Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

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Rudolf Esser
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1 Lagebeziehungen zwischen Geaden und Ebenen. Lagebeziehungen zwischen Geaden g a Gegeben seien zwei Geaden zu g µ b () Man untesucht zuest die Richtungsvektoen a, b auf lineae Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit Sind die Richtungsvektoen a, b linea abhängig, dann sind die Geaden g und g paallel ode identisch. Um dies zu entscheiden, untesucht man dann, ob die Diffeenz de Otsvektoen linea abhängig bzw. unabhängig von den Richtungsvektoen a, b ist a) Sind a, b und linea abhängig, dann sind die Geaden g und g identisch. b) Sind a, b und linea unabhängig, dann sind die Geaden g und g paallel. () Sind die Richtungsvektoen a, b linea unabhängig, dann sind die Geaden g und g windschief ode haben einen Schnittpunkt S. Dies entscheidet man am einfachsten, indem man eine Schnittpunktbeechnung duchfüht (d.h. Gleichsetzen de beiden Paametegleichungen). Setzt man die Lösung des daaus entstehenden Gleichungssystems in eine de Paametegleichungen ein, so ehält man S. Füht das Gleichungssystem auf einen Widespuch, dann sind die Geaden g und g windschief. Lagebeziehungen zwischen Geaden und Ebenen g a Gegeben seien eine Geade und eine Ebene zu ε µ b ηc () Man untesucht zuest die Richtungsvektoen a, b, c auf lineae Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit Sind die Richtungsvektoen a, b, c linea abhängig, dann sind die Geade g und die Ebene ε paallel, ode die Geade g liegt in de Ebene ε. Um dies zu entscheiden, untesucht man dann, ob die Diffeenz de Otsvektoen linea abhängig bzw. unabhängig von den Richtungsvektoen a, b, c ist a) Sind a, b, c und linea abhängig, dann liegt die Geade g in de Ebene ε. b) Sind a, b, c und linea unabhängig, dann sind die Geade g und die Ebene ε paallel. () Sind die Richtungsvektoen a, b, c linea unabhängig, dann haben die Geade g und die Ebene ε einen Schnittpunkt S. Diesen ehält man, indem man eine Schnittpunktbeechnung (d.h. Gleichsetzen de beiden Paametegleichungen) duchfüht. Setzt man die Lösung des daaus entstehenden Gleichungssystems in eine de Paametegleichungen ein, so ehält man S. Lagebeziehung zwischen Ebenen Anja Schiffes

2 ε a µ b Gegeben seien zwei Ebenen zu ε ρc σd Um Rechenaufwand zu spaen, geht man zweckmäßigeweise so vo, daß man sofot vesucht, eine Schnittgeade de beiden Ebenen zu bestimmen (duch Gleichsetzen de beiden Paametegleichungen). Setzt man die Lösungen des daaus entstehenden Gleichungssystems in eine de Paametegleichungen ein, so ehält man die Gleichung de Schnittgeaden. Ehält man im Gleichungssystem eine Widespuch, sind die Ebenen paallel, ehält man eine allgemeingültige Lösung, so sind die Ebenen identisch. Anja Schiffes

3 Anja Schiffes Analytische Geometie Geaden und Ebenen Aufgabe Untesuche die gegenseitige Lage de Geaden g und g a) g g ρ b) g g 6 ρ c) g g ρ d) g g, ρ Aufgabe Bestimme die gegenseitige Lage de folgenden Geaden und Ebenen a) ε µ σ g b) µ ε 7 σ g c) Aufgabe Bestimme die gegenseitige Lage de folgenden Ebenen a) µ ε σ ρ ε b) µ ε σ ρ ε c) µ ε 9 σ ρ ε

