Mathematik-Klausur vom 2. Februar 2006

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1 Mathematik-Klausur vom 2. Februar 26 Studiengang BWL DPO 1997: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang B&FI DPO 21: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang BWL DPO 23: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang B&FI DPO 23: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang Int. Bus.: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang Wirtschaftsrecht: Aufgaben 3,4 Dauer der Klausur: 45 Min Aufgabe 1 a) Gegeben sind[ drei Matrizen: ] 1 A = 1 Berechnen Sie: 2A B A C B = [ ] C = [ ] b) Gegeben ist die Preis-Absatz Funktion: x(p) = 5 4p ; p [; 125] Bestimmen und interpretieren Sie die Elastizität von x(p) an den Stellen: p = 1 p = 1 c) Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen der Funktion: f(x, y) = xy 4 + ln(x 2 + 1) + x y ; x, y > Aufgabe 2 In einem Unternehmen werden in einem zweistufigen Produktionsprozess aus den Rohstoffen R 1, R 2, R 3 zunächst die Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 und anschließend die Endprodukte E 1, E 2, E 3 hergestellt. Dazu werden folgende Mengeneinheiten benötigt: Direktbedarf (in ME) an Rohstoffen für je eine Mengeneinheit der Zwischenprodukte (Produktionsmatrix 1. Stufe) Z 1 Z 2 Z 3 R R 2 3 R Direktbedarf (in ME) an Zwischenprodukten für je eine Mengeneinheit der Endprodukte (Produktionsmatrix 2. Stufe) E 1 E 2 E 3 Z Z Z Eine Mengeneinheit von R 1 kostet eine Geldeinheit, eine Mengeneinheit von R 2 kostet zwei Geldeinheiten und eine Mengeneinheit von R 3 kostet drei Geldeinheiten. 1

2 a) Berechnen Sie den Gesamtbedarf (Produktionsmatrix insgesamt) an Rohstoffen R 1, R 2, R 3, der für die Herstellung jeweils einer Mengeneinheit der Endprodukte E 1, E 2, E 3 benötigt wird. b) Wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe R 1, R 2, R 3 werden benötigt, um zehn Mengeneinheiten von E 1, zwanzig Mengeneinheiten von E 2 und dreißig Mengeneinheiten von E 3 herzustellen? c) In einer Periode befinden sich noch 3 Mengeneinheiten von R 1, 9 Mengeneinheiten von R 2 und 15 Mengeneinheiten von R 3 im Lager. Wie viele Mengeneinheiten der Endprodukte E 1, E 2, E 3 lassen sich aus dem Vorrat herstellen, wenn der Vorrat vollständig aufgebraucht werden soll? d) Dem Unternehmen werden die Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 zu einem Preis von jeweils vier Geldeinheiten pro Mengeneinheit angeboten. Ist es für das Unternehmen kostengünstiger, die Zwischenprodukte zu kaufen oder weiterhin selbst zu produzieren? (Begründung!) Aufgabe 3 Ein Kunde mit geringem Eigenkapital nimmt einen Kredit in Höhe von 2 zu 5,1 % Jahreszins auf. Der Kreditvertrag sieht vor, dass bis zur einmaligen Kredit- Rückzahlung der Kunde lediglich die Kreditzinsen zahlt. Für die einmalige Kredit- Rückzahlung verpflichtet die Bank den Kunden, eine Kapital-Lebensversicherung zu 4,9 % Zinsen p.a. abzuschließen. Die einmalige Kredit-Rückzahlung soll nach zwanzig Jahren durch die dann fällige Kapital-Lebensversicherung erfolgen. Sowohl die Zahlung der Kreditzinsen als auch die Einzahlungen in die Kapital-Lebensversicherung erfolgen monatlich nachschüssig. a) Wie hoch sind die monatlichen Zahlungen der Kreditzinsen? b) Wie hoch sind die monatlichen Einzahlungen in die Kapital-Lebensversicherung? c) Wie hoch ist die monatliche Belastung des Kunden? Aufgabe 4 Ein Kleinunternehmer hat am einen Kredit über 24 bei relativer gemischter Verzinsung zu 5,6 % p.a. aufgenommen. Der Vertrag über die Tilgungsmodalitäten sieht wie folgt aus: ˆ 23 und 24 zahlt er gar nichts ˆ 25 und 26 begleicht er mit vorschüssigen Monatsraten nur die anfallenden Jahreszinsen ˆ ab zahlt er dann monatlich vorschüssig 3 bis zur endgültigen Tilgung der Schuld a) Wie hoch ist die Schuld am ? 2

