Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen

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1 Abschnitt 3: Mathematische Grundlagen 3. Mathematische Grundlagen Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 46 / 708

2 Überblick 3. Mathematische Grundlagen Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 47 / 708

3 Mengen Die Charakterisierung von Daten in der Vorlesung setzt den Mengen-Begriff voraus. Als informelle Definition genügt uns: Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten, den Elementen der Menge. Die Notation a M bedeutet: a ist ein Element der Menge M. Um anzuzeigen, dass a kein Element der Menge M ist, schreiben wir entsprechend a M Eine Menge kann beliebig viele Elemente enthalten, also z.b. auch gar keine. In diesem Fall spricht man von der leeren Menge, geschrieben oder {}. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 48 / 708

4 Mengen Beispiele für Mengen, die wir im Laufe der Vorlesung verwenden werden: N: Menge der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3,... N 0: Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 Z: Menge der ganzen Zahlen:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... R: Menge der reellen Zahlen B = {TRUE, FALSE}: Menge der Wahrheitswerte Für diese Mengen gilt z.b.: 23 N, 0 N, 0 N 0, 0 B, 0 Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 49 / 708

5 Mengen Eine Menge kann z.b. extensional durch Aufzählung der Elemente angegeben werden. Die Reihenfolge der Elemente spielt dabei keine Rolle. Man kann eine Menge aber auch intensional "beschreiben", d.h. durch Angabe einer Bedingung, die alle Elemente und nur die Elemente der Menge erfüllen. Beispiele Menge M der Quadratzahlen, die kleiner als 30 sind Extensional: M = {1, 4, 9, 16, 25} = {4, 1, 9, 25, 16} Intensional: M = {a a N, a ist Quadratzahl und a < 30} leere Menge Extensional: M = {} Intensional: M = {a a N, a < 2 und a > 1} Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 50 / 708

6 Eigenschaften von Mengen Es gelten folgende wichtige Eigenschaften von Mengen und Beziehungen zwischen Mengen: Bezeichnung Notation Bedeutung M ist Teilmenge von N M N aus a M folgt a N M ist echte Teilmenge von N M N es gilt M N und M N Vereinigung von M und N M N {x x M oder x N} Schnittmenge von N und M M N {x x M und x N} Differenz M ohne N M \ N {x x M und x / N} M und N sind disjunkt M N = M und N haben keine gemeinsamen Elemente Kardinalität einer Menge M M Anzahl der Elemente von M Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 51 / 708

7 Eigenschaften von Mengen Alle Elemente einer Menge sind verschieden. Man könnte zwar eine Menge {1, 2, 2, 3} angeben, dies wäre aber redundant. Die gleiche Menge wird durch {1, 2, 3} definiert. Mit dem Konzept einer Menge kann man also nicht mehrfaches Vorkommen eines gleichen Elementes modellieren. Hierzu dient z.b. das Konzept der Multimengen, die wie Mengen geschrieben werden, aber andere Eigenschaften und Rechenregeln haben. Soll auch die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielen, sind Mengen/Multimengen nicht für die Modellierung geeignet. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 52 / 708

8 Multimengen Eine Multimenge ist eine Zusammenfassung von Elementen, bei denen Elemente auch mehrfach auftreten können Beispiel: Die Menge der in dem Wort MATHEMATIK vorkommenden Buchstaben ist Als Menge: M = {A, E, H, I, K, M, T} Als Multimenge unter Berücksichtigung der Häufigkeit: MM = {A, A, E, H, I, K, M, M, T, T} Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 53 / 708

9 Multimengen Die für Mengen bekannten Begriffe lassen sich leicht auf Multimengen übertragen Jede Multimenge kann nämlich durch Auflistung der Elemente unter Berücksichtigung ihres Vorkommens als Menge geschrieben werden (dadurch werden eigentlich gleiche Elemente künstlich unterschieden). Beispiel: Die Multimenge MM = {A, A, E, H, I, K, M, M, T, T} kann aufgeschrieben werden als Menge MM = {A (1), A (2), E, H, I, K, M (1), M (2), T (1), T (2) } Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 54 / 708

