Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

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Gerrit Weiner
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1 Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Ausgangsdaten Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison Etat Punkte FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld (Quelle: Welt) 83

3 Darstellung der Daten in Streuplot Bundesliga 2008/09 Punkte VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin Hamburger SV Bor. Dortmund TSG Hoffenheim Hannover FC Köln Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen SV Werder Bremen VfL Wolfsburg FC Bayern Etat [Mio. Euro] 84

4 Darstellung der Daten in Streuplot Punkte Bundesliga 2008/ Etat [Mio. Euro] 84

5 Trend als lineares Modell Kann man die Tabellenpunkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X: Dabei: y = f(x) X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + b x Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: 85

6 Fehlerquadratsumme Pro Datenpunkt gilt mit Regressionsmodell: y i = a + bx i + ɛ i Dabei: ɛ i ist jeweils Fehler (der Grundgesamtheit), mit e i = y i (â + ˆbx i ): Abweichung (Residuen) zwischen gegebenen Daten der Stichprobe und durch Modell geschätzten Werten Modell gut wenn alle Residuen e i zusammen möglichst klein Einfache Summe aber nicht möglich, denn e i positiv oder negativ Deswegen: Summe der Quadrate von e i Prinzip der kleinsten Quadrate: Wähle a und b so, dass Q(a, b) = n [y i (a + bx i )] 2 min 86

7 Beste Lösung Beste und eindeutige Lösung: ˆb = = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n x i y i n xȳ n x 2 i n x 2 â = ȳ ˆb x Regressionsgerade: ŷ = â + ˆb x 87

9 Bundesligabeispiel Berechnung eines linearen Modells der Bundesligadaten dabei: Punkte ˆ= y und Etat ˆ= x: x 33,83 y 46,89 x 2 i xi y i n ,83 46,89 ˆb = ,83 2 0,634 â = 46,89 ˆb 33,83 25,443 Modell: ŷ = 25, ,634 x Punkte Einkommen Prognosewert für Etat = 30: ŷ(30) = 25, , ,463 88

10 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden

11 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden points model

12 Varianz und Information Varianz der Daten in abhängiger Variablen y i als Repräsentant des Informationsgehalts Ein Bruchteil davon kann in Modellwerten ŷ i abgebildet werden points model Empirische Varianz (mittlere quadratische Abweichung) für rot bzw. grün ergibt jeweils (y i y) 2 200,77 bzw (ŷ i y) 2 102,78 89

13 Determinationskoeffizient Gütemaß für die Regression: Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient): R 2 = n (ŷ i ȳ) 2 = n (y i ȳ) 2 n ŷ 2 i nȳ 2 = r n 2 [0; 1] y 2 i nȳ2 Mögliche Interpretation von R 2 : Durch die Regression erklärter Anteil der Varianz R 2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert R 2 = 1 wird erreicht wenn ŷ i = y i i (alle Punkte auf Regressionsgerade) Im (Bundesliga-)Beispiel: R 2 = 18 (ŷ i y) 2 18 (y i y) 2 102,78 200,77 51,19 % 90

14 Regression: 4 eindimensionale Beispiele Berühmte Daten aus den 1970er Jahren: i x 1i x 2i x 3i x 4i y 1i y 2i y 3i y 4i ,04 9,14 7,46 6, ,95 8,14 6,77 5, ,58 8,74 12,74 7, ,81 8,77 7,11 8, ,33 9,26 7,81 8, ,96 8,10 8,84 7, ,24 6,13 6,08 5, ,26 3,10 5,39 12, ,84 9,13 8,15 5, ,82 7,26 6,42 7, ,68 4,74 5,73 6,89 (Quelle: Anscombe (1973)) 91

15 Regression: 4 eindimensionale Beispiele In folgender Tabelle: Jeweils Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse dabei: x k unabhängige Variable und y k abhängige Variable Modell jeweils: y k = a k + b k x k k â k ˆb k R 2 k 1 3,0001 0,5001 0, ,0010 0,5000 0, ,0025 0,4997 0, ,0017 0,4999 0,

