Allgemeine Relativitätstheorie mit einer Weiterbildung für Lehrkräfte

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1 Universität Mainz Bachelorarbeit Allgemeine Relativitätstheorie mit einer Weiterbildung für Lehrkräfte im Studiengang Bachelor of Education Physik vorgelegt von: Matrikelnummer: Antonia Berger Gutachter: Zweitgutachter: Prof. Dr. Stefan Scherer Prof. Dr. Martin Reuter Abgabe:

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 I Theorie 3 2 Vorrelativistische Physik Newton sche Mechanik und Gravitationstheorie Galilei sches Relativitätsprinzip Spezielle Relativitätstheorie Annahmen Lorentz-Transformation Minkowski-Raum Längenkontraktion Riemann-Raum Metrik im Riemann-Raum Krümmung Geodätengleichung Paralleltransport Allgemeine Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Lokales Inertialsystem Energie-Impuls-Tensor Bianchi-Identität und Einstein-Tensor Einstein sche Feldgleichungen Schwarzschild-Lösung und klassische Tests Schwarzschild-Metrik Rotverschiebung Bewegungssgleichungen im Gravitationsfeld Periheldrehung

4 6.5 Lichtablenkung Fazit und Ausblick 87 A Anhang 91 A.1 Metrischer Tensor in Kugelkoordinaten A.2 Herleitung des Ricci-Tensors in der Schwarzschild-Metrik A.3 Glossar B Literaturverzeichnis 99 II Präsentation 103

5 Dem Zauber dieser Theorie wird sich kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfaßt hat (Einstein 1915, S. 779).

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7 1 Einleitung Mit dieser euphorischen Ankündigung leitet Albert Einstein im November 1915 seine vollendete Arbeit zur Allgemeinen Relativitätstheorie ein. Raum, Zeit und Gravitation sind in ihr auf natürliche Weise vereint und miteinander verknüpft. Für mich persönlich hat sich diese Ankündigung ohne Einschränkung erfüllt. Auch wenn ich mir sicher bin, noch lange nicht in die Tiefen der umfassenden Theorie vorgedrungen zu sein, bin ich höchst beeindruckt und fasziniert, sowohl von Einsteins stets fortschreitendem Geist wie auch von der Schönheit seiner Theorie. Im Lehramtsstudium der Physik wird diese mittlerweile kurz angesprochen, aber kaum vertieft. Besonders weil die Relativitätstheorie auch ein populärwissenschaftlich oft aufgearbeitetes Thema ist, reizte mich der Gedanke, als angehende Lehrerin weiter in die Materie vorzudringen. Die sich aus ihr ergebenden Konsequenzen sind nicht nur in der Forschung von hochaktueller Relevanz, sondern auch in Anwendungen wie der GPS-Navigation. Ziel dieser Arbeit ist eine Aufarbeitung der zahlreich vorhandenen Literatur in solcher Form, dass sie interessierten und ambitionierten Lehramtsstudierenden und Lehrkräften einen grundlegenden, aber durchaus nicht nur phänomenologischen Einblick in Einsteins Theorie liefert. Grundkenntnisse der klassischen Mechanik sowie der Speziellen Relativitätstheorie werden dabei vorausgesetzt. Dennoch werden die zum Verständnis der Arbeit notwendigen Bestandteile in knapper Form noch einmal aufgearbeitet. An den entsprechenden Stellen wird auf weiterführende Literatur verwiesen. Im Hinblick auf die Zielgruppe liegt der Schwerpunkt insbesondere auf dem physikalischen Verständnis. Dem Anspruch einer umfassenden mathematischen Darstellung, für die eine intensive Diskussion der Differentialgeometrie notwendig wäre, können wir hier nicht gerecht werden. Zu Beginn dieser Arbeit wiederholen wir demnach die wesentlichen Aspekte der klassischen Mechanik nach Newton und speziell dessen Gravitationstheorie. Daraufhin kommen wir zur Speziellen Relativitätstheorie, mit der Einstein 1905 das Grundverständnis von Raum und Zeit revolutionierte, die Gravitationstheorie jedoch noch nicht verallgemeinerte. Um diese Verallgemeinerung zu treffen, wird sich die Notwendigkeit eines neuen mathematischen Raumes, des Riemann-Raumes, herausstellen. In einer Diskussion dieses Raumes, dessen Form die Raumzeit hat, 1

8 1 EINLEITUNG werden die mathematischen Grundlagen geschaffen. Nachdem wir die Ideen und Gedankenexperimente Einsteins nachvollzogen haben, werden wir diese Kenntnisse anwenden, um die Gravitation als eine Krümmung der Raumzeit in die bestehende Theorie einzubetten. Als Höhepunkt der Arbeit werden sich die Einstein schen Feldgleichungen ergeben. Um die daraus folgenden Konsequenzen zu diskutieren, erarbeiten wir zunächst eine konkrete Lösung dieser Gleichungen für den Spezialfall eines kugelsymmetrischen, statischen Gravitationsfeldes. Das erlaubt uns die Diskussion der drei klassischen Tests: Rotverschiebung, Lichtablenkung und Periheldrehung des Merkurs. Auf weitere, dynamische Effekte werden wir nur einen knappen Ausblick geben können, da dies den Umfang der Arbeit überschreiten würde. Zum Zwecke einer Übersicht wurde noch ein Glossar angehängt. Dieses verzichtet bewusst auf Formeln und beschränkt sich stattdessen auf die Angabe der entsprechenden Gleichungsnummer. Knappe Formulierungen sollen noch einmal die wesentlichen Aspekte herausstellen. Die Verweise auf andere Begriffe sollen außerdem einen inneren Zusammenhang herstellen und einen Beitrag zur besseren Vernetzung leisten. Im zweiten Teil schließen sich Folien für eine Präsentation an, welche dem Anspruch einer Weiterbildung für Lehrkräfte gerecht werden soll. Die mathematischen Elemente sind dort auf das Notwendigste beschränkt und nur die wichtigsten Formeln festgehalten. Zusätzlich kann die Präsentation für den Leser natürlich auch als Übersicht im Vorhinein oder Zusammenfassung im Nachhinein gesehen werden. Auch wenn bei der mündlichen Darstellung Informationen ergänzt werden können, soll die Präsentation auch für sich allein stehend schlüssig sein. Wir werden im Folgenden die Abkürzungen SRT und ART für die Spezielle und die Allgemeine Relativitätstheorie gebrauchen. 2

9 Teil I Theorie

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11 2 Vorrelativistische Physik Auf dem Weg zur Allgemeinen Relativitätstheorie ist es unerlässlich, einen Blick auf die physikalischen Theorien zu werfen, die zur Zeit Einsteins allgemein akzeptiert waren und die er in entscheidendem Maße revolutionierte. Grundlage hierfür bildet die Mechanik und Gravitationstheorie nach Isaac Newton. Im Jahr 1687 veröffentlichte Newton sein Hauptwerk, die Philosophiae naturalis principia mathematica. In diesem führte er die Forschungen Galileo Galileis zur Beschleunigung und Johannes Keplers zu den Planetenbewegungen zu einer einheitlichen Gravitationstheorie zusammen und formulierte mit den drei Grundgesetzen der Bewegung, bekannt als die drei Newton schen Axiome, die Grundlage der klassischen Mechanik. Bei der Darstellung seiner Theorie folgen wir Kapitel 1 aus Fließbach (1995). 2.1 Newton sche Mechanik und Gravitationstheorie Das zweite Newton sche Axiom liefert eine Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt der konstanten Masse m, der sich zur Zeit t am Ort r(t) = (x i (t)) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) = (x(t), y(t), z(t)) befindet und auf den die Kraft F wirkt: F = m d2 r dt 2. (2.1) Die Bewegung von N Massenpunkten, die sich gegenseitig durch Gravitation anziehen, wird beschrieben durch m i d 2 r i dt 2 = G N j=1,j i m i m j ( r i r j ) r i r j 3, (2.2) für 1 i N. 1 Dabei ist G die Gravitationskonstante. Ihr experimentell bestimmter Wert liegt bei G = ( ± ) m3. kg s 2 1 Fließbach (1995) folgend, nehmen wir an dieser Stelle bereits die Gleichheit von träger und schwerer Masse an. Zu einer genaueren Diskussion gelangen wir in Abschnitt 5.1 dieser Arbeit. 5

12 2 VORRELATIVISTISCHE PHYSIK Da es sich bei dem Gravitationsfeld nach der Theorie Newtons um ein konservatives Kraftfeld handelt, gibt es ein skalares Gravitationspotenzial 2 Φ, sodass sich die Bewegungsgleichung folgendermaßen schreiben lässt: m d2 r dt 2 = m Φ( r) (Newton sche Bewegungsgleichung). (2.3) Für das Potenzial, welches sich aus Vergleich mit (2.2) ergibt, wollen wir nun eine Verallgemeinerung finden. Dazu gehen wir über zu einem Integral, welches die Beiträge infinitesimaler Massen dm = ρ( r ) d 3 r aufsummiert, Φ( r) = G j = G m j r r j ρ( r ) r r d3 r. (2.4) Das Potenzial erfüllt die folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung: [ ] ρ( r ) Φ( r) = G r r d3 r = G ρ( r 1 ) r r d3 r = G ρ( r ) ( 4 π δ( r r )) d 3 r = 4π G ρ( r). (2.5) Im zweiten Schritt geht ein, dass 1 r r = 4π δ( r r ). (2.6) Es ergibt sich nämlich für r = r ein unendlicher Wert, der aber wohldefiniert ist in dem Sinne, dass das Volumenintegral nach Anwendung des Satzes von Gauß 4π ergibt. 2 Entgegen der ansonsten in der Mechanik verwendeten Definition eines Potenzials V aus F = V ist die Masse m hier aus dem Potenzial herausgezogen (vgl. Fließbach 2015, S. 21). 6

