Die Geometrie. des Universums. Max Camenzind APCOSMO SS2012

Transkript

1 Die Geometrie des Universums Max Camenzind APCOSMO SS01

2 Das Universum Expandiert Der Raum wird gestreckt Hubble: Das Universum der Galaxien expandiert! Das Universum ist jedoch ein Kontinuum aus Raum und Zeit

3 Mike Turner 009

4 Basics zur Kosmologie Wie beschreibt man ein expandierendes Universum? nur über Einstein Woraus besteht das Universum? DM, B, DE Dynamik: Die Friedmann-Gleichungen Die Zustandsgleichung der Materie - w Zeitliche Dichteentwicklung bis heute. Modelle des Universums: de Sitter, LCDM, Alter des Universums Leuchtkraftdistanz SN Ia vermessen das Universum. Winkeldurchmesser im expandierenden Universum. Die Fundamentalebene der Kosmologie.

5 Grundlage ART 1915 zeigt Albert Einstein Die Geometrie der RaumZeit folgt aus Energie und Impuls Verteilung. Allgemeine Relativitätstheorie (ART) (ART) zur Beschreibung des RaumZeit Kontinuums. Albert Einstein

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7 Albert Einstein Deutsch Allgemeine Relativität (1915); Statisches, geschl. Universum (1917) W. de Sitter Holländer Vakuum-Energiegefülltes Universum de Sitter (1917) A. Friedmann Russe H.P. Robertson Amerikaner G. LeMaitre Belgier A.G. Walker Britisch Allgemeine Herleitung der Metrik eines isotropen und homogenen Universums in ART Robertson-Walker Metrik (1935-6) Die Begründer der Kosmologie Entwicklung eines homogenen, expandierenden Universums Friedmann Modelle (19) burst of fireworks 197 hat den Big Bang erfunden

8 Lemaître überzeugt Einstein 193 Einstein gibt das statische Universum auf treffen sich in Kalifornien Lemaître überzeugt Einstein! Einstein-de-Sitter

9 Einsteinsches Äquivalenzprinzip Im freien Fall sieht ein Fundamental-Beobachter lokal die RaumZeit der Speziellen Relativität (Einsteinsches Äquivalenzprinzip): Minkowski RaumZeit = flach ds c d c dt dx dy dz Spezielle Relativität Minkowski-Raum: 4D Alle Fundamental-Beobachter messen daher dieselben Zeitunterschiede dt.

10 Kausale Struktur der RaumZeit Zeitartig Lichtartig, Null Raumartig In jedem Ereignis ist ein Lichtkegel definiert. 3-Raum Beobachtungen sind nur längs Lichtkegel möglich!

11 Messen mit Euklidischer Metrik z ds ds dy dr r sin d dx ds dz rd rsin d r dr (dx +dy ) 1/ d y -D ds dx dy x 3-D ds dx dy dz ds -D ds dr r d Kugelkoordinaten rd 3-D ds dr r d r sin d dr

12 Messen auf der Kugelfläche S² rd Sphäre mit Radius r Winkel d (Rektaszension) Großkreise Winkel (Deklination) r sin( ) d Nach Pythagoras: ds² = r² d ² + r²sin² d ² ds² = g 11 d ² + g d ² Metrische Funktionen: g 11 = r², g = r²sin²

13 Einstein 1915: RaumZeit = Riemannsche Geometrie ds n g dx i dx j ij i, j 0 g ij is der Metrische Tensor (symmetrischer Tensor. Stufe) : 10 Fun Vorschrift, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet Aus metrischem Tensor werden Riemann und Ricci Tensoren berechnet. Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole. Technische Details, s. ART Vorlesung, oder Lehrbuch: Hobson, Efstathiou & Lasenby: GR, Introduction for Phys., CUP006

14 Die Sphäre S² ist eine -dimensionale Riemann-Mannigfaltigkeit sie kann durch -dimensionale Karten dargestellt.

15 Krümmung der RaumZeit R ik 1 Rg ik g ik (8 G / c 4 ) T ik GEOMETRIE VAKUUM MATERIE R ik Ricci Tensor mit Spur R = R m m: folgt aus Riemann Tensor Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Vakuum-Energie, )

16 Bestätigung im Sonnensystem Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS). Lichtablenkung an Sonne und Jupiter. Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert. Shapiro-Laufzeitverzögerung. Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf. Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

