Die Interpolationsaufgabe besteht darin, eine (einfache) Funktion u n U n zu finden,

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1 Kapitel 3 Interpolation 31 Einführung Bemerkung 31 Motivation, Aufgabenstellung Gegeben seien eine Funktion f C([a,b]) und x i [a,b], i = 0,n, mit a x 0 < x 1 < < x n b (31) Die Interpolationsaufgabe besteht darin, eine (einfache) Funktion u n U n zu finden, so dass u n (x i ) = f(x i ), i = 0,n, (32) ist Dabei ist U n C([a,b]) eine Folge von Räumen Natürlich gibt es unendlich viele Funktionen, welche die Interpolationsaufgabe erfüllen Deshalb muss man die Klasse der Funktionen festlegen, in der man die Interpolierende u n (x) sucht Man unterscheidet zum Beispiel: u n (x) ist ein Polynom Polynominterpolation, u n (x) = a 0 +a 1 e ix ++a n e inx trigonometrische Interpolation (i = 1), u n (x) ist stückweise ein Polynom Spline Interpolation, u n (x) ist eine rationale Funktion rationale Interpolation In diesem Kapitel wird auf die Interpolation mit Polynomen und mit Splines eingegangen Definition 32 Stützstellen, Stützwerte Man bezeichnet {x i } als die Menge der Stützstellen und die Menge {f(x i )} als die Menge der Stützwerte Man sagt, dassdiefunktionu n (x)diestützwerte{f(x i )}andenstützstellen{x i }interpoliert Bemerkung 33 Wichtige Fragestellungen Natürlich sind die Untersuchung der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung von (32) von Bedeutung Die Interpolationsaufgabe (32) ist auch eine Art Bestapproximations Aufgabe, nämlich gerade für die Stützstellen {x i } n i=0 Es ist aber auch wichtig zu wissen, wie sich die Interpolierende u n (x) und die interpolierte Funktion f(x) in den Intervallen zwischen den Stützstellen unterscheiden, zum Beispiel ob lim f u n n = 0 (33) Falls dies der Fall ist, interessiert man sich auch für die Konvergenzgeschwindigkeit Dazu versucht man Fehlerabschätzungen der Gestalt f u n Cn q (34) 33

2 mit einer von n unabhängigen Konstanten C > 0 und einer möglichst großen positiven Konstanten q zu beweisen Hat man eine Abschätzung der Gestalt (34) bewiesen, so erhält man damit auch eine Abschätzung für die L 2 Norm ( ) 1/2 b f u n L 2 = (f u n ) 2 (x) dx a ( b f u n dx = b a f u n Cn q, a ) 1/2 wobei C jetzt eine andere Konstante bezeichnet Eine Umkehrung dieser Vorgehensweise gilt nicht Aus dem Fehler in der L 2 Norm kann man nicht auf den Fehler in der Maximumsnorm schließen Für die Praxis sind schließlich auch effiziente und robuste Verfahren zur Berechnung der Interpolierenden wichtig 32 Polynominterpolation 321 Wiederholung Bemerkung 34 Aufgabenstellung Sei U n = P n Die allgemeine Interpolations Aufgabe (32) hat in diesem Fall die Gestalt: Finde u n = p n P n, so dass p n (x i ) = f(x i ), i = 0,n, (35) unter der Voraussetzung (31) Diese Aufgabe wurde bereits in CoMa 2 untersucht Die gewonnenen Ergebnisse werden hier zusammengefasst Definition 35 Dividierte Differenz Seien (x i,f(x i )) R R, i = 0,,n, paarweise verschiedene Stützstellen Die k te dividierte Differenz wird rekursiv definiert durch f[x i,x i+1,,x i+k ] f[x i ] = f(x i ) für i = 0,,n, f[x i,x i+1,,x i+k ] = f[x i+1,x i+2,,x i+k ] f[x i,x i+1,,x i+k 1 ] x i+k x i Satz 36 Zur Polynominterpolation Die Interpolations Aufgabe (35) besitzt eine eindeutige Lösung Diese hat die Lagrange 1 Darstellung p n (x) = wobei L k (x) das Lagrange Polynom L k (x) = 1 Joseph Louis Lagrange ( ) n L k (x)f(x k ), (36) k=0 n j=0,j k x x j x k x j (37) 34