13 2.2 Galilei sches Relativitätsprinzip Die Feldgleichung, die durch das Gravitationspotenzial erfüllt wird, formuliert sich damit zu folgender Poisson-Gleichung: Φ( r) = 4π G ρ( r) (Newton sche Feldgleichung). (2.7) An dieser Stelle sei auf die Analogie der Gleichungen (2.3) und (2.7) zu Bewegungsund Feldgleichung der Elektrostatik hingewiesen 3, m d2 r dt 2 = q Φ e ( r), Φ e ( r) = 4π ρ e ( r). (2.8) Das Gravitationspotenzial wird dort ersetzt durch das elektrische Potenzial Φ e, während an die Stelle der Massendichte als Quelle des Gravitationsfeldes die Ladungsdichte ρ e tritt. Kopplungskonstante ist nicht mehr die Masse 4 m, sondern die elektrische Ladung q. Mit dieser Theorie ließen sich zunächst alle beobachtbaren Bewegungen im Gravitationsfeld hinreichend gut beschreiben. Dies trifft sowohl auf Wurfparabeln als auch auf die Planetenbahnen zu. Die Notwendigkeit einer neuen Gravitationstheorie werden wir in Kapitel 5 einsehen. 2.2 Galilei sches Relativitätsprinzip Das erste der drei Newton schen Axiome lautet: Trägheitsgesetz: Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern. 3 Siehe dazu auch Kapitel 6 aus Fließbach (2012). 4 Genau genommen ist an dieser Stelle die schwere Masse m auf der rechten Seite von (2.3) gemeint (vgl. Abschnitt 5.1). 7

14 2 VORRELATIVISTISCHE PHYSIK Das heißt, für ein kräftefreies Teilchen gilt: d 2 r dt 2 = 0. (2.9) Ein Bezugssystem BS, in dem das Trägheitsgesetz gilt, nennen wir Inertialsystem IS. Kein IS ist beispielsweise ein rotierendes BS. Dort treten zusätzliche Trägheitskräfte, sogenannte Scheinkräfte, auf. Dazu gehören beispielsweise die Zentrifugalund Corioliskraft. IS sind diejenigen BS, die gegenüber dem Fixsternhimmel ruhen oder sich relativ dazu mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (vgl. Fließbach 2015, S. 9). Berühmt ist die Argumentation Galileo Galileis, dass anhand von Bewegungsabläufen nicht zwischen einem ruhenden und einem sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegenden Schiff unterschieden werden könne. Damit widersprach er den Einwänden der Vertreter des ptolemäischen Weltbildes, die Erde könne sich nicht in Bewegung befinden (vgl. Galilei 1891, S. 198). Tatsächlich ist nur die Relativgeschwindigkeit zu einem anderen IS bestimmbar, nicht jedoch die Absolutgeschwindigkeit. Damit ist kein IS vor den anderen ausgezeichnet. Galileis Überlegungen lassen sich wie folgt zusammenfassen: Galilei sches Relativitätsprinzip: Das Bewegungsgesetz (2.1) der Newton schen Mechanik besitzt in allen IS dieselbe Form. Die allgemeinste Koordinatentransformation zwischen zwei IS K und K ist gegeben durch eine räumliche Verschiebung w und Drehspiegelung D sowie Relativbewegung mit konstanter Geschwindigkeit v. Außerdem lassen wir eine Zeitumkehr und Zeitverschiebung b zu, x = D x v t + w mit D O(3); v, w R 3, t = λ t b mit λ {±1}; b R. (2.10) Wir müssen nun jedoch zeigen, dass auch K das Kriterium eines IS erfüllt, wenn dies für K der Fall ist. 8

15 2.2 Galilei sches Relativitätsprinzip Sei dazu K ein IS. Wir betrachten ein sich darin kräftefrei bewegendes Teilchen der Masse m. Dann ist auch K ein IS, denn m d2 x d2 = m (D x v t + w) dt 2 (λ dt) 2 ( = m D d2 x dt d v ) 2 dt + d2 w dt 2 = m D d2 x dt 2 = 0. (2.11) Hierbei ging im vorletzten Schritt ein, dass v und w konstant sind und im letzten Schritt schließlich, dass K nach Voraussetzung ein IS ist. Die Gruppe dieser Transformationen heißt Galilei-Transformationen. Das Newton sche Trägheitsgesetz ist unter Galilei-Transformationen kovariant, d. h. es hat in zwei KS, die durch eine solche Transformation auseinander hervorgehen, dieselbe Form. Falls keine Zeitumkehr vorliegt, also λ = +1, gilt die Kovarianz auch für die Bewegungsgleichung (2.1) mit einer wirkenden Kraft F. 5 Dies ist nicht zu verwechseln mit der Invarianz, welche nicht zwingend vorliegt. Im Allgemeinen sind F ( r, r, t) und F ( r, r, t ) verschiedene Funktionen ihrer Argumente (vgl. Fließbach 2015, S. 33). Wir halten noch fest, dass durch die Galilei-Transformation der Abstand zwischen zwei Punkten des Raumes erhalten bleibt. Das heißt insbesondere das Quadrat des Abstandes zwischen zwei infinitesimal entfernten Punkten P (x, y, z) und Q(x + dx, y + dy, z + dz), berechnet nach der euklidischen Norm P Q 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = δ ij dx i dx j, (2.12) ist eine invariante Größe unter Galilei-Transformationen. Wir nennen diese Größe das Wegelement ds 2. Darauf werden wir an geeigneter Stelle zurückkommen. 5 Die Bewegungsgleichung ist dagegen im Allgemeinen nur kovariant unter Zeitumkehr, falls d2 r dt 2 = F ( r) (vgl. Scheck 2007, S. 25). 9

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17 3 Spezielle Relativitätstheorie Dieses Kapitel ist zu sehen im Sinne einer Wiederholung der Grundlagen der SRT, die für den weiteren Aufbau der Arbeit als notwendig erscheinen. Außerdem werden formale Begriffe und Konzepte erarbeitet, die die Basis für eine spätere Verallgemeinerung darstellen. Für eine umfassende Diskussion der SRT sei verwiesen auf (Scheck 2007, Kap. 4), (Fließbach 2015, Kap. 9), (Ruder und Ruder 1993) und (Beyvers und Krusch 2007). 3.1 Annahmen Im Jahr 1864 gelang es James Clerk Maxwell alle Phänomene des Elektromagnetismus, die im Laufe des 19. Jahrhundert nach und nach entdeckt wurden, mit seinen berühmten Gleichungen zu beschreiben. Diese enthalten eine zentrale Konstante, die Vakuumlichtgeschwindigkeit c. Zu dieser Zeit war noch die Ansicht vorherrschend, Licht brauche, genau wie mechanische Wellen, ein Medium, in dem es sich fortpflanzt. Dieser sogenannte Äther fülle den ganzen Raum aus und stelle eine Art ruhendes Bezugssystem dar, welches als absolut angesehen werden könne. Die Transformation der Lichtgeschwindigkeit für verschiedene, relativ zu diesem Äther gleichförmig bewegte BS, erfolge mit der Galilei-Transformation. Betrachten wir die spezielle Galilei-Transformation zwischen zwei BS K und K, die zum Zeitpunkt t = 0 deckungsgleich und synchronisiert seien. K bewege sich relativ zu K in negative x-richtung mit der konstanten Geschwindigkeit v > 0, x = x + v t, y = y, z = z, t = t. (3.1) Angenommen, K wäre das Ruhesystem des Äthers, dann würde für einen zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung erzeugten Lichtblitz gelten x(t) = c t. In K dagegen würde man feststellen dx dt = d(x + v t) dt = d(c t + v t) dt = c + v > c. (3.2) Diese These wurde mit dem Experiment von Michelson und Morley (1887) endgültig widerlegt. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen IS, unabhängig von der Bewegungsrichtung, dieselbe. 11