10 Potenzmenge Viele Objekte werden durch Mengen beschrieben. Ein Objekt Wechselgeld könnte z.b. als Menge von Münzen und Scheinen aufgefasst werden. Der Wertebereich einer Datenmenge solcher Objekte ist dann eine Menge, die Mengen enthält. Eine Menge von Wechselgeld-Objekten enthält als Elemente Mengen von Münzen und Scheinen. Eine spezielle Form solcher Mengen von Mengen ist die Potenzmenge: Die Potenzmenge einer Grundmenge U ist die Menge aller Teilmengen von U, geschrieben P(U), formal: P(U) ={U U U} Beispiel: U = {d, f, s} P(U) ={, {d}, {f }, {s}, {d, f }, {d, s}, {f, s}, {d, f, s}} Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 55 / 708

11 Tupel, kartesisches Produkt von zwei Mengen Die Elemente einer Menge können selbst zusammengesetzt sein aus verschiedenen Mengen. Ein geordnetes Paar (Tupel) (x, y) besteht aus zwei Werten x und y, wobei x die erste und y die zweite Komponente ist. Beispiel: Eine Spielkarte hat eine Farbe und ein Symbol: (Karo,Bube), (Herz,Dame),... Das kartesische Produkt M N zweier Mengen M und N ist die Menge aller geordneten Paare mit erster Komponente aus M und zweiter Komponente aus N: M N := {(x, y) x M und y N}. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 56 / 708

12 n-tupel, kartesisches Produkt von n Mengen Die Konzepte Tupel und kartesisches Produkt zweier Mengen lassen sich leicht auf eine beliebige Anzahl n von Mengen verallgemeinern. Das allgemeine kartesische Produkt über n Mengen ist die Menge aller geordneten n-tupel mit den Komponenten aus diesen Mengen: M 1 M 2... M n := {(a 1, a 2,...,a n ) a 1 M 1 und a 2 M 2... und a n M n }. Sind alle Mengen identisch (M i = M j für alle 1 i, j n), schreibt man für M M... M häufig auch M n. Die einzelnen a i,(i = 1,...,n) heißen Komponenten oder Attribute von (a 1,...,a n ). Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 57 / 708

13 n-tupel, kartesisches Produkt von n Mengen Beispiele B B = {(TRUE, FALSE), (TRUE, TRUE), (FALSE, FALSE), (FALSE, TRUE)} Für S = {7, 8, 9, 10, Bube, Dame, Koenig, Ass} und F = {Kreuz, Pik, Herz, Karo}, können wir ein Kartenspiel als die Menge F S definieren. N N 0 B = { } (1, 0, TRUE), (1, 1, TRUE),...(1, 0, FALSE), (1, 1, FALSE),... (2, 0, TRUE), (2, 1, TRUE),...(2, 0, FALSE), (2, 1, FALSE),... (3, 0, TRUE), (3, 1, TRUE),...(3, 0, FALSE), (3, 1, FALSE),..... Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 58 / 708

14 Relationen Eine n-stellige Relation R ist eine Menge von n-tupeln, d.h. R M 1... M n bzw. R P(M 1... M n ) Die kleiner -Relation (a < b) ist ein Beispiel für eine Relation. Wir können also z.b. schreiben: < N N (definiert < als Teilmenge von N N) (1, 2) < (2, 1) / < Eine (n-stellige) Relation R ist erfüllt (oder wahr) für alle n-tupel a mit a R und nur für diese Tupel. Man schreibt auch: Ra. Für zweistellige Relationen schreibt man auch xry (z.b.: x < y). Relationen drücken also spezielle Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen der Grundmengen aus. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 59 / 708

15 Eigenschaften zweistelliger Relationen Sei R M M (d.h. R P(M M)). R ist reflexiv, wenn für alle x M gilt: xrx. R ist symmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: aus xry folgt yrx. R ist antisymmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: aus xry und yrx folgt x = y. R ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: aus xry und yrz folgt xrz. R ist alternativ, wenn für alle x, y M gilt: xry oder yrx. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 60 / 708