3 ist Die Newton 2 sche Darstellung des Interpolationspolynoms lautet p n (x) = n ω k (x)f[x 0,x 1,,x k ] mit ω k (x) = k=0 k 1 j=0 (x x j ) (38) Sei f C n+1 ([a,b]) Dann gibt es zu jedem x [a,b] ein ξ(x) (a,b), so dass für den Fehler f(x) p n (x) = f(n+1) (ξ) (n+1)! ω n+1(x) (39) gilt Daraus folgt f p n 1 f (n+1) ω n+1 (n+1)! (310) Bemerkung 37 Interpretation der Aussage des Satzes Die Aussage von Satz 36 impliziert nicht, dass (33) gilt Man kann Funktionen und zugehörige Mengen von Stützstellen so finden, zum Beispiel mit gleichem Abstand, dass es Teilintervalle von [a,b] gibt, in denen p n (x) f(x) für alle Argumente x aus diesen Teilintervallen Beispiel 38 Beispiel von Runge 3 Betrachte f : [ 5,5] R mit f(x) = 1/(1+ x 2 ) Es gilt f C ([ 5,5]) Bei der Nutzung äquidistanter Stützstellen erhält man die in Abbildung 31 zu sehenden Interpolationspolyome für n {2,5,10} Mansieht,dassinsbesonderedieInterpolationspolynomehöherenGradeszumRand hin stark von der zu interpolierenden Funktion abweichen Die Interpolationsfehler werden immer größer Abbildung 31: Beipiel 38, Interpolationspolyome für n {2,5,10}, äqudistante Stützstellen 322 Hermite Interpolation Bemerkung 39 Aufgabenstellung Die Interpolationsaufgabe (35) kann man dahingehend verallgemeinern, dass man nicht nur Funktionswerte vorgibt, sondern auch Werte von Ableitungen Diese Aufgabe nennt man Hermite 4 Interpolation Seien Paare (x i,f (k) (x i )) mit i = 0,,n, k = 0,,m i, m i N, gegeben, wobei 2 Isaac Newton ( ) 3 Carl David Tolmé Runge ( ) 4 Charles Hermite ( ) 35

4 die Bedingung (31) an das Gitter erfüllt sei Setze N = n i=0 (m i+1) Die Aufgabe der Hermite Interpolation lautet: Finde p N P N, so dass p (k) N (x i) = f (k) (x i ), i = 0,,n, k = 0,,m i (311) In diesem Abschnitt wird im Wesentlichen ein Spezialfall der Hermite Interpolation betrachtet Für den allgemeinen Fall, sei auf die Literatur verwiesen Bemerkung 310 Zusammenhang mit Taylor 5 scher FormelSeienf C m+1 ([a,b]) undx 0 (a,b)dannbesitztdietaylorscheformelmitdemrestgliedvonlagrange die Gestalt f(x) = m k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f(m+1) (ξ) k! (m+1)! (x x 0) m+1 mit ξ = x 0 +θ(x x 0 ), θ (0,1) Das Taylor Polynom p n = m k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! löst offenbar die Hermite Interpolationsaufgabe für n = 0 und m 0 = m Die Gestalt des Fehlers f (m+1) (ξ) (m+1)! (x x 0) m+1 erinnert an den Fehler (39) der Polynominterpolation ohne Ableitungen Bemerkung 311 Spezielle Hermite Interpolationsaufgabe In der Vorlesung wird sich auf folgenden Spezialfall beschränkt Seien f C 1 ([a,b]) und seien die Bedingungen f(x i ) = f i f (x i ) = f i, i = 0,,n, (312) gegeben