18 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Die Maxwell schen Gleichungen sind außerdem nicht kovariant unter Galilei-Transformationen. Dies mache man sich an dem einfachen Beispiel einer einzelnen Punktladung deutlich, die sich relativ zu einem Inertialbeobachter mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt. Aus Sicht des Beobachters entspricht diese bewegte Ladung einem Stromfluss, der nach Maxwell ein zeit- und ortsabhängiges Magnetfeld erzeugt. Aus Sicht eines mitbewegten Beobachters, erzeugt die in seinem BS ruhende Punktladung ein kugelsymmetrisches elektrisches Potenzial, es wird jedoch kein Magnetfeld erzeugt (vgl. Scheck 2010, S. 112). 6 Die Transformationen, unter denen die Maxwellgleichungen kovariant sind, fanden Hendrik Lorentz 7 und Henri Poincaré schon in den Jahren 1892 bis Aber auch sie hielten zunächst an der Äther-Theorie fest und maßen den Transformationsgesetzen keine physikalische Bedeutung bei (vgl. Göbel 2014, S. 15). Erst Einstein hat durch seine wegweisende Interpretation der Resultate Neuland betreten und sie in seiner berühmten Veröffentlichung Zur Elektrodynamik bewegter Körper in einer einheitlichen Theorie formuliert, der SRT (vgl. Einstein 1905). Grundlage bildeten zwei Postulate: Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Vakuum- Lichtgeschwindigkeit besitzt in allen IS unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle und des Beobachters immer denselben Wert. Spezielles Relativitätsprinzip: Alle Naturgesetze besitzen in zwei IS dieselbe Form. Das spezielle Relativitätsprinzip ist an dieser Stelle als Verallgemeinerung des Galilei schen Relativitätsprinzips zu sehen, welches noch auf die Mechanik eingeschränkt blieb. 6 Eine streng analytische Herleitung der Kovarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz- Transformationen findet sich in Kapitel aus Scheck (2010). 7 Einstein schrieb über Lorentz: Ich bewundere diesen Mann wie keinen anderen, ich möchte sagen, ich liebe ihn (Pais 1986, S. 168). 12

19 3.2 Lorentz-Transformation 3.2 Lorentz-Transformation Die folgende Darstellung ist orientiert an Kapitel 34 aus Fließbach (2015). Gesucht ist nun also eine Transformation zwischen zwei IS, die die Galilei-Transformation ersetzt und die Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit impliziert. Wir betrachten dazu zwei IS K und K. Zum Zeitpunkt t werde in K ein Lichtblitz am Ort (x, y, z) erzeugt. Wird dieser zum Zeitpunkt t+ t am Ort (x+ x, y+ y, z+ z) registriert, so muss nach dem pythagoräischen Lehrsatz gelten: (c t) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. (3.3) Für die Koordinaten in K gilt wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit genau derselbe Zusammenhang. Übergang zu infinitesimalen Raum- und Zeitabständen führt auf die Bedingung (c dt) 2 dx 2 dy 2 dz 2 = 0 (3.4) in allen IS. Diese Größe ersetzt unser Wegelement aus (2.12) und soll unter der gesuchten Transformation invariant sein: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. (3.5) Solch eine unter einer Lorentz-Transformation invariante Größe nennen wir Lorentz- Skalar. An dieser Stelle führen wir eine neue Schreibweise ein: (x α ) = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (c t, (x i )) = (c t, x, y, z). 8 Es handelt sich hierbei um einen sogenannten Weltpunkt. Außerdem definieren wir den metrischen Tensor 9 des Minkowski-Raumes, η αβ, dessen Komponenten durch die folgende Matrix gegeben sind 10 : {η αβ } = (3.6) Wir sprechen bei einem solchen Objekt auch von Vektor, obwohl es sich streng genommen um dessen Koeffizienten in der gegebenen Basis handelt. 9 Die Bezeichnung werden wir in Abschnitt 3.3 noch rechtfertigen. 10 Hier gibt es verschiedene Konventionen. Multiplikation von (3.4) mit ( 1) führt auf umgekehrte Vorzeichen. Wir orientieren uns an Fließbach (1995). 13

20 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Er ersetzt in (2.12) den metrischen Tensor δ ij der euklidischen Metrik. Diese Formalisierungen ermöglichen nun eine kompaktere Schreibweise des Wegelements aus (3.5), ds 2 = η αβ dx α dx β. (3.7) An dieser Stelle machen wir erstmals Gebrauch von der Einstein schen Summenkonvention (vgl. Einstein 1916, S. 781). Das heißt, sofern nicht explizit anders gefordert, wird über oben und unten je einmal auftretende Indizes summiert. Bei lateinischen Buchstaben laufe die Summe von 1 bis 3 und bei griechischen Buchstaben von 0 bis 3. Ausgeschrieben steht in (3.7) also nichts anderes als ds 2 = 3 α,β=0 η αβ dx α dx β. Diese Indizes werden, im Gegensatz zu den freien Indizes, auch stumme Indizes genannt und können beliebig umbenannt werden. Die freien Indizes müssen auf je zwei Seiten einer Gleichung in Buchstaben und Position übereinstimmen, das sogenannte Indexbild muss korrekt sein. Ist eine Gleichung für x α notiert, so ist gemeint, sie gilt für alle Komponenten 0 α 3. Wir fordern Homogenität und Isotropie von Raum und Zeit, das heißt, dass die Transformation überall dieselbe ist und keine Richtung gegenüber den anderen ausgezeichnet ist. Darum machen wir einen linearen Ansatz für die gesuchte Transformation, x α = Λ α β x β + b α, (3.8) mit Spaltenvektor b = (b α ) und Transformationsmatrix Λ = {Λ α β}. Diese beiden Größen sind abhängig von der Relation der IS zueinander, nicht aber von den Koordinaten selbst. Sie sind konstant. Bei der Berechnung der Koordinatendifferentiale dx α = Λ α β dx β spielt die Verschiebung um b keine Rolle. Die geforderte Invarianz ds 2 = ds 2 liefert für Λ die Bedingung Λ T ηλ = η. (3.9) Die Transformationen aus (3.8), die diese Bedingung erfüllen, bilden die 10-parametrige Poincaré-Gruppe. Dazu gehören insbesondere räumliche Drehungen und die Paritätstransformation sowie Verschiebungen. Analog zur Galilei-Gruppe gehören auch Zeitumkehr und -verschiebung dazu. Die Lorentz-Gruppe bildet eine Untergruppe für b = 0. 14

21 3.2 Lorentz-Transformation Der wichtige Unterschied zur Galilei-Gruppe liegt in der Transformation für die Relativbewegung zwischen zwei IS. Wir geben also die spezielle Lorentz-Transformation an für den Fall, dass sich die Koordinatenachsen von K und K zum Zeitpunkt t = 0 decken und auch die Zeit t = 0 synchronisiert ist. Die Relativbewegung von K erfolge in positive x-richtung, sodass wir annehmen können y = y und z = z. Die Transformationsmatrix ist in diesem Fall gegeben durch 11 γ γβ 0 0 {Λ α β} = γβ γ mit γ := 1 und β := v 1 β 2 c. (3.10) Für die inverse Transformation schreiben wir {Λ β α } := {Λ α β} 1. Dabei bezeichne der jeweils obere Index die Zeile und der untere die Spalte. Damit gilt Λ γ β Λ α γ = Λ α γ Λ γ β = δβ α. (3.11) In diesem speziellen Fall ist sie durch die Ersetzung v v gegeben. An dieser Stelle sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es sich bei Λ α β und Λ α β um die Einträge der Transformationsmatrizen handelt und insbesondere nicht um Tensoren. Die Stellung der Indizes dient lediglich der Unterscheidung der Transformationsmatrix von ihrer Inversen. 12 Betrachten wir nun aber die Transformation noch einmal ausführlich, c t γ γ β 0 0 c t x y = γ β γ 0 0 x y z z c t = γ (c t β x), x = γ ( β c t + x), y = y, z = z. (3.12) 11 Eine detaillierte Herleitung findet sich in (Fließbach 2015, S. 295). 12 In der Literatur sind für die inverse Matrix auch die Schreibweisen {Λ 1 } α β oder Λ α β in Fließbach (1995) gebräuchlich. in Scheck (2007) 15

22 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten v c gilt γ 1 und β x 0. Immer gültig ist außerdem β c = v. Damit ergibt sich im Grenzfall gerade die Galilei- Transformation mit t = t und x = x v t. Dennoch würde es der SRT nicht gerecht, sie im Grenzfall auf die Theorie Newtons zu reduzieren, bloß weil die Vorhersagen dieselben sind. Wichtig ist es, zu erkennen, dass die SRT eine fundamental andere Sichtweise auf Raum und Zeit mit sich bringt. Bei Newton galten sie beide als absolut und für sich stehend. Einstein öffnete seine Sichtweise, wich davon ab und konnte die experimentellen Ergebnisse so in eine ganzheitliche Theorie einordnen (vgl. Grøn und Næss 2011, S. 104). Herrmann Minkowski leitete seine Ansprache beim naturwissenschaftlichen Kongress im Köln am 21. September 1908 ein mit den Worten: Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away in mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality. 3.3 Minkowski-Raum Newtons Interpretation von Zeit und Raum kann dargestellt werden als R R 3. Diese grundlegende Struktur spiegelt sich auch in den Galilei-Transformationen aus (2.10) wider. Indem Einstein eine gegenseitige Abhängigkeit zuließ und diese auch physikalisch interpretierte, führte er beide zu einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum, dem Minkowski-Raum, zusammen. Diese strukturelle Entwicklung zeigt sich schon im Ansatz (3.8). Der vierdimensionale Vektorraum ist ausgestattet mit einer charakteristischen Metrik, das heißt einer Vorschrift, verallgemeinerte Abstände in diesem Raum zu bestimmen. Wir haben die Minkowski- Metrik in Abschnitt 3.2 bereits kennengelernt. Minkowski-Metrik Die Minkowski-Metrik 13 ist eine reelle, nicht-ausgeartete und symmetrische Bilinearform, : R 4 R. Die darstellende Matrix ist dann auch reell, symmetrisch und nicht-singulär. Sei { e α } eine Orthonormalbasis des Minkowski-Raumes. Die 13 Es handelt es sich nicht um eine Metrik im mathematischen Sinne, da weder die positive Definitheit noch die Dreiecksungleichung erfüllt sind. 16

