Selbsttest (Aufgaben)

Transkript

1 Selbsttest (Aufgaben) Hinweis: Nehmen Sie sich für diesen Test 1 zwei Stunden Zeit und versuchen Sie, alle Aufgaben ohne zusätzliche Hilfsmittel zu lösen. Wenn Sie Ihre Gesamtpunktzahl ermittelt haben, lesen Sie sich unsere Empfehlungen durch. Empfehlungen: Punktzahl 55: Sie haben gute bis sehr gute Mathematikkenntnisse, die vorteilhaft für das Studium der BWL und VWL an der Humboldt-Universität sein werden. Für Aufgaben, die Sie nicht lösen konnten, lesen Sie sich die entsprechenden Abschnitte in den Lehrbüchern, s.u., oder in Ihren Schulbüchern durch Punktzahl < 40: Sie haben ausreichende bis befriedigende Mathematikkenntnisse. Vor Studienbeginn sollten Sie diese verbessern, s. empfohlene Literatur. Die Teilnahme an dem Vorbereitungskurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler wird angeraten Punktzahl < 25: Sie haben größere mathematische Defizite, die Sie unbedingt vor Studienbeginn überwinden sollten. Die Teilnahme an dem Vorbereitungskurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler wird dringend empfohlen. 4. Punktzahl < 15: Das Studium der BWL und VWL an der Humboldt-Universität ist quantitativ orientiert. Sie sollten überlegen, ob Wirtschaftsprogramme mit einem anderen Profil nicht besser für Sie geeignet wären. Empfohlene Literatur: Purkert, W., Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 6. Aufl. 2007, Verlag Vieweg & Teubner Sydsæter, H. and Hammond, P., Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 3. Aufl. 2008, Pearson Studium 1 Vgl. Sydsæter & Hammond, Mathematics for Economic Analysis, 1985, Prentice Hall. 1

2 Aufgabe 1. (Punkte: (a) 1+1; (b) 1+1) (a) Bestimmen/Berechnen Sie die Steigung der jeweiligen Gerade. (i) y = 7x (ii) 4x 5y = 9 (b) Bestimmen Sie die Gleichung (in der Form y = mx + b) der Geraden. (i) Die Gerade verläuft durch den Punkt ( 2, 3) und hat die Steigung 2. (ii) Die Gerade verläuft durch die Punkte (1, 5) und (3, 2). Aufgabe 2. (Punkte: 5) Erstellen Sie die Wertetabelle für die Funktion f(x) = x 2 +2x+4 und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f auf dem Intervall [ 2, 4]. x f(x) Aufgabe 3. (Punkte: 3+3) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die jeweilige Funktion ihren maximalen bzw. minimalen Wert annimmt. (a) y = x 2 4x + 8 (b) y = 2x x 14 Aufgabe 4. (Punkte: 2+2) Führen Sie die Polynomdivision durch. (a) (2x 3 3x + 10) (x + 2) (b) (x 4 + x) (x 2 1) Aufgabe 5. (Punkte: ) Vereinfachen Sie die Ausdrücke. (a) 25 1/2 (b) (x 1/2 y 1/4 ) 4 2

3 (c) 36a 6 (d) p 1/5 (p 4/5 p 1/5 ) Aufgabe 6. (Punkte: 1+1+2) (a) Der Graph einer Funktion f ist in Abbildung 1 gezeigt. Welche geometrische Interpretation hat die Zahl f (a)? (b) Welchen numerischen Wert hat f (a) in diesem Beispiel (vgl. Abb. 1)? (c) Wie ist f (a) als Grenzwert definiert? Ý µ È Ý Üµ Abbildung: Verlauf der Funktion f(x) Ü Aufgabe 7. (Punkte: 1+1) (a) Die Förderkosten C, um T Tonnen Eisenerz zu fördern, seien beschrieben durch eine Funktion f, d.h. C = f(t). Geben Sie eine ökonomische Interpretation der Aussage f (1000) = 50e. (b) Ein Konsument strebt an, einen Artikel zu einem möglichst kleinen Preis zu erwerben. Bezeichne P(t) den niedrigsten Preis, den er nach t Stunden suchen im Internet gefunden hat. Welches Vorzeichen haben voraussichtlich P (t) und P (t)? Aufgabe 8. (Punkte: ) Schreiben Sie die Ableitungsregeln für die folgenden Fälle auf. 3

4 (a) y = f(x) + g(x) (b) y = f(x)g(x) (c) y = f(x)/g(x) (d) y = f(g(x)) Aufgabe 9. (Punkte: ) Leiten Sie die folgenden Funktionen ab. (a) y = x 2 (b) y = x 5 /5 (c) y = x x+1 (d) y = (x 2 + 5) 6 (e) y = e x (f) y = ln x (g) y = 2 x (h) y = x x Aufgabe 10. (Punkte: ) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen nach der Variablen x; nehmen Sie an, dass die Konstante a positiv ist. (a) y = x a (b) y = a + f(x) (c) y = af(x) (d) y = e ax2 (e) y = ln(ax) Aufgabe 11. (Punkte: ) Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig? (a) Die Umrechnungsformel, die eine Temperaturangabe in Fahrenheit in Celsius umwandelt, entspricht einer invertierbaren Funktion. 4

5 (b) Eine konkave Funktion hat stets ein Maximum. (c) Eine differenzierbare Funktion kann ein Maximum im Innern des Definitionsbereichs nur an einem stationären Punkt der Funktion f haben. (d) Wenn f (a) = 0 gilt, dann ist a entweder eine lokale Maximumstelle oder ein Punkt, an dem f ein lokales Minimum annimmt. (e) Die Bedingungen f (a) = 0 und f (a) < 0 sind notwendig und hinreichend, damit a eine lokale Maximumstelle von f ist. Aufgabe 12. (Punkte: ) In allen der folgenden Fälle entscheiden Sie, ob die angegebene Formel richtig oder falsch ist; f(x) und g(x) seien beliebige integrierbare Funktionen: (a) x 2 dx = 1 3 x3 + C (b) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (c) f(x)g(x)dx = f(x)dx g(x)dx (d) b a xdx = b2 a 2 5