Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

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1 Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M l der Farbe F l M i = N. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel i=1 entnommen und ihre Farbe notiert. Anschließend wird die Kugel wieder zurückgelegt. Dieser Vorgang wird n-mal unabhängig voneinander wiederholt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A k1...k l 1... Unter den n gezogenen Kugeln befinden sich genau k 1 Kugeln der Farbe F 1, k 2 Kugeln der Farbe F 2,... und k l 1 Kugeln der Farbe F l 1 k i n ( l 1 ). I.2 Statistiken von Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein, Fermi-Dirac n Elementarteilchen (Moleküle, Photonen, Elektronen,... ) werden zufällig auf N Urnen (Energiezustände) verteilt. Folgende Annahmen werden dabei betrachtet: A) Die n Teilchen sind unterscheidbar. B) Die n Teilchen sind nicht unterscheidbar. a) In eine Urne kann höchstens ein Teilchen kommen (Pauli-Prinzip). b) In eine Urne können auch mehrere Teilchen kommen. Nimmt man an, dass alle Möglichkeiten der Verteilung, die sich ergeben, wenn die Annahmen A) und b) gelten, gleichwahrscheinlich sind, gelangt man zum Maxwell-Boltzmann-Modell. Unter den Annahmen B) und a) ergibt sich das Fermi-Dirac-Modell und unter den Annahmen B) und b) das Bose-Einstein-Modell. Man berechne die Anzahl der möglichen Fälle für die drei Modelle sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E... In einer vorgegebenen Zelle befinden sich genau k der n Teilchen. I.3 Expertensystem Aus medizinischen Untersuchungen sei bekannt, dass die Symptome a 1 und a 2 bei (genau) 3 Krankheiten b 1, b 2 und b 3 auftreten können, und zwar mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten P (A 1 B 1 ) = 0, 8, P (A 2 B 1 ) = 0, 3, P (A 1 A 2 B 1 ) = 0, 2; P (A 1 B 2 ) = 0, 2, P (A 2 B 2 ) = 0, 9, P (A 1 A 2 B 2 ) = 0, 1; P (A 1 B 3 ) = 0, 4, P (A 2 B 3 ) = 0, 6, P (A 1 A 2 B 3 ) = 0, 3. (Die Ereignisse A i und B j haben dabei folgende Bedeutung: A i... Das Symptom a i tritt auf. B j... Die Krankheit b j liegt vor.) Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Krankheiten b 1, b 2 und b 3 seien durch den Vektor π = (0, 3 0, 6 0, 1) T gegeben. Bei einem Patienten wurde nur das Symptom a 1 beobachtet. Man gebe die Wahrscheinlichkeiten P (B i A 1 Ā2), i = 1, 2, 3, an. I.4 Binäre Suche I. Ein Schlüsselelement EL kann sich auf einer der Positionen 1, 2,..., 2 n 1 befinden oder in der untersuchten Menge überhaupt nicht vorhanden sein (Position 0). 1 i=1

2 II. Suchvorgang: Im ersten Suchschritt wird die Position 2 n 1 inspiziert. Danach kann eine der drei folgenden Feststellungen getroffen werden: 1. Das Element befindet sich auf der inspizierten Position. Die Suche ist damit beendet. 2. Das Element befindet sich nicht in der Menge {1,..., 2 n 1 }. 3. Das Element befindet sich nicht in der Menge {2 n 1,..., 2 n 1}. Wurde im ersten Suchschritt die Feststellung 3. getroffen, wird im 2. Suchschritt die Position 2 n 2 inspiziert, bei Entscheidung 2. die Position 3 2 n 2. Das Verfahren wird fortgesetzt, bis EL gefunden wurde oder entschieden werden kann, dass es sich nicht in der untersuchten Menge befindet. III. Es wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A i... EL befindet sich auf der Position i, i = 0,..., 2 n 1, gleich sind. Man bestimme den Erwartungswert der Zufallsgröße X, die die Zahl der Suchschritte angibt, im Fall n = 4. I.5 Gegeben sei die Ausfallrate eines Bauteils λ(t) = αβt β 1, α > 0, β > 0. Man bestimme die zugehörige Zuverlässigkeit und Verteilungsfunktion. I.6 Betrachtet wird ein Bernoulli-Schema mit P (A) = p. Das Ereignis A wird als Misserfolg interpretiert. Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg, und die Zufallsgröße Y bezeichne die Anzahl der Misserfolge vor dem r-ten Erfolg. Man bestimme die Verteilung von X und Y sowie E(X) und var(x). I.7 Bei einem schriftlichen Test werden Multiple-Choice -Fragen gestellt, bei denen von je 3 vorgegebenen Antworten genau eine richtig ist. Man nehme an, dass ein Teilnehmer mit Wahrscheinlichkeit 0,25 (bzw. 0,75) auf jede Frage die richtige Antwort weiß und sonst zufällig ankreuzt. Man bestimme für eine einzelne Frage a) die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Antwort angekreuzt wird, b) die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer bei einer richtig angekreuzten Anwort diese auch tatsächlich wusste. I.8 Das im Bild angegebene elektrische Leitungsnetz fällt genau dann aus, wenn die Komponente K 1 oder K 2 und die Komponente K 3 oder K 4 ausfällt. In einer festen Zeiteinheit trete an den Komponenten K i mit Wahrscheinlichkeit a i, 1 i 4, ein Defekt auf. Für die Ausfälle der einzelnen Komponenten sei die Unabhängigkeitsannahme gerechtfertigt. K 1 K 2 K 3 K 4 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das Leitungsnetz in einer Zeiteinheit aus? 2

3 b) Für jede Komponente stehen 3 Ausführungen zur Verfügung, welche x 1 (Ausführung 1), x 2 (Ausführung 2) und x 3 (Ausführung 3) Euro kosten (x 1 < x 2 < x 3 ). Ausführung 1 fällt in einer Zeiteinheit mit Wahrscheinlichkeit 0,1 aus, Ausführung 2 mit Wahrscheinlichkeit 0,05 und Ausführung 3 mit Wahrscheinlichkeit 0,01. Unter der Bedingung, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit des Leitungsnetzes in einer Zeiteinheit den Wert 0,005 nicht überschreiten darf, bestimme man das billigste Leitungsnetz. Wie groß ist die Ausfallwahrscheinlichkeit für das billigste Leitungsnetz? I.9 Ein 40jähriger Mann schließt eine reine Risikolebensversicherung über Euro ab. Im Todesfall erhalten die Erben Euro ausgezahlt, im Erlebensfall findet keine spätere Auszahlung statt. Die Sterbewahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres sei 0,002. Betrachtet wird nur die Entwicklung innerhalb eines Jahres. a) Bei welchem Jahresbeitrag x ist der Erwartungswert des Reingewinns (Prämieneinnahme minus Auszahlung) für die Versicherungsgesellschaft gleich Null? b) Bei welcher Jahresprämie beträgt die Gewinnerwartung 100 Euro? Geben Sie bei dieser Jahresprämie die Verteilung des Reingewinns an und berechnen Sie Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgröße! I.10 Um ein bestimmtes Bauteil in einem Produktionsprozess verarbeiten zu können, muss in das Bauteil ein Loch gebohrt werden, dessen Durchmesser 20 mm betragen soll. Der Durchmesser des tatsächlich gebohrten Loches wird als Wert einer N(w, 0, 01)-verteilten Zufallsgröße D angesehen, wobei der Parameter w durch den verwendeten Bohrer festgelegt ist. Der Reinerlös beim Verkauf eines Bauteils sei c Euro. Ist der Durchmesser des Loches kleiner als 19,9 mm, so muss nachgebohrt werden, und der Reinerlös verringert sich um die zusätzlich entstehenden Kosten von 0,1c Euro. Ist der Durchmesser größer als 20,1 mm, kann das Bauteil nicht verkauft