23 3.3 Minkowski-Raum zu der Bilinearform gehörende darstellende Matrix hat bezüglich dieser Basis die Form {η αβ } = { e α, e β }. Denn seien x α e α, y β e β R 4 beliebige Vektoren, dann gilt wegen der Bilinearität x α e α, y β e β = x α y β e α, e β = x α y β η αβ = (x α ) T {η αβ } (y β ). (3.13) Anstelle von e α, e β wird auch die gleichbedeutende Schreibweise e α e β verwendet und wir bezeichnen die Bilinearform als indefinites Skalarprodukt. Aus (3.6) kennen wir die Einträge der Matrix {η αβ } = (3.14) in kartesischen Koordinaten. Die Einträge sind abhängig von den gewählten Basisvektoren. In Kugelkoordinaten mit Koordinatendifferentialen dt, dr, dθ, dϕ ergibt sich 14 : {η αβ } = r 2 0. (3.15) r 2 sin 2 θ Diese Metrik induziert für alle x α e α R 4 eine Norm 15 des Minkowski-Raumes auf die übliche Weise, x α e α 2 = x α e α, x β e β = x α x β e α, e β = x α x β η αβ, (3.16) sodass sich für den Abstand zweier infinitesimal voneinander entfernter Weltpunkte gerade ds 2 = ds 2 aus (3.5) ergibt. Da es sich nicht um eine Norm im mathematischen Sinne handelt, treten der aus der euklidischen Norm gewonnenen Intuition widersprechende Effekte auf. So kann 14 Die Herleitung befindet sich in Anhang (A.1). 15 Es handelt es sich nicht um eine Norm im mathematischen Sinne, da weder die Definitheit noch die Subadditivität erfüllt sind. 17

24 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE der Abstand zwischen zwei Weltpunkten imaginär sein oder der Abstand verschiedener Punkte kann null werden. Eine charakteristische Eigenschaft des Minkowski-Raumes, die für die spätere Verallgemeinerung aufgegeben werden muss, ist die Koordinatenunabhängigkeit von {η αβ } in kartesischen Koordinaten. Das heißt, die Vorschrift, wie Abstände zwischen Weltpunkten gemessen werden, ist überall dieselbe. Objekte, die wir zum Aufstellen weiterer Rechenregeln noch benötigen werden, sind die zu e α dualen Basisvektoren e α. 16 Diese sind Elemente des Dualraumes 17 und sind definiert über die Eigenschaft e α, e β = δ α β. (3.17) Für die Komponenten eines Vektors x α e α bezüglich der dualen Basis schreiben wir x α. Aus der Dualität der Basisvektoren ergibt sich die Projektion x α = x β δ β α = x β e β, e α = x β e β, e α = x, e α (3.18) ebenso wie x α = x, e α. (3.19) Tensoren im Minkowski-Raum Wegen (3.8) transformieren sich die Koordinatendifferentiale nach der Vorschrift dx α = Λ α β dx β. (3.20) Wir nennen jede Größe V α, die sich bei Koordinatentransformationen wie dx α in (3.20) transformiert, V α = Λ α β V β, (3.21) 16 In der Literatur werden diese Basisvektoren auch als 1-Formen bezeichnet und mit ω dargestellt. Für eine mathematische Einführung in die Tensorrechnung verweisen wir auf Kapitel 3 in Oloff (2002) oder Kapitel 2.4 aus Zeidler (2013a). 17 Siehe dazu Kapitel in Zeidler (2013a). 18

25 3.3 Minkowski-Raum kontravariante Komponente eines Vektors. Betrachten wir nun die Vektoren selbst. Diese Objekte sollen bei Koordinatentransformationen unverändert bleiben. Bezüglich einer anderen Basis unterliegen die Komponenten des Vektors aber einer Veränderung. Aus V = V α e α! = V β e β = V (3.22) folgt, dass die Basisvektoren im Vergleich zu den Vektorkomponenten gerade mit der inversen Transformation transformieren müssen: e α = Λ α β e β. (3.23) Auf Grundlage dieser Transformationseigenschaften definieren wir nun die folgenden Objekte im Minkowski-Raum 18 : Ein kontravarianter Tensor 19 T α 1...α r der Stufe r ist eine r-fach indizierte Größe, die sich bezüglich jedes einzelnen Index transformiert gemäß T α 1...α r = Λ α 1 β1...λ αr β r T β 1...β r. (3.24) Ein kovarianter Tensor T α1...α r der Stufe r ist eine r-fach indizierte Größe, die sich bezüglich jedes einzelnen Index transformiert gemäß T α β 1...α r = Λ 1 β α1...λ r αr T β1...β r. (3.25) An dieser Stelle hat die Bezeichnung kovariant nichts mit der Kovarianz im Sinne einer Forminvarianz von Gleichungen, wie wir sie beispielsweise in Abschnitt 2.2 gefordert haben, zu tun. Tensoren nullter Stufe nennen wir auch Skalare und Tensoren erster Stufe Vektoren. Insbesondere sind die Basisvektoren wegen (3.23) selbst kovariante Vektoren und die Elemente der dualen Basis kontravariante Vektoren, damit die Dualität unter Koordinatentransformation erhalten bleibt. 18 In Abschnitt 4.1 wird eine entsprechende Verallgemeinerung folgen. 19

26 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Ein weiteres Beispiel für einen Tensor erster Stufe stellt die zu einem Viererortsvektor 20 (x α ) gehörige Vierergeschwindigkeit 21 (u α ) eines massebehafteten Teilchens dar: u α := xα τ (uα ) = τ (ct, xi ) (3.10) = γ t (ct, xi ) = γ (c, v i ), (3.26) wobei τ die im jeweiligen Ruhesystem verstrichene Zeit bezeichnet. Es gilt dt = γ dτ (vgl. auch (3.12)). Für die transformierte Vierergeschwindigkeit ergibt sich: u α = x α τ (3.24) = Λ α x β β τ (3.26) = Λ α β u β. (3.27) Diese erfüllt die Eigenschaft eines kontravarianten Tensors erster Stufe aus (3.24). Durch die Einträge der Matrix {η αβ } wird ein kovarianter Tensor zweiter Stufe definiert, der metrische Tensor. An dieser Stelle soll diese Bezeichnung an Hand der Definition eines Tensors gerechtfertigt werden. Es ist ds 2 ein Lorentz-Skalar nach Definition der Lorentz-Transformation in (3.9), d.h. für beliebige Vektoren (a α ), (b β ) gilt: ds 2! = ds 2 η αβ a α β (3.24) b = η αβ Λ α θ a θ Λ β ε b ε = η θε Λ θ αa α Λ ε β b β! = η αβ a α b β. (3.28) Vergleich beider Seiten liefert η αβ = Λ θ α Λ ε β η θε. (3.29) Wir multiplizieren die Gleichung mit Λ γ α Λ δ β, Λ γ α Λ δ β η αβ = Λ γ α Λ δ β Λ θ α Λ ε β η θε (3.11) = δ θ γ δ ε δ η θε = η γδ. (3.30) 20 Streng genommen müssten wir stets von ko- und kontravarianten Komponenten des Vektors sprechen. 21 Bei der Definition folgen wir Scheck (2010). Es gibt verschiedene Konventionen. Die Definition in Ryder (2009) unterscheidet sich beispielsweise um den Faktor 1 c. 20

27 3.3 Minkowski-Raum Nach (3.25) ist η αβ damit ein kovarianter Tensor zweiter Stufe. Insbesondere ist η γδ = Λ γ α Λ δ β η αβ (3.9) = η γδ (3.31) und damit η αβ nach Definition der Lorentz-Transformation unter ebendieser invariant, d. h. die Werte der Komponenten ändern sich nicht unter Lorentz-Transformation. Die Komponenten des kontravarianten metrischen Tensors seien in Analogie zu denen des kovarianten durch η αβ := e α, e β (3.32) gegeben. Für das Heben des Index eines kovarianten Basisvektors finden wir die folgende Regel: e α, e β = η αβ = η αγ δ β γ (3.17) = η αγ e γ, e β = η αγ e γ, e β e α = η αγ e γ. (3.33) Daraus ergibt sich für den Zusammenhang zwischen den Komponenten des kound kontravarianten metrischen Tensors, η αγ η γβ = η αγ e γ, e β = η αγ e γ, e β (3.33) = e α, e β (3.17) = δ α β. (3.34) Es ist damit gerade {η αβ } = {η αβ } 1. Das sogenannte Heben und Senken von Indizes lässt sich auch allgemein auf die Komponenten eines ko- und kontravarianten Tensors übertragen. Hier am Beispiel der Komponenten eines Tensors erster Stufe: x α (3.18) = x β e β, e α = x β e β, e α = x β η βα, (3.35) x α (3.19) = x β e β, e α = x β e β, e α = x β η βα. (3.36) 21