17 Materie des heutigen Universums % 73 %

18 Sichtbare Materie des Universums trägt unwesentlich bei

19 Dunkle Materie im Coma-Haufen Fritz Zwicky 1933 Haufen nicht gebunden

20 Dunkle Materie im Coma-Haufen Bindet Haufengas gravitativ Optisch dominiert Ellipsen Röntgenstrahlung

21 Van Waerbeke & Heymans Galaxienhaufen bilden sich in DM Halos

22 Dunkle Materie in Galaxien Vera Rubin Rotationskurven Halo Scheibe

23 100 kpc Galaxie eingebettet in Halo Dunkler Materie

24 Michael S Turner Mike Turner

25 Weder Erde noch Sonne im Zentrum des Universums! Kosmologisches Prinzip (Milne 1933) 1. Wir befinden uns an keiner ausgezeichneten Position des Universums ( kein Zentrum).. Das Universum ist isotrop. Erst von nachgewiesen!

26 Isotropie der CMB-Strahlung

27 Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären SDSS DR7 600 Mpc 40 Mpc Jeder Punkt ist eine Galaxie

28 Wir sind scheinbar im Zentrum des Universums r = 0 Jede Kugel- Schale: r = const Kugelschalen expandieren mit der Zeit r a(t) r Big Bang Kosmische Sphären Galaxien- Sphäre Photosphäre Universum 3000 K,75 K

29 r = 0 Modernes Universum Kosmische Sphären je tiefer umso jünger Photosphäre Universum CMB 1965 Strahlungs-Sphäre? a 0 Alter des Universums in Mrd. Jahren

30 Geometrien des 3-Raumes Wie sieht der Raum aus ds 3? Aus Kosmologischen Prinzip (Homogenität + Isotropie) räumliche Krümmung überall konstant. Nur 3 Möglichkeiten: 3-Sphäre positive Krümmung K > 0 3-Sattel negative Krümmung K < 0 Flacher E 3 keine Krümmung K = 0

31 FLRW RaumZeit des Universums Räumliche Krümmung (+1,0,-1) r,, sind co-moving Koordinaten ( Labels für Objekte). t: ausgezeichnete kosmologische Zeit (gemessen von Atomuhren im Zentrum von Galaxienhaufen). dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion). a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant. a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt die universelle Expansionsrate des Universums. a(t 0 ) = 1 normiert, wobei t 0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

32 FLRW Geometrie des Universums

33 Das Friedmann-Universum erklärt Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes: 1. wie Photonen im Universum propagieren Lichtkegelstruktur;. die kosmologische Rotverschiebung; 3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1; 4. Distanzen im Universum als Func(z); 5. Winkeldurchmesser als Func(z). 6. Alter des Universums als Func(z).

34 1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum? Betrachte Photon emittiert bei (r e ) längs einer Linie mit konst Länge und Breite (d = 0 = d ). Die Trajektorie ist eine Null-Geodäte (Eigenzeit = 0): c d c dt R ( t) dr 0 k = 0

35 Lichtausbreitung unter Expansion Bewegungsgleichung eines Photons (a = R): c dt r( t) R t 0 ( t) dr cdt R( t) Comoving distance = mitbewegte Distanz nimmt ab.

36 . Kosmologische Rotverschiebung

37 Da rechte Seiten identisch X X Der erste Term hebt sich gegen letzten weg Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt!

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39 3. Das Hubble-Gesetz Expansion Intrinsische Leuchtkraft und beobachter Strahlungsstrom: Die Berechnung der intrinsischen Leuchtkraft einer Galaxie bei Rotversch. z mittels beobachtetem Strom beruht auf der Struktur der Null-Geodäten Robertson-Walker Metrik: ds 0 dr 1 k r ds c dt R (t) r sin d d dr 0 ds cdt R(t) 1 kr

40 = Hubble-Gesetz & Bedeutung H 0

41 Hubble-Gesetz mit Supernovae H 0 ist die Hubble Konstante, H 0 = 63 +/- 6 km/s/mpc Calán/Tololo Daten

42 Fazit: Expansion in jedem expandierenden Universum tritt die kosmische Rotverschiebung auf 1+z = 1/a Maß für die Schrumpfung; Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt: l Beob = l em (1+z); kosmische Rotverschiebung ist kein Dopplereffekt (Lemaître 197); in jedem expandierenden Universum ist Hubble-Relation cz = H 0 d erfüllt, z<0,1

43 Von Einsteins Feld-Gleichungen zu Friedmann-Gleichungen 19 G m n = R m n 1/ m n R = 8 G/c 4 T m n G 0 0 = 3/a (å + kc²)/c² G k i = 1/a (aä + å + kc²)/c² k i T m n = diag[ (t)c², p(t), p(t), p(t)] = Energie-Impuls-Tensor Einsteins Feld Glg i,k = 1,,3 3 (å + kc²) /a = 8 G (t) (a ä + å + kc²) /a = -8 G p(t)/c² Friedmann- Gleichungen Gegeben Zustandsgleichung p( ), zu lösen a(t)