16 Äquivalenzrelation Bestimmte Kombinationen von Eigenschaften qualifizieren eine Relation zur Äquivalenzrelation, durch die man definieren kann, welche Elemente einer beliebigen Menge M gleich (äquivalent) sind: Sei R P(M M). R ist eine Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Beispiele Das Gleichheitszeichen = definiert eine Äquivalenzrelation auf N bzw. N 0 (und natürlich auch auf Z bzw. R), denn es gilt Reflexiv: für alle n N gilt n = n Symmetrisch: für alle n 1, n 2 N gilt: aus n 1 = n 2 folgt n 2 = n 1 Transitiv: für alle n 1, n 2, n 3 N gilt: aus n 1 = n 2 und n 2 = n 3 folgt n 1 = n 3 Formal ist = N N und es gilt = = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),...} Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 61 / 708

17 Äquivalenzrelation Beispiele (Forts.) Wenn für ein Kartenspiel F S mit S = {7, 8, 9, 10, Bube, Dame, Knig, Ass} und F = {Kreuz, Pik, Herz, Karo} beim Vergleich zweier Karten die Farbe keine Rolle spielt, sondern zwei Karten mit dem gleichen Symbol als gleich gelten, ist die entsprechende Äquivalenzrelation: {((f 1, s 1), (f 2, s 2)) f 1 F, f 2 F, s 1 S, s 2 S, s 1 = s 2} (Dabei ist eine entsprechende Äquivalenzrelation auf S angenommen, die wiederum mit = bezeichnet wird). Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 62 / 708

18 Ordungsrelationen Bestimmte Kombinationen von Eigenschaften qualifizieren eine Relation zur Ordnungsrelation, durch deren Anwendung man beispielsweise eine Menge (oder auch Multimenge) sortieren könnte: Sei R P(M M). R ist eine partielle Ordnung, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. R ist eine totale Ordnung, wenn R eine alternative partielle Ordnung ist. Beispiel: Auf den ganzen Zahlen gibt es die (totale) Ordnungsrelation P(Z Z). Im Übrigen ist < keine Ordnungsrelation. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 63 / 708

19 Funktionen (Abbildungen) Wir definieren eine Funktion f zunächst als eine Abbildung von einer Menge D auf eine Menge B, wobei D = B gelten darf aber nicht muss (genauer handelt es sich hier um 1-stellige Funktionen, später lassen wir dann für D auch ein kartesisches Produkt aus n Mengen zu, was zu n-stelligen Funktionen führt). Formal gesehen ist eine Funktion f eine 2-stellige Relation f D B, für die gilt: Aus (x, y) f und (x, z) f folgt y = z, d.h. einem Element aus D ist höchstens ein Element aus B eindeutig zugeordnet. Die Menge D heißt Definitionsbereich von f. Die Menge B heißt Bildbereich von f. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 64 / 708

20 Funktionen (Abbildungen) Funktionen sind also Relationen mit speziellen Eigenschaften: sie stellen eine rechtseindeutige Beziehung zwischen Definitionsbereich und Bildbereich dar. Als Schreibweisen sind gebräuchlich: (x, y) f y = f (x) f (x) =y f : x y x D heißt auch Urbild. y B heißt auch Bild. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 65 / 708

21 Signatur von Funktionen Da Funktionen spezielle Relationen sind, stammen sie aus Wertebereichen, die Teilmengen der Wertebereiche entsprechend strukturierter Relationen sind: Die Menge D B ist die Menge aller Funktionen, die D als Definitionsbereich und B als Bildbereich haben. D B enthält als Elemente alle Mengen von Tupeln (d, b) (D B), die Funktionen sind. Es gilt: D B P(D B). Für eine Funktion f D B gilt: f D B. Man schreibt: f : D B, d.h. f hat die Signatur D B. Signatur ist ein zentrales Konzept in der Spezifikation von Programmen (und beinhaltet neben Definitions- und Bildbereich auch den Namen der Funktion). Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 66 / 708

22 Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D B ist total, wenn es für jedes x D ein Paar (x, y) f gibt (andernfalls ist f partiell); surjektiv, wenn es zu jedem y B mindestens ein Paar (x, y) f gibt (jedes Bild hat mindestens ein Urbild); injektiv, wenn es zu jedem y B höchstens ein Paar (x, y) f gibt (jedes Bild hat höchstens ein Urbild); bijektiv (eindeutig), wenn f zugleich surjektiv und injektiv ist (jedes Bild hat genau ein Urbild). Vorsicht: Wenn ein Mathematiker nicht angibt, ob eine Funktion total oder partiell ist, meint er in der Regel eine totale Funktion. Für einen Informatiker ist die partielle Funktion der Normalfall. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 67 / 708

