Die Geometrie des Universums. Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

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1 Die Geometrie des Universums Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

2 Komet 67P Komet 67P: Perihel: 1,2432 AE Aphel: 5,689 AE a = 3,463 AE e = 0,6412 P = 6,44 a i = 7,04 P Rot = 12,4 h

3 67P Kometenbahn 2015

4 Zusammenfassung der 5 Axiome Einsteins von 1915 Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ein ds² zur Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien. Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion). Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP erfüllt. Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit bestimmt die Krümmung Ricc R g/2 = k T Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT EEP erf.

5 Materie & Energie krümmen die RaumZeit (Einstein 1915) G: Newtonsche Konstante

6 Energie-Impuls Tensor im Ruhsystem der Materie Matrix r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot) p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3

7 Riemann-Tensor der RaumZeit

8 Ricci-Tensor der RaumZeit

9 + Kosmologische Konstante 1917 R ik 1 2 Rg ik g ik (8 G / c 4 ) T ik Krümmung Kosmol. Konstante Materie R ik Ricci Tensor mit Spur R = R m m: folgt aus Riemann Tensor Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)

10 Ex1: RaumZeit eines Sterns Sonne, Erde, Neutronensterne, SL Symmetrie lässt nur 2 Funktionen frei: F(r): Gravitationspotenzial B(r): Krümmung des 3-Raumes B(r) > 1: Volumen größer als Euklidisch (r,f)-fläche ds² = exp(2f(r)) c²dt² - B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]

11 Gravitation krümmt den Raum Lichtablenkung an Sonne

12 RaumZeit Sternkollaps Core eines massereichen Sterns kollabiert auf SLoch Minkowski RaumZeit

13 Bestätigung im Sonnensystem Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS). Lichtablenkung an Sonne und Jupiter. Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert. Shapiro-Laufzeitverzögerung. Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf. Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

14 Wie stellen Sie sich unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur? Antike Vorstellung Van Gogh 1889 Einstein 1917 Das Moderne Universum

15 Albert Einstein Deutsch Allgemeine Relativität (1915); Statisches, geschl. Universum (1917) W. de Sitter Holländer Vakuum-Energiegefülltes expand. Universum de Sitter (1917) A. Friedmann Russe H.P. Robertson Amerikaner G. Lemaître Belgier A.G. Walker Britisch Allgemeine Herleitung der Metrik eines isotropen und homogenen Universums in ART Robertson-Walker Metrik (1935-6) Väter des Modernen Universums Entwicklung eines homogenen, expandierenden Universums Friedmann Modelle (1922/1924) Ur-Atom 1927 / 1931 hat den Big Bang erfunden

16 Weder Erde noch Sonne im Zentrum des Universums! Kosmologisches Prinzip (Milne 1933) 1. Wir befinden uns an keiner ausgezeichneten Position des Universums ( kein Zentrum). 2. Das Universum ist isotrop. Erst von nachgewiesen!

17 Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären SDSS DR7 600 Mpc 420 Mpc Jeder Punkt ist eine Galaxie

18 Isotropie der CMB-Strahlung

19 COBE 1993 T-Anisotropien 2006 Temperaturschwankungen DT = 30 µk in der Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad, aufgenommen durch COBE (Mission )

20 WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14 reicht nicht ; Mpc X DT 5 10 T Rot: wärmer Blau: kühler DT < micro-kelvin um <T> = 2,725 Kelvin

21 Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells! Jeder Beobachter sieht einen andern Teil Kuiper-Gürtel Planeten-Sphären Fixstern- Sphären Galaxien- Sphären Photo- Sphäre

22 Wir sind scheinbar im Zentrum des Universums r = 0 Jede Kugel- Schale: r = const Dr = 100 Mpc Big Bang Kosmische Sphären r Galaxien- Sphären Photosphäre des Universums 3000 K 2,725 K Kugelschalen expandieren mit der Zeit r a(t) r

23 r = 0 Modernes Universum Kosmische Sphären je tiefer umso jünger Photosphäre Universum CMB 1965 Strahlungs-Sphäre? a 0 Alter des Universums in Mrd. Jahren

24 Welche Geometrie hat Kosmos? Wie sieht der Raum aus ds 2? Aus Kosmologischen Prinzip (Isotropie um jeden Punkt) räumliche Krümmung überall konstant. Nur 3 Möglichkeiten: 3-Sattel negative Krümmung: K < 0 3-Sphäre positive Krümmung: K > 0 Flacher E 3 keine Krümmung: K = 0

25 RaumZeit expandierendes Universum 3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r a(t) r ; k = 0 ds² = c²dt² - a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)] Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922 k = +1 ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)] Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924 k = -1 ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)] Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)! a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes R(t) : Radius des Universums zeitabhängig

26 Die Geometrie des Universums Abstand der Kugelschalen Kugelschalen mit Radius a(t)r Räumliche Krümmung {+1,0,-1} r,q,f sind co-moving Koordinaten ( Labels für Galaxien). t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren im Zentrum von Galaxienhaufen Virgo, Coma, ). dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion). a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant. a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt die universelle Expansionsrate des Universums. a(t 0 ) = 1 normiert, wobei t 0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

27 Der Krümmungsparameter W k = - kc²/(h 0 ²R 0 ²) c/h 0 : Hubble Radius Falls R 0 >> c/h 0 W k ~ 0 so erscheint das Universum fast flach! Konsequenz aus Inflation

28 Das Friedmann-Universum erklärt Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes: 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur; 2. die kosmische Rotverschiebung z; 3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1; 4. Distanzen im Universum als Func(z); 5. Winkeldurchmesser als Func(z). 6. Alter des Universums als Func(z).

29 Fazit Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit, sprich RaumZeit, salopp eine 4D Fläche. Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3 Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies kann mathematisch genau erschlossen werden. zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1. Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog. geodätische Zeit. Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2 Winkel bestimmt: Rektaszension und Deklination. Der einzige Freiheitsgrad: Expansionsskalar a(t)