Tableaukalkül für Aussagenlogik

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1 Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird beachtet Verallgemeinerbar für Modallogik, Prädikatenlogik Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

2 Tableaukalkül: Grundbegriffe α-formeln (konjunktive Formeln) β-formeln (disjunktive Formeln) Zerlegungen: α α 1 α 2 X Y X Y (X Y ) X Y (X Y ) X Y (X Y ) X Y Y X β β 1 β 2 X Y X Y (X Y ) X Y X Y ) X Y (X Y ) (X Y ) (Y X) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

3 Tableau: Definition Idee beim Tableau-Kalkül: Zeige, dass die eingegebene Aussage inkonsistent ist. Definition Ein aussagenlogisches Tableau ist ein markierter Baum die Knoten sind mit Formeln markiert. Die Eingabeformel ist an der Wurzel Ein Pfad ist geschlossen, wenn 0 oder 1 vorkommt, oder gleichzeitig F und F auf dem Pfad Ein Pfad ist (atomar) geschlossen, wenn 0 oder 1 vorkommt, oder Atom A und A auf diesem Pfad ist Ein Tableau ist (atomar) geschlossen, wenn alle Pfade (atomar) geschlossen Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

4 Tableau-Aufbau-Regeln Eingabe ist eine Formel F Initial: nur Knoten F Danach Expansionsregeln: X X α α 1 α 2 β 0 β 1 β Beachte: Einschränkung: Die expandierte Formel muss kein Blatt sein. Formel pro Pfad nur einmal expandieren Ein Formel F ist bewiesen, wenn aus dem Tableau mit einem Knoten und der Formel F ein geschlossenes Tableau erzeugt worden ist. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

5 Strategien Aufbau-Regeln sind nicht-deterministisch D.h. Reihenfolge ist nicht vorgeschrieben. Effizient: möglichst wenig verzweigen d.h. bevorzuge α-regeln Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

6 Beispiel Tableau für X X: X X X X geschlossen Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

7 Beispiel Tableau für (X Y X): (X Y X) X Y X X Y geschlossen Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

8 Optimierung für Äquivalenzen Neue Tableau-Expansionsregeln A B A A B B (A B) A A B B Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

9 Beispiel: Äquivalenzen ((P Q) (Q P )) (P Q) (P Q) (Q P ) Q P P P Q Q Q Q P P Q Q P P Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

10 Beispiel Zeige, dass P (Q P ) eine Tautologie ist: (P (Q P )) P (Q P ) Q P geschlossen, da P und P auf dem Pfad liegen. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

11 Beispiel Zeige ((P Q) (Q R)) (P R): Dazu starte mit (((P Q) (Q R)) (P R)): Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

12 (P Q) (Q R) (P R) P R P Q geschlossen Q R geschlossen geschlossen

13 Algorithmische Korrektheit des Tableaukalküls Nachweis von: 1. Korrektheit (Soundness): Der Kalkül erzeugt geschlossene Tableaus nur für unerfüllbare Formeln. 2. Vollständigkeit (Completeness): Für jede unerfüllbare Formel kann der Tableaukalkül ein geschlossenes Tableau erzeugen. Zusätzliche gute Eigenschaften: Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert immer Liefert Information auch wenn er fehlschlägt. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

14 Korrektheit des Tableaukalküls (2) Definition Ein Pfad eines Tableaus ist erfüllbar, wenn die Konjunktion aller Formeln auf dem Pfad erfüllbar ist. Ein Tableau ist erfüllbar, wenn es einen Pfad gibt, der erfüllbar ist. Beachte: Wenn eine Menge von Formeln 0 oder 1 enthält, dann ist sie nicht erfüllbar. Es gilt: Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfüllbar. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

15 Korrektheit des Tableaukalküls (3) Satz Wenn T T mit einer Transformationsregel, dann gilt: T ist erfüllbar gdw. T ist erfüllbar Mittels Fallunterscheidung über mögliche Expansionen: Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

16 Fundierte Ordnungen Ziel: Terminierung fundierte (well-founded) Ordnung: ist eine partielle Ordnung auf einer Menge M, ohne unendlich absteigende Ketten a 1 > a 2 >... zb. Natürliche Zahlen: 5 > 4 > 2 > 1. Es gilt: Die lexikographische Kombination von fundierten Ordnungen ist wieder eine fundierte Ordnung. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

