Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 8

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1 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 212/1 Vorlesung 8 Integration über ebene Bereiche Wir betrachten einen regulären Bereich in der x-y Ebene, der einfach zusammenhängend ist. Gegeben sei eine stetige und beschränkte Funktion ( ). Der Bereich und die Funktion sollen so beschaffensein,dassesfür jeden Punkt des Bereichs genau einen Funktionswert gibt. Die Funktion ( ) beschreibt eine in den dreidimensionalen Raum eingebettete Fläche. Eine Funktion dieser Form kann man bei festgehaltenem Wert über integrieren, z.b. über das Intervall [ 1 2 ]: () Z 2 1 ( ) Das Resultat ist offenbar eine Funktion von. Sie gibt die Fläche () des durch 1 und 2 begrenzten Querschnitts unter der Funktion ( ) beim gewählten -Wert an. Beispiel: ( ) 2 im Bereich [ 1] [ 1] Wählen wir 1, so ist die Fläche unter der Kurve das halbe Quadrat mit Kantenlänge 1, also 1/2. Die Flächen () kann man nun ihreseits über ein -Intervall integrieren, z.b.[ 1 2 ], Z 2 1 () Das Resultat ist keine Funktion mehr, sondern eine Zahl. Sie gibt das Volumen des Körpers an, der durch die Grundfläche[12] [12] in der -Ebene und durch die Funktion ( ) begrenzt wird. Im obigen Beispiel ist das:

2 Das ist das Volumen unter der in der Abbildung gezeigten Fläche; das Volumen des einhüllenden Würfels ist Zusammengenommen ist das Volumen unter einer Funktion ( ) über dem Rechteck [ 1 2 ] [ 1 2 ] also gegeben durch das Doppelintegral Z 2 Z ( ) Nicht immer ist die Begrenzung eines zweidimensionalen Bereichs rechteckig. Allgemein ist das Doppelintegral oder Gebietsintegral über eine Fläche definiert durch ( ) wobei das Flächenelement heißt. Sucht man das Volumen eines Körpers, dessen Grundfläche zwar in der -Ebene liegt, aber kein Rechteck mehr ist, sondern eine kompliziertere Form hat, dann kann man dies in kartesischen Koordinaten einarbeiten, indem die Grenzen der -Integration keine Konstanten, sondern Funktionen von sind, die die Grenzlinien der Grundfläche darstellen: Z 2 Z 2() 1 1 () ( ) Beispiel 1: Gegeben sei die Ebene ( ) 1, die Integration soll aber über einen Kreis mit Radius 1 führen, wie in der Abbildung gezeigt. Wir wollen das Volumen des Zylinders durch ein Doppelintegral berechnen, obwohl wir in diesem Fall das Ergebnis elementar berechnen können: 2. Die Grenzen für sind [ 1], aber die Grenzen für sind dann so zu wählen, dass ,also ± Somit ist das Volumen gegeben durch Z 1 2 p (siehe Beweis) 1 2 Beweis für das Integral: Wir substituieren sin cos, die Grenzen für sind dann [ 22] und man erhält Z 2 Z 2 2 cos [1 + cos 2] sin Beispiel 2: Der Integrationsbereich sei berandet von 1und 2. Gefragt ist der Flächeninhalt 2

3 Der Bereich ist gegeben durch {( ) } DieFlächeistdaher Z 2 1 Z 1 Z 2 1 ( 1 2 ) 2 ln ln 2 Die dargestellte Methode lässt sich immer dann anwenden, wenn die Grundfläche in der -Ebene liegt und ihre Begrenzungslinien durch Funktionen von dargestellt werden können. Ein Körper, der diese Bedingung nicht erfüllt, lässt sich immer in Teilkörper zerlegen, die die Bedingung erfüllen. In der Physik lautet die Problemstellung meist anders: Gegeben ist ein flacher Körper (z.b. eine Scheibe) der Fläche, der eine Massendichte ( ) (in Einheiten kg/m 2 ) besitzt und man will die Gesamtmasse des Körpers berechnen. Dann ist die Gesamtmasse das Flächenintegral ( ) Ist stattdessen der ortsabhängige Druck ( ) auf der -Ebene gegeben, dann ist das Flächenintegral über ein beliebiges Stück der -Ebene ( ) die Gesamtkraft, die auf dieses Flächenstück wirkt. IntegrationinebenenPolarkoordinaten Wie wir gesehen haben, ist es oft günstiger, der Geometrie des Problems angepasste Koordinaten zu verwenden. Gerade bei Beispiel 1 bietet sich an, die Integration über das Flächenelement nicht in kartesischen, sondern in ebenen Polarkoordinaten auszudrücken. Dazu ist es notwendig, das Flächenstück in Polarkoordinaten umzurechnen Ohne Beweis sei das Ergebnis angeführt: ( ) ( ) ( cos sin ) Beispiel 1 in Polarkoordinaten: Z 2 Z 1 Z 2 Z

4 Volumenintegrale Ein Volumenintegral ist die Verallgemeinerung von Produkten der Form auf Fälle, in denen die Dichte nicht mehr konstant auf dem betrachteten Volumen ist, sondern eine kontinuierlich veränderliche Funktion ( ) des Ortes, sodass die Gesamtmasse durch ein Integral bestimmt werden muss. Bei einem Volumenintegral ist das Integrationsgebiet dreidimensional, d.h. es wird eine Funktion von Variablen über einen bestimmten Raumbereich integriert, indem man sukzessive Integrationen entlang der Achsenrichtungen ausführt: Z 2 Z 2 () Z 2 () 1 1 () 1 () ( ) wobei die Integrationsgrenzen so zu wählen sind, dass durch die Variation von das gewünschte (i.a. krummlinig begrenzte) Volumen überstrichen wird. Beispiel 1 Man berechne die Masse des durch die Koordinatenebenen begrenzten Quaders mit den Kantenlängen, wenn die Massendichte ( ) ist: Z Z Z Z Z Z Das Ergebnis ist vernünftig: Mit zunehmender Ausdehnung des Quaders nimmt auch seine Masse zu. Ist eine der Kantenlängen null, dann verschwindet auch seine Masse. Massedichten sind ihrem Wesen nach immer positiv, es gibt aber auch physikalische Dichten, die beide Vorzeichen tragen können, z.b. die elektrische Ladungsdichte. Beispiel 2: Man berechne die Gesamtladung des Paraboloids zwischen seinem Scheitelpunkt und dem Schnitt mit der -Ebene, wenn die elektrische Ladungsdichte ( ) ist: 4

5 Z Z 1 2 (1 2 2 ) da nur in geraden Potenzen vorkommt und der Integrand an der oberen und unteren Grenze gleich ist. Dies ist schon von vorneherein offensichtlich, da die Ladungsdichte in jedem Quadranten das Vorzeichen wechselt, wir aber über alle 4 Quadranten integrieren. Dies zeigt, dass es in der Physik wichtig ist, die Symmetrie eines Problems zu beachten, bevor man drauf los rechnet. Das Volumen ist im Übrigen 4 Z Z 1 2 (1 2 2 ) 1 2 (1 2 ) [2(1 2 ) 2 2 (1 2 ) 2 ] (1 2 )