16 Plot der Anscombe-Daten y y x1 y y x x x4 93

17 Beispieldaten meineregression = lm(alterm ~ AlterV) meineregression plot(alterv, AlterM, xlab="alter des Vaters", ylab="alter der Mutter") abline(meineregression) Alter der Mutter ## ## Call: ## lm(formula = AlterM ~ AlterV) ## ## Coefficients: ## (Intercept) AlterV ## Alter des Vaters 94

18 Cook s Distanz PLUS Oft Kritisch: Einzelne Punkte, die Modell stark beeinflussen Idee: Was würde sich ändern, wenn solche Punkte weggelassen würden? Cook-Distanz: Misst den Effekt eines gelöschten Objekts Formel für ein lineares Modell mit einem unabh. Merkmal: D i = n (ŷ j ŷ j(ohne i) ) 2 j=1 MSE Dabei bedeutet: ŷ j : Prognosewert des kompletten Modells für das j-te Objekt ŷ j(ohne i) : Prognosewert des Modells ohne Objekt i für das j-te Objekt MSE = 1 n (ŷ i y i ) 2 : Normierender Term (Schätzwert für Fehlerstreuung) 95

19 Ausreißer? PLUS Anscombe-Daten: Regressionsmodell Nr. 3 Darstellung der Cook-Distanz neben Punkten Faustformel: Werte über 1 sollten genau untersucht werden 1.39 y x3 96

20 Residualanalyse Oft aufschlussreich: Verteilung der Residuen e i Verbreitet: Graphische Darstellungen der Residuen Z.B.: e i über ŷ i y Residuals x Fitted values Residuals vs Fitted y Residuals x Fitted values 97

21 Residualanalyse Wichtige Eigenschaften der Residuenverteilung Möglichst keine systematischen Muster Alter der Mutter Keine Änderung der Varianz in Abhängigkeit von ŷ i (Homoskedastizität) Nötig für inferentielle Analysen: Näherungsweise Normalverteilung der Residuen (q-q-plots) Residuals Alter des Vaters Fitted values 98

22 Kausalität versus Exkurs: Kausalität vs. Meist wichtig für sinnvolle Regressionsanalysen: Kausale Verbindung zwischen unabhängigem und abhängigem Merkmal Sonst bei Änderung der unabhängigen Variablen keine sinnvollen Prognosen möglich Oft: Latente Variablen im Hintergrund 99

23 : Table of Contents 1 Statistik: Einführung 2 Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie 4 Induktive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter

Kombinatorik: Anzahl von Kombinationen bei Auswahl 2-mal Würfeln, das heißt Auswahl von k = 2 aus n = 6 Zahlen. mit WH, mit RF: alle Möglichkeiten, 6 2 = 36 ohne WH, mit RF: Diagonale entfällt, 6!

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3)

24 Kombinatorik: Anzahl von Kombinationen bei Auswahl 2-mal Würfeln, das heißt Auswahl von k = 2 aus n = 6 Zahlen. mit WH, mit RF: alle Möglichkeiten, 6 2 = 36 ohne WH, mit RF: Diagonale entfällt, 6! 36 6 = 30 = 6 5 = (6 2)! (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ohne WH, mit RF: Hälfte des letzten Ergebnisses: 30 6! 2 = 15 = 4!2! = ( 6) 2 ohne WH, ohne RF: Letztes Ergebnis plus Diagonale, = 21 = ( 7) 2 Kombinatorik Zufall und Wahrscheinlichkeit Zufallsvariablen und Verteilungen Verteilungsparameter Auswahl von k aus n Dingen mit Reihenfolge ohne Reihenfolge mit Wiederholung ohne Wiederholung n k n! (n k)! ( ) ( ) n + k 1 n k k 101

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