3 b) Wie hoch sind die Zahlungen zu Beginn eines jeden Monats der Jahre 25 und 26? c) Wie oft sind ab volle vorschüssige Monatsraten zu zahlen? d) Wie hoch ist die Restschuld am ? Aufgabe 5 Gesucht wird das globale/absolute Minimum der folgenden Funktion mit einer Nebenbedingung: f(x, y) = (x 3) 2 + (y 4) 2 ; x, y > unter der Nebenbedingung: x 2 + y 2 = 625 a) Geben Sie die Lagrange-Funktion L(x, y, λ) an. b) Berechnen Sie die ersten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion. c) Überprüfen Sie, ob die ersten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion an der Stelle (x = 15; y = 2; λ =,8) jeweils den Wert null haben. (Notwendige Bedingung) d) Überprüfen Sie für die Stelle (x = 15; y = 2; λ =,8) die hinreichende Bedingung. Liegt dort ein globales/absolutes Minimum der Funktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingung vor? Aufgabe 6 Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem:! Z = 4x 1 + 8x 2 = maximal unter I x 1 + 2x 2 4 II 2x 1 + x 2 4 III 2x 2 3 x 1, x 2 a) Bestimmen Sie eine optimale Lösung. b) 1. Handelt es sich um ein mehrdeutiges Optimierungsproblem? (Begründung!) 2. Bestimmen Sie ggf. eine weitere optimale Lösung. Lösungen Lösung zu Aufgabe 1 ([ 2 4 a) 2AB AC = A(2B C) = A [ ] [ ] [ ] = = ] [ ]) = b) x (p) = 4 p ɛ x (p) = 4 x(p) 3

4 1 ɛ x (1) = 4 46 =, d.h. wird der Preis von 1 GE um 1 % gesteigert, so sinkt der Absatz um,87 %. ɛ x (1) = = 4 d.h. wird der Preis von 1 GE um 1 % gesteigert, so sinkt der Absatz um 4 %. c) f x (x, y) = y 4 + 2x x y f y (x, y) = 4xy 3 x y 2 Lösung zu Aufgabe 2 a) Gesamtbedarf M: 2 4 M = A B = = b) M e = r = d.h. für das Produktionsprogramm werden 44 ME von R 1, 15 ME von R 2 und 14 ME von R 3 benötigt. c) e i =ME von E i ; i = 1, 2, 3 Gaußalgorithmus Zeile e 1 e 2 e 3 Operation e 3 = e 3 = 8 2e 2 + = e 2 = 7 e = 15 e 1 = 15 Lösungsmenge des Gleichungssystems: 15 IL = { } 4