4 Anja Schiffes Aufgabe a) Bestimme eine Gleichung de Geaden g duch die Punkte P(//) und Q(//) in Paametefom und emittle die Duchstoßpunkte mit den dei Koodinatenebenen. b) Bestimme eine Gleichung de Geaden h duch den Punkt R(//) paallel zu Geaden in Paametefom und untesuche die gegenseitige Lage von g und h. Aufgabe Untesuche, ob die dei Geaden g,g und g ein Deieck einschließen. Beechne gegebenenfalls die Eckpunkte. g g g, µ η Aufgabe 6 Untesuche die gegenseitige Lage de Geaden g und de Ebene ε a) g, - 6 ε ρ σ b) g ε ρ σ Aufgabe 7 Emittle die Schnittgeaden de Ebene zu ε µ mit den dei Koodinatenebenen. Aufgabe 8 Untesuche die gegenseitige Lage de beiden Ebenen a) ε µ ε ρ σ b) ε µ ε ρ σ Aufgabe 9 Emittle eine Paametegleichung de Ebene ε duch die Punkte A(//), B(//), C(//).Untesuche dann die gegenseitige Lage von ε und de Geaden g 8 7 σ Aufgabe a) Emittle eine Paametegleichung de Ebene ε duch die dei Punkte A(6/6/), B(//) und C(//6) b) Liegt de Punkt D(8//) in de Ebene ε?

5 c) Untesuche die gegenseitige Lage von ε und de Geaden g zu. d) Emittle eine Paametegleichung fü die Schnittgeade de Ebene ε mit de Ebene duch die Punkte A,B und D. Aufgabe Emittle die Schnittgeaden de Ebene zu Koodinatenebenen. µ mit den dei Aufgabe a) Bestimme eine Gleichung de Geaden g duch den Punkt P (//) paallel zu Geaden g in Paametefom. b) Emittle eine Gleichung de Ebene ε, in de g und de Punkt P (7//-) liegt, in Paametefom. Aufgabe Tifft die Geade g zu 8 die Fläche des Paallelogamms ABCD, das duch A(-/-/- 6 ) und a, d 6 bestimmt ist? 8 Aufgabe Gegeben seien dei Punkte A(//-6), B(-//) und C(8//). Bestimme eine Paametegleichung de Ebene ε duch A,B und C. Binge die Ebenengleichung dann auf Nomalenfom. Aufgabe a) Zeige, dass die beiden Ebenen zu y und zu y-z zueinande othogonal sind. b) Emittle eine Paametegleichung de Schnittgeaden g. c) Zeige, dass P(-//) auf diese Schnittgeaden liegt. Aufgabe 6 Gegeben seien A(//), B(//), C(//), D(//), E(//). a) Beweise ABCD bilden eine Rechteck. b) Egänze ABCDE duch dei Punkte F,G,H zu einem Quade. c) Zeige g AD und g EB sind windschief. d) Beechne Schnittmenge und Schnittwinkel de Ebene ε duch ACD und ε duch BDE. Anja Schiffes

6 Aufgabe 7 Gegeben sind die Paametegleichungen folgende Ebenen und Geaden 8 ε s ε t v und g gk k 6 s k und a) Zeige, dass die beiden Ebenen paallel, abe nicht identisch sind. b) Emittle von beiden Ebenen jeweils die Hesse-Fom und den Abstand vom Uspung des Koodinatensystems. c) Welche zwei Möglichkeiten egeben sich unte de Beücksichtigung de Egebnisse aus a) und b) fü den Abstand de beiden Ebenen voneinande? Gilt das Egebnis auch fü zwei beliebige, nicht paallel Ebenen? Begünde! d) Beechne die Spugeade (Schnittgeade) g von ε mit de -y-ebene. Bestimme den Abstand diese Spugeaden zum Uspung des Koodinatensystems. e) Bestimme die Gleichung eine zu ε othogonalen Geaden g duch den Punkt P(-//9). f) Bestimme in de Geadengleichung g k den Paamete k so, dass g und g k einen Schnittpunkt haben, beechne diesen Schnittpunkt und den Schnittwinkel de beiden Geaden. Aufgabe 8 Gegeben sind die Punkte A(/-/), B(-//6), C(/-/), D(/-/) und die Geade g. a) Gib eine Paametegleichung de Ebene ε duch A,B und C an. b) Welchen Abstand hat de Punkt D von de Ebene ε. c) Bestimme den Schnittpunkt S von g und ε. d) Gib eine Paametegleichung de Ebene ε an, die g enthält und duch D veläuft. Anja Schiffes

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