17 Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung (M, >) Menge mit fundierter Ordnung Mult(M) endliche Multimengen über M Z.B. Multimengen über IN: {3, 3, 2, 1},, {1, 1, 1, 1, 1, 100} Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

18 Fundierte Ordnungen: Multimengenordnung Seien A und B Multimengen über M A >> B, gdw X, Y mit X, B = (A \ X) Y und zu jedem Element von Y existiert ein echt größeres Element in X Z. B in Mult(IN): {3, 3, 2, 1} >> {3, 2, 2, 2}, denn {3, 2, 2, 2} = {3, 3, 2, 1} \ {3, 1} {2, 2, 2}. Es gilt: Die Multimengenordnung >> ist eine partielle Ordnung. >> ist fundiert, gdw. > fundiert ist. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

19 Terminierung des Tableaukalküls Lemma Der Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert, wenn man jede Formel auf jedem Pfad höchstens einmal expandiert. Beweis: Benutze Multimengenordnung... Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

20 Korrektheit des Tableaukalküls Zusammen ergibt sich bis jetzt: Wenn F erfüllbar: Der Tableaukalkül terminiert, Das Endtableau ist nicht geschlossen Wenn F unerfüllbar: Der Tableaukalkül terminiert, Das Endtableau ist nicht erfüllbar Frage? ist es auch geschlossen? Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

21 Korrektheit des Tableaukalküls Betrachte: Endtableau, das nicht geschlossen ist Darin einen nicht geschlossenen Pfad. Es gilt: Die Formelmenge H auf dem Pfad ist abgeschlossen und hat folgende Eigenschaften: A H und A H geht nicht. 0 H, 1 H X H X H α H α 1 H und α 2 H β H impliziert β 1 H oder β 2 H D.h.: H ist eine (aussagenlogische) Hintikka-Menge Es gilt: Hintikka-Mengen sind erfüllbar Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

22 Korrektheit des Tableaukalküls Zusammenfassend ergibt sich jetzt: Wenn F erfüllbar: Der Tableaukalkül terminiert, Das Endtableau ist nicht geschlossen Wenn F unerfüllbar: Der Tableaukalkül terminiert, Das Endtableau ist geschlossen D.h. der Tableaukalkül für Aussagenlogik terminiert und ist korrekt. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

23 Quantifizierte Boolesche Formeln Quantifizierte Boolesche Formeln (QBF) sind Boolesche Formeln mit Quantoren. Syntax: Q := 0 1 P ( Boolesche Variable) (Q 1 Q 2 ) (Q 1 Q 2 ) (Q 1 op Q 2 ) ( Q) P.Q P.Q Die Quantifizierung ist nur über die zwei Wahrheitswerte. Die Gültigkeit ist nur für geschlossene QBFs definiert. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

24 QBF: Komplexität Gültigkeit von QBF ist PSPACE-vollständig. D.h. alle bekannten Algorithmen sind EXPTIME. Ziel: Untersuchung und Optimierung der Entscheidungsalgorithmen Hoffnung: großer Anteil praktisch relevanten Probleme effizient entscheidbar Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

25 Aussagenlogik in QBFs: Erfüllbarkeit einer aussagenlogischen Formel F = Gültigkeit der QBF p 1,..., p n.f, wobei p i die Variablen in F sind. aussagenlogischen Formel F ist Tautologie = Gültigkeit der QBF p 1,..., p n.f, wobei p i die Variablen in F sind. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

26 Normalformen für QBFs: Pränex-Form Alle Quantoren im Präfix der Formel, der Rumpf ist eine aussagenlogischen Formel. Pränexe Klauselform Quantorenpräfix und Klauselmenge Das ist effizient durchführbar: P.F [G] P. X.(X G F [X]) Annahme: Tautologie-Klauseln sind entfernt Simplifikationen 0 1 und 1 0 sind durchgeführt Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

27 Nochmal: CNF-Herstellung in der Aussagenlogik Zur Frage: Warum wird nicht erhalten: Äquivalenz von schneller CNF-Herstellung Erhaltung der Erfüllbarkeit: ok, da man nur eine existenzquantifizierte Variable hinzufügt. Erhaltung der Tautologie-Eigenschaft: nicht klar, da man zu einer allquantifizierten Formel existenzquantifizierte Variable hinzufügt. Danach hat aber die Formel einen gemischten Prefix. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

