3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung

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1 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung Ein Punkt z = a + bi der Gaußscen Zalenebene ist durc seine kartesiscen Koordinaten a und b eindeutig festgelegt. Man kann jedoc auc zwei andere Grössen zur Bescreibung von z wälen. Die Grössen r und ϕ nennt man Polarkoordinaten des Punktes z C. Die reelle Zal r ist der Abstand von z zum Ursprung in der Gaußscen Zalenebene und der Winkel ϕ zwiscen positiver x-acse und z nennt man das Argument von z. Das Argument von z ist eindeutigbestimmt, falls0 ϕ < 2π verlangtwird. EinekomplexeZalkannalsoentwederin kartesiscen Koordinaten (a, b) oder in Polarkoordinaten (r, ϕ) eindeutig bescrieben werden. Wie ängen die Polar- und die kartesiscen Koordinaten zusammen? Da r der Abstand des Punktes z = a+bi zum Urpsrung ist, gilt r = z = a 2 +b 2. z Damit liegt die komplexe Zal r auf dem Eineitskreis, denn z r = z r = 1. Der Realund der Imaginärteil von z sind demnac gegeben durc cosϕ, bzw. sinϕ. Das eisst, z r = cosϕ+isinϕ, und so z = r(cosϕ+isinϕ). Diese Darstellung nennt man Polarform der komplexen Zal z. Wie recnet man nun von den einen in die anderen Koordinaten um? (r,ϕ) (a,b): Seien r,ϕ die Polarkoordinanten von z, dann gilt z = a+bi mit a = rcosϕ und b = rsinϕ. (a,b) (r,ϕ): Sei z = a+bi, dann gilt r = z = a 2 +b 2 cosϕ = a r, sinϕ = b r

2 43 Mit Hilfe der Exponentialfunktion kann die Polarform einer komplexen Zal noc eleganter gescrieben werden. Dazu erweitern wir die Exponentialfunktion auf komplexe Zalen. Tatsäclic ist für jede komplexe Zal z die Potenzreie e z = k=0 wieder eine komplexe Zal. Wir aben also eine Funktion e z : C C. Wie im Reellen gilt e z+w = e z e w für alle z,w C und weiter ist e z = e z für alle z C. Wir betracten nun e z für die rein imaginäre Zal z = iϕ, d.. für ϕ R. Es gilt z k k! e iϕ 2 = e iϕ e iϕ = e iϕ e iϕ = e 0 = 1 undso e iϕ = 1. Dies bedeutet, dass e iϕ auf dem Eineitskreis in der Gaußscen Zalenebene liegt. Nun kann man zeigen, dass ϕ gerade das Argument (im Bogenmass) der komplexen Zal e iϕ ist. Es folgt, dass der Realteil von e iϕ gleic cosϕ und der Imaginärteil von e iϕ gleic sinϕ ist. Das eisst, es gilt die Eulersce Identität: e iϕ = cosϕ+isinϕ Als Spezialfall (ϕ = π) ergibt sic die wunderscöne Bezieung e iπ +1 = 0 Für z = r(cosϕ+isinϕ) eralten wir nun aus der Eulerscen Identität die exponentielle Darstellung z = r e iϕ, wobei r der Betrag und ϕ das Argument von z sind. Beispiel

3 44 Die Multiplikation und Division von komplexen Zalen in dieser Darstellung sind nun ganz einfac zu recnen und erst noc geometrisc interpretierbar! Satz 3.2 Seien z 1 = r 1 e iϕ 1 und z 2 = r 2 e iϕ 2 zwei komplexe Zalen. Dann gilt z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) und z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ) Beispiel Die Multiplikation mit i entsprict also einer Dreung um 90 um den Ursprung der GaußscenZalenebene. AllgemeinentsprictdieMultiplikationmiteinerkomplexenZalz = re iϕ einer Drestreckung (mit dem Streckfaktor r und dem Drewinkel ϕ). 3.3 Potenzen und Wurzeln Potenzen komplexer Zalen werden wie im Reellen definiert, das eisst z 0 = 1, z 1 = z, z n = z n 1 z, und z n = 1 z n für alle n N. In der exponentiellen Darstellung ist das Potenzieren einfac: z = re iϕ = z n = r n e inϕ In Polarkoordinaten erält man z n = (r(cosϕ+isinϕ)) n = r n (cos(nϕ)+isin(nϕ). Es gilt somit die Formel von de Moivre (cosϕ+isinϕ) n = cos(nϕ)+isin(nϕ) für n Z.

