c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =

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1 3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert werden uf () Integrnden f(x), die bei der Annherung x b nicht beschrnkt sind; () unbeschrnkte Integrtionsintervlle [, ) durch die Denition f(x) := lim c b c f(x), bzw. f(x) := lim c c f(x). Vollig nlog gilt f(x) := lim c + c f(x), bzw. f(x) := lim c c f(x). Soll betont werden, dss keine Ausnhmesitution vorliegt, dnn nennt mn die bisher betrchteten bestimmten Integrle eigentlich. Mn sgt, dss ein uneigentliches Integrl konvergiert (bzw. divergiert), wenn der zugehorige Grenzwert existiert (bzw. nicht existiert). Beispiel 6.. Es sei α R, α, dnn gilt und [ x = lim ] {, flls α > (konvergent), = α α c (α ) c α, flls α < (divergent). x α = lim c + [ ] { (α ) c = α, flls α > (divergent),, flls α < (konvergent). α Selbstverstndlich knn mn uch ein n beiden Grenzen uneigentliches Integrl betrchten. Es sei ber druf hingewiesen, dss dnn ds Integrl in zwei, nur n einer Grenze uneigentliches Integrl zu zerlegen ist, und beide Grenzwerte unbhängig voneinnder zu bestimmen sind. Beispiel x = + x + + x = + x = lim rctn c = π. c Gelegentlich verwendet mn uch dem Cuchyschen Huptwert, wenn f nur in c im Innern eines Intervlls eine Ausnhmestelle besitzt. Dieser ist nders deniert 78

2 ls ds uneigentliche Integrl. 3. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 79 Definition 6.4. Cuchyscher Huptwert. Um deutlich zu mchen, dss der Cuchysche Huptwert gemeint ist schreibt mn CHW f(x) = v.p. f(x) = lim ε + ( c ε f(x) + c+ε ) f(x). ist in x = unstetig. Ds uneigent- Beispiel 6.. Ds Funktion f(x) = x liche Integrl ist divergent, d 3 x = 3 x + c x = lim c 3 x + lim d + d x = lim c ln x c + lim d + ln x 3 d = + (ln ), d.h. keins der Teilintegrle existiert! Dgegen existiert der Cuchysche Huptwert CHW 3 ( ε x = lim ε + 3 x + +ε ) = lim (ln ε + ln ln ε) = ln. x ε + Stz 6.3. Mjorntenkriterium. ) Sei f(x) g(x) und ds uneigentliche Integrl g(x) konvergent, dnn konvergiert (existiert) uch ds (uneigentliche) Integrl f(x). b) Sei f(x) g(x) und ds uneigentliche Integrl g(x) divergent (existiert nicht), dnn ist uch ds uneigentliche Integrl divergent. f(x) Beispiel 6.3. Ds uneigentliche Integrl ist konvergent bzw. existiert, d cos x x x und ds Integrl cos x x konvergiert. x

3 8 Dgegen divergiert bzw. existiert nicht ds uneigentliche Integrl e x und ds uneigentliche Integrl x x existiert nicht. x e x x, d 3.. Anwendung. Viele uneigentliche Integrle uber unbeschrnkten Intervllen sind stetige Whrscheinlichkeitsverteilungen F (x) mit der Whrscheinlichkeitsdichte f(x), einer Zufllsgroe X, die dieser Verteilung genugt, d.h. die Whrscheinlichkeit P (X < x) = F (x) = x f(t) dt = x df (t). Weitere uneigentliche Integrle sind dnn der Erwrtungswert und die Vrinz V X := EX := x f(x) x f(x) (EX). Beispiel 6.4. prmetrige Weibull-Verteilung, die verwndt wird bei der Untersuchung von Lebensduern in der Qulittssicherung, Mterilprufung bei sproden Werkstoen. Fur k < nimmt die Ausfllrte mit wchsende Zeit b, fur k > nimmt sie mit wchsende Zeit zu. Die Dichtefunktion ist { ( k t ) k f(t) := λ λ e ( λ) t k, t,, x <. Weibull-Verteilungsdichte f(t) für verschiedene Prmeter Wie mn leicht durch Integrieren erhlt, ist die Verteilungsfunktion ( ) k k t F (x; k, λ) = e ( λ) t k dt = e ( λ) x k. λ λ