23 Stelligkeit von Funktionen Funktionen aus D B sind n-stellig, wenn der Definitionsbereich D = D 1... D n eine Menge von n-tupeln ist. Dabei ist n N 0, d.h. auch n = 0 ist zulässig. Ganz allgemein hat also eine n-stellige Funktion f die Signatur f : D 1... D n B. Ist D =, also n = 0, so ist die Funktion 0-stellig. 0-stellige Funktionen sind konstante Funktionen, kurz Konstanten, für jeweils einen Wert aus B, d.h. jeder Wert b aus B (b B) kann als 0-stellige Funktion b : B aufgefasst werden. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 68 / 708

24 Funktionen Beispiele: Die Funktion 1 : N ist eine Konstante und kann als das Element 1 N interpretiert werden (Analoges gilt für alle Elemente in N, N 0, Z, etc.). Genauso: TRUE : B für das Element TRUE B (analog: FALSE). Die Funktion ID : M M mit x x (x M) heißt Identitätsabbildung. Z.B. für M = {a, b} gilt a a und b b, d.h. in Relationenschreibweise wäre ID {a,b} = {(a, a), (b, b)} bzw. in Funktionsschreibweise wäre ID(a) =a und ID(b) =b. Die Funktion +:N 0 N 0 N 0 definiert die Addition zweier Elemente (Zahlen) aus N 0. Z.B. gilt (12, 44) 56 und (27, 33) 60. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 69 / 708

25 Funktionen Beispiele (cont.): Die Funktion abs : Z N 0 definiert den Absolutbetrag einer ganzen Zahl. Z.B. gilt und Die Funktion ggt : N N N berechnet den kleinsten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen. Z.B. gilt (12, 44) 4 und (27, 33) 3. Die Quadratwurzel-Operation : R R ist ein Beispiel für eine partielle Funktion, denn die Funktion ist nur für reele Zahlen x > 0 definiert. Z.B. gilt (25.0) 5.0 aber für 13.0 gibt es kein Bild, d.h. ( 13.0) ist undefiniert. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 70 / 708

26 Funktionen Beispiele (cont.): Die Funktion summe : N 0 N ist definiert als Wir schreiben auch Es gilt z.b. n n. n i=0 i oder n i anstatt summe(n). i=0 summe(0) = n i=0 i = 0 summe(1) = n i=0 i = = 1 summe(5) = n i=0 i = = 15 Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 71 / 708

27 Komposition von (totalen) Funktionen Gegeben seien totale 3 Abbildungen f 1 : M 1 N 1,...,f n : M n N n mit n N g : N 1... N n N. Für x 1 M 1,...,x n M n gilt f 1 (x 1 ) N 1,...,f n (x n ) N n. Diese Werte können als Argumente in g eingesetzt werden und man erhält die Komposition g(f 1 (x 1 ),...,f n (x n )) 3 Es ginge auch mit partiellen Abb., ist aber etwas komplizierter Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 72 / 708

28 Komposition von (totalen) Funktionen Die dadurch beschriebene Zuordnung (x 1,...,x n ) g(f 1 (x 1 ),...,f n (x n )) definiert somit eine totale Abbildung M 1... M n N. Die Komposition erlaubt uns, überall dort, wo ein Element der Menge M in der Signatur einer Funktion f gefordert wird, stattdessen die Anwendung einer Funktion g zu verwenden, solange g den Bildbereich M hat. Offenbar kann man mittels Komposition beliebig viele Funktionen verschachteln. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 73 / 708

29 Komposition von (totalen) Funktionen Beispiele In der Addition auf den ganzen Zahlen +:Z Z Z kann an der ersten Stelle statt eines Elements aus Z z.b. wiederum eine Addition stehen. Man erhält eine Abbildung (Z Z) Z Z mit (x, y, z) (x + y)+z Durch die Komposition der oben genannten Funktionen abs : Z N und +:N N N kann man z.b. ein Funktion abssum : Z Z N erhalten mit (x, y) abs(x) +abs(y) Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 74 / 708