Das sind (2n+2) Bedingungen Gesucht ist also ein Polynom p P 2n+1, welches die Bedingungen (312) erfüllt Beispiel 312 Zur speziellen Hermite Interpolationsaufgabe Gesucht ist das Polynom p 3 (x) dritten Grades, welches durch die Bedingungen bestimmt ist Mit dem Ansatz p 3 ( 1) = 1, p 3( 1) = 2, p 3 (1) = 3,p 3(1) = 4, p 3 (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 = p 3(x) = a 1 +2a 2 x+3a 3 x 2 erhält man das Gleichungssystem a 0 a 1 a 2 a 3 1 = Dieses System kann man durch geschicktes Addieren und Subtrahieren von Zeilen lösen Man erhält a 0 a 1 a 2 a = 0 1 Das gesuchte Polynom besitzt also die Gestalt p 3 (x) = x2 +x 3 5 Brook Taylor ( )

5 Satz 313 Existenz und Eindeutigkeit des Hermite Interpolationspolynoms zur Aufgabe (312) Das Hermite Interpolationspolynom p P 2n+1 zur Aufgabe (312) existiert und es ist eindeutig bestimmt Beweis: Existenz Ein Hermite Interpolationspolynom wird konstruiert Dazu verwendet man den Ansatz n n p(x) = f iϕ i(x)+ f iψ i(x) (313) i=0 mit ϕ i,ψ i P 2n+1, i = 0,,n Diese Polynome sollen folgende Bedingungen erfüllen i=0 ϕ i(x j) = δ ij, ϕ i(x j) = 0, ψ i(x j) = 0, ψ i(x j) = δ ij, i,j = 0,,n (314) Findet man solche Polynome, dann löst das Polynom (313) die Hermite Interpolationsaufgabe (312) Setze ϕ i(x) = ( 1 2L i(x i)(x x i) ) L 2 i(x), (315) ψ i(x) = (x x i)l 2 i(x), (316) wobei L i(x) das in (37) definierte Lagrange Polynom ist Es gelten, wegen L i(x j) = δ ij, ϕ i(x i) = L 2 i(x i) = 1, ϕ i(x j) = ( 1 2L i(x j)(x j x i) ) L 2 i(x j) = 0, ψ i(x i) = (x i x i)l 2 i(x i) = 0, ψ i(x j) = (x j x i)l 2 i(x j) = 0, ϕ i(x i) = 2L i(x i)l 2 i(x i)+2l i(x i)l i(x i) = 2L i(x i)+2l i(x i) = 0, ϕ i(x j) = 2L i(x i)l 2 i(x j)+2 ( 1 2L i(x i)(x j x i) ) L i(x j)l i(x j) = 0, ψ i(x i) = L 2 i(x i)+2(x i x i)l i(x i)l i(x i) = L 2 i(x i) = 1, ψ i(x j) = L 2 i(x j)+2(x k x i)l i(x j)l i(x j) = 0 Damit erfüllt p aus (313) mit (315), (316) die Hermite Interpolationsaufgabe (312) Eindeutigkeit Angenommen, es gibt ein weiteres Polynom p, welches die Hermite Interpolationsaufgabe (312) löst Dann gilt p p P 2n+1 und p p besitzt die (n + 1) doppelten Nullstellen x 0,,x n Nach dem Fundamentalsatz der Algebra muss dann aber p p 0 gelten Satz 314 Interpolationsfehler in Aufgabe (312) Sei f C 2n+2 ([a,b]), sei (31) erfüllt und sei p das Hermite Interpolationspolynom (313) mit (315), (316) Dann gibt es zu jedem x [a,b] ein ξ (a,b) mit mit ω n+1 (x) aus (38) f(x) p(x) = f(2n+2) (ξ) (2n+2)! ω2 n+1(x) (317) Beweis: Für x = x i sind der Fehler und die rechte Seite von (317) beide Null Sei x (a,b), x x i für alle i, beliebig aber fest Betrachte die Funktion h(z) = (f(x) p(x))ω 2 n+1(z) (f(z) p(z))ω 2 n+1(x) Dann besitzt h(z) in z = x i eine doppelte Nullstelle, weil ω n+1(x i) = 0 und dieser Faktor quadratisch vorkommt Für z = x besitzt h(z) eine einfache Nullstelle Betrachte h (z) Dann besitzt h (z) Nullstellen in x i, i = 0,,n Nach dem Satz von Rolle 6 besitzt 6 Michel Rolle ( ) 37