4 3. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 8 Der Erwrtungswert ist t k λ Mit der Substitution τ := ( t k λ) wird drus k τ λ e τ dτ = λ ( ) k t e ( λ) t k dt λ dbei bezeichnet Γ die Gmm-Funktion. τ + k e τ dτ = λ Γ ( + ), k Eine weiter Anwendung ist die Existenz uneigentlicher Prmeterintegrle, wie z.b. der Gmm-Funktion Γ(x). Γ(x) = Beispiel 6.5. Gmm-Funktion. Wir wollen zeigen, dss t x e t dt. Γ(x) fur lle x > existiert, Γ() = ist, Γ(x + ) = xγ(x) rekursiv berechnet werden knn. Aus der zweiten und der dritten Beziehung folgt dnn: Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = n(n )(n )Γ(n ) =... = n(n )(n )... 3Γ(3) = n(n )(n )... 3 Γ() = n(n )... 3 = n! Die Gmm-Funktion erklrt lso die Funktion n! fur lle reellen x >. (Allgemein sogr fur lle reellen x, wobei die Funktion Polstellen fur bestimmte negtive x ht, mehr noch ist die Gmm-Funktion fur lle komplexen x erklrt, siehe Litertur.) Am einfchsten lsst sich Γ() berechnen: Γ() = e t dt = lim A e t dt = lim A e t t=a t= = lim A ( e A + ) =. D fur < x < uch n der Stelle t = eine Singulritt, d. h. eine Stelle wo der Ausdruck, in diesem Fll t x, nicht erklrt ist, uftritt, wird ds Integrl in Teilintegrle ufgeteilt: t x e t dt = T t x e t dt + T t x e t dt. Wir wenden ds Mjorntenkriterium n, indem wir bschtzen, Dnn gilt T t x e t dt = t x e t t x, de t fur t. T t x e t dt T T t x dt = lim t x dt = T x ε + ε x <

5 8 und dmit existiert ds erste Integrl. Fur ds zweite Integrl benutzen wir uch ds Mjorntenkriterium und zeigen dfur zunchst, dss gilt t x e t/ C e t/ fur ein festes C, C >, und t [T, ), T >. Dzu quivlent ist, dss wir zeigen, dss die Funktion g(t) = t x e t/ uf dem Intervll [T, ), T > beschrnkt ist (durch C.) Dzu untersuchen wir die Funktion g(t), die stetig und stetig dierenzierbr uf [T, ) ist, mit der Ableitung ( ) [ g (t) = (x )t x e t/ + t x e t/ = t x e t/ x t ]. Wegen t x e t/ > fur t > hngt ds Vorzeichen der Ableitung nur vom Term in eckigen Klmmern b. Wir erhlten fur < x, dss g(t) in [T, ), T >, streng monoton fllend ist, d hier g (t) < gilt, in diesem Fll ist C = T x e T/. Gilt dgegen < x <, so ist g (t) >, t < t,, t = t = (x ), <, t > t, d.h. die Funktion g(t) ht n der Stelle t = t = (x ) ein globles Mximum und deshlb gilt in diesem Fll C = ((x )) x e (x ). Somit erhlten wir T t x e t dt C T e t/ dt = Ce T/ <. Dmit existiert uch ds Gesmtintegrl. Die Rekursionsformel folgt us der Formel der prtiellen Integrtion Γ(x + ) = t x e t dt = e t t x t= + t= Wegen x > ist e t t x t= = und lim t e t t x t x = lim t e = lim xt x t t e t xt x e t dt = e t t x t= t= + xγ(x). =... = lim t x(x )(x )... (x n + )t x n e t =, d nch endlicher Anwendung der L'Hospitlschen Regel im Zhler x n < gilt und der Grenzwert deshlb Null ist. Oder ber durch Abschtzen: lim t e t t x lim t t C e t/ = C lim t t = C lim et/ t et =.