4 45 Was sind nun die Lösungen der speziellen Gleicung z n = 1? Diese Gleicung at genau n versciedene (komplexe) Lösungen, nämlic ( ) ( ) 2πk 2πk z k = e i2πk n = cos +isin, k = 0,1,...,n 1. n n Die Zalen z k (k = 0,1,...,n 1) nennt man n-te Eineitswurzeln. In der Gaußscen Zalenebene liegen sie genau auf den Ecken des dem Eineitskreis einbescriebenen regelmässigen n-ecks, wobei die eine Ecke bei z = 1 liegt. Beispiele 1. z 4 = z 6 = 1. Die Lösungen sind z k = e iπ 3 k für k = 0,1,...,5. Nun können wir auc alle Lösungen der allgemeinen Gleicung z n = w, für w in C, bescreiben. Ist w = re iϕ, dann ist z 0 = n re iϕ n eine Lösung dieser Gleicung. Man erält alle n Lösungen, indem man z 0 mit allen n-ten Eineitswurzeln multipliziert. Das eisst, die Lösungen der Gleicung z n = w sind z 0,z 0 ζ,z 0 ζ 2,...,z 0 ζ n 1, wobei ζ = e i2π n. Beispiel Die Gleicung z 3 = 2 at die Lösungen 3 2, 3 2e i 2π 3, 3 2e i 4π 3 (d.. z 0 = 3 2 und ζ = e i2π 3 ).

5 46 4 Differentiation Alle elementaren Funktionen (und damit auc Summen, Produkte und Quotienten davon) sind in irem Definitionsbereic nict nur stetig, sondern sogar differenzierbar. Mit Hilfe der Ableitung können wir ire Maxima und Minima bestimmen, die Nullstellen näerungsweise berecnen sowie kompliziertere Funktionen durc einfacere Funktionen bescreiben. 4.1 Die Ableitung einer Funktion Der Begriff der Ableitung ist aus einem praktiscen Problem entstanden. Nemen wir an, wir faren mit dem Auto von Basel nac Cur. Für die rund 200km lange Strecke benötigen wir 2,5 Stunden. Wie scnell sind wir gefaren, d.. wie gross war unsere Gescwindigkeit? Nun, Gescwindigkeit ist gleic Weg durc Zeit, genauer: zurückgelegter Weg durc verstricene Zeitspanne. Für unsere Gescwindigkeit folgt also Gescwindigkeit = 200km 2,5 = 80 km. Dies ist unsere mittlere oder durcscnittlice Gescwindigkeit. Sei allgemein s(t) der zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt t. Geen wir vom zurückgelegten Weg s(t 0 ) zu einem Zeitpunkt t 0 aus, dann können wir die mittlere Gescwindigkeit wärend der folgenden Zeitspanne (d.. von t 0 bis t 0 +) berecnen als s(t 0 +) s(t 0 ) Nun wollen wir aber wissen, wie gross unsere Gescwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt war. Wie kann die momentane Gescwindigkeit zu einem genauen Zeitpunkt t 0 berecnet werden? Die Idee ist, die momentane Gescwindigkeit durc mittlere Gescwindigkeiten anzunäern. Beispiel Nemen wir an, wir aben bei der Raststätte Heidiland eine Pause eingelegt. Der anscliessende Anfarvorgang kann durc die Wegfunktion s(t) = t 2 bescrieben werden. Wie gross ist dann unsere Gescwindigkeit nac genau 3 Sekunden nac dem Anfaren? Wir betracten also den Zeitpunkt t 0 = 3 und lassen die Zeitspanne immer kleiner werden. Zeitspanne 1 0, 1 0, 01 0, 001. mittlere Gescwindigkeit s(t 0 +) s(t 0 ) 7 6,1 6,01 6,001 Wir erkennen, dass sic für 0 die momentane Gescwindigkeit 6 m s näert. Allgemein berecnet sic die momentane Gescwindigkeit zur Zeit t 0 durc s(t 0 +) s(t 0 ) lim. 0 Diese Idee der Näerung get auf Isaac Newton ( ) zurück. Doc damals kannte man noc keine präzise Definition des Grenzwerts. Diese wurde erst im 19. Jarundert eingefürt. Heute nennen wir diesen Grenzwert die Ableitung der Funktion s(t).

