Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment

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1 Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment Weitere Schreibweise für Rotationsenergie: wobei "Dyade" "Dyadisches Produkt" Def.: "Dyadisches Produkt", liefert bei Skalarmultiplikation mit einem Vektor : und Check (1) Drehimpuls (hängt vom Bezugspunkt ab) Satz: Der Drehimpuls des starren Körpers bezüglich eines beliebigen Punkts kann zerlegt werden in den Drehimpuls des Schwerpunkts bzgl. dieses Punktes und den Relativdrehimpuls: [Vergleiche S. NM18] Beweis: Ursprung von KS liege am Schwerpunkt: Es gilt: In KS liegt der Schwerpunkt am Ursprung, und bewegt sich nicht relativ zu KS: Gesamtdrehimpuls:

2 Wir wählen nun ein ("momentan mitlaufendes") Inertialsystem IS' ("SP-System"), so, dass zu einem gegebenen Zeitpunkt der Schwerpunkt des SK, momentan am Ursprung von IS' ruht: Konkret: zum Zeitpunkt Position habe der Schwerpunkt laut IS und Geschwindigkeit Dann wählen wir die Bahn des Ursprungs von IS', aus Sicht von IS, wie folgt: Dann gilt für alle Massenpunkte, aus Sicht von IS': und für den Schwerpunkt, aus Sicht von IS': Insbesondere gilt zum Zeitpunkt Satz: Im SP-System IS' gilt: Beweis: zum momentanen Zeitpunkt, Trägheitstensor in IS' gilt, aus Sicht von IS': zum Zeitpunkt mit Einheitsvektoren im SP-System IS' Analog für kontinuierliche Massenverteilung.

3 Bemerkung: eine analoge Herleitung gilt für den Drehimpuls relativ zu einem anderen Inertialsystem, IS'', (um verschoben relativ zum SP), in dem ein anderer körperfester Punkt (statt des SP) momentan ruht: Steinerscher Satz Trägheitstensor bezüglich IS'' analog zu (28b.2-4) (wie erwartet!) Drehimpuls von SP relativ zu IS'' Drehmoment (Erinnerung): Ziel: diese Gl. im körperfesten System KS ausdrücken: Gesamtdrehmoment Einheitsvektoren in einem körperfesten Bezugssystem (5) in (2) Komponenten bezogen auf das körperfeste Koordinatensystem

4 Komponenten bezogen auf das körperfeste System, explizit: Im (körperfesten) Hauptachsensystem gilt: diagonal! da I zeitunabhängig ist! Vorteil vom körperfesten System!! Ferner gilt: (mit Komponenten und bezogen auf das körperfeste Hauptachsensystem) Damit haben wir folgenden Satz bewiesen: Satz: im Schwerpunkts- und Hauptachsensystem wird Bewegung des starren Körpers durch die "Eulerschen Gleichungen" beschrieben: Komponenten von und sind bezogen auf das körperfeste Hauptachsensystem. Vor allem für das Drehmoment kann das unhandlich sein. Wir betrachten deshalb zunächst den freien Kreisel, d.h. Für einen unsymmetrischen freien Kreisel gilt: (1) Konstante Winkelgeschwindigkeit ist nur bei Drehung um eine der Hauptträgheitsachsen möglich. (2) Dabei ist nur die Drehung um das größte oder kleinste Hauptträgheitsmoment stabil. Beweis von (1): Annahme: sei

5 Aber: Für unsymmetrischen Kreisel gilt für alle Differenzen: zwei der Komponenten müssen sein dritte Komonente: Drehung findet um diese Hauptachse statt! Beweis von (2): sei fest vorgegeben, und betrachte eine kleine Störung in 2,3-Richtung: ("Stabilitätsanalyse") gegeben kleine Störung Wir betrachten in den Eulerschen Gleichungen (32.1) die Terme linear in (1): mit Analog: Fallunterscheidung: (a) I1 ist größtes oder kleinstes Moment: harm-osz, mit der Ansatz konst. (b) I1 ist das mittlere Moment: exp-verhalten: ausser wenn der Ansatz konst.

6 Beispiel für unsymmetrischen Kreisel: Saturn-Mond Hyperion, mit Halbachsen von etwa 190 km, 145 km, 114 km, ist sehr unsymmetrisch. Folglich erzeugen die Euler-Gleichungen sehr komplizierte (chaotische) Dynamik: Konkret: eine (hypothetische) Messung der momentanen räumlichen Orientierung auf 10 Stellen genau durch Voyager I im November 1980 wäre nicht ausreichend gewesen, um die Groborientierung der Achse beim Vorbeiflug von Voyager II im August 1981 vorherzusagen... Zusammenfassung: Starrer Körper - Drehimpuls und Drehmoment Der Drehimpuls des starren Körpers bezüglich eines beliebigen Punkts kann zerlegt werden in den Drehimpuls des Schwerpunkts bzgl. dieses Punktes und den Relativdrehimpuls: In einem "momentan mitlaufenden" Inertialsystem IS' ("SP-System"), in dem zu einem gegebenen Zeitpunkt der Schwerpunkt des SK momentan am Ursprung von IS' ruht, gilt: Trägheitstensor in IS' Drehmoment: Komponenten bezogen auf körperfestes Koordinatensystem

7 Im Schwerpunkts- und Hauptachsensystem wird Bewegung des starren Körpers durch die "Eulerschen Gleichungen" beschrieben: (Komponenten bezogen auf körperfestes Koordinatensystem) Für einen unsymmetrischen freien Kreisel gilt: (1) Eine konstante Winkelgeschwindigkeit ist nur bei Drehung um eine der Hauptträgheitsachsen möglich. (2) Dabei ist nur die Drehung um das größte oder kleinste Hauptträgheitsmoment stabil.