Musteraufgaben für das Fach Mathematik

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1 Musteraufgaben für das Fach Mathematik

2 1 Musteraufgaben für Aufgabenpool Analysis Analytische Geometrie/Lineare Algebra Analytische Geometrie Lineare Algebra Stochastik...10 Musteraufgaben für Aufgabenpool Analysis...1. Analytische Geometrie/Lineare Algebra Analytische Geometrie Lineare Algebra Stochastik...19

3 1 Musteraufgaben für Aufgabenpool Analysis A1_1 Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit ( ) 3 = ( IR ) f x, x, x x, x. y Begründen Sie ohne Rechnung, dass die 3 Gleichung 0 = 0, 5 x + 4, 5 x 1 x + 7, 5 nur genau eine Lösung hat. 1. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f O x A1_1 1.1 Begründung Z. B.: Im Graphen ist eine Nullstelle erkennbar. Aufgrund der im Graphen ersichtlichen lokalen Extrempunkte kann es keine weiteren Nullstellen geben, da hier beide lokalen Extrempunkte unterhalb der x-achse liegen und keine weiteren lokalen Extrempunkte bei einer Funktion dritten Grades möglich sind. 1. Die Wendestelle ergibt sich aus der Bedingung f (x w ) = 0. f (x) = 3 x + 9 liefert x w = 3. Koordinaten des Wendepunktes: (3 1,5) (Die Existenz des Wendepunktes kann aufgrund der Formulierung der Aufgabe vorausgesetzt werden.) 3 4

4 A1_ Das Rechteck ABCD mit A ( 1 0), B ( 4 0), C ( 4 ) und ( 1 ) Funktion f mit ( ) = ( IR 0) f x x x, x in zwei Teilflächen zerlegt. D wird durch den Graphen der Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. 5 A1_ Berechnung des Flächeninhaltes unterhalb des Graphen von f: x dx = x x 3 = = Berechnung des Flächeninhaltes oberhalb des Graphen von f: = 3 3 Angabe des Verhältnisses: 7 : 5 5

5 1. Analytische Geometrie/Lineare Algebra 1..1 Analytische Geometrie G1_1 Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein. Gegeben sind die Ebene : = 0 E x x x sowie der Punkt ( 3 0 ) P. 1.1 Zeigen Sie, dass der Punkt P nicht in der Ebene E liegt. 1. Spiegelt man den Punkt P an der Ebene E, so erhält man den Punkt P. Ermitteln Sie die Koordinaten von P. 1 4 G1_1 Hinweis: Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein. 1.1 Da gilt ( 3) 0 = 8 0, liegt P nicht in der Ebene E Lotgerade zu E durch P: z. B. x = 0 + λ 1 ( λ IR ) Parameter des Lotfußpunktes: λ = ur Ansatz für die Ermittlung der Koordinaten von P : z. B. 3 uuuur OP = 0 + λ 1 mit λ = 1 Koordinaten von P : P ( 5 4 ) 1 4 6

6 G1_ Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A ( 0 0 0), ( 3 1 4) C ( 4 4 ) und D ( 5 5 0). B, 1.1 Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius eines Kreises mit dem Durchmesser AC an. G1_ uuur uuur uuur uuur Es gilt: AB = DC, da AB = 1 ; DC = 4 5 = Da zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind, ist das Viereck ein Parallelogramm. 3 5 uuur uuur uuur uuur Es gilt AB AD 0, da AB AD = 1 5 = = Da zwei benachbarte Seiten nicht orthogonal zueinander sind, ist das Viereck kein Rechteck uuur 0 1 uuur uur AC 1 xm = x A + = = 0 4 Koordinaten des Mittelpunktes: M ( 1 ) uuur 1 AC ( ) r = = = = 3 7