werden. Wie muss w gewählt werden, damit der zu erwartende Reinerlös pro Bauteil maximal ist? I.11 Gegeben sei ein{ stetiger Zufallsvektor mit der Dichtefunktion 6e f (X,Y ) (x, y) = 2x 3y, falls x 0, y 0, 0 sonst. Man berechne P (X > 1, Y < 1), P (Y < 3), P (X 2 Y < 3), P (2X < Y ). I.12 Ein Gerät bestehe aus zwei Einzelteilen E1 und E2. Die Zufallsgröße X 1 (bzw. X 2 ) beschreibe die Anzahl der Reparaturen, die innerhalb eines Jahres an E 1 (bzw. E 2 ) vorgenommen werden müssen. X 1 und X 2 seien unabhängig. Die Verteilungen seien wie folgt gegeben: i P (X 1 = i) 0,1 0,6 0,3 k P (X 2 = k) 0,1 0,3 0,5 0,1 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss das Gerät höchstens einmal pro Jahr repariert werden? 3

4 b) Es seien Y 1 := 3X 1 die jährlichen Betriebskosten von E 1, Y 2 := 2X die jährlichen Betriebskosten von E 2 und Z := Y 1 +Y 2 die jährlichen Betriebskosten des Gerätes (jeweils einschließlich der Reparaturkosten). Man berechne den Erwartungswert von Z sowie den Korrelationskoeffizienten ρ(y 1, Z). I.13 An eine Rechnereinheit werden von 3 Arbeitsplätzen A, B und C unabhängig voneinander Programme übergeben. Die Anzahl der Programme, die in einer vorgegebenen Zeiteinheit vom Arbeitsplatz A (bzw. B, C) kommt, kann als Poissonverteilt mit dem Parameter λ 1 = 0, 5 (bzw. λ 2 = 1, λ 3 = 0, 8) aufgefasst werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb dieser Zeiteinheit höchstens 2 Programme an die Rechnereinheit übergeben werden? I.14 In der Kapitalmarkttheorie wird der Preis einer Aktie zum Zeitpunkt n häufig (auf der Basis des Cox-Ross-Rubinstein-Modells) durch folgende Formel beschrieben: A n = a 0 n i=1 Y i. a 0 bezeichnet dabei den bekannten Preis zum Zeitpunkt 0, und Y 1, Y 2,..., Y n sind stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit P (Y i = u) = p und P (Y i = d) = 1 p. Man bestimme die Verteilung von A 1 und A 3 für a 0 = 2, u = 1, 5, d = 0, 5 und p = 0, 6. I.15 Ein Geschäft bietet drei verschiedene Sorten von Glühbirnen an. Die Lebensdauer einer Glühbirne lasse sich jeweils durch eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von 8000, bzw Stunden je nach Sorte angemessen beschreiben. Ein Kunde kauft von jeder Sorte genau eine Glühbirne B 1, B 2 bzw. B 3 und vermutet, dass bei gleichzeitiger Benutzung aller drei Glühbirnen zuerst B 1, dann B 2 und zuletzt B 3 ausfällt. Unter der Annahme, dass die drei Glühbirnen unabhängig voneinander ausfallen, berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Glühbirnen nicht in der vermuteten Reihenfolge ausfallen. I.16 Ein Assistent muss 70 Klausuren korrigieren. Die Zeit (in Stunden), die er zur Korrektur einer Klausurarbeit benötigt, kann durch eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = 1 und der Varianz 5 σ2 = 1 beschrieben werden. Die Korrekturzeiten seien unabhängig und identisch 25 verteilt. a) Man bestimme nherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Korrektur aller Arbeiten nicht länger als 12 Stunden dauert. b) Wieviel Zeit muss der Assistent einplanen, damit die Wahrscheinlichkeit, in der vorgesehenen Zeit fertig zu werden, nicht kleiner als 0,99 ist? c) Wieviel Arbeiten kann der Assistent mit Wahrscheinlichkeit 0,95 in 8 Stunden korrigieren? I.17 Der Hersteller von Schleifscheiben weiß aus Erfahrung, dass 3% aller produzierten Scheiben Qualitätsmängel aufweisen, die nach kurzer Benutzungsdauer erkannt werden. Den Abnehmern einer 500er Kiste gegenüber verpflichtet er sich zu einer Entschädigung für den Fall, dass bei mehr als einer bestimmten Anzahl K der Scheiben in einer Kiste derartige Mängel festgestellt werden. Den Hersteller 4