6 h (z) (n + 1) weitere Nullstellen, die nicht x i oder x sind Insgesamt besitzt h (z) also 2n+2 Nullstellen Fortgesetzte Anwendung des Satzes von Rolle liefert, dass h (2n+2) eine Nullstelle ξ (a,b) besitzt Es ist p ein Polynom vom Grad (2n+1) und ω n+1 ein Polynom vom Grad n mit dem Faktor Eins vor der höchsten Potenz Deshalb gilt h (2n+2) (z) = (2n+2)!(f(x) p(x)) f (2n+2) (z)ω 2 n+1(x) Nun folgt für z = ξ die Behauptung (317) 323 Zusammenhang zwischen Interpolations und Bestapproximationsfehler Bemerkung 315 Ziel Die Bestapproximation und die Interpolation durch gegebene Stützstellen sind zwei Möglichkeiten, eine Funktion durch eine einfachere Funktion zu approximieren In diesem Abschnitt werden diese beiden Möglichkeiten miteinander verglichen Satz 316 Kondition der Polynominterpolation Der Interpolationsoperator φ : C([a,b]) P n, f φ(f) = p n, ist eine Projektion Das heißt, φ ist linear und es gilt φ 2 = φ Für die Kondition der Polynominterpolation gilt mit der Lebesgue Konstanten n Λ n = L k mit L k (x) definiert in (37) φ(f) φ = sup = Λ n f C([a,b]) f k=0 = max x [a,b] k=0 Beweis: Dieses Resultat findet man im CoMa Skript n L k (318) Satz 317 Zusammenhang zwischen Interpolations und Bestapproximationsfehler Sei f C([a,b]) and sei sei ˆp n P n die Lösung der Tschebyscheffschen Bestapproximations Aufgabe (114) mit dem Approximationsfehler E n (f) = f ˆp n Sei p n P n die Lösung der Interpolationsaufgabe (35) Dann gilt mit Λ n definiert in (318) f p n (1+Λ n )E n (f) f C([a,b]) (319) Beweis: Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Dreiecksungleichung, Nutzung der Eigenschaften von φ und Nutzung der Definition der Lebesgue Konstanten f p n f ˆp n + ˆp n p n = f ˆp n + ˆp n φ(f) = f ˆp n + φ(ˆp n f) f ˆp n + φ ˆp n f = (1+Λ n) f ˆp n 38

7 Bemerkung 318 Interpretation von Satz 317 Abschätzung (319) besagt, dass der Interpolationsfehler um den Faktor (1+Λ n ) schlechter ist, als der Bestapproximationsfehler Um genaue Interpolanten zu erhalten, ist ein kleines Λ n nötig Bemerkung 319 Zum Bestapproximationsfehler Aus der Analysis Grundvorlesung ist bekannt, dass sich jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome approximieren lässt, Satz von Weierstraß Das bedeutet, es gilt lim E n(f) = 0 (320) n Bemerkung 320 Zur Lebesgue KonstantenDieLebesgue Konstanteverhältsich leider nicht besonders erfreulich So bewies Faber 7 im Jahre 1914: Zu jeder Folge von Stützstellen gibt es eine Funktion f C([a,b]), so dass gilt liminf n f p n > 0 Der Interpolationsfehler geht also nicht gegen Null Gemeinsam mit (320) bedeutet dies, dass Λ n für n Im Jahre 1978 zeigten Brutman, de Boor und Pinkus eine untere Schranke für die Lebesgue Konstante Für jede Folge von Stützstellen gilt Hierbei ist 2 π ln(n+1)+ 2 π γ = lim n ( n i=1 ( γ +ln ( )) 4 Λ n π ) 1 i ln(n) die Euler 8 Mascheroni 9 Konstante Das heißt, selbst für die bestmögliche Wahl von Stützstellen wächst Λ n mindestens logarithmisch an Das Wachstumsverhalten kann aber noch viel schlimmer sein So bewies Turetskii 10 (1940) Für die Folge äquidistanter Stützstellen x j = a + jh, j = 0,,n, mit der Schrittweite h = (b a)/n gilt 1 2n+1 Λ n e nln(n) Die Lebesgue Konstante wächst exponentiell! Das bedeutet, äquidistante Stützstellen sollten vermieden werden Bemerkung 321 Geschickte Wahl der Stützstellen Für eine geschickte Wahl der StützstellenkannmansichanderFehlerdarstellung(310)orientierenVernachlässigt man den Einfluss von f(x), dann erhält man einen kleinen Fehler, wenn n ω n+1 = (x x j ) (321) 7 Georg Faber ( ) 8 Leonhard Euler ( ) 9 Lorenzo Mascheroni ( ) 10 AH Turetskii j=0 39

