4. Übung zur Linearen Algebra I -

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1 4. Übung zur Linearen Algebra I - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. WS Aufgabe 13 Auf dem Cartesischen Produkt Z Z werden 2 Verknüpfungen, definiert durch: Man zeige: (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) := (a 1 +b 1, a 2 +b 2 ) und (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) := (a 1 b 1, a 2 b 2 ) (i) (Z Z,, ) ist ein Ring mit Eins (ii) R := {(a, b) Z Z b = 0} ist ein Unterring mit Eins (iii) Ist der Ring (Z, +, ) zu R isomorph? Zu (i): (Z 2,, ) ist ein Ring mit 1, wenn (Z 2, ) eine abelsche Gruppe ist und (Z 2, ) eine Halbgruppe mit 1 ist und die Distributivgesetzte für und gelten. Das Z 2 ist klar. Erstmal die Verknüpfungseigenschaften prüfen. Assoziativität: (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ), (z 1, z 2 ) Z 2 ((x 1, x 2 ) (y 1, y 2 )) (z 1, z 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) (z 1, z 2 ) = (x 1 + y 1 + z 1, x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 1, x 2 ) (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (x 1, x 2 ) ((y 1, y 2 ) (z 1, z 2 )) Dieselbe Rechnung funktioniert für und. und sind auch beides kommutative Verknüpfungen: (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) Z 2 (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ) = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) = (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) Außerdem gelten die Distributivgesetze, denn 1

2 (x 1, x 2 ) ((y 1, y 2 ) (z 1, z 2 )) = (x 1, x 2 ) (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (x 1 (y 1 + z 1 ), x 2 (y 2 + z 2 )) = (x 1 y 1 + x 1 z 1, x 2 y 2 + x 2 z 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ) (x 1 z 1, x 2 z 2 ) = ((x 1, x 2 ) (y 1, y 2 )) ((x 1, x 2 ) (z 1, z 2 )) Das andere Distributivgesetz ergibt sich aus der Kommutativität der beiden Verknüpfungen und dem schon gezeigten D-Gesetz. Außerdem gibt es eine 1 und eine 0 und -Inverse: 1 = (1, 1) denn (a, b) Z 2 : (1, 1) (a, b) = (1 a, 1 b) = (a, b) und 0 = (0, 0) denn (a, b) Z 2 : (0, 0) (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b) (a, b) = ( a, b) denn (a, b) Z 2 : ( a, b) (a, b) = (0, 0) Damit ist (i) nachgewiesen. Zu (ii): Da Assoziativität, Kommutativität und die Distributivgesetzte für Z 2 gelten, sind sie auch für Teilmengen, insbesondere R, war. (R, ) ist eine Untergruppe, da für R das Untergruppenkriterium gilt: a, b R : a ( b) = (a 1, 0) ( b 1, 0) = (a 1 b 1, 0) R Außerdem ist R -abgeschlossen: a, b R : a b = (a 1, 0) (b 1, 0) = (a 1 b 1, 0) R Es gibt auch eine 1 R = (1, 0) in R, da a R : 1 R a = (1, 0) (a, 0) = (1 a, 0) = a Zu (iii): Betrachte die Abbildung f : Z R mit f(x) = (x, 0). Wir wollen zeigen, daß es sich um einen bijektiven Ringhomomorphismus handelt (einen Isomorphismus). f ist offensichtlich surjektiv und injektiv: Surjektivität: Sei y R. x Z sodaß y = (x, 0). f(x) = y. Injektivität: Seien x, y Z sodaß (x, 0) = f(x) = f(y) = (y, 0). Dann folgt x = y (Gleichheit für Tupel) Damit haben wir erstmal eine Bijektion zwischen den Mengen R und Z. f besitzt aber auch die Homomorphismus Eigenschaften: f(a) f(b) = (a, 0) (b, 0) = (a b, 0) = f(a b) f(a) f(b) = (a, 0) (b, 0) = (a + b, 0) = f(a + b) Deshalb sind die beiden Ringe isomorph. 2