28 3 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE 3.4 Längenkontraktion Eine Konsequenz aus der SRT, die unserer Intuition widerspricht, da sie nicht Teil der täglichen Erfahrungswelt ist, ist die Längenkontraktion. Dazu betrachten wir zwei IS K und K, wobei K sich relativ zu K mit konstanter Geschwindigkeit v in positive x-richtung bewegt. Es sei außerdem ein in K ruhender Stab gegeben. Zum Zeitpunkt t = 0 seien die Koordinatenachsen von K und K deckungsgleich und die Zeit synchronisiert, sodass auch t = 0. Wir betrachten die beiden Weltpunkte Anfang x und Ende y des Stabes in beiden IS. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf die x 0 - und x 1 -Komponente. Wir finden x = (c 0, 0), y = (c 0, l 0 ), x = (c 0, 0), y = (c t, l), (3.37) wobei l 0 die Länge des Stabes in seinem Ruhesystem beschreibt und l die aus dem relativ zu ihm bewegten System. Die spezielle Lorentz-Transformation aus (3.10) liefert ( ) ( ) ( ) c t γ γβ 0 = l = γ l 0. (3.38) l γβ γ Als Fazit halten wir fest, dass der Stab aus Sicht des relativ zu ihm bewegten IS in Richtung der Bewegung um den Faktor γ verkürzt ist. Bei den Geschwindigkeiten v c unserer Erfahrungswelt bemerken wir diesen Effekt nicht. In der nichtrelativistischen Näherung gilt nämlich wieder γ 1, sodass der Effekt verschwindet. Noch 1911 musste Einstein erklären: Die Frage, ob die Lorentz-Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht wirklich, insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht existiert; sie besteht aber wirklich, d. h. in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter (Pais 1986, S. 141). Als experimentelle Bestätigung kann man den hohen Anteil an Myonen sehen, die die Erdoberfläche erreichen. Sie entstehen in einer Höhe von 10 km über der Erd- 22 l 0

29 3.4 Längenkontraktion oberfläche aus der Reaktion von Teilchen der kosmischen Strahlung mit Atomkernen der oberen Atmosphäre und nähern sich der Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit von ca c. Auf Grund ihrer kurzen durchschnittlichen Lebensdauer von 2.2 µs würden sie die Erdoberfläche nur mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit erreichen. Der tatsächlich detektierte Anteil liegt weit über dem Erwartungswert. Im Ruhesystem des Myons kann die Situation so interpretiert werden, dass sich die Erde auf es zu bewegt. Die 10 km, die es aus unserer Sicht zurückzulegen hat, erscheinen aus seiner Sicht verkürzt. Es erreicht die Erdoberfläche innerhalb seiner Lebensdauer also mit größerer Wahrscheinlichkeit (vgl. Beyvers und Krusch 2007, S. 47). 23

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31 4 Riemann-Raum Aber das eine ist sicher, daß ich mich im Leben noch nicht so geplagt habe und daß ich große Hochachtung für die Mathematik eingeflößt bekommen habe, die ich bis jetzt in ihren subtilen Teilen in meiner Einfalt für puren Luxus ansah!, schrieb Einstein im Jahr 1915 nach Vollendung seiner Arbeit an der ART (Pais 1986, S. 216). Zum Aufstellen der ART ist die Mathematik kein purer Luxus, sondern bildet die notwendige Grundlage zu deren Beschreibung. Darum werden auch wir uns in diesem Kapitel zunächst dem mathematischen Objekt des Riemann- Raumes zuwenden, die neuen Erkenntnisse jedoch stets an Beispielen konkretisieren. Der Riemann-Raum 22 ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ausgestattet mit einem metrischen Tensor g µν (x) = e µ, e ν, der in jedem Punkt das Skalarprodukt je zweier Basisvektoren definiert. Betrachten wir zunächst noch einmal den Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die in unserem Fall die Dimension vier hat. Mannigfaltigkeit: Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension 4 ist ein topologischer Raum M, zusammen mit einem Atlas, d.h. einer Familie von Karten (U i, Φ i ) i I, wobei die U i M eine offene Überdeckung von M bilden und jedes Φ i : U i V i R 4 ein Homöomorphismus ist mit: Die Koordinatentransformationen Φ i Φ 1 j : V j V i, sind differenzierbar. Diese Definition impliziert insbesondere, dass unser Raum lokal aussieht wie der R 4. Diese Eigenschaft ist direkt vergleichbar mit unserer Erdoberfläche als zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich im Ganzen nicht auf eine flache Karte abbilden lässt. Sobald man zwei oder mehr Karten zulässt, ist es jedoch möglich, sie vollständig auf die Gesamtheit der Karten abzubilden. Auf jeder einzelnen Karte ist dann nur noch ein Teil der Erdoberfläche zu sehen. 23 Sollten die Karten sich 22 Da unsere Metrik nicht alle Axiome erfüllt, müssten wir eigentlich von einem pseudoriemannschen Raum sprechen. Diese Unterscheidung soll uns aber nicht weiter kümmern. Für eine mathematisch umfassende Diskussion verweisen wir auf Kapitel 16 aus (Zeidler 2013b). 23 Konkrete Abbildungen sind nachzuvollziehen in (Scheck 2007, S. 273). 25

32 4 RIEMANN-RAUM überlappen, so sorgt die Forderung der Differenzierbarkeit an die Koordinatentransformationen für einen glatten Kartenwechsel (vgl. Scheck 2007, Kap ). Der metrische Tensor verleiht der so definierten primitiven Punktmenge erst eine spezifische Struktur und Form, wie z. B. die einer Sphäre oder auch die einer flachen Ebene. Im Allgemeinen ist er koordinatenabhängig und liefert so in jedem Punkt eine Vorschrift, wie Abstände und Längen an diesem Ort zu bestimmen sind (vgl. Schutz 1985, S. 154). An den metrischen Tensor stellen wir auch die Anforderung der Differenzierbarkeit. Diese impliziert, dass wir ihn in der Umgebung eines Punktes als näherungsweise konstant ansehen können. Ist der metrische Tensor konstant, d.h. die Messvorschrift in der Umgebung dieses Punktes überall dieselbe, so ist der Raum in dieser Umgebung flach. Genauer können wir an jedem Punkt x 0 des Raumes ein Bezugssystem konstruieren, sodass g µν (x 0 ) = η µν, g µν (x 0 ) x λ = 0. (4.1) Diese Koordinaten nennen wir die lokalen Minkowski-Koordinaten. 24 Für diese Koordinaten können wir auf die in Kapitel 3 diskutierten Zusammenhänge zurückgreifen (vgl. Scheck 2010, S. 299). Am Beispiel der Erdoberfläche wird dieser Zusammenhang auch durch die Abbildung auf Karten deutlich. Wir nehmen an, dass die Ausdehnung einer Stadt so klein ist, dass der metrische Tensor eingeschränkt auf ihre Umgebung näherungsweise konstant ist. Die Stadt kann damit als flach angesehen werden (vgl. Abschnitt 4.4). Dann lässt sie sich maßstabsgetreu auf einen flachen Stadtplan abdrucken. Bei der ganzen Erdkugel kann dies nur unter starken Verzerrungen geschehen. Dies zeigt sich, wenn man sich eine direkte Flugroute zwischen zwei hinreichend weit entfernten Städten der Erde auf einer üblichen Weltkarte betrachtet. Diese direkte Verbindung wird darauf zu einer gebogenen Linie. Der Riemann-Raum umfasst den euklidischen Raum als R 3 mit metrischem Tensor δ ij und den Minkowski-Raum als R 4 mit metrischem Tensor η µν als Spezialfall (vgl. Fließbach 1995, S. 89). 24 Auch gebräuchlich sind unter anderem die Bezeichnungen Gauß sche Koordinaten in Scheck (2010) oder Lorentz-Koordinaten in Schutz (1985). 26

33 4.1 Metrik im Riemann-Raum 4.1 Metrik im Riemann-Raum Bei der Erarbeitung der Zusammenhänge im Riemann-Raum folgen wir (Fließbach 1995, Kap. 14). Es sei eine beliebige Koordinatentransformation gegeben durch x µ = x µ (x ν ) (4.2) mit der Umkehrtransformation x ν = x ν (x µ ). (4.3) Dann transformieren die Koordinatendifferentiale nach dx µ = x µ x ν dxν = α µ ν(x) dx ν, dx µ = xµ x ν dx ν = α ν µ (x ) dx ν, (4.4) mit koordinatenabhängigen Transformationsmatrizen {α µ ν(x)} := x µ x, {α ν ν µ (x )} := {α µ ν(x)} 1 = xµ. (4.5) x ν Aus der Kettenregel folgt: α µ λ α ν λ = x µ x λ x λ x µ = x ν x = ν δµ ν (4.6) und analog α λ µ α λ ν = δ ν µ. (4.7) Es ersetzen für die Koordinatendifferentiale nun also die Transformationsmatrizen aus (4.4) diejenigen aus (3.20). Analog zur Schreibweise für die Lorentz- Transformation dient die Stellung der Indizes hier wieder nur zur Unterscheidung der Matrizen. Es handelt sich nicht um gemischte Tensoren. 27