28 Gültigkeit von QBF-Formeln Naiver Algorithmus und gleichzeitig Def der Gültigkeit von F Transformiere F durch Quantorenelimination: 1. P.F F [1/P ] F [0/P ] 2. P.F F [1/P ] F [0/P ] Resultat nach Simplifikation: 0 oder 1 Nachteil: Zwischenergebnisse können exponentiell groß sein Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

29 Beispiel F = x y.x y. Quantorenelimination ergibt: 1. ( y.1 y) ( y.0 y). 2. ((1 1) (1 0)) ((0 1) (0 0)) 3. Resultat: 1 Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

30 Klassifizierung von Klauseln Gegeben: QBF in pränexer Klauselform. Klassifikation von Klauseln: 1. Eine Klausel ist wahr, wenn sie ein Literal 1 enthält, oder eine Variable sowohl positiv als auch negativ (Tautologie). 2. Eine Klausel ist falsch, wenn 1. nicht gilt und wenn die Klausel keine existenziell quantifizierte Variable enthält. Z.B. eine Klausel mit nur allquantifizierten Variablen ist falsch, wenn sie keine Tautologie ist. 3. Andere Klauseln nennt man offen. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

31 Ein Beispiel x 1 x 2 x 3 x 4.(( x 1 x 2 x 3 ) (x }{{} 3 x 4 ) (x }{{} 3 x 4 ) (x }{{} 1 x 2 x 3 ) }{{} c 1 c 2 c 3 Diese Formel ist nicht gültig: c 4 ) x 2 x 1 x 1 x2 x x 2 2 x 3 x x 3 3 x 3 c 1 c 4 x 4 x 4 x 4 c 2 c 3 c 2 c 3 x 4 Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

32 Entscheidungsprozedur semantischer Baum Eingabe: Datenstruktur: Pränexe Klauselform UND-ODER-Baum, ALL UND EX ODER Knoten sind Formeln Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

33 Semantischer Baum: Erzeugung Wurzel = Input-Formel in pränexer Klauselform Am Knoten K erste Variable des Quantorenpräfix von F K analysieren: 1. x, dann UND-Knoten. Die beiden Töchterknoten sind: F K [1/x] und F K [0/x] 2. x, dann ODER-Knoten. Die beiden Töchterknoten sind: F K [1/x] und F K [0/x] Knoten ist Blatt, wenn F K aussagenlogisch zu 1 oder 0 auswertbar unter Benutzung der Def. wahre / falsche Klauseln Auswertung des Ausgabe-Baums: Auswertung entsprechend der UND, bzw ODER-Struktur und Werten an den Blättern. Ergebnis: 0 oder 1. Optimierungsmöglichkeit: Vertauschen von gleichartig quantifizierten benachbarten Variablen Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

34 Quellen des Nichtdeterminismus Welche Variable wird zur Fallunterscheidung verwendet? Welcher Fall wird zuerst untersucht pro Variable? Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

35 Beispiel x, y.x y: x y.x y y.1 y y.0 y Der Wert an der Wurzel ist 1. > dpll "ALL x EX y: (x <=> y)" "Formel ist Tautologie" Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

36 Optimierungen: Vermeiden von Fallunterscheidungen: Wenn aktuelle Variablen nicht in der Klauselmenge enthalten ist, dann streiche die aus dem Präfix. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

37 Optimierungen: Unit-Propagation Situation: Formel am Knoten Eine Klausel c ist eine Unit, gdw. c hat genau ein existenzielles Literal (x oder x) und für alle anderen (universellen) Literale y oder y, y ist rechts von x im Quantorenpräfix Aktion : Nur ein Tochterknoten: F [1/x], wenn x das Literal ist und F [0/x], wenn x das Literal ist. Beachte: x muss nicht die Top-Variable sein Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

38 Optimierungen: Isoliertes Literal Definition Ein Literal in einer Klauselmenge ist isoliert (pur), wenn das Komplement nicht in der Klauselmenge vorkommt. Aktion: Sei x die Variable im isolierten Literal. 1. Wenn x Ex-quantifiziert ist, Tochterknoten: F [1/x], wenn x das Literal ist und Tochterknoten: F [0/x], wenn x das Literal ist. 2. Wenn x All-quantifiziert ist, Tochterknoten mit F [0/x], wenn x das Literal ist und F [1/x], wenn x das Literal ist. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004