7 1.. Lineare Algebra LA1_ uur Gegeben sind die Matrix 0 0 A = und der Vektor v 0 = uuuur 1.1 Es gelte + = uur vi 1 A vi mit i IN. uur Berechnen Sie v. 1. Bestimmen Sie den Vektor ur ur so, dass A w = w gilt. x ur w = y z mit den kleinstmöglichen Werten x, y, z IN \ { 0} 3 LA1_ uur uur 3 uur uur 1 v1 = A v 0 = ; v = A v 1 = x x y = y 1 z z liefert I) 0 y = II) III) 1 z = 1 x 10 = Für y = 1 erhält man z = und x = 0. Da z und x Vielfache von y sind, ist dies die Lösung mit den kleinsten natürlichen Zahlen größer als null. 3 x y z 8

8 A 5 1 = und = 3 1 B 3 5 sowie eine Mat- LA1_ Betrachtet werden die Matrizen A und B mit rix C. 1.1 Zeigen Sie, dass B die zu A inverse Matrix ist. 1. Für die Matrix C gilt: C = und C = Begründen Sie, dass gilt: C = LA1_ 1.1 B ist die zu A inverse Matrix, da gilt: ( 1) ( 5) 1 0 A B = = = ( 1) ( 5) Es gilt: C = C + = C + C = + =

9 1.3 Stochastik S1_1 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0, Geben Sie an, welche der Abbildungen die Verteilung von X darstellt. Begründen Sie Ihre Auswahl Geben Sie mithilfe der von Ihnen ausgewählten Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P ( 4 < X < 7) und die Wahrscheinlichkeit P ( X 5) an. S1_1 1.1 Abbildung 3 zeigt die Verteilung von X E(X) = 10 0,6 = 6, deshalb entfallen die Abbildungen 1 und 4. Da in Abbildung P ( X = 11) > 0 angegeben ist, entfällt auch diese Wahrscheinlichkeit: P ( 4 < X < 7) 0, 45 Wahrscheinlichkeit: P ( X 5) 0, 8 10

10 S1_ In den Urnen U 1 und U befinden sich Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden: U 1: 6 rote und 4 blaue Kugeln U : 1 rote und 4 blaue Kugeln 1.1 Aus der Urne U 1 werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen zufällig gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben. 1. Es wird eine der beiden Urnen zufällig ausgewählt. Aus dieser wird eine Kugel zufällig gezogen. Die gezogene Kugel ist rot. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus der Urne U 1 stammt. 3 S1_ ( ) P beide Kugeln haben die gleiche Farbe Mithilfe eines Baumdiagramms erhält man: ( ) = + = P E = =

11 Musteraufgaben für Aufgabenpool.1 Analysis A_1 Ein quaderförmiges Speicherbecken für eine Flüssigkeit hat eine Grundfläche von 5 m und ist zunächst leer. Der nebenstehende Graph gibt die 3 m Zufluss- bzw. Abflussrate in h der Flüssigkeit über einen Zeitraum von 5 Stunden wieder..1 Bestimmen Sie näherungsweise das Volumen der in den ersten drei Stunden zufließenden Flüssigkeit.. Skizzieren Sie in das nebenstehende Koordinatensystem einen möglichen Graphen, der die Höhe (in m) des Flüssigkeitsstandes im Speicherbecken in Abhängigkeit von der Zeit (in h) beschreibt. 3 1

12 A_1 1.1 Anhand der Quadrate zwischen dem Graphen und der Zeitachse im Bereich der ersten drei Stunden erhält man einen Schätzwert für die Flüssigkeitsmenge. Da jedes Quadrat einem Zufluss von Schätzwerte zwischen 1. Skizze eines sachgerechten Graphen 3 0,5 m entspricht, ergeben sich m und 10 m (Verlauf durch ( 0 0 ) ; alle Punkte im ersten Quadranten; Maximum an der Stelle 3; Minimum an der Stelle 5, dort Funktionswert größer 0) 3 13

