Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK 1NT 6 Seite 1 von 8. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

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1 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2011 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative 2 (Übergangsmatrizen) 2. Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Alternative 2: Übergangsmatrizen, Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen, Fixvektoren 2. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

2 Seite 2 von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) A 0,009 0,18 B 2,5 0,6 C 0,7 Der Anteil r der Tiere aus der Altersklasse A, die die Altersklasse C erreichen, ergibt sich aus dem Produkt der Überlebensraten der Altersklassen A und B: r 0,180,6 0,108. Modelllösung b) Die Matrix M 1 beschreibt die gegebene Populationsentwicklung. Mögliche Begründungen, dass die anderen beiden Matrizen ungeeignet sind: M 2 ist ungeeignet, weil hier beispielsweise kein Tier der Altersklasse A die Altersklasse B erreicht (2. Zeile, 1. Spalte). M 3 ist ungeeignet, weil hier beispielsweise alle Tiere der Altersklasse C nach 7 Jahren tot sind (3. Zeile, 3. Spalte). Die Überlebensrate 0,7 der Altersklasse C muss in der Hauptdiagonalen der Matrix stehen. Diese [notwendige] Bedingung erfüllt nur M 1.

3 Seite 3 von 8 Modelllösung c) Bestimmung der Verteilung für den Anfang des Jahres 1997: 0 0,1 2 x ,1y2z 2440 x ,2 0 0 y 400 0,2x 400 y ,6 0,75 z ,6y075z 1140 z 1200 Für das Jahr 1997 ergeben sich 2000 Schimpansen in der Altersklasse A, 400 in der Altersklasse B und 1200 in der Altersklasse C. Berechnung der Verteilung für den Anfang des Jahres 2011: 0 0, , ,6 0, Für das Jahr 2011 ergeben sich 2320 Schimpansen in der Altersklasse A, 488 in der Altersklasse B und 1095 in der Altersklasse C. Modelllösung d) 0 0,1 2 x x Ansatz: 0,2 0 0 y y 0 0,6 0,75 z z 1 0,1 2 x 0 x0,1y2z 0 x 0 0,2 1 0 y 0 0,2x y 0 y 0 0 0,6 0,25 z 0 0,6y0,25z 0 z 0 Die einzige Verteilung einer Schimpansenpopulation auf die drei Altersklassen, die sich nach 7 Jahren wiederholt, ist eine Population, in der es keine Schimpansen gibt. Es gibt daher keine (sinnvolle) Populationsverteilung, die sich nach 7 Jahren wiederholt.

4 Seite 4 von 8 Modelllösung e) v 1,8 0 0,1 v v a a 464 a b c b1140c b1140c 1080 Es gilt also v 1,8 und 58 a 0, Wie vermutet, hat die Vermehrungsrate der Altersklasse C von 2 auf v 1,8 abgenommen, die Überlebensrate der Altersklasse A hat geringfügig von 0,2 auf a 0,19 abgenommen. Zwischen den neuen Überlebensraten b und c der Altersklassen B und C besteht der lineare Zusammenhang: 400b1140c 1080, 0 bc, 1. Daraus ergibt sich: 1. Wenn b größer wird, wird c kleiner und umgekehrt, b1 0,95 c 0,60, b0,6 c 0,74, andererseits c0,75 b 0, Die Vermutung, dass die Überlebensraten der Altersklassen B und C kleiner geworden sind, wird insofern bestätigt, als wenigstens eine der beiden wenigstens geringfügig kleiner geworden ist, wobei allerdings die Überlebensrate der Altersklasse C höchstens auf ca. 0,60 gesunken sein kann. [Es werden nicht alle Aspekte dieser Auswertung erwartet.] 6.2 Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 stellt die Entwicklung in einem Übergangsdiagramm dar. 4 2 ermittelt den Anteil der Tiere aus der Altersklasse A, die nach 14 Jahren die Altersklasse C erreichen. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 3

5 Seite 5 von 8 Teilaufgabe b) 1 entscheidet, welche der angegebenen Matrizen die Populationsentwicklung beschreibt. 2 2 begründet, dass M 2 und M 3 ungeeignet sind. 6 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe c) 1 ermittelt einen Ansatz zur Bestimmung der Verteilung von bestimmt die Verteilung von berechnet die Verteilung von Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) 1 ermittelt ein LGS zur Untersuchung der Fragestellung. 3 2 bestimmt die eindeutige Lösung des LGS. 5 3 interpretiert die Lösung des LGS. 3 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe e) 1 ermittelt einen Ansatz zur Prüfung der Vermutungen. 4 2 prüft die Vermutung bezüglich der Vermehrungsrate der Altersklasse C und der Überlebensrate der Altersklasse A. 3 prüft die Vermutungen bezüglich der Überlebensraten der Altersklassen B und C. 5 Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. 3

6 Seite 6 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 stellt die Entwicklung 4 2 ermittelt den Anteil 3 sachlich richtige Alternativen: (7) Summe Teilaufgabe a) 7 EK 1 ZK DK Teilaufgabe b) 1 entscheidet, welche der 2 2 begründet, dass M 2 6 sachlich richtige Alternativen: (8) Summe Teilaufgabe b) 8 Teilaufgabe c) 1 ermittelt einen Ansatz 3 2 bestimmt die Verteilung 5 3 berechnet die Verteilung 4 sachlich richtige Alternativen: (12) Summe Teilaufgabe c) 12 1 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

7 Seite 7 von 8 Teilaufgabe d) 1 ermittelt ein LGS 3 2 bestimmt die eindeutige 5 3 interpretiert die Lösung 3 sachlich richtige Alternativen: (11) Summe Teilaufgabe d) 11 Teilaufgabe e) 1 ermittelt einen Ansatz 4 2 prüft die Vermutung 3 3 prüft die Vermutungen 5 sachlich richtige Alternativen: (12) Summe Teilaufgabe e) 12 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 150 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe

8 Seite 8 von 8 ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft mangelhaft minus ungenügend