2. Freie gedämpfte Schwingungen

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1 2. Freie gedämpfte Schwingungen Bei realen Systemen werden die Schwingungsausschläge mit der Zeit kleiner, und die Schwingung kommt zum Stillstand. Ursache sind Energieverluste durch Reibungs- und Dämpfungskräfte: Lagerreibung Luftwiderstand innere Reibung des Werkstoffs 2.2-1

2 2. Freie gedämpfte Schwingungen Dämpfungskräfte sind stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Die genaue Beschreibung aller dämpfenden Einflüsse ist aufwändig. Das einfachste Dämpfungsmodell ist das Modell einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung: Dämpfungskonstante d: F D =d v=d ẋ Einheit Kraft/Geschwindigkeit: 1Ns/m = 1kg/s 2.2-2

3 2. Freie gedämpfte Schwingungen 2.1 Schwingungsgleichung 2.2 Dämpfungsfälle 2.3 Dissipierte Energie 2.2-3

4 2.1 Schwingungsgleichung Lösung der Bewegungsgleichung: Aus m ẍ d ẋ c x=0 folgt nach Division durch m die Schwingungsgleichung ẍ 2 ẋ 2 x=0 Dabei wurde die Abklingkonstante = d 2m eingeführt. kg Die Dimension der Abklingkonstante ist. s kg = 1 s 2.2-4

5 2.1 Schwingungsgleichung Einsetzen des Lösungsansatzes führt auf A e t =0. Nichttriviale Lösungen mit A 0 existieren nur, wenn die charakteristische Gleichung erfüllt ist. x t = A e t, ẋ t = A e t, ẍ t = 2 A e t =0 Sie hat die beiden Lösungen 2 1/ 2 = ± = ±

6 2.1 Schwingungsgleichung Mit dem Lehrschen Dämpfungsmaß Dämpfungsfälle: Starke Dämpfung: folgt: D= D > 1: 2 reelle Lösungen Kritische Dämpfung: D = 1: 1 reelle Lösung 1/ 2 = ± D 2 1 Schwache Dämpfung: D < 1: 2 komplexe Lösungen 2.2-6

7 Starke Dämpfung: 2.2 Dämpfungsfälle Es gibt 2 reelle Lösungen 1/ 2 = ± mit = D 2 1= 2 2. Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung ist x t = A 1 e 1t A 2 e 2t =e t A 1 e t A 2 e t Das ist eine exponentiell abklingende Funktion. Für die Geschwindigkeit folgt: ẋ t = e t A 1 e t A 2 e t e t A 1 e t A 2 e t 2.2-7

8 2.2 Dämpfungsfälle Die Konstanten A 1 und A 2 können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden: Verschiebung: x 0 =x 0 = A 1 A 2 Geschwindigkeit: v0 =ẋ 0 = A 1 A 2 A 1 A 2 = A 1 A 2 A 1 A 2 = x 0 A 1 A 2 = v A 1 = x 0 v 0 A 1 = x 0 v 0 2 A 2 = x 0 v 0 A 2 = x 0 v

9 2.2. Dämpfungsfälle v 0 > 0 v 0 = 0 -δx 0 < v 0 < 0 v 0 < -δx

10 Kritische Dämpfung: 2.2 Dämpfungsfälle Es gibt nur eine reelle Lösung 1 = 2 = Die allgemeine Lösung lautet: x t = A 1 A 2 t e t Die Konstanten A 1 und A 2 können wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden: x 0 =x 0 A 1 =x 0, ẋ 0 =v 0 A 2 =v 0 x 0 Dieser Fall wird auch als aperiodischer Grenzfall bezeichnet

11 2.2 Dämpfungsfälle Der Ausschlag geht schneller gegen null als bei starker Dämpfung. Technische Anwendung findet der Grenzfall z.b. bei der Auslegung von Messgeräten

12 Schwache Dämpfung: 2.2 Dämpfungsfälle Es gibt 2 komplexe Lösungen 1/ 2 = ±i d mit d = 1 D 2. Die allgemeine Lösung lautet x t = A 1 e 1t A 2 e 2t =e t A 1 e i t d A 2 e i d t mit zwei komplexen Konstanten A 1 =a 1 i b 1, A 2 =a 2 i b