44 Lemaître 197 Friedmann 19 & 194 c² 1. Hauptsatz der Thermodynamik Beschleunigung Terme Materie bremst c² Lemaître 197

45 Energieerhaltung (1. Hauptsatz) Aus den Friedmann-Gleichungen (c=1): folgt 3 (å + k) /a = 8 G (t) (a ä + å + k) /a = -8 G p(t) d/dt( a 3 ) = -p d/dt(a 3 ) du = -p dv, ds = 0 Für Zustandsgleichung p = w gilt dann a 3 d = -(w+1) 3 a da Falls w=constant ~ a -3(w+1)

46 Die Kosmische Zustandsgleichung w Definiert über die Gleichung: p = w c² als Zustandsgleichung (EoS) bezeichnet Spezielle Werte: w=0 p=0 zb. Dunkle Materie, Baryonen; gut erfüllt für nicht-relativistische Baryonen! w=1/3 Strahlung, masselose Neutrinos w=-1 Vakuumenergie, sieht wie kosmologische Konstante aus.

47 Die Entwicklung der Dichte ~ a -3(w+1) Materie dominiert (w=0): ~ a -3 Strahlung dominiert (w=1/3): ~ a -4 Kosmologische Konstante (w=-1): = const Dunkle Energie mit w<-1, zb w=-: ~ a 3 Energiedichte würde dann zunehmen! würde dann sogar Materie dominieren, die aus normalen Elementen besteht! (sog. Big Rip ) w < -1 ist unwahrscheinlich. -1 < w < -1/3 jedoch möglich.

48 Dichte-Entwicklung im expandierenden Universum

49 Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a Dunkle Energie a eq

50 Totale Dichte-Entwicklung tot = r + m + DE r = r 0 a -4, da ~ a -4 und a = 1 heute r0 heutige Strahlungsenergiedichte r0 r0 / crit nach Definition Index 0 wird häufig weggelassen r 0 Deshalb gilt r = crit r a -4 und ähnlich für m, DE Daher finden wir für Dichte in Friedman-Glg tot = crit [ r a -4 + m a -3 + DE a -3(1+w) ] falls w für DE constant

51 Omega-Parameter des Universums M k 8 G 3H R 0 kc c 3H H 0 M 0 Hubble-Radius R H = c/h 0 = 400 Mpc Da das Universum flach erscheint: k = - 0,006 k = +1 R 0 > 10 R H M k Fundamentalebene der Kosmologie

52 Die 1. Friedmann Gleichung (å/a) = 8 G (t) /3 kc²/a² (t) = crit [ r a -4 + m a -3 + DE a -3(1+w) ] Einsetzen in Friedmann-Glgl., H 0 (å/a) 0 : H (z) = H 0 [ r (1+z) 4 + m (1+z) 3 + k (1+z) + DE (1+z) 3(1+w) ] 1+z = 1/a DE: w = const

53 Die Hubble-Funktion Einsetzen in Friedmann-Glgl., 1+z = 1/a beschreibt Expansionsrate bei Rotverschiebung z. H(z) = H 0 [ r (1+z) 4 + m (1+z) 3 + k (1+z) + DE (1+z) 3(1+w) ] 1/

54 Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a

55 Drei Phasen in Dichte-Entwicklung DE dominiert Materie dominiert Strahlung dominiert

56 Die Parameter des Universums (i) Hubble-Konstante H 0 ; (ii) Dichteparameter der nichtrelativistischen Materie: m = DM + B. (iii) Dichteparameter der relativistischen Materie: rad = g + n (iv) Krümmungsparameter k = -k R H ²/R 0 ². Dabei gilt heute R 0 >> R H CDM-Modell (v) Parameter der Dunklen Energie DE = (vi) Zustandsgleichung der Dunklen Energie w ~ -1, w = 0 ( Vakuum Energie ).

57 Zusammenfassung Nur ein Relativistisches Modell kann das expandierende Universum erklären FLRW Das Kosmologische Prinzip Geometrie. Friedmann-Gleichungen bestimmen die Expansion des Universums. Materie besteht aus verschiedenen Komponenten: Baryonen, Photonen, Neutrinos, DM und Dunkle Energie. Die Omega-Parameter des Universums. Die einzelnen Anteile bestimmen die Expansion heutiges Universum offenbar durch Dunkle Energie dominiert und flach, da R 0 > 10 R H.