6 47 Definition Sei f : D R eine reelle Funktion. Dann eisst f an der Stelle x 0 D differenzierbar, wenn der Grenzwert lim 0 existiert. Er eisst Ableitung (oder Differentialquotient) von f in x 0 und wird mit f (x 0 ) bezeicnet. Der Ausdruck wird Differenzenquotient genannt. Andere Notationen: Für die Ableitung sind auc die folgenden Screibweisen üblic: f (x 0 ) = df dx (x 0) = df. dx x=x0 Ist die (Weg-)Funktion s(t) abängig von der Zeit t, dann wird speziell in der Pysik die Ableitung mit ṡ(t) bezeicnet. Anstelle von ist auc x üblic, bzw. x = x 0 + x. Damit ist = f(x 0 + x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0 ) = f und man erält für f (x 0 ) die äquivalenten Screibweisen f(x 0 + x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f lim = lim = lim = lim 0 x 0 x x x 0 x x 0 x 0 x. Geometrisce Deutung Der Differenzenquotient ist gleic der Steigung der Sekante durc die Punkte P = (x 0,f(x 0 )) und Q = (x 0 +,f(x 0 +)) auf dem Grapen von f. Für 0 (d.. lässt man Q gegen P wandern) get die Sekante in die Tangente an den Grapen von f in x 0 über. Die Ableitung f (x 0 ) bescreibt also die Steigung der Tangente an den Funktionsgrapen an der Stelle x 0 (was auc als Steigung des Funktionsgrapen in x 0 bezeicnet wird).

7 48 Auf diese Interpretation der Ableitung stiess unabängig von Newton Gottfried Wilelm Leibniz ( ), als er sic fragte, wie man die Steigung einer Kurve (insbesondere eines Funktionsgrapen) in einem Punkt erklären kann. Definition Eine Funktion f : D R eisst differenzierbar (in D), falls f in allen x D differenzierbar ist. Die Funktion f : D R, die jedem x D die Zal f (x) zuordnet, eisst Ableitung von f. Anscaulic geseen ist eine Funktion differenzierbar, wenn sic an jedem Punkt des Grapen in eindeutiger Weise eine Tangente anlegen lässt. Eine Funktion ist also insbesondere an einer Stelle nict differenzierbar, wenn sie dort einen Sprung mact, eine Polstelle at oder oszilliert; das eisst, wenn sie dort nict stetig ist. Es kann aber auc Stellen geben, an welcen die Funktion wol stetig ist, jedoc nict differenzierbar, beispielsweise wenn die Funktion einen Knick mact. x 0 x 0 x 0 unstetig, nict differenzierbar in x 0 stetig, stetig, nict differenzierbar differenzierbar in x 0 in x 0 Beispiele 1. Sei f(x) = c eine konstante Funktion. Dann ist = c c = 0 und damit f (x 0 ) = 0 für alle x 0 R. 2. Sei f(x) = x 2.

8 49 3. Sei f(x) = x = x 1 2. Indem man den Differenzenquotienten gescickt erweitert, erält man Es folgt = ( x 0 + x 0 ) ( x 0 ++ x 0 ) ( x 0 ++ x 0 ) = 1 x0 ++ x 0 f 1 (x 0 ) = lim 0 x0 ++ = 1 x 0 2 = 1 1 x 0 2 x 2 Bemerkung Es gilt allgemein für jede reelle Zal r, dass f(x) = x r = f (x) = rx r Sei f(x) = x. Diese Funktion ist differenzierbar in allen x R, ausser in x 0 = 0. In x 0 = 0 existiert der Differentialquotient nict, denn aber lim = 0 lim = 0 Tatsäclic erkennt man dies direkt am Grapen von f, denn in x 0 = 0 mact er einen Knick und es ist unmöglic, ier eine Tangente auf eindeutige Weise anzulegen. Um für eine konkrete Funktion f die Ableitung f zu bestimmen, sind die folgenden Ableitungsregeln ser nützlic. Satz 4.1 (a) Seien f,g differenzierbar. Dann sind auc f + g, λf für λ R, f g und f g (überall wo g(x) 0) differenzierbar. (i) Es gilt (ii) Es gilt die Produktregel (iii) Es gilt die Quotientenregel (b) Ist f(x) = (f +g) = f +g und (λf) = λf für alle λ R. (f g) = f g +f g. ( ) f = f g f g g g 2. a k x k eine auf dem (offenen) Intervall I konvergente Potenzreie, dann ist k=0 f auf I differenzierbar und es gilt für alle x I. f (x) = ka k x k 1 k=1

9 50 Beispiele 1. Sei f(x) = e x. Mit Hilfe von Satz 4.1 folgt Also gilt (e x ) = e x. 2. Sei f(x) = cosx und g(x) = sinx. Wir erinnern uns, dass cosx gleic dem Realteil von e ix und sinx gleic dem Imaginärteil von e ix ist. Nun gilt Es folgt, dass und cosx = 1 x2 2! + x4 4! + = k=0 ( 1) k x2k (2k)! sinx = x x3 3! + x5 5! + = ( 1) k x 2k+1 (2k +1)!. Für die Ableitungen können wir nac Satz 4.1 gliedweise ableiten. Wir eralten k=0 3. Sei f(x) = tanx = sinx. Mit der Quotientenregel folgt cosx