3 Aufgabe 14 Man zeige, daß es bis auf Isomorphie höchstens einen Körper der Ordnung 3 gibt. Bemerkung (ohne Beweis): Die Ordnung eines endlichen Körpers ist stets Primzahlpotenz. Ist umgekehrt p a Primzahlpotenz, so gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper der Ordnung p a. Wir gehen nach dem Sudoku-Prinzip des schrittweisen Ausfüllens und Einhaltens bestimmter Regeln vor. In einem Körper gilt definitionsgemäß 1 0. Bezeichne x das dritte Element, also K = {0, 1, x}. Folgende Regeln ergeben sich für die Verknüpfungstabellen: Symmetrie entlang der Hauptdiagonalen (Kommutativität) + Tabelle: Zeilen und Spalten sind Permutationen von K (Inverse existieren k) Tabelle: Zeilen und Spalten (ausser 0-Zeile und 0-Spalte) sind Permutationen von K\{0} ( Inverse für K\{0}) k K : 1 k = k (Definition von 1) k K : 0 + k = k (Definition von 0) k K : 0 k = 0 (Folgerung aus den Körper-Axiomen) Daraus ergeben sich genau diese beiden Verknüpfungstabellen: x 0 1 x x x x x x 0 1 x 0 x 1 Da es in der Aufgabe heißt höchstens einen Körper der Ordnung 3 verzichte ich auf den Nachweis der Distributivgesetzte und der Assoziativität, die notwendig wären, um zu zeigen, daß es einen Körper der Ordnung 3 gibt. Aufgabe 15 Ein Ring (R, +, ) heißt nullteilerfrei, wenn gilt: a, b R : a b = 0 a = 0 b = 0 Man zeige: Ist (R, +, ) nullteilerfrei, so gilt die Kürzungsregel, d.h.: a, b, c R : (ab = ac a 0) b = c 3

4 Sei also ein Ring R nullteilerfrei und a, b, c R, a 0 sodaß ab = ac. Falls wir Glück haben gibt es ein multiplikativ-inverses zu a (z.b. in R = Q). Die Kürzungregel gilt aber auch in R = Z, wo nur die 1 ein m-inverses besitzt. Das liegt an der Distributivität, der Existenz von additativ-inversen, der Nullteilerfreiheit und daran, daß a 0: ab = ac ab ac = 0 a(b c) = 0 b c = 0 b = c Der Ring aus Aufgabe 13 dagegen ist nicht nullteilerfrei und man darf in ihm nicht die Kürzungsregel verwenden. Zum Beispiel: a = (3, 0) 0, b = (0, 10), c = (0, 4) ab = ac aber b c. Aufgabe 16 Auf F := {f f : R R} werden 2 Verknüpfungen definiert durch (f + g)(a) := f(a) + g(a) und (f g)(a) := f(a) g(a) a R (i) Ist (F, +, ) ein Ring? (ii) Ist A := {f F f(3) = 0} ein Unterring? (iii) Ist B := {f F f(7) = 2 + f(1)} ein Unterring? Der Nachweis, daß (F, +, ) ein Ring ist erfordert viele Einzelnachweise. Wiederholung: Zwei Funktionen f, g : D R sind gleich, genau dann wenn d D : f(d) = g(d). Nachweis Assoziativität. f, g, h F : (f + (g + h))(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) f + (g + h) = (f + g) + h = (f + g)(x) + h(x) = ((f + g) + h)(x) Genauso für. Nachweis Kommutativität. f, g F : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) f + g = g + f Die besonderen Ringelemente sind: 1 : R R, x 1, denn f F : f 1 = f(x) 1(x) = f(x) 0 : R R, x 0, denn f F : f + 0 = f(x) + 0(x) = f(x) f F : f, x f(x), denn f(x) + f (x) = 0 4

5 Nachweis des ersten Distributivgesetzes: : (f (g + h))(x) = f(x) (g + h)(x) = f(x) (g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x) = (f g)(x) + (f h)(x) = ((f g) + (f h))(x) f (g + h) = (f g) + (f h) Das zweite folgt aus der Kommutativität der Verknüpfungen. Also ist (F, +) eine abelsche Gruppe. Zu (ii): A ist ein Unterring von R. Wie bei Aufgabe 13 müssen nur noch das Untergruppenkriterium und die -Abgeschlossenheit nachgewiesen werden. a, b A : a, b A : (a b)(3) = a(3) b(3) = 0 a b A (a b)(3) = a(3) b(3) = 0 a b A Zu (iii): B ist kein Unterring von R, da diese Menge nicht +-abgeschlossen ist: Seien f, g B beliebig. Untersuche die Funktion (f + g) an der Stelle 7. Es wird gefordert, daß (f + g)(7) = 2 + (f + g)(1). Aber (f + g)(7) = f(7) + g(7) = 4 + f(1) + g(1) = 4 + (f + g)(1). Also: f, g B f + g / B 5