5 interssiert die Frage, wie klein er diese Anzahl K äußerstenfalls festsetzen kann, wenn er aus Kostengründen auf lange Sicht höchstens bei 2,25% der Kisten eine Entschädigungszahlung leisten kann. Unter geeigneten Annahmen bestimme man näherungsweise die kleinstmögliche Anzahl K, für die die Wahrscheinlichkeit für das Fälligwerden einer Entschädigungszahlung bei einer bestimmten Kiste höchstens 2,25% beträgt. I.18 Man berechne den empirischen Korrelationskoeffizienten (nach Bravais-Pearson) und den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman für die Merkmale X (Fettverzehr) und Y (Todesfälle durch Brustkrebs): Land Fettverzehr Todesfälle in Gramm je Einwohner Kolumbien 48,00 5,97 Mexiko 59,20 4,78 Südafrika 66,67 22,96 Italien 86,40 15,93 Griechenland 95,47 8,63 Ungarn 100,27 13,81 BRD 134,40 17,79 USA 149,33 21,24 Neuseeland 154,67 23,36 Dänemark 157,87 24,03. I.19 Gegeben seien Zufallsgrößen Y i, i = 1,..., n, der Gestalt Y i = a+bx i +E i, wobei a, b reelle Parameter bezeichnen, x i R, i = 1,..., n, gilt und mindestens zwei x i verschieden sind. E i, i = 1,..., n, bezeichnen unabhängige Zufallsgrößen mit E(E i ) = 0 und var(e i ) = σ 2. Man bestimme Punktschätzungen â und ˆb für a und b als Lösungen der Optimierungsaufgabe n min (Y i a bx i ) 2. (a,b) T R 2 i=1 Sind â und ˆb erwartungstreu? I.20 Man bestimme Erwartungswert, Varianz und Modalwert einer χ 2 -verteilten Zufallsgröße mit n Freiheitsgraden. I.21 Man zeige, dass für das Quantil χ 2 n,α der Ordnung α einer χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden für hinreichend großes n näherungsweise χ 2 n,α = n + 2nλ α gilt, wobei λ α das Quantil der Ordnung α der standardisierten Normalverteilung bezeichnet. I.22 Man zeige, dass für das Quantil F m,n;α der F - Verteilung mit (m, n) Freiheitsgraden die Beziehung F m,n;α = gilt. 1 F n,m;1 α I.23 Mangan, das mit der Nahrung aufgenommen wird, kann in höheren Konzentrationen Schädigungen des Nervensystems hervorrufen. Ein Betrieb, der Mineralwasser abfüllt, gibt für sein Produkt einen durchschnittlichen Mangangehalt von 5

6 0,15 (in mg pro Liter) an. 29 zufällig und unabhängig ausgewählte Flaschen dieses Mineralwassers wurden auf ihren Mangangehalt untersucht. Es ergaben sich die empirischen Kennwerte x 29 = 0, 161 und s 2 29 = 0, Was lässt sich aufgrund dieser Daten zu dem Vorwurf sagen, der Mangangehalt in dem betrachteten Mineralwasser sei zu hoch? Man teste zum Signifikanzniveau α = 0, 01. (Es kann angenommen werden, dass der Mangangehalt normalverteilt ist.) I.24 Die Anzahl X t der Kunden, die sich zum Zeitpunkt t (t hinreichend groß) in einem Bedienungssystem befinden, besitzt oft (unabhängig von t) näherungsweise eine geometrische Verteilung P (X = m) = p m (1 p), m N, 0 < p < 1. Für ein konkretes Bedienungssystem wurde die Anzahl der wartenden Kunden zu n = 100 verschiedenen Zeitpunkten festgestellt. Es ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: Anzahl der Kunden in der Warteschlange Häufigkeit Man prüfe zum Signifikanzniveau α = 0, 05 die Hypothese, dass die Anzahl der Kunden in der Warteschlange in dem betrachteten Bedienungssystem durch eine geometrische Verteilung mit dem Parameter p = 0, 6 beschrieben werden kann. 6