8 möglichst klein ist Das Polynom ω n+1 (x) ist vom Grad n und der Koeffizient vor dem Term höchsten Grades ist gleich Eins Die Koeffizienten vor den anderen Termen kann man noch wählen Damit lautet eine äquivalente Formulierung der die Aufgabe (321) zu minimieren, ein Polynom n ten Grades zu finden, welches x n+1 in der Norm am besten approximiert Die Lösung dieser Aufgabe im Fall [a,b] = [ 1,1] ist aus Beispiel 137 bekannt Man erhält die Tschebyscheff Polynome 1 Art ω n+1 (x) = 1 2 nt n+1(x) Die resultierenden Stützstellen sind gerade die Nullstellen von T n+1 (x) ( ) 2(n j)+1 x j = cos π 2(n+1) Im Fall [a,b] [ 1,1] kann man die Tschebyscheff Stützstellen durch Transformation bestimmen Im Jahre 1974 zeigte Rivlin 11 Für die Tschebyscheff Stützstellen gilt 2 π ln(n+1)+ 2 π ( γ +ln ( 8 π )) Λ n 2 π ln(n+1)+1 In diesem Fall hat man wirklich nur das logarithmische Wachstum der Lebesgue Konstanten Der konstante Term auf der linken Seite hat ungefähr den Wert Beispiel 322 Beispiel von Runge Es wird die gleiche Funktion wie in Beispiel 38 betrachtet Nimmt man als Stützstellen die Tschebyscheff Stützstellen, so erhält man die in Abbildung 32 dargestellten Interpolationen Man erhält selbst für n = 100 eine gute Interpolation Abbildung 32: Beipiel 322, Interpolationspolyome für n {2,10,100}, Tschebyscheff Stützstellen 33 Spline Interpolation Bemerkung 323 Motivation, AufgabenstellungDiePolynominterpolationbesitzt zwei sehr negative Eigenschaften: 11 Theodore J Rivlin 40

9 für große n, das heißt viele Stützstellen, kann sie instabil werden, insbesondere bei äquidistanten Stützstellen, für nichtglatte Funktionen kann der Interpolationsfehler zwischen den Stützstellen beliebig groß werden Diese beiden Situationen (viele äquidistante Stützstellen oder nichtglatte Funktionen) treten in den Anwendung jedoch häufig auf In diesen Fällen muss man eine anderere Interpolation als die Polynom Interpolation verwenden Eine oft genutzte Herangehensweise ist die Spline Interpolation: spline (engl) längliches, dünnes Stück Holz oder Metall Definition 324 Spline Seien x 0,,x n [a,b] paarweise verschiedene Punkte mit a = x 0 < x 1 < < x n = b Die Funktion s k (x) : [a,b] R wird Spline vom Grad k bezüglich der Stützstellen {x j } genannt, falls s k (x) [xj,x j+1] P k, j = 0,,n 1, s k (x) C k 1 ([a,b]) (322) Bemerkung 325 Anzahl der gegebenen Bedingungen Definition 324 bedeutet: Ein Spline vom Grad k ist eine stückweise polynomiale Funktion, in jedem Teilintervall ein Polynom vom Grad k, im Gesamtintervall noch (k 1) mal differenzierbar In jedem Teilintervall kann man den Spline als s k,j (x) = k s ij (x x j ) i, x [x j,x j+1 ], j = 0,,n 1, i=0 darstellen Man hat also n(k +1) unbekannte Koeffizienten s ij Aus (322) folgt s (m) k,j 1 (x j) = s (m) k,j (x j), j = 1,,n 1, m = 0,,k 1 Das sind k(n 1) Bedingungen an die Koeffizienten Im Allgemeinen soll der Spline eine Funktion f(x) approximieren, deren Werte in den Stützstellen berechnet werden können Damit hat man weitere (n + 1) Bedingungen: s k (x j ) = f(x j ), j = 0,,n Es fehlen noch (k 1) Bedingungen Beispiel 326 Linearer SplineEinlinearerSpline,dasheißtk = 1,istnichtsweiter als ein Polygonzug Ein solcher Polygonzug gehört zum Raum S n, siehe Definition 18 Für lineare Splines fehlen keine Bedingungen Die Voraussetzungen der Interpolationsaufgabe seien wie in Bemerkung 31 Dann lautet die Interpolationsaufgabe für lineare Splines: Finde u n S n, so dass Die Lösung dieser Aufgabe ist u n (x i ) = f(x i ), i = 0,n u n (x) = n f(x i )ϕ i (x), i=0 wobei {ϕ i (x)} n i=0 die in (116) definierte Knotenbasis ist 41

10 Satz 327 Fehlerabschätzung für lineare Spline Interpolation Seien a = x 0, b = x n und f C 2 ([a,b]) Dann gilt für die lineare Spline Interpolierte u n (x) die Fehlerabschätzung mit f u n h 2 f 8 h = max j=1,,n h j, h j = x j x j 1 Beweis: Man wendet die Fehlerabschätzung der Polynominterpolation (39) auf jedes Teilintervall an, da man dort mit einem linearen Polynom interpoliert Damit ergibt sich für j = 1,,n, ξ [x j 1,x j], max f(x) un(x) = max x [x j 1,x j ] x [x j 1,x j ] f (ξ) ω 2(x) 2! = max x [x j 1,x j ] f (x) (x x j 1)(x x j) 2 max x [x j 1,x j ] f (x) 2 max (x x j 1)(x x j) x [x j 1,x j ] = h2 j 8 max x [x j 1,x j ] f (x), da der größte Wert des Produktes für den Mittelpunkt x = (x j 1 + x j)/2 angenommen wird Damit folgt ( ) f u n = max max f(x) u j=1,,n n(x) h2 x [x j 1,x j ] 8 max f (x) x [a,b] Bemerkung 328 Kubische Splines Lineare Splines sind einfach zu handhaben, jedoch relativ ungenau und die Interpolation besitzt Ecken, siehe unten in Abbildung 33 In der Praxis möchte man glattere Übergänge und dafür nutzt man oft kubische Splines, das heißt k = 3 Ein kubischer Spline ist zweimal stetig bis zum Rand differenzierbar, insbesondere ist seine Krümmung wohldefiniert Für die zwei fehlenden Bedingungen setzt man zum Beispiel die Randwerte s 3(a) = s 3(b) = 0 (323) Diese Randbedingung nennt man natürliche Randbedingung Die Randbedingung s (a) = f (a), s (b) = f (b) (324) heißt vollständige Randbedingung Betrachten wird nun eine Funktion f(x), die durch einen kubischen Spline interpoliert werden soll Wir verwenden die Bezeichnungen f i = s 3 (x i ), m i = s 3(x i ), M i = s 3(x i ), i = 0,,n Die zweite Ableitung s 3(x) ist eine stetige, stückweise lineare Funktion (Polygonzug) Mit den obigen Bezeichnungen gilt s 3(x) = M i 1 x i x x i x i 1 +M i x x i 1 x i x i 1, x [x i 1,x i ] Die Stetigkeit von s 3(x) überprüft man durch Einsetzen der Intervallgrenzen Zweimaliges integrieren liefert eine Darstellung des Splines in [x i 1,x i ] s 3 (x) = M i 1 6 (x i x) 3 + M i (x x i 1 ) 3 +c i 1 (x x i 1 )+d i 1 (325) x i x i 1 6 x i x i 1 42