34 4 RIEMANN-RAUM Die Definition von Tensoren und Rechenregeln im Riemann-Raum erfolgt analog zu denen im Minkowski-Raum mit den Ersetzungen: {Λ α β} {α µ ν(x)} und η αβ g µν (x). 25 Ein kontravarianter Tensor T µ 1...µ r der Stufe r ist eine r-fach indizierte Größe, die sich bezüglich jedes einzelnen Index transformiert gemäß T µ 1...µ r = α µ 1 ν1 (x)...α µr ν r (x) T ν 1...ν r. (4.8) Ein kovarianter Tensor T µ1...µ r der Stufe r ist eine r-fach indizierte Größe, die sich bezüglich jedes einzelnen Index transformiert gemäß T µ ν 1...µ r = α 1 µ1 (x ν )...α r µr (x ) T ν1...ν r. (4.9) Auch im Riemann-Raum fordern wir wieder die Invarianz des Wegelementes und bestimmen daraus das Transformationsverhalten des metrischen Tensors: ds 2 = g µν (x) dx µ dx ν (4.4) = g µν (x) α κ µ (x ) dx κ α λ ν (x ) dx λ! = g κλ(x ) dx κ dx λ = ds 2 g κλ(x ) = g µν (x) α κ µ (x ) α λ ν (x ). (4.10) Auch hier handelt es sich bei g µν (x) also wieder um einen kovarianten Tensor zweiter Stufe. Im Gegensatz zu dem metrischen Tensor des Minkowski-Raumes hängen die Koordinatentransformationen aber über keine Bedingung mit dem metrischen Tensor zusammen. Im Allgemeinen ist g µν (x) daher nicht invariant unter der jeweiligen Transformation. 25 Mit dem Riemann-Raum haben wir die mathematische Struktur des Vektorraumes allerdings verlassen. Unsere Objekte sind jetzt definiert in den beiden, an jedem Punkt angehefteten, 4-dimensionalen Vektorräumen, dem Tangentialraum, dessen Basis gebildet wird durch { x } µ und dem dazu dualen Kotangentialraum mit Basis {dx µ } (vgl. Scheck 2010, Kap. 6.3). 28

35 4.1 Metrik im Riemann-Raum metr. ds 2 ist invariant Transformation Raum Tensor Wegelement ds 2 unter diesen Trafos der Differentiale Euklid δ ij dx 2 + dy 2 + dz 2 Galilei dx i = D i k dx i Minkowski η αβ c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 Poincaré dx α = Λ α β dx β Riemann g µν (x) g µν (x) dx µ dx ν beliebige dx µ = α µ ν(x) dx ν Tabelle 1: Mathematische Räume in der Übersicht Für die Komponenten des kontravarianten metrischen Tensors gilt analog zu (3.34) g µλ (x) g λν (x) = δ µ ν. (4.11) Wir greifen noch einmal das Kronecker-Delta-Symbol δ ν µ auf. Es transformiert tatsächlich wie ein gemischter Tensor zweiter Stufe. Wir fordern, dass die Komponenten unverändert bleiben, damit die charakteristische Eigenschaft weiterhin gegeben ist. Dann gilt δ µ ν = δ ν µ = x µ x µ = x ν x λ x λ x µ = x ν x λ x κ x ν δλ (4.5) κ = α µ λ α κ ν δκ λ. (4.12) Die Definition als rein ko- oder kontravarianter Tensor δ µν oder δ µν ist jedoch nicht sinnvoll, da dies unter Beibehaltung der Komponenten nicht mit den Regeln für das Heben und Senken der Indizes x µ = x ν g µν, x µ = x ν g µν, (4.13) analog zu (3.36) und (3.35) vereinbar ist. 26 Das Kronecker-Delta wird darum immer nur als gemischter Tensor auftauchen. Zum Abschluss dieses Abschnittes findet sich in Tab. 1 eine Übersicht über alle drei mathematischen Räume, mit denen wir uns bis hierhin auseinandergesetzt haben. 26 Eine Ausnahme bildet der euklidische Raum, wo δ ij selbst den metrischen Tensor darstellt. 29

36 4 RIEMANN-RAUM 4.2 Krümmung Wir werden sehen, dass wir zur Hinführung auf die ART in ebendiesen Riemann- Raum übergehen müssen. Ein koordinatenabhängiger metrischer Tensors wie der des Riemann-Raumes erzeugt im Allgemeinen einen gekrümmten Raum. 27 Doch was ist eigentlich ein gekrümmter Raum? Einen Raum, in dem die Gesetze der euklidischen Geometrie nicht gelten, nennen wir intrinsisch gekrümmt. Jeder hat wohl ein intuitives Verständnis davon, was es bedeutet, wenn eine Fläche gekrümmt ist. Dabei ist die zweidimensionale Fläche meistens eingebettet in unseren dreidimensionalen Raum. Wie aber könnte eine flache Ameise, die in solch einer Fläche lebt, feststellen, ob diese gekrümmt ist? Nehmen wir als Beispiel eine Kugeloberfläche. Angenommen die Ameise zeichnet einen Kreis und misst dessen Radius r sowie Umfang U. Sie wird nicht den aus der euklidischen Geometrie in der Ebene gewohnten Zusammenhang U = 2πr konstatieren, sondern stattdessen U < 2πr. Ähnlich verhielte es sich, würde sie ein Dreieck zeichnen und dessen Winkel ausmessen. Die Winkelsumme auf der Sphäre ist stets größer als 180. Dabei soll allerdings darauf aufmerksam gemacht sein, dass die Abweichung von der euklidischen Geometrie in der Umgebung eines Punktes beliebig klein wird. Das Gebiet, welches die Ameise vermisst muss hinreichend groß sein, damit sie den Unterschied feststellen kann. Als weiteres Beispiel für eine intrinsisch gekrümmte Fläche sei ein Hyperboloid genannt. Ein weiteres Merkmal eines gekrümmten Raumes ist, dass das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie nicht mehr gültig ist. Die Wege zweier Ameisen, die an verschiedenen Orten loslaufen ohne je ihre Richtung zu ändern, werden sich, sofern sie nicht auf demselben Weg laufen, früher oder später begegnen. Wir unterscheiden die intrinsische von der extrinsischen Krümmung, wie sie beispielsweise bei einem Zylindermantel vorliegt. Über einfache Größenmessung würde die Ameise hier keine Krümmung bemerken. Es handelt sich ja lediglich um eine eingerollte Ebene. Die Struktur, über die die einzelnen Punkte miteinander verbunden sind, erfährt dadurch keine Veränderung. Die Metrik ist hier dieselbe 27 Dies gilt jedoch nicht notwendigerweise, wie wir am Beispiel des metrischen Tensors des Minkowski-Raumes in Kugelkoordinaten in (3.15) gesehen haben. 30

37 4.2 Krümmung wie in der euklidischen Ebene, es handelt sich in dieser Hinsicht immer noch um einen flachen Raum (vgl. Göbel 2014, Kap. 3.4). Beispiel rotierendes Bezugssystem In einem Gedankenexperiment wollen wir noch ein weiteres Beispiel eines auf den ersten Blick nicht gekrümmten Raumes betrachten, nämlich eine flache, gleichmäßig rotierende Scheibe. Ein über dem Mittelpunkt schwebender Beobachter, der gegenüber dem Fixsternhimmel ruht, misst wieder Radius und Umfang. Da der Radius an jedem Ort senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, erfährt er keine Veränderung. In einer hinreichend kleinen Umgebung bewegt sich dagegen jeder Abschnitt des Randes für eine hinreichend kurze Zeit annähernd geradeaus. In diesem Falle gelten die Regeln der SRT und nach Abschnitt 3.4 erscheint der Umfang, im Vergleich zu der Messung eines auf der Scheibe ruhenden Beobachters, verkürzt. Das heißt, der über dem System schwebende Beobachter würde auch zu dem Schluss kommen, dass 2π r > U. Das beschleunigte BS ist gekrümmt (vgl. Beyvers und Krusch 2007, S. 126). Dies wollen wir noch quantitativ bestätigen, indem wir den metrischen Tensor g µν (x) auf der rotierenden Scheibe bestimmen (vgl. Fließbach 1995, S. 51). Die Koordinatentransformation von IS K zu einem gleichförmig rotierenden BS K ist gegeben durch: x = x cos(ω t ) y sin(ω t ), z = z, y = x sin(ω t ) + y cos(ωt ), t = t. (4.14) Die Komponenten des metrischen Tensors erhalten wir aus dem Wegelement ds 2 = η αβ dx α dx β = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = c 2 dt 2 (cos(ωt ) dx sin(ωt ) dy x ω sin(ωt ) dt y ω cos(ωt ) dt ) 2 (sin(ωt ) dx + cos(ωt ) dy + x ω cos(ωt ) dt y ω sin(ωt ) dt ) 2 dz 2 = (c 2 ω 2 (x 2 + y 2 )) dt ω y dx dt 2 ω x dy dt dx 2 dy 2 dz 2 = g µν (x ) dx µ dx ν. (4.15) 31