30 Komposition von (totalen) Funktionen Beispiele (cont.) Man kann i.ü. auch den Term als Komposition von folgenden Funktionen auffassen: 1 : N 2 : N +:N N N denn steht ja für: +(1, 2) und 1 sowie 2 sind Funktionen ohne Argumente. Diesen Kniff werden wir uns später noch zu Nutze machen. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 75 / 708

31 Nocheinmal: Schreibweisen Die Notation f (x 1,...,x n ), die die Anwendung von f auf die Argumente x 1,...,x n beschreibt, nennen wir Funktionsschreibweise. Bei 2-stelligen Funktionen verwendet man häufig auch die Infixschreibweise x 1 fx 2. Beispiel: statt +(17, 8) für die Addition. Bei 1-stelligen Funktionen verwendet man gerne die Präfixschreibweise fx 1. Beispiel log 13 statt log(13) für die Logarithmusfunktion. Manchmal ist jedoch auch die Postfixschreibweise x 1...x n f gebräuchlich. Beispiel: 21! statt!(21) für die Fakultätsfunktion. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 76 / 708

32 Nocheinmal: Schreibweisen Bemerkung: In der Mathematik gibt es Schreibweisen, die sich nicht direkt einer dieser Schreibweisen unterordnen lassen, z.b. x (Quadratwurzel) x y (Potenzierung) x y (Division)... Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 77 / 708

33 Prädikate Ein Prädikat ist eine Funktion aus D B. Jede Relation R D = M 1... M n kann als Prädikat D B aufgefasst werden, mit (x 1,...,x n ) TRUE genau dann wenn (x 1,...,x n ) R Beispiel: die Äquivalenzrelation =: Z Z ist das Prädikat =: Z Z B und es gilt z.b. =( 321, 321) TRUE und =( 321, 3) FALSE Wir lassen als Schreibweise = TRUE meist weg und schreiben bei 2-stelligen Prädikaten in Infixschreibweise 321 = 321. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 78 / 708

34 Prädikate Beispiele: Die Ordnungs- und Äquivalenzrelationen von oben können wie erwähnt alle als Prädikate aufgefasst werden, z.b. =: M M B mit M {N, N 0, Z, R,...} z.b. (2, 2) TRUE, d.h. 2 = 2 und (2, 3) FALSE : M M B mit M {N, N 0, Z, R,...} und z.b. (2, 3) TRUE, d.h. 2 3 und (2, 2) FALSE... Ungleichheitsprädikat: : M M B mit M {N, N 0, Z, R,...} z.b. (3, 2) TRUE, d.h. 3 2 und (2, 2) FALSE Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 79 / 708

35 Prädikate Beispiele (cont.): Das Prädikat teilt : N N 0 B mit (x, y) TRUE genau dann wenn y (ganzzahlig) teilbar durch x ist. oder etwas formaler und in Infixschreibweise x y genau dann wenn es ein z N 0 gibt mit y = x z. Z.B. gilt 3 6 TRUE (es gibt ein k N 0 mit 6 = k 3, nämlich k = 2) und 3 0 TRUE (es gibt ein k N 0 mit 0 = k 3, nämlich k = 0) Dagegen 7 8 FALSE (es gibt kein k N 0 mit 8 = k 7). Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 80 / 708

36 Folgen Bei Mengen und Multimengen spielt wie besprochen die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Wenn aber die Reihenfolge wichtig ist, benötigt man andere Konzepte, wie z.b. das der Folgen, die eine sequentielle Reihenfolge von Elementen modelliert (mehrfaches Auftreten eines Elements spielt dabei auch ein Rolle, d.h. Folgen sind spezielle Multimengen). Eine Folge (x 1,...,x n ) der Länge n über die Elemente einer Menge M (d.h. x i M) ist ein n-tupel von Werten aus M, d.h. (x 1,...,x n ) M n. Eine Folge x M 0 der Länge n = 0 wird leere Folge genannt. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 81 / 708

37 Folgen Beispiele Sei M 1 = {1, 2}. Es gilt x11 =(1) ist eine Folge über M 1 x12 =(1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1) ist eine Folge über M 1 x13 =()ist eine Folge über M 1 (die leere Folge) Sei M 2 = {A, B, C,...X, Y, Z}. Es gilt x21 =(M, A, T, H, E, M, A, T, I, K) ist eine Folge über M 2 x22 =(B) ist eine Folge über M 2 x23 =()ist eine Folge über M 2 (die leere Folge) Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 82 / 708