13 A_ Für jeden Wert für a ( IR, 0) a a x ( ) = e ( IR ) f x x. a a ist eine Funktion f a gegeben durch ( ) Zeigen Sie, dass die Tangente t a an den Graphen der Funktion f a im Punkt P 1 ( 1) a f a a a durch die Gleichung ( ) = + ( 1 ) t x a e x e a beschrieben werden kann. a 5 A_ In der Tangentengleichung gibt der Term a e die Steigung an. a x ( ) = ; f ( ) f x a x e a a a 1 = a e ; die Steigungen stimmen überein. a a 1 a ( 1) = = ; ( 1) 1 ( 1 ) f e e a a a a t = a e + e a = e ; die Funktionswerte von f a und t a stimmen an der Stelle 1 überein. Damit beschreibt t a die Tangente an den Graphen von f a an der Stelle 1. Insbesondere sind bei dieser Aufgabe Wege zur Herleitung der Tangentengleichung gleichwertig. 5 a 14

14 . Analytische Geometrie/Lineare Algebra..1 Analytische Geometrie G_1 Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein. Im Raum sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf der Geraden g liegt, gegeben. Beschreiben Sie einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten zweier Punkte B und C der Geraden g, die zusammen mit A ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck bilden. 5 G_1 Hinweis: Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein. Prinzipiell ist diese Aufgabe zwar bearbeitbar, überschreitet aber hinsichtlich Anspruch und Bearbeitungsumfang den Rahmen des Aufgabenformats. Man wählt den Punkt B als Fußpunkt des Lots durch A auf g. Anschließend berechnet man den Abstand d der Punkte A und B. Ist u uur 0 ein Richtungsvektor von g der Länge 1, so ergeben sich die Koordinaten eines geeigneten Punkts C aus OC = OB + d u0 uuur uuur uur. [Bei dieser Aufgabe sind die Bearbeitungswege besonders vielfältig.] 5 15

15 G_ Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein. Gegeben sind die Ebenen E 1 und E mit E1: 6 x1 x 4 x3 = 1 und E: 3 x1 + 5 x + x 3 = 6. Die Punkte A ( 0 0) und ( 0 0 3) B liegen in beiden Ebenen..1 Begründen Sie, dass die Ebenen E1 und E nicht identisch sind. 1. Ermitteln Sie die Koordinaten eines von A und B verschiedenen Punktes, der ebenfalls in beiden Ebenen liegt..3 In der Gleichung von E soll genau ein Koeffizient so geändert werden, dass eine Gleichung der Ebene E 1 entsteht. Geben Sie diese Änderung an und begründen Sie Ihre Antwort. G_ Hinweis: Diese Aufgabe geht über die Vorgaben des niedersächsischen Kerncurriculums hinaus und kann daher in dieser Form nicht Gegenstand der niedersächsischen Abiturprüfung sein..1 Punktproben liefern die Begründung. 1. Gleichung der Geraden g durch A und B: r g : x = 0 + r Z. B. ergibt sich für r = 1 der Punkt C( 4 0 3), der auf beiden Ebenen liegt..3 Der Koeffizient 5 ist in 0,5 zu verändern. Multipliziert man die veränderte Koordinatengleichung für E mit, dann ergibt sich die Koordinatengleichung für E 1. 16

16 .. Lineare Algebra LA_1 Es gibt x-matrizen, die besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Quadrate besitzen..1 Für jeden Wert für t ( IR, 0) t t ist eine Matrix M t durch M Ermitteln Sie, welche besondere Eigenschaft die Matrizen M t haben.. Für eine Matrix a b A = c d mit ( IR ) t 0 t = 1 gegeben. t 0 M t bezüglich ihrer Quadrate a, b, c, d und b c 0 gilt 1 0 A = b c. 0 1 Untersuchen Sie, welche Werte für die Elemente der Matrix A in Frage kommen. 3 LA_1.1 Für M t ergibt sich M t 0 t 0 t 1 0 = 1 = t t 0 1 Die Quadrate aller Matrizen sind unabhängig von t gleich der Einheitsmatrix.. ( ) a + b c a b + b d a + b c b a + d A = = ( ) a c c d b c d c a d b c d Aus b ( a + d ) = 0 und c ( a + d ) = 0 folgt, dass ( a + d ) = 0 ist, da wegen b c = p 0 weder b noch c gleich 0 sein kann. Aus a + b c = b c folgt a = 0 und aus b c + d = b c bzw. aus ( a + d ) = 0 folgt d = 0. Die Elemente a und d sind gleich 0, die Elemente b und c sind ungleich