38 4 RIEMANN-RAUM Wir beachten, dass wir die Koeffizienten bezüglich x 0 = c t suchen und lesen ab, 1 ω2 (x 2 + y 2 2ωy ) 2ωx 0 c 2 c c 2ωy {g µν (x )} = c 2ωx c. (4.16) Erstaunlicherweise entdecken wir folgenden Zusammenhang: g 00 = 1 + 2Φ c 2, (4.17) wobei Φ = 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) gerade dem Zentrifugalpotenzial entspricht. In Abschnitt 5.5 werden wir feststellen, dass sich dieser Zusammenhang zwischen 00- Komponente des metrischen Tensors und dem Potenzial Φ im Allgemeinen für schwache, statische 28 Felder ergibt. 4.3 Geodätengleichung Betrachten wir ein nicht-homogenes Gravitationsfeld wie das unserer Erde. Wenn wir in sehr großer Entfernung zwei Gegenstände fallen lassen, sodass deren Bahnkurven in unserem kleinen Ausschnitt des Weltalls parallel beginnen, so bleiben diese im Allgemeinen nicht parallel. Mit geringer werdender Entfernung zur Erde, wird auch der Abstand zwischen den beiden Gegenständen geringer. Dies ist ein Merkmal eines gekrümmten Raumes (vgl. Schutz 1985, S. 125). Nach Newton bewegt sich ein Teilchen im kräftefreien Fall von einem Punkt zum anderen stets auf einer Geraden, der kürzesten Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten. Die Bahnkurve minimiert den euklidischen Abstand. Wie aber bewegt sich ein Teilchen im gekrümmten Raum? Bedingung soll auch hier sein, dass der verallgemeinerte Abstand zwischen je zwei Punkten minimiert wird. Da unsere Messvorschrift für den Abstand, gegeben durch den metrischen Tensor aber nur lokale Gültigkeit besitzt, müssen wir den Abstand zwischen je zwei infinitesimal voneinander entfernten Punkten betrachten und über alle diese Abstände integrie- 28 Wegen des zeitlich konstanten Potenzials ist das Feld in diesem Fall statisch, auch wenn es sich um ein rotierendes BS handelt. 32

39 4.3 Geodätengleichung ren. Der zu minimierende Abstand ist jeweils gegeben durch die positive Wurzel aus unserem Wegelement ds 2 des Riemann-Raumes. Die sich daraus ergebende Gleichung heißt Geodätengleichung. In ihr finden wir die Verallgemeinerung der Newton schen Bewegungsgleichung (2.3) für einen beliebigen Raum, dessen Metrik durch den metrischen Tensor festgelegt ist. Bei der Herleitung orientieren wir uns an Kapitel aus Ryder (2009). Wir betrachten die Bogenlänge 29 s zwischen zwei gegebenen Punkten P und Q des Riemann-Raumes, s = Q P ds = Q P g µν (x) dx µ dx ν. (4.18) Die Kurve sei parametrisiert mit einem Parameter λ, also x µ = x µ (λ) mit P = x µ (λ 1 ) und Q = x µ (λ 2 ). 30 Setze ẋ µ := dxµ dλ s = λ 2 und damit g µν (x)ẋ µ ẋ ν dλ. (4.19) λ 1 Analog zum Prinzip der kleinsten Wirkung gehen wir davon aus, dass die physikalische Bahn δ ds = 0 δ ds 2 = 0 erfüllt. Dafür muss der Integrand L(x, ẋ) = g µν (x) ẋ µ ẋ ν (4.20) die Euler-Lagrange-Gleichung lösen, L x d ( ) L = 0. (4.21) λ dλ ẋ λ 29 Bogenlänge ist an dieser Stelle ein abstrakter Begriff. Da unsere Metrik nicht positiv definit ist, kann die Bogenlänge auch imaginär werden. Sie ist an dieser Stelle nicht mit einer anschaulichen Kurvenlänge identifizierbar. 30 λ kann interpretiert werden als Bogenlänge s von P ausgehend oder für massebehaftete Teilchen als die im Ruhesystem vergangene Zeit τ. Bei Photonen, die kein Ruhesystem haben, ist Letzteres nicht möglich. 33

40 4 RIEMANN-RAUM Wir berechnen d dλ L x = g µν,λ(x) ẋ µ ẋ ν, λ L ẋ = 2 g µλ(x) ẋ µ, λ L ẋ λ = 2 g µλ,κ(x) ẋ κ ẋ µ + 2 g µλ (x) ẍ µ. (4.22) Dabei bedeutet g µν,λ (x) = gµν x λ. Diese Schreibweise werden wir noch häufiger gebrauchen. Einsetzen von (4.22) in (4.21) führt auf g µν,λ ẋ µ ẋ ν 2 g µλ,κ ẋ κ ẋ µ 2 g µλ ẍ µ = 0. (4.23) Wir multiplizieren die Gleichung mit 1 2 gλρ, 0 = 1 2 gλρ g µν,λ ẋ µ ẋ ν + g λρ g µλ,κ ẋ κ ẋ µ + g λρ g µλ ẍ µ. (4.24) Den zweiten Term spalten wir in zwei Hälften, wobei wir bei der zweiten eine Umbenennung µ κ durchführen. Im dritten Term nutzen wir die Identität aus (4.11), 0 = 1 2 gλρ g µκ,λ ẋ µ ẋ κ + ( 1 2 gλρ g µλ,κ ẋ κ ẋ µ + 1 ) 2 gλρ g κλ,µ ẋ µ ẋ κ + δµ ρ ẍ µ = 1 2 gλρ ( g µκ,λ + g µλ,κ + g κλ,µ ) ẋ κ ẋ µ + ẍ ρ. (4.25) Den durch den metrischen Tensor bestimmten Faktor fassen wir unter dem Namen Christoffel-Symbol zusammen: Γ ρ µκ := 1 2 gλρ ( g µκ,λ + g µλ,κ + g κλ,µ ) (Christoffel-Symbol). (4.26) 34

41 4.3 Geodätengleichung Damit verkürzt sich (4.25) zu 31 ẍ ρ + Γ ρ µκ ẋ κ ẋ µ = 0 (Geodätengleichung). (4.27) Aus der Vertauschung der beiden Summanden positiven Vorzeichens folgt direkt die Symmetrie des Christoffel-Symbols bezüglich Vertauschung der beiden unteren Indizes. Wir halten fest, Γ ρ µκ = Γ ρ κµ. (4.28) Göbel (2014) liefert in Kapitel 6.2 einen anderen Zugang zu den Christoffel-Symbolen, der auch anschaulich interpretiert werden kann: Γ µκ ist ein Größe, die die Veränderung des Basisvektors e µ bei Verschiebung in e κ Richtung angibt. Γ ρ µκ bezeichnet deren einzelne Komponenten, und für die dualen Basisvektoren, Γ µκ = e µ(x κ + dx κ ) e µ (x κ ) dx κ = e µ x κ = Γρ µκ e ρ, (4.29) e µ x κ = Γµ νκ e ν. (4.30) Dass diese Definition tatsächlich auf denselben Zusammenhang mit der Metrik führt, zeigt folgende Rechnung: e µ (3.35) = g µν e ν x κ e µ,κ = g µν,κ e ν + g µν e ν,κ e λ e λ e µ,κ = e λ g µν,κ e ν + e λ g µν e ν,κ (4.29),(4.30) (3.17) e λ Γ ρ µκ e ρ = e λ g µν,κ e ν e λ g µν Γ ν ρκ e ρ δ λ ρ Γ ρ µκ = g λν g µν,κ g λρ g µν Γ ν ρκ 31 Für massebehaftete Teilchen ist die Randbedingung g µν dx µ = c 2 und für masselose Teilchen g µν dx µ dλ dx ν dλ = 0 (vgl. Scheck 2010, S. 340). 35 dτ dx ν dτ

42 4 RIEMANN-RAUM g λσ Γ λ µκ = g λν g µν,κ g λρ g µν Γ ν ρκ gλσ Γ λ µκ = g λσ g λν g µν,κ g λσ g λρ g µν Γ ν ρκ g λσ Γ λ µκ = δ ν σ g µν,κ δ ρ σ g µν Γ ν ρκ g λσ Γ λ µκ = g µσ,κ g µν Γ ν σκ g µσ,κ = g λσ Γ λ µκ + g µν Γ ν σκ g µσ,κ = g λσ Γ λ µκ + g λµ Γ λ σκ. (4.31) Jetzt, wo wir die Ableitungen des metrischen Tensors durch die Christoffel-Symbole ausgedrückt haben, betrachten wir die Permutationen g µσ,κ + g σκ,µ + g κµ,σ (4.31) = g λσ Γ λ µκ g λµ Γ λ σκ + g λκ Γ λ σµ + g λσ Γ λ κµ + g λµ Γ λ κσ + g λκ Γ λ µσ. (4.32) Unter Beachtung der Symmetrie des Christoffel-Symbols heben sich der erste gegen den vierten sowie der zweite gegen den fünften Summanden auf, sodass g µσ,κ + g σκ,µ + g κµ,σ = 2 g λκ Γ λ σµ. (4.33) Multiplikation mit 1 2 gνκ führt auf 1 2 gνκ ( g µσ,κ + g σκ,µ + g κµ,σ ) = g νκ g λκ Γ λ σµ = δ ν λ Γ λ σµ = Γ ν σµ, (4.34) den zu zeigenden Zusammenhang aus (4.26). Beispiel euklidischer Raum Im euklidischen Raum, das heißt alle Ableitungen des metrischen Tensors δ ij verschwinden und das Christoffel-Symbol wird null, ergibt sich aus der Geodätengleichung (4.3) gerade das Trägheitsgesetz ẍ i = 0 x = 0. (4.35) 36

