4 Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v), L2 f(λu) = λf(u). Satz 4.3. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Lin(V, W ) bezeichnet und ist ein Untervektorraum des Vektorraums X = Abb(V, W ) aller Abbildungen von V nach W. Beweis. 31

2 Satz 4.4. (i) Sind f : V W und g : W Z lineare Abbildungen, so ist auch die Verkettung f g : V Z (mit (f g)(v) = f(g(v))) eine lineare Abbildung. (ii) Ist f : V W eine lineare Abbildung und besitzt f eine Umkehrfunktion f 1, so ist auch die Umkehrfunktion linear. Satz 4.5. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und U ein Untervektorraum von V. Die orthogonale Projektion P U : V U aus 3.15 ist linear. Definition 4.6. Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann ist Im(f) = f(v ) = {f(v) v V } das Bild von f, und der Kern von f. Ker(f) = {v V f(v) = 0} Beispiel 4.7. Satz 4.8. Ist f : V W eine lineare Abbildung, so ist Im(f) ein Untervektorraum von W, und Ker(f) ein Untervektorraum von V. Beweis. 32

3 4.2 Isomorphismen 4.2 Isomorphismen Definition 4.9. Besitzt eine lineare Funktion f : V W eine Umkehrfunktion f 1 : W V, so heißt f Isomorphismus. Die Vektorräume V, W heißen zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus f : V W gibt. Beispiel Satz Ist V ein Vektorraum mit der Basis B = {b 1, b 2,..., b n }, so kann man eine lineare Abbildung f definieren, indem man die Bilder der Basisvektoren festlegt. D.h. für f : V W wählt man w 1, w 2,..., w n W, und setzt f(b i ) = w i. Dann ist f definiert durch ( n ) n n f(v) = f λ i b i = λ i f(b i ) = λ i w i. Beispiel i=1 i=1 i=1 Satz Es seien V, W K-Vektorräume, und f : V W sei eine lineare Abbildung. (i) Schränkt man den Bildbereich von f auf f(v ) ein, so ist die Abbildung f : V f(v ) mit f(v) = f(v) invertierbar, genau dann, wenn Ker(f) = {0}. (ii) Es sei B = {b 1, b 2,..., b n } eine Basis von V. f ist ein Isomorphismus, genau dann wenn die Menge {f(b 1 ), f(b 2 ),..., f(b n )} eine Basis von W ist. (iii) Gilt Dim(V ) = Dim(W ), so ist f invertierbar, genau dann wenn Ker(f) = {0}. (iv) Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so gilt Dim(V ) = Dim(Im(f)) + Dim(Ker(f)). 33

4 Satz Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Dann ist V isomorph zum Vektorraum K n. Beweis. 4.3 Matrizen Es sei V ein Vektorraum mit der geordneten Basis B = (b 1, b 2,..., b n ), W sei ein Vektorraum mit der geordneten Basis C = (c 1, c 2,..., c m ), und f : V W sei eine lineare Abbildung. Denkt man an Satz 4.11, so ist f bereits vollständig gegeben durch die Definition von f(b 1 ) = w 1, f(b 2 ) = w 2,... f(b n ) = w n. Stellt man die Vektoren w i als Linearkombinationen in der Basis C dar (vgl. Satz 2.16), so bekommt man das Schema f(b 1 ) = a 11 c 1 + a 21 c a m1 c m, f(b 2 ) = a 12 c 1 + a 22 c a m2 c m,.. f(b n ) = a 1n c 1 + a 2n c a mn c m. Die lineare Abbildung f ist also durch das Zahlenschema a 11 a a 1n A =.... a m1 a m2... a mn eindeutig definiert. ( ) 34

5 4.3 Matrizen Definition Ein Zahlenschema der Form ( ) heißt m n-matrix. Die Menge aller solcher Zahlenschemata wird mit K m n bezeichnet. Man kann zwei m n-matrizen addieren wie folgt, a 11 a a 1n b 11 b b 1n a 11 +b 11 a 12 +b a 1n +b 1n b 21 b b 2n.... = a 21 +b 21 a 22 +b a 2n +b 2n.... a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn a m1 +b m1 a m2 +b m2... a mn +b mn und mit einer Zahl λ K multiplizieren, a 11 a a 1n λa 11 λa λa 1n λ.... = λa 21 λa λa 2n.... a m1 a m2... a mn λa m1 λa m2... λa mn. Mit diesen Operationen + und ist die Menge K m n ein K-Vektorraum. Definition Es sei A K m n und B K n p. Man kann das Produkt C = A B K m p definieren wie folgt, a 11 a a 1n b 11 b b 1p c 11 c c 1p.... b 21 b b 2p.... = c 21 c c 2p...., a m1 a m2... a mn b n1 b n2... b np c m1 c m2... c mp wobei c kj = n i=1 a kib ij = a k, b j, wobei a k die k-te Zeile von A, und b j die j-te Spalte von B ist ( Zeile mal Spalte ). Das neutrale Element der Matrixmultiplikation in K n n ist die Einheitsmatrix E = E n = Beispiel

6 Satz Es seien Matrizen A, B, C, D gegeben so dass die jeweiligen Rechenoperationen ausführbar sind. Dann gilt (i) E A = A E = A, (ii) (A B) C = A (B C), (iii) A (B + C) = A B + A C und (B + C) D = B D + C D. Im Allgemeinen gilt (iv) A B B A, (v) A B = 0 A = 0 oder B = 0. Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir gesehen, dass man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Zahlenmatrix darstellen kann. Der folgende Satz besagt, dass auch umgekehrt durch jede Zahlenmatrix eine lineare Abbildung definiert wird. Satz Durch eine Matrix A K m n wird eine lineare Abbildung f A : K n K m definiert wie folgt: für x K n = K n 1 ist f A (x) = A x. Beweis. Definition Die Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix A K m n ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix. Diese Zahl heißt Rang von A und wird mit Rang(A) bezeichnet. Eine quadratische Matrix A K n n heißt regulär, wenn Sie vollen Rang hat, d.h., wenn Rang(A) = n. Ansonsten heißt die Matrix singulär. Beispiel

7 4.3 Matrizen Satz (i) Sind A K m n, B K n l Matrizen und f A : K n K m, f B : K l K n die zugehörigen linearen Abbildungen, so gilt f A f B = f A B, d.h., für x K l ist (f A f B )(x) = f A (f B (x)) = f A (B x) = A (B x) = (A B) x (vgl. Satz 4.18 (ii)). (ii) Eine Matrix A K n n ist regulär, genau dann wenn die durch A induzierte lineare Abbildung f A eine Umkehrfunktion besitzt. Die Matrix A besitzt dann eine Inverse A 1 (die Darstellungsmatrix von f 1 A ) und es gilt A A 1 = A 1 A = E. Beispiel Satz Es seien A, B K n n. (i) Ist A B = E n, so sind A und B regulär und es ist A = B 1 und B = A 1. (ii) Sind A und B regulär, so ist auch das Produkt A B regulär und es gilt (A B) 1 = B 1 A 1. Definition Es sei a 11 a a 1n A =.... Km n. a m1 a m2... a mn Dann ist a 11 a a n1 A a 12 a a 2n =.... Kn m a 1m a 2m... a nm die zu A transponierte Matrix. 37

8 Beispiel Satz Es seien A, B, C, D Matrizen, so dass die folgenden Operationen durchgeführt werden können. Es gilt (A + B) = A + B, (C D) = D C. Ist F eine quadratische, reguläre Matrix, so ist Beispiel (F 1 ) = (F ) 1. 38