5 d.h. aus dem Vorrat lassen sich lediglich 15 ME von E 1 herstellen. d) 1. Lösungsweg: Rohstoffkosten der Zwischenprodukte bei eigener Herstellung: Z 1 Z 2 Z 3 R R R = 5 = 6 = 7 d.h. werden die Zwischenprodukte in eigener Produktion hergestellt, so betragen allein die Rohstoffkosten 5 GE für eine ME von Z 1, 6 GE für eine ME von Z 2 und 7 GE für eine ME von Z 3. Deshalb ist es kostengünstiger, die Zwischenprodukte zu kaufen. 2. Lösungsweg: 2 4 [1; 2; 3] 3 = [5; 6; 7] 1 1 Lösung zu Aufgabe 3 a) Jährliche Kreditzinsen: 2,51 = 1 2 monatliche Kreditzinsen: 1 2 = r(12 + 5,5,51) r = 83,59 d.h. der Kunde zahlt monatlich 83,59 an Kreditzinsen. b) Jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : 2 = r J 1,492 1 r J = 6 112,7235,49 monatliche nachschüssige Einzahlungen r M : 6 112,7235 = r M (12 + 5,5,49) r M = 498,21 d.h. die monatlichen Einzahlungen in die Kapital-Lebensversicherung betragen 498,21. c) 83, ,21 = 1 328,8 d.h. die monatlichen Belastungen des Kunden betragen 1 328,8. Lösung zu Aufgabe 4 a) 24 (1 + 3,56) 1,56 = 26 48,45 4 d.h. die Schulden am betragen 26 48,45. b) Jahreszins = 26 48,45,56 = 1 478,87 monatliche vorschüssige Zahlungen: 1 478,87 = r(12 + 6,5,56) r = 119,61 d.h. in den Jahren 25 und 26 zahlt er monatlich 119,61. 5

6 c) Die Schulden am betragen 26 48,45 jährliche nachschüssige Ersatzrente r J : r J = 3 (12 + 6,5,56) = 3 79,2 Laufzeit (in Jahren): 26 48,45 ln[1 3 79,2 n =,56] = 9,335 Jahre ln 1,56 Laufzeit in Monaten:, = 4,2 d.h. volle Rückzahlungen sind 9 Jahre und 4 Monate zu leisten. d.h. es sind 112 volle Monatsraten zu zahlen. (d.h. letzte volle Rückzahlung erfolgt Anfang April 216.) d) K 9 = 26 48,45 1, ,2 1,569 1 = 1 199,43,56 d.h. die Restschuld am beträgt 1 199,43 Lösung zu Aufgabe 5 a) L(x, y, λ) = (x 3) 2 + (y 4) 2 + λ(x 2 + y 2 625) ; x, y > b) L x (x, y, λ) = 2(x 3) + 2λx L y (x, y, λ) = 2(y 4) + 2λy L λ (x, y, λ) = x 2 + y c) L x (x = 15; y = 2; λ =,8) = 2(15 3) = 5 L y (x = 15; y = 2; λ =,8) = 2(2 4) = 5 L λ (x = 15; y = 2; λ =,8) = = Wenn Sie die Nullstelle selber berechnen möchten, so gehen Sie wie folgt vor: I = 2x 6 + 2λx III = 2y 8 + 2λy III = x 2 + y y I = 2xy 6y + 2λxy x II = 2xy 8x + 2λxy y I x II = 6y + 8x x =,75y III = (,75y) 2 + y = 1,5625y y 2 = 4 y = ±2 Da y >, muss gelten: y = 2 x =,75 2 = 15 I = λ λ = 24 =,8 3 d) L xx (x, y, λ) = 2 + 2λ L yy (x, y, λ) = 2 + 2λ L xy (x, y, λ) = Hinreichende Bedingung: D(x; y;,8) = L xx (x; y;,8) L yy (x; y;,8) [L xy (x; y;,8)] 2 = (2 8)(2 8) 5 5 > immer L xx (x; y;,8) = = 2 8 = 2 > immer d.h. f(x, y) hat in (x, y) = (15; 2) ein globales Minimum unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 6

7 Lösung zu Aufgabe 6 a) 1. x 1 x 2 e e e Die optimale Lösung ist: mit dem optimalen Zielfunktions- wert Z = x 1 e 3 e e 2 2 1/2 5/2 x 2 1/2 3/ x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 = 1 3/2 1/2 3. e 1 e 3 x e 2 2 3/2 1/2 x 2 1/2 3/ b) 1. Ja, in der Zielfunktionszeile im Endtableau steht eine Null e 1 e 2 x 1 1/3 2/3 4/3 e 2 4/3 2/3 1/3 x 2 2/3 1/3 4/ Die weitere optimale Lösung ist: x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 = 1 3/2 1/2 7

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