43 4.3 Geodätengleichung Man rechne nach, dass die Lösung zu den Anfangsbedingungen x(t 1 ) = x 1 und x(t 2 ) = x 2 gegeben ist durch x(t) = x 1 + x 2 x 1 t 2 t 1 (t t 1 ). (4.36) Die entspricht genau der Gleichung der Geraden, auf der die Punkte x 1 und x 2 liegen. Es ergibt sich also tatsächlich die erwartete Geodäte, die kürzeste Verbindung, des euklidischen Raumes. Beispiel Sphäre Wir betrachten zum direkten Vergleich die zweidimensionale Einheitssphäre mit den Koordinatendifferentialen dx 1 = dθ und dx 2 = dϕ, d.h. die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1. Den metrischen Tensor erhalten wir auf analogem Wege zu (A.1) mit r = 1 und dem euklidischen Wegelement ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2. (4.37) Der ko- und kontravariante Tensor ist gegeben durch die Komponenten {g ij } = ( sin 2 θ ), {g ij } = ( sin 2 θ Als Geodäten ergeben sich tatsächlich gerade die Großkreise. 32 ). (4.38) Wir wollen an dieser Stelle noch die Christoffel-Symbole angeben. Die einzige partielle Ableitung der Komponenten unseres metrischen Tensors, die von null verschieden ist, ist g 22,1 = 2 sin θ cos θ. Deswegen sind auch alle Christoffel-Symbole null, außer Γ 1 22 = 1 2 gλ1 ( g 22,λ + g 2λ,2 + g 2λ,2 ) = 1 2 g11 ( g 22,1 ) = 1 2 sin θ cos θ = sin θ cos θ, 2 Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 1 cos θ 2 g22 (g 22,1 ) = 2 sin 2 2 sin θ cos θ = θ sin θ. (4.39) 32 Eine Herleitung kann in Ryder (2009) Kapitel nachvollzogen werden. 37

44 4 RIEMANN-RAUM Basierend auf den Christoffel-Symbolen werden wir in Abschnitt 4.4 noch eine weitere, aussagekräftigere Größe berechnen. 4.4 Paralleltransport Aus Abschnitt 4.2 ergibt sich unmittelbar die Frage nach einem quantitativen Maß für die Krümmung eines beliebigen Riemann-Raumes. Das Ergebnis, ob ein Raum gekrümmt ist oder nicht, sollte dabei unabhängig von den innerhalb des Raumes gewählten Koordinaten sein. Diese Eigenschaft wird durch Tensoren erfüllt. Aus den Transformationseigenschaften in (3.24) und (3.25) ergibt sich unmittelbar: Wenn in einem Koordinatensystem alle Komponenten eines Tensors null sind, so bleibt diese Eigenschaft unter Koordinatentransformation erhalten (vgl. Ryder 2009, S. 62). Kovariante Ableitung Um einen Begriff der Parallelität zu entwickeln, brauchen wir zunächst eine vom Koordinatensystem unabhängige Ableitung. Wir betrachten dazu ein Vektorfeld 33 V ( x). Die partielle Ableitung kann dies nicht leisten, denn es ist V µ x ν (4.8) = x ν (αµ λ V λ ) = V λ αµ λ x ν = V λ αµ λ x ν V λ + αµ λ x ν + αµ λ (4.5) = V λ αµ λ x + ν αµ λ V λ x κ x κ x ν V λ x α κ ν κ (4.40) und transformiert damit nicht wie ein Tensor zweiter Stufe. Nur bei koordinatenunabhängigen Transformationsmatrizen, so wie es im Minkowski-Raum noch der Fall war, fällt der erste Summand weg und es ergibt sich gerade das Transformationsgesetz für einen gemischten Tensor zweiter Stufe. Die nun folgende Argumentation stützt sich auf Kapitel 6.3 aus Göbel (2014). 33 Der Vektorpfeil ist im Sinne von (3.22) zu sehen. 38

45 4.4 Paralleltransport Lassen wir eine Krummlinigkeit der Koordinatenachsen zu, das heißt eine Abhängigkeit der Basisvektoren von den Koordinaten, so ergeben sich bei der partiellen Ableitung zwei Terme: V µ x = ( V e µ ) ν x ν = e µ V x ν + V e µ x ν. (4.41) Nur der erste Summand entspricht dabei der tatsächlichen Änderung des Vektorfeldes. Dieser ist unsere gesuchte kovariante Ableitung, die wir im Unterschied zur partiellen mit einem Semikolon kenntlich machen. Wir lösen die Gleichung auf nach V µ ;ν := e µ V x ν = V µ x ν V e µ x ν, (4.42) und unter Verwendung der Identität aus (4.30) ergibt sich V µ ;ν = V µ,ν + V Γ µ κν e κ (3.19) = V µ,ν + Γ µ κνv κ. (4.43) Analog lässt sich zeigen, dass V µ;ν = V µ,ν Γ κ µνv κ. (4.44) Es bleibt nachzuweisen, dass diese neuen Objekte tatsächlich die gewünschte Transformationseigenschaft eines gemischten Tensors zweiter Stufe besitzen. V µ ;ν V µ ;ν µ (4.43) V = (3.22) = x µ e V ν x ν µ V x µ e V ν x ν (4.8) = (αµ κ V κ ) V x (αµ κ e κ ) ν x ν = (αµ κ V κ ) x λ x λ x V (αµ κ e κ ) ν x λ (4.5) = α ν λ = α ν λ ( (α µ κ V κ ) V x (αµ κ e κ ) λ x λ ( V κ αµ κ x + λ αµ κ x λ x ν ) V κ x V e κ αµ κ λ x λ ) V α µ e κ κ x λ 39

46 4 RIEMANN-RAUM ( ) (3.19) λ = α ν V κ αµ κ x + V κ λ αµ κ x V κ αµ κ λ x V α µ e κ λ κ x ( ) λ λ = α ν α µ V κ κ x V α µ e κ λ κ x ( λ V = α λ ν α µ κ κ x V e ) κ λ x λ (4.43) = α ν λ α µ κ V κ ;λ (4.45) transformiert wie ein gemischter Tensor zweiter Stufe. Wir können damit eine weitere Eigenschaft des metrischen Tensors feststellen. Dazu betrachten wir dessen kovariante Ableitung, die sich für einen kovarianten Tensor höherer Stufe wie folgt verallgemeinert: g µν;λ = g µν,λ Γ κ µλ g κν Γ κ νλ g µκ (4.26) 1 1 = g µν,λ g κν 2 gκσ (g σµ,λ + g σλ,µ g µλ,σ ) g µκ 2 gκσ (g σν,λ + g σλ,ν g νλ,σ ) (4.11) = g µν,λ δν σ 1 2 (g σµ,λ + g σλ,µ g µλ,σ ) δµ σ 1 2 (g σν,λ + g σλ,ν g νλ,σ ) = g µν,λ 1 2 (g νµ,λ + g νλ,µ g µλ,ν ) 1 2 (g µν,λ + g µλ,ν g νλ,µ ) = 0, denn unter Beachtung der Symmetrie von g µν Schritt gegenseitig auf. (4.46) heben sich die Terme im letzten Beispiel Sphäre Zunächst müssen wir festlegen, was wir unter Parallelverschiebung eines Vektors verstehen, nämlich dass die kovariante Ableitung des Vektors an jedem Ort gerade null ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn wir den Vektor so verschieben, dass der Winkel konstant zu einer Geodäte ist. Im euklidischen Raum heißt das, der Winkel zu einer beliebigen Geraden ist konstant und entspricht unseren Erwartungen. Abb. 1 zeigt einen Ausschnitt des euklidischen Raumes. Der Startvektor wird entlang eines Kreisbogens von P nach Q verschoben. Der Winkel zur gestrichelt eingezeichneten Geodäte bleibt dabei konstant. Start- und Zielvektor sind identisch. Insbesondere gilt dies auch für eine Verschiebung entlang eines beliebigen 40

47 4.4 Paralleltransport Abbildung 1: Parallelverschiebung in der Ebene entlang eines Kreissektors (nach Fließbach 1995, Abb. 16.1) Abbildung 2: Parallelverschiebung auf der Einheitssphäre entlang eines geschlossenen Weges (nach Fließbach 1995, Abb. 16.1) geschlossenen Weges, wie zum Beispiel entlang des Kreises. Dagegen zeigt Abb. 2 eine Kugeloberfläche. Geodäten sind hier die Großkreise. Wir betrachten die Parallelverschiebung des Startvektors von P über Q und R wieder zu P. Der Wechsel der Geodäten, von dem die Parallelität unbeeinträchtigt bleibt, führt dazu, dass der Zielvektor gegenüber dem Startvektor um π gedreht ist (vgl. Fließbach 1995, 2 S. 102). Die Änderung eines Vektors bei Parallelverschiebung ist ein weiteres Kriterium für die Krümmung eines Raumes, welches wir nun quantitativ beschreiben werden. Riemann scher Krümmungstensor Beim Paralleltransport soll die tatsächliche Änderung, das heißt die kovariante Ableitung des zu transportierenden Vektors, null sein: V κ ;ν = 0 (4.43) V κ,ν = Γ κ ρνv ρ. (4.47) 41

48 4 RIEMANN-RAUM Abbildung 3: Paralleltransport in einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit (nach Schutz 1985, Abb. 6.5) Wir folgen Kapitel 6.5 in Schutz (1985) und betrachten einen infinitesimalen geschlossenen Weg ABCDA auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit mit A(a, b), B(a + δa, b), C(a + δa, b + δb), D(a, b + δb), wie dargestellt in Abb Ein Vektor V wird vom Punkt A aus parallelverschoben. Für die Komponenten in Punkt B gilt dann V κ (B) = V κ (A Start ) + B A V κ,1 dx 1 (4.47) = V κ (A Start ) x 2 =b Γ κ ρ1v ρ dx 1 (4.48) und analog für die anderen Wege unter Beachtung der Richtung, in der sie durchlaufen werden, 35 V κ (C) = V