13 2.2 Dämpfungsfälle Mit den Eulerschen Formeln e ix =cos x i sin x, e ix =cos x i sin x folgt: x t =e t [ a 1 i b 1 cos d t i sin d t a 2 i b 2 cos d t i sin d t ] =e t [ a 1 a 2 cos d t b 1 b 2 sin d t i b 1 b 2 cos d t a 1 a 2 sin d t ] Die Lösung ist reell für a 1 =a 2 = C c 2, b 1= b 2 = C s

14 2.2 Dämpfungsfälle Damit lautet die allgemeine Lösung: x t =e t C c cos d t C s sin d t Für die Geschwindigkeit folgt: ẋ t = e t C c cos d t C s sin d t e t d C c sin d t C s cos d t =e t [ d C s C c cos d t d C c C s sin d t ] Die Konstanten können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden: x 0 =x 0 =C c C c =x 0 v 0 =ẋ 0 = d C s C c C s = v 0 x 0 d

15 2.2 Dämpfungsfälle Ergebnis: x t =e t[ x 0cos d t v 0 x 0 d sin d t ] Wie im ungedämpften Fall lässt sich die Lösung auch in der Form x t =C e t cos d t schreiben. Dabei gilt: C= x 2 0 v 0 x 0 d 2, tan = v 0 x 0 d x 0 x 0 =C cos, v 0 x 0 d = C sin

16 2.2 Dämpfungsfälle T d

17 2.2 Dämpfungsfälle Die Schwingung klingt exponentiell ab. Die Frequenz f d der gedämpften Schwingung ist kleiner als die Frequenz f der ungedämpften Schwingung: f d f = d = 1 D 2 Bei vielen praktischen Anwendungen ist D < 5%. Für D = 5% gilt: f d f = 1 0,05²=0,9987 Für D < 5% ist die Abweichung von der ungedämpften Frequenz kleiner als 0,15%

18 2.2 Dämpfungsfälle Logarithmisches Dekrement: Für das Verhältnis von 2 Ausschlägen im Abstand einer Periode T d gilt: x t x t T d = C e t cos d t C e t T d cos d t T d =e T d Das logarithmische Dekrement ist definiert durch =ln x t x t T d = T d= 2 d =2 Für sehr schwache Dämpfung (D < 10%) gilt die Näherung 1 D D D 1 D

19 2.2 Dämpfungsfälle Beispiel: Dämpferprüfstand Daten: Masse m = 1,5kg m Federkonstante c = 150N/m Dämpferkonstante d = 1,8Ns/m Anfangsbedingungen: Auslenkung x 0 = 1,5mm Geschwindigkeit v 0 = 10mm/s c/2 d c/2 x

20 2.2 Dämpfungsfälle Gesucht: Dämpfungsfall maximale Auslenkung Dämpfungsfall: Lehrsches Dämpfungsmaß: Das System ist schwach gedämpft. D= = d m 2m c = d 2 mc 1,8 kg/s 1,8 D= 2= 2 1,5 kg 150 kg/s = 1, =0,

21 Maximale Auslenkung: 2.2 Dämpfungsfälle Auslenkung: x t =C e t cos d t Geschwindigkeit: ẋ t = C e t cos d t d sin d t Bei maximalem Ausschlag ist die Geschwindigkeit null: ẋ t max =0 : cos d t max d sin d t max =0 Abkürzung: = d t max cos = d sin tan = = D d 1 D

22 2.2 Dämpfungsfälle Zahlenwerte: = c m = 150 1,5 kg m s²m kg =10 1 s = D=10 1 s 0,06=0,6 1 s d = 1 D 2 = 1 0,06 2 =9,982 1 s tan = v 0 x 0 d x 0 = 10 0,6 1,5 9,982 1,5 mm s = 0,7280 = 0,6293 s mm C= x 2 0 v 0 x 0 d = 2 1,52 mm ,6 1,5 mm 2=1,855 mm 9,

