Komplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen

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1 Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert. Diese ist definiert durch: i 1 BEMERKUNG: Für die Wurzel aus -1 gibt es zwei mögliche Lösungen: 1 ±i Darstellungsformen Eine komplexe Zahl kann man sich als einen Punkt in der Gauss schen-zahlenebene vorstellen. Oder alternativ auch als Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt. Es gibt drei verschiedene Arten eine komplexe Zahl zu schreiben (Es sind jeweils noch die Zahlen für obiges Bsp angegeben): Kartesische Form: z Re + Im i x + y i i Polarform: z z (cos φ + i sin φ) r (cos φ + i sin φ) (cos (3 ) + i sin(3 )) (cos (0.93) + i sin(0.93)) Exponentialform: z z e i φ r e i φ e i 0.93 (φ im Bogenmass) Die Gleichung r (cos φ + i sin φ) r e i φ heisst Eulerformel und lässt sich mithilfe von Potenzreihen herleiten. Umrechnungen r z x + y Wegen der Periodizität des Tangens muss man bei der Berechnung von φ etwas aufpassen: arctan ( y ) (für x > 0 also z in der rechten Halbebene ) φ { x arctan ( y ) + π (für x < 0 also z in der linken Halbebene ) x x r cos φ, y r sin φ 1 Crameri, Grass

2 Konjugiert Komplexe Die zu einer komplexen Zahl z konjugiert komplexe z ist die Zahl z mit negativem Imaginärteil. Geometrisch betrachtet erhält man z indem man z an der reellen Achse spiegelt: z x + y i z x y i z r (cos φ + i sin φ) z r (cos φ i sin φ) z r e i φ z r e i φ Sätze: z z (x + i y) (x i y) x (i y) x + y z z ± w z ± w z w z w ( z w ) z w z z Rechenarten Addition/Subtraktion Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen funktioniert am besten in der Kartesischen Darstellung. Man addiert bzw. subtrahiert einfach jeweils einzeln den Realteil und den Imaginärteil. Stellt man sich eine Komplexe Zahl als ein Pfeil in der Gaussebene vor, so funktioniert die Addition von zwei komplexen Zahlen genau gleich wie die Addition von Vektoren. z i, z 1 + i z 1 + z 3 + i i 4 + 3i z 1 z 3 + i (1 + i) i Multiplikation Multiplikation in der kartesischen Form kann schnell mühsam werden, da man alles ausmultiplizieren muss: z 1 z (3 + i) (1 + i) i + i 1 + i i 3 + 7i 1 + 7i Einfacher geht s in Polar- oder Exponentialform: Die Beträge werden multipliziert und die Winkel Addiert. In der Exponentialform gelten also die normalen Potenzgesetzte. z 1 z r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r (cos φ + i sin φ ) (r 1 r ) (cos(φ 1 + φ ) + i sin(φ 1 + φ )) z 1 z r 1 e iφ 1 r e iφ r 1 r e i(φ 1+φ ) Crameri, Grass

3 z 1 3e i π 3 z e i π 6 z 1 z (3 )e i (π 3 +π 6 ) 6e i π 6i Division Auch die Division ist in kartesischer Form mühsam. Man schreibt die zwei komplexen Zahlen als Bruch und erweitert diesen dann mit der konjugiert-komplexen des Nenners. Im Nenner bleibt dann nachher das Betragsquadrat des ursprünglichen Nenners übrig. 3 + i 1 + i 3 + i 1 + i 1 i 3 6i + i + i( i) 1 i 1 + i 1 i Auch die Division ist wiederum einfacher in Polar oder Exponentialform. Sie verhält sich analog zur Multiplikation: Die Beträge werden dividiert und der Winkel subtrahiert: z 1 r 1(cos φ 1 + i sin φ 1 ) z r (cos φ + i sin φ ) r 1 (cos(φ r 1 φ ) + i sin(φ 1 φ )) z 1 z r 1e iφ1 r e iφ r 1 r e i(φ 1 φ ) z 1 4e i π 6 z e i π 3 z 1 π 4 ei ( 6 π 3 ) e iπ 6 z Potenzieren Auch das Potenzieren ist einfacher in Polarform. Es ist einfach eine mehrfache Anwendung des Gesetztes für die Multiplikation: z n (r (cos φ + i sin φ)) n r n (cos nφ + i sin nφ) z n (re iφ ) n r n e inφ ( 3 + i) 6 ( e iπ 6 6) 6 e i6π 6 64 e iπ Crameri, Grass