17 LA_ Die Nutzer einer Kantine werden hinsichtlich der Auswahl eines Menüs in drei Gruppen eingeteilt: Esser des Nudelgerichts (N), Esser des Fleischgerichts (F) und Esser des vegetarischen Gerichts (V). Der nebenstehende Graph gibt die Übergänge zwischen den Gruppen von Tag zu Tag an. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Gesamtanzahl der Nutzer dieser Kantine konstant bleibt..1 Geben Sie die in der zugehörigen Übergangsmatrix M fehlenden Werte an. 0, 1 M = 0, 0, 9 0, 1 0. Geben Sie den Wert a der Matrix: a a a = = 1 3 M A a a a a a a an. Interpretieren Sie die Bedeutung des Wertes a im Sachzusammenhang. 3 LA_ Dem Graphen entnimmt man folgende Übergänge zwischen den Ft+1 0, 6 0, 1 0, 1 Ft Gruppen von Tag zu Tag: Vt+1 = 0, 0, 9 0, 1 Vt. N t N,, t Die Matrix, welche die Übergänge beschreibt, stimmt mit der Matrix M überein. Für das mittlere Element der Matrix M gilt: a = 0, 0, 1+ 0, 9 0, 9 + 0, 1 0 = 0, 83. Der Wert a der Matrix = M A gibt an, wie groß der Anteil der Nutzer des vegetarischen Essens eines Tages ist, die auch nach zwei Tagen das vegetarische Essen wählen. 3 18

18 .3 Stochastik S_1 Verteilungen von Zufallsgrößen werden durch Parameter charakterisiert..1 In den Klassen 10a und 10b, die jeweils aus 5 Schülern bestehen, wurden die Leistungen jedes Schülers im Weitsprung ermittelt. Die Zufallsgrößen A und B ordnen jeweils einem zufällig ausgewählten Schüler der Klasse 10a bzw. 10b seine Sprungweite in Meter zu. Für die Erwartungswerte der beiden Zufallsgrößen gilt E ( A) = E ( B ), für die Standardabweichungen σ ( A) < σ ( B). Erklären Sie anschaulich, was diese beiden Beziehungen für die Verteilungen der Sprungweiten bedeuten.. Eine Zufallsgröße X kann fünf unterschiedliche Werte annehmen. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X so an, dass der Erwartungswert zwischen dem kleinsten und dem zweitkleinsten Wert dieser Zufallsgröße liegt. 3 S_1.1 Der Durchschnitt der Sprungweiten der Schüler der Klasse 10a stimmt mit dem der Schüler der Klasse 10b überein. Die Sprungweiten der Schüler der Klasse 10a weichen hinsichtlich des vorgegebenen Streuungsmaßes weniger vom jeweiligen Mittelwert ab als die der Schüler der Klasse 10b.. Angabe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung x i P X x 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1 ( ) = i [Eine wird vergeben, wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.] 3 19

19 S_ Eine verbeulte Münze wird mehrfach geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Wurf Wappen fällt, beträgt p..1 Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse A und B an: A: Bei fünf Würfen fällt genau dreimal Wappen. B: Bei fünf Würfen fällt genau dreimal Wappen, darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal. 3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei drei Würfen dreimal Wappen fällt, ist 0,16. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis Wappen wahrscheinlicher ist als das Ergebnis Zahl. S_ Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A: 5 3 p ( 1 p) 3 Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B: 3 p p ( 1 p) 1 3 Das Ergebnis Wappen ist wahrscheinlicher, da gilt: 0, 16 > 0,