6 4. ANWENDUNGEN 83. Gmm-Funktion Γ(x), x>, Fkultät n!.... Γ() =! =, Γ() =! =, Γ(3) =! =, Γ(4) = 3! = 6, Γ(5) = 4! = Anwendungen 4.. Volumen von Rottionskörpern. Von einem dreidimensionlen Korper sei nch Whl eines geeigneten krtesischen Koordintensystems f ur jedes x [, b] der Flcheninhlt F (x) des Querschnitts beknnt. y ΔX z x Ds Volumen der Scheibe der Dicke x betrgt nherungsweise F (x) x. In Kurzform: dv = F (x) x; die Integrtion ergibt V = dv = F (x). Speziell gilt mit F (x) = π(f(x)) : Stz 6.4. Ein durch Drehung der Kurve (Kontur) y = f(x), x b, um die x-achse erzeugter Rottionskorper ht ds Volumen V = π (f(x)).

7 84 Beispiel 6.6. Volumen eines Torus (Reifen). y r R x Torus Der Torus entsteht durch Rottion des oberen Hlbkreises y = R + r x um die x-achse, wobei der " innere Korper\ entfernt wird. Der " innere Korper\ entsteht durch die Rottion des unteren Hlbkreises y = R r x um die x-achse. Dmit ergibt sich ds Volumen des Torus zu r r V = π y π y = π = π r (R + R r x + r x R + R r x r + x = 4Rπ r r Substitution: x = r sin t, = r cos t dt, = r sin t t = π, r = r sin t t = π ergibt π = 4Rπ r r sin t r cos t dt = 4Rπ π π = 4Rr π cos t dt = 4Rr π π π π = Rr π π π cos t dt = Rr π r cos t r cos t dt π π ( ) π sin t + t π cos t + dt = Rr π. 4.. Kurvenlänge. Die Prmeterdrstellung x = x(t), y = y(t) ( t b) einer Kurve heit regulr, wenn die Funktionen t x(t), t y(t) uber [, b] stetig dierenzierbr sind und ẋ(t) + ẏ(t) fur t b gilt, dbei sind ẋ() und ẋ(b) ls einseitige Ableitungen zu verstehen. (y y ) r x

8 4. ANWENDUNGEN 85 Stz 6.5. Es gilt () Die Lnge eines Kurvenbogens mit regulrer Prmeterdrstellung betrgt ẋ(t) L = + ẏ(t) dt. () Der Grph y = f(x) einer stetig dierenzierbren Funktion f : [, b] R ht die Lnge L = + f (x). Beweis: Wir zerlegen ds Prmeterintervll [, b] in (quidistnte) Zwischenpunkte = t < t <... < t n = b, t i+ t i = t, in n Teilintervlle. Uber jedem dieser Teilintervlle wird der Kurvenbogen ersetzt Δy Δs Δx durch die Sehne der Lnge s = ( x) + ( y) = ẋ(ξ i ) + ẏ(η i ) t mit ξ i, η i zwischen t i und t i + t. Dies ist eine Folgerung us dem Mittelwertstz 4.. Summtion und der Grenzubergng t (bzw. n ) ergeben die Behuptung ). b) ist ein Spezilfll von ), denn es ist x(t) = t und y(t) = f(t) eine stetig dierenzierbre Prmeterdrstellung der Kurve y = f(x). # 4.3. Mntelfläche. Die Mntelche eines Rottionskorpers mit der Kontur y = f(x), x b, berechnet mn ddurch, dss die Mntelche dm einer dunnen Scheibe der Dicke ngenhert wird durch die Mntelche eines Zylinders mit dem Rdius f(x) und der Mntelhohe ds = + f (x) (vgl. Stz 6.5). Folglich gilt und Integrtion ergibt dm = π f(x) + f (x)

9 86 M = π f(x) + f (x). Beispiel 6.7. Wir mochten die Mtelche des in Beispiel 6.6 betrchteten Torus berechnen. Die Mntelche setzt sich wieder us der vom oberen Kreisbogen y = R + r x erzeugten Mntelche M und us der vom unteren Kreisbogen y = R r x erzeugten Mntelche M zusmmen. Es gilt wegen (y ) = (y ) r M = M + M = π (y + y ) r + (y ) = 4πR + (y ) = 4πR r r = 4πRr r x r r x Substitution: x = r sin t, = r cos t dt, = r sin t t = π, r = r sin t t = π ergibt π r cos t = 4πRr π r cos t dt = 4π R r. Die Rechung lsst sich erheblich verkurzen, wenn mn berucksichtigt, dss r + (y ) = πr die Lnge des Hlbkreisbogens ist.