4 Wurzelziehen Will man die n-te Wurzel einer komplexen Zahl z ziehen, so tut man dies auch wieder in der n Polar-/Exponentialform. Es gilt z z 1 n und man kann daher das gleiche Gesetz wie beim Potenzieren verwenden. Es gibt immer genau n voneinander verschiedene Lösungen. Diese liegen auf einem Regelmässig angeordneten n-eck. Ausserdem liegen alle n Lösungen auf einem n Kreis mit dem Radius z und Mittelpunkt im Ursprung. Man beachte, dass z r e iφ r e i(φ+k π) der Gaussebene hat man wieder dieselbe Zahl. (für k 0,1,,... ). D.h. nach einer Drehung um π in Gesuch ist die -te Wurzel von 3 + i, also 3 + i Da man die -te Wurzel sucht, wird es verschiedene Lösungen geben. Zuerst berechnen wir die Exponentialform von 3 + i: r 3 + i φ arctan ( 1 3 ) π 6 30? Die gesuchten Lösungen befinden sich also alle auf einem Kreis mit Radius um den Ursprung. D.h. alle Lösungen haben einen Betrag von 1.1. Die Lösungen findet man dann wie folgt: 3 + i e i(π 6 +k π) π i( e +k π 6 ) e iπ+k 1π 30 Unsere Lösungen bekommen wir, indem wir für k 0,1,,3 und 4 einsetzen: 3 + i e i 30, π e i13π 30, e iπ 30, e i37π 30, e i49π 30 Für k hätten wir wiederum die gleiche Lösung wie für k0, da wir uns dann einmal um π gedreht haben: e i61π 30 e i( π) e i π 30 wieder gleich wie die erste Lösung Man sieht schön, dass ich die erste Lösung bei einem Winkel von φ liegt. Die weiteren n Lösungen n befinden sich von dort aus jeweils k π n weiter im Gegenuhrzeigersinn (k1,,...,n-1). 4 Crameri, Grass

5 Quadratische Gleichungen Falls die Diskriminante (b 4ac) einer quadratischen Gleichung ax + bx + c 0 negativ wird, so besitzt die Gleichung zwei konjugiert-komplexe Lösungen. Die Lösungen der Gleichung x + x findet man mit der Mitternachtsformel: x 1, b ± b 4ac a ± ± 8 ± 1 8 ± i Will man nun die komplexe Linearfaktorzerlegung von x + x + 3 finden so ergibt sich: x + x + 3 (x x 1 )(x x ) (x ( 1 + i))(x ( 1 i)) 1 ± i Polynome höherer Ordnung Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom n-ten grades (a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 ) in der Menge der komplexen Zahlen C genau n Nullstellen hat. Falls die Koeffizienten a i alle reell sind (ist bei uns eigentlich immer der Fall ;) ) so gilt zusätzlich, dass diese Nullstellen entweder reell sind oder in konjugiert-komplexen Paaren auftreten. Weiterhin gilt: Multipliziert man zwei komplex-konjugierte Linearfaktoren aus, so bekommt man immer ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten. Finde alle komplexen Nullstellen von x 4x x 3 14x + 9x 10. Wenn eine Nullstelle x i bereits bekannt ist. Da unser Polynom reelle Koeffizienten hat muss auch die konjugiert komplexe von x 1 eine Nullstelle sein. Also x x 1 1 i. So haben wir schon Linearfaktoren gefunden: (x (1 + i)) und (x (1 i)). Nun multiplizieren wir diese Beiden aus: (x (1 + i))(x (1 i)) x x + Durch Polynom-Division findet man dann: (x 4x x 3 14x + 9x 10) (x x + ) x 3 x + x Nun haben wir immer noch ein Polynom 3. Ordnung von dem wir die Nullstellen bestimmen müssen. D.h. jetzt müssen wir noch mindestens eine Nullstelle erraten. Danach bleibt uns dann nur noch ein quadratisches Polynom übrig, das wir mit der Mitternachtsformel auflösen können. Einige Tipps zum erraten von Nullstellen: Versuche immer zuerst 1, 1, i und i. Versuche danach weitere reelle Ganze Zahlen. Beachte dabei, dass diese ein Teiler des Konstanten Glieds des Polynoms (hier -) sein müssen. (Das muss so sein, damit die Polynom-Division aufgeht!) In unserem Fall würden wir also als Nullstellen noch und - ausprobieren. Wir finden, dass, i und i die drei Nullstellen von x 3 x + x sind. Die gesuchten Nullstellen sind somit: x i; x 1 i; x 3 i; x 4 i und x. Crameri, Grass

6 Sin und Cos Man stelle sich die komplexe Zahl e iφ mit Betrag 1 in der Gaussebene vor (siehe Abbildung). Diese hat den Realteil cos φ und den Imaginärteil sin φ. Addiert man zu e iφ nun die konjugiert-komplexe e iφ dazu, so erhält man als Resultat den doppelten Realteil: e iφ + e iφ cos φ. Subtrahiert man hingegen die konjugiert komplexe, so erhält man den doppelten Imaginärteil multipliziert mit i: e iφ e iφ sin φ i. Dies kann man benutzen, um sinφ und cosφ durch komplexe Zahlen auszudrücken: cos φ Re(e iφ ) eiφ + e iφ sin φ Im(e iφ ) eiφ e iφ i BEMERKUNG: Es gilt auch für eine ganz allgemeine komplexe Zahl z: Re(z) Im(z) z + z z z i 6 Crameri, Grass

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