23 2.2 Dämpfungsfälle tan = D 0,06 2= = 0,06011 = 0, D 1 0,06 = d t max t max = d = 0, ,6293 9,981 s 1 =0,05703 s x max =C e t max cos =1,855mm e 0,6 s 1 0,05703 s cos 0,06004 =0,1855 mm 0,9664 0,9982=1,789 mm

24 Aufgabenstellung: 2.3 Dissipierte Energie Betrachtet wird ein schwach gedämpftes schwingendes System. Gesucht ist die Energie, die während einer Periode dissipiert wird. Lösung: Potenzielle Energie zum Zeitpunkt t = t n : E P t n = 1 2 c x 2 t n = 1 2 c C 2 e 2 t n cos 2 d t n

25 2.3 Dissipierte Energie Kinetische Energie zum Zeitpunkt t = t n : v t n =ẋ t n = C e t n [ cos d t n d sin d t n ] E K t n = 1 2 mc2 e 2 t n [ cos d t n d sin d t n ] 2 Gesamte Energie zum Zeitpunkt t = t n : E n =E t n =E P t n E K t n Zum Zeitpunkt t n+1 = t n + T d gilt: sin d t n 1 =sin d t n, cos d t n 1 =cos d t n

26 2.3 Dissipierte Energie Damit gilt für die Energien: E P t n 1 = 1 2 c C 2 e 2 t n 1 cos 2 d t n =e 2 T d E P t n E K t n 1 =e 2 T d E K t n E n 1 =e 2 T d E n Für das Verhältnis der Energien folgt: E n 1 E n =e 2 T d =e

27 2.3 Dissipierte Energie Für die während einer Periode dissipierte Energie gilt: E n =E n E n 1 = E n E n 1 E n E n = 1 e 2 E n Verhältnis der Energien nach den ersten N Perioden: E N 1 E 1 = E N 1 E N E 2 =e 2 N E N E N 1 E 1 Während der ersten N Perioden dissipierte Energie: E N =E 1 E N 1 = 1 e 2 N E

28 2.3 Dissipierte Energie Beispiel: Eine masselose, starre Stange mit Feder und Dämpfer trägt eine Masse. c m d a a a

29 Aufgabenstellung: 2.3. Dissipierte Energie Wie lautet die Schwingungsgleichung? Welche Bedingung muss die Dämpfungskonstante d erfüllen, damit schwache Dämpfung vorliegt? Wie lautet die Lösung der Schwingungsgleichung für die Anfangsbedingungen θ(0) = θ 0 und dθ/dt(0) = 0? Wie groß ist die für D = 0,01 während der ersten Periode dissipierte Energie? Schwingungsgleichung: Die Bewegung der Stange wird durch den von der Gleichgewichtslage aus gemessenen Winkel θ beschrieben

30 2.3 Dissipierte Energie A F C F D Für kleine Auslenkungen lautet der Drallsatz bezüglich Punkt A: 2 a 2 m = a F C 3a F D θ Mit folgt: F C =c asin c a F D =d 3a 2 a 2 m 3a 2 d c a 2 =0 Damit lautet die Schwingungsgleichung: 2 9d 8 m c 4 m =

31 2.3 Dissipierte Energie Bedingung für schwache Dämpfung: Aus der Schwingungsgleichung kann abgelesen werden: Lehrsches Dämpfungsmaß: = 9 d 8 m, 2 = c 4 m D= = 9 d 8 m 2 m c = 9 d 4 mc Bedingung für schwache Dämpfung: D 1 d 4 9 mc

32 2.3 Dissipierte Energie Lösung der Schwingungsgleichung: Allgemeine Lösung: t =e t [C c cos d t C s sin d t ] Konstanten: Ergebnis: C c = 0, C s = 0 d = 0 1 D 2 = 0 D 1 D 2 t t = 0 e cos d t D 1 D sin 2 d t Dissipierte Energie: Mit D = 0,01 gilt: D 0,01 =2 =2 2 1 D 1 0,01 =0, E 1 =E 1 E 2 = 1 e 2 0,06283 E 1 =0,1181 E