38 Folgen Die Menge aller nicht-leeren Folgen über M wird meist mit bezeichnet. M + = M 1 M 2 M 3... Die Menge aller Folgen (auch leerer) über M ist dann M = M 0 M +. Die Länge einer Folge x wird auch mit x bezeichnet. Ist x eine Folge über M, so wird M auch als Grundmenge von x bezeichnet. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 83 / 708

39 Folgen Beispiele von vorher: Sei wiederum M 1 = {1, 2}. Es gilt x11 =(1) (M 1) 1 x12 =(1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1) (M 1) 9 x13 =() (M 1) 0 (die leere Folge) Sei wiederum M 2 = {A, B, C,...X, Y, Z}. Es gilt x21 =(M, A, T, H, E, M, A, T, I, K) (M 2) 10 x22 =(B, C, A) (M 2) 3 x23 =() (M 2) 0 (die leere Folge) Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 84 / 708

40 Folgen: Projektion Die Projektion π : M n I n M. bildet eine Folge x =(x 1,...,x n ) der Länge n und ein i (1 i n) auf die i-te Komponente x i der Folge ab. Die Menge I n = {i i N und 1 i n} heißt Indexmenge. Beispiel: sei M = N 0 und x =(4, 5, 6) π(x, 1) =4, π(x, 2) =5, π(x, 3) =6. Offensichtlich ist auch x =(π(x, 1),..., π(x, x )) eine alternative Schreibweise für eine Folge x. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 85 / 708

41 Folgen: Konkatenation Die Konkatenation : M n M m M n+m konkateniert zwei Folgen beliebiger Länge (aber selber Grundmenge M) miteinander: x y =(π(x, 1),...,π(x, x ),π(y, 1),...,π(y, y )), oder anders ausgedrückt: { π(x, i) π((x y), i) = π(y, i x ) für 1 i x für x + 1 i x + y Beispiel: Sei M = N 0 und x =(7, 0, 3, 18), y =(21, 3, 7), dann ist x y =(π(x, 1),π(x, 2),π(x, 3),π(x, 4),π(y, 5 4),π(y, 6 4),π(y, 7 4)) =(7, 0, 3, 18, 21, 3, 7). Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 86 / 708

42 Boolsche Algebra Überblick 3. Mathematische Grundlagen Boolsche Algebra 3.3 Induktion und Rekursion Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 87 / 708

43 Boolsche Algebra Die Menge B Die Menge B = {TRUE, FALSE} der boolschen Werte wurde bereits erwähnt Wegen der häufigen Verwendung dieser Menge in der Informatik betrachten wir sie noch etwas genauer Die wichtigsten Operationen auf B sind sog. innere Operationen, d.h. der Definitions- und Bildbereich ist immer B n bzw. B (Man sagt auch, B ist abgeschlossen über diesen Operationen; die Abgeschlossenheit der Operatoren ist eine wesentliche Eigenschaft einer Algebra) Sie lassen sich wegen der Endlichkeit von Definitions- und Bildbereich mit Hilfe von Wahrheitstafeln explizit angeben. Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 88 / 708

44 Boolsche Algebra Operationen auf B Negation: : B B Konjunktion: : B B B Disjunktion: : B B B x x TRUE FALSE FALSE TRUE x y x y TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE x y x y TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 89 / 708

45 Boolsche Algebra Rechenregeln, Wahrheitstafeln Aus diesen drei Operationen lassen sich z.b. alle möglichen zweistelligen Operationen ableiten, z.b. x y als Abkürzung für x y. Einige Rechenregeln (x, y, z B) Kommutativ-Gesetze x y = y x x y = y x Assoziativ-Gesetze x (y z) =(x y) z x (y z) =(x y) z Distributiv-Gesetze: x (y z) =(x y) (x z) x (y z) =(x y) (x z) Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 90 / 708

46 Boolsche Algebra Rechenregeln, Wahrheitstafeln Diese Gesetze lassen sich am einfachsten mittels Wahrheitstafeln beweisen, z.b. x y x y y x TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE Peer Kröger (LMU München) Einführung in die Programmierung WS 16/17 91 / 708