11 Einsetzen der Endpunkte des Teilintervalls ergibt die Konstanten: und f i c i 1 f i 1 d i 1 = s 3 (x i 1 ) = M i 1 (x i x i 1 ) 2 +d i 1, = 6 = f i 1 M i 1 (x i x i 1 ) 2, (326) 6 = s 3 (x i ) = M i 6 (x i x i 1 ) 2 +c i 1 (x i x i 1 )+d i 1 = = f i f i 1 x i x i 1 (M i M i 1 ) (327) x i x i 1 6 Man rechnet schnell nach, dass mit diesen Konstanten die Stetigkeit von s 3 (x) in den Stützstellen gewährleistet ist Aus der Stetigkeitsbedingung für die erste Ableitung erhält man weitere Gleichungen für M 0,,M n Es gilt für x [x i 1,x i ] s 3(x) = M i 1 2 Für den rechten Randpunkt erhält man (x i x) 2 + M i (x x i 1 ) 2 +c i 1 x i x i 1 2 x i x i 1 s 3(x i 0 ) = M i 2 (x i x i 1 )+ f i f i 1 x i x i 1 (M i M i 1 ) x i x i 1 6 ( Mi 1 = + M ) i (x i x i 1 )+ f i f i x i x i 1 Betrachtet man nun den linken Endpunkt des Intervalls [x i,x i+1 ], so erhält man auf die gleiche Weise s 3(x i+0 ) = M i 2 (x i+1 x i )+ f i+1 f i x i+1 x i (M i+1 M i ) x i+1 x i 6 ( = M i 3 M ) i+1 (x i+1 x i )+ f i+1 f i 6 x i+1 x i SetztmandieseBedingungengleich,soerhältman(n 1)GleichungenfürM 0,,M n Für die zwei fehlenden Gleichungen setzt man 2M 0 +λ 0 M 1 = g 0, µ n M n 1 +2M n = g n mit vorgegebenen Koeffizienten λ 0,µ n [0,1] und g 0,g n Zur Erfüllung von (323) setzt man alle diese Koeffizienten gleich Null Zur Berechnung der Koeffizienten M 0,,M n hat man damit folgendes lineares Gleichungssystem zu lösen λ 2 2 λ 0 µ 1 2 λ 1 µ 2 2 Die Koeffizienten sind x i x i 1 µ i =, x i+1 x i 1 λ i = g i = µ n 1 2 λ n 1 µ n 2 M 0 M 1 M 2 M n 1 M n = g 0 g 1 g 2 g n 1 g n x i+1 x i, x i+1 x i 1 ( 6 fi+1 f i f ) i f i 1, i = 1,,n 1 x i+1 x i 1 x i+1 x i x i x i 1 43

12 Nach der Lösung dieses Systems erhält man mit (326), (327) durch Einsetzen in (325) die Darstellung des kubischen Splines Beispiel 329 Beispiel von Runge Dieses Beispiel wurde in Beispiel 38 zur Illustration der Nachteile der Polynominterpolation verwendet Betrachte wieder f : [ 5,5] R mit f(x) = 1/(1 + x 2 ) Man erhält mit Spline Interpolation und n {2,5,10} die in Abbildung 33 dargestellten Ergebnisse Für den kubischen Spline wurden als zusätzliche Randbedingungen s ( 5) = s (5) = 0 verwendet Abbildung 33: Beispiel 329 Interpolation mit Splines Satz 330 Interpolationsfehlerabschätzung Seien f C 4 ([a,b]), h max = max i=0,,n 1 (x i+1 x i ), h min = min i=0,,n 1 (x i+1 x i ), β = h max h min 1 Dann gilt für die kubische Spline Interpolation mit vollständiger Randbedingung (324) max f (r) (x) s (r) 3 (x) Cr hmax 4 r max f (4) (x) x [a,b] x [a,b] mit C 0 = 5/384, C 1 = 1/24, C 2 = 3/8 und C 3 = 1 2 (β +1/β) Beweis: Siehe Literatur Bemerkung 331 Interpretation der Aussage des Satzes Die Aussage von Satz 330 bedeutet, dass für h max 0 der kubische Spline samt seinen ersten beiden Ableitungen punktweise gegen f(x) beziehungsweise gegen die entsprechenden Ableitungen von f(x) konvergiert Innerhalb der Intervalle konvergiert auch noch die dritte Ableitung des kubischen Splines, an den Stützstellen konvergiert der Mittelwert der beiden einseitigen dritten Ableitungen 44