Lösungen der Übungsaufgaben TM III

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1 L Lösungen der Übungsaufgaben TM III Methoden der Analytischen Mechanik a) z l cos x l sin cos b) W e Gl cos Sl sin cos c) S G cot cos 4 a) W e (mg 4cx)x b) x mg 4c a) x x b) W e (Mg mg sin )x m M sin b) W e mg sin 4 cx x x 4mg c sin c) mẋ. mg sin 4 cx x ẋ. c x g sin 4m Aufgabe 5 a) W e (mg 4cx)x x mg 4c b) (7mẋ. 4cx mg)x ẋ. 4c 7m x 7 g

2 L Diskrete Schwingungssysteme a) T 3 4 mẋ U cx mgx b) 3 mẋ. 4cx mg a) T 7 4 mr. U mgr(sin ) b) 7 mr.. mgr(sin ) a) T m ẋ, U c 8 x mg sin x b) mẋ. c x mg sin 4 c) x 4mg c sin a) T 7 mẋ U cx mgx b) 7mẋ. 4cx mg c) x mg 4c Aufgabe 5 a) T mṡ 6 ml. ml sin ṡ. U mgs l cos cs b) mṡ. ml sin.. ml cos. mg cs ml sin ṡ. 3 ml.. mgl sin c) s mg c Aufgabe 6 {, } d) ms ~.. cs ~ 3 ml ~.. mgl~ a) T m l. l. U mgl cos c (l l ) b) ml.. mll.. mgl sin ml.. ml. mg cos c(l l ) c), l l mg c bzw., l l mg c d) ml mg c ~.. mg ~ ml ~.. cl ~

3 L 3 3 Freie Koppelschwingungen konservativer Systeme a) T I m L m r. I m L. m rl.. cos U m gl m gr cos m gl cos b) J.. J cos.. J sin. C sin.. J cos J.. J sin. C sin mit: J I m L m r J I m L J m rl C m gl m gr C m gl c) C J J C J J d) J J J J ~.. ~.. C C ~ ~ e) f.54hz f.59hz a) m m x.. c ẋ. c c c c x x b) 4 c m c c m c c m m c) f.76hz f.5hz d) a a m i c e) für : gleichphasig; für : gegenphasig a) m m m ẏ. c c c c c c y c b) m c m 3c m Eigenfrequenzen: f, f.59hz, f 3.76Hz c) Eigenvektoren: ~ y, y~, y~ 3 d) y(t) 3 ty~.5 cos t y ~.96 cos 7.3t y ~ 3

4 L 4 a) m m x.. c ẋ. c c 4c x x b) 4 6 c m 4 c m c) f 8.Hz f.5hz Eigenvektoren: d) für : gleichphasig; für : gegenphasig a a m i c

5 L 5 4 Erzwungene Schwingungen konservativer Systeme a) Y b) y^().59.. ; y^ ().6 cos 4t c) y^(t). cos 5t.394 cos 4t, 67 cos 5t d) y(t).786 cos 4t.799 cos 5t e) h^ f) y p (t) a) Y b) h^ f) y p (t) a) m.. m x ẋ. c c c cos t cos t c c x x c u cos t b) y p (t) r cos t, c m c c c c m r r c u c) x () dicke Linie x () dünne Linie

6 L 6 5 Kontinuierliche Schwingungssysteme Einspannung fest fest fest frei Randbedingungen w(, t) w(l, t) w(, t) w(l, t) frei frei w(, t) w(l, t) Lagerung fest fest Randbedingungen u(, t) u(l, t) fest frei u(, t) u(l, t) frei frei u(, t) u(l, t) fest Endmasse m u(, t) u(l, t) m EA u.. (L, t) fest Endsteifigkeit k u(, t) u(l, t) k u(l, t) EA

7 L 7 Lagerung fest fest fest frei frei frei Randbedingungen (, t) (L, t) (, t) (L, t) (, t) (L, t) Lagerung fest fest Randbedingungen w(, t) w(l, t) w(, t) w(l, t) gelenkig gelenkig frei frei fest gelenkig w(, t) w(, t) w(, t) w(, t) w(, t) w(, t) w(l, t) w(l, t) w(l, t) w(l, t) w(l, t) w(l, t) fest frei w(, t) w(, t) w(l, t) w(l, t)

8 L 8 6 Erzwungene Schwingungen konservativer Systeme b) D k L a).. c mit c G b) (, t) (L, t) c) cos c L d) k k c L e) f 775Hz, f 35Hz f) W C cos x L für k,, W C cos 3 x L a) u.. c u mit c E b) u(, t) u(l, t) L c u.. (L, t) c) cot L c L c e) f 7Hz f) : W D sin x L d) f 98Hz : W D sin.86 x L a) u.. c u mit c E b) u(, t) u(l, t) k u(l, t) EA c) tan L c L c d) f 67Hz e) sin c L d.h. Lagerung: fest fest cos c L d.h. Lagerung: fest frei

9 L 9 7 Eigenschwingungen des Balkens a) ẇ. (x, t) EI A wiv (x, t) w(, t) w(, t) w(l, t) w(l, t) b) cos L cosh L c) W i (x) C i cos i x cosh i x cos i L cosh i L x) sin i L sinh i L (sin i x sinh i Torsionsschwingungen, f 775Hz Längsschwingungen, f 98Hz Biegeschwingungen, f 7.3Hz a) Vk H k h b a) f.8hz b) f.43hz c) f.4hz Aufgabe 5 L ( L) cs 3 L.3m

10 L 8 Freie Schwingungen kontinuierlicher Systeme a) k k c L b) w(x, t) sin L k k W k (x) x L y k cos sin L k c) w (x) a L x ẇ (x) d) y k ( 4L )k (k ) a k k x L c L t k e) w(x,) w (x) wx, L c wx, L c w (x) a) y y y b) y() y y mit y c) y k (t) y k cos k t 4a L mit c L y d) w(x, t) 8a sin x cos ct L L sin 3x cos 3ct 9 L L a) y k () 9aL sin k k 3 3c L L 4a 9, ẏ() ẏ() b) y k (t) y k cos k t mit y k y k () k c) w(x, t) 9a d) k sin k k 3 sin kx cos kct L L a w(x,).79 sin x. sin x L L w(x, t) a sin x L cos t kc L

11 L 9 Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte a) c S A q(x, t) p(x, t) A b) c G q(x, t) m(x, t) I p ẇ. EI A p(x, t) wiv q(x, t) A a) p(x, t) ga ẇ. S w g w(, t) w(l, t) A b) k k c L, k,, W k (x) sin kx, k,, L L c) y k g L L A k 3 3 S d) w(x, t) 4gL A 3 S a) ẇ. EI A wiv p A b) k k EI AL 4 c) h k (t) ( cos k t) k,3, k ungerade sonst k3 sin kx L ( cos k t) w(, t) w(l, t) w(, t) w(l, t), W k (x) sin kx, k,, L L L p ka k ungerade sonst e) Biegelinie: w B (x) p L4 4EI x L x L 3 x L 4 d) w p (x,) 4 p L 4 5 EI k,3, k5 sin kx L w B (L).3 p L4 EI w p (L, ).3 p L4 EI Aufgabe 5 a) h k (t) F A sin ka L L cos t b) y pk (t) F A L sin ka cos t L k c) w p (x, t) F LA sin ka sin kx L L cos t k k

12 L Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen a) ẇ. c w w(, t) F^ w(l, t) sin t S b) F^ w R (x, t) x sin t S c) ẇ. F^ H c w H S x sin t (k )x ) sin L d) w H (x, t) y^ L k cos( k t k k 8F^ L S sin t k e) w(x, t) y^ L k cos( k t k k F^ L S sin t x L 8 ( ) k (k ) (k )x sin L k (k )x ) sin L k a) ẇ. c w w(, t) w(l, t) a cos t b) w R (x, t) a cos t c) ẇ. H c w H a cos t d) w H p 4a cos t k,3, k sin kx k e) w p (x, t) a cos t 4 k,3, ( ) k (k ) (k )x sin L L k k sin kx k L a) ẇ. c w w(, t) w(l, t) L cos t b) w R (x, t) L x cos t c) ẇ. H c w H L x cos t d) w H p L cos t k,4, k sin kx k e) w p (x, t) L cos t x L k,4, L k sin kx k L

13 L 3 Wellenausbreitung in eindimensionalen Kontinua c L ct.6 a) w(x,) a sin x ẇ(x,) L b) w(x, t) a sin x cos ct L L f, (x) a sin x L c) w(x, t) a sin x cos ct L L t t L 4c t L c t 3L 4c t L c

14 L 4 t t L 6c t L 3c t L c t L 3c t 5L 6c t L c

15 L 5 Aufgabe 5 t t L 4c t L c t 3L 4c t L c t 5L 4c t 3L c t 7L 4c t L c

16 L 6 Fluidstatik a) s b) h.9 4 m a) (r) M h r b). dv dr c) dv M h r dr RB: v(r ) v(r ) r d) M hr r r e).8nsm 4 m s a) p 3, hpa b) h w.33m a) h O H b) h M H c) Aufgabe 5 a) p.67 5 Pa b) p.95 5 Pa Aufgabe 6 a) p p g(t h) b) h, (p g t) c) t p g H p g t 4 p g H

17 L 7 3 Kräfte auf Behälterwände a) F W gh b z D 3 h b) G 3 S ga b c) h 3a 3 S 3 W d) S 3 W a) p p p gh p gh b) F gh b z D 3 h F gh b z D 3 h c) h 3 h a) F D gr 3 H R cos 3 b) F D gr 3 H R cos 3 cos3 c) F D gr 3 H R 3 cos sin 3 ( cos ) d) F V.6N a) p * gh b) waagerechter Schenkel: F ghab Druckpunkt: a vom Punkt P schräger Schenkel: F gbh sin Druckpunkt: H 3 sin von P c) H 3 a sin

18 L 8 Aufgabe 5 ghbr a) F gbr ghbr c) F gbr 4 M b) F M 3 gbr3 ghbr gbr 4 M 3 gbr3 Aufgabe 6 a) F x gh b F z 3 gh b F 3 6 gh b b) z D 3 h x D 3 6 h

19 L 9 4 Auftrieb und Schwimmstabilität Rmg Iy a) x L S b) sin L H S F F, wenn H L S ; sonst F a) Wasserspiegel sinkt b) Wasserspiegel bleibt unverändert a) t G ga 6 x L t G ga 5 x L b) G gal x L Aufgabe 5 a) V K r 3 V F r t t K r F b) h M r 4 Aufgabe 6 a) Kippstabilität um y Achse ist geringer b) h M 4R 3

20 L 5 Eindimensionale Strömungen a) instationär b) v(x,) x y c) a(x, t) y ( t) d) r(t) t ( t) a) v 3.3 m s b) h.75m a) h H b) Q A gh c) T H g Aufgabe 5 a) v v v A A A ( )A b) sin F ( )A v