [, b] R, t γ(t) (x(t), y(t)) ein differenzierbrer Weg. Um dessen Länge nzunähern unterteilen wir [, b] in kleine Teilintervlle: t < t 1 <... < t n b und setzen p k γ(t k ) (x(t k ), y(t k )) R, k,... n. Dnn ist p k+1 p k γ(t k+1 ) γ(t k ) k k eine Annäherung für die Länge des Wegs γ, die desto besser wird, je kürzer die Intervlle [t k, t k+1 ] werden. Wir erweitern diesen Ausdruck mit (t k+1 t k ) und erhlten t k+1 t k γ(t k+1 ) γ(t k ) γ(t k+1 ) γ(t k ) t k+1 t k k k n 1 1 (γ(t k+1 ) γ(t k )) t k+1 t k (t k+1 t k ) k n 1 ( x(tk+1 ) x(t k ), y(t ) k+1) y(t k ) (t k+1 t k ) t k+1 t k t k+1 t k k n 1 (x (ξ k ), y (ξ k )) (t k+1 t k ) k wobei wir im letzten Schritt den Mittelwertstz der Integrlrechnung 7.1 ngewendet hben, um den Differenzenquotienten durch die Ableitung n einer Zwischenstelle ξ k [t k, t k+1 ] zu ersetzen. Geht nun ds Mximum der Intervlllängen mx { t k+1 t k k,..., n 1 } gegen für n, so wird einerseits die Länge von γ immer besser ngenähert, ndererseits konvergiert der obige Ausdruck gegen ds Integrl (x (t), y (t)) dt. Wir definieren deshlb die Bogenlänge (oder kurz Länge) eines differenzierbren Wegs γ : [, b] R durch L(γ) : (x (t), y (t) dt. 76

6 Beispiel 8.1 Die Kreislinie des Kreises mit Mittelpunkt (, ) und Rdius r > ist prmetrisiert durch den Weg γ : [, π] R, t (r cos(t), r sin(t)). Dmit gilt für die Länge von γ, lso den Kreisumfng: L(γ) π π π (r cos (t), r sin (t)) dt ( sin(t)) + (r cos(t)) dt r sin (t) + cos (t) dt (rx) π πr 1 Ws pssiert, wenn wir den Kreis mit doppelter Geschwindigkeit durchlufen, lso den Weg δ : [, π] R, t (r cos(t), r sin(t)) verwenden? Die Weglänge sollte sich ddurch ntürlich nicht ändern. In der Tt ist L(δ) π π ((r cos(t)), (r sin (t)) ) dt ( r sin(t)) + (r cos(t)) dt π π r πr. Allgemein knn mn zeigen, dss die Weglänge sich nicht ändert, wenn mn ds Intervll umprmetrisiert, lso sttt γ : [, b] R den Weg γ ϕ mit einer differenzierbren Funktion ϕ : [c, d] [, b] mit stetiger Ableitung und ϕ(c) und ϕ(d) b betrchtet. Ds folgt direkt us der Integrtion durch Substitution 8.3. Oft normlisiert mn durch Umprmetrisieren die Geschwindigkeit (x (t), y (t) zu 1. Die Formeln für den Umfng U(r) πr und den Flächeninhlt A(r) πr einer Kreisscheibe mit Rdius r hängen uch noch nders nlytisch zusmmen. Wie mn sieht ist der Umfng genu die Ableitung des Flächeninhlts. Ds ist kein Zufll: Wenn mn den Rdius wenig ändert, lso von r zu r+h mit kleinem h > übergeht, kommt zu A(r + h) ungefähr der Flächeninhlt eines Rechtecks mit Seitenlängen h und U(r) zu A(r) hinzu. Die momentne Änderungsrte des Flächeninhlts ist lso gegeben ls A A(r + h) A(r) (r) lim h h h U(r) lim h h U(r). Genuso gilt für ds Volumen V (r) und die Oberfläche O(r) der Kugel mit Rdius r die Beziehung ( ) 4 O(r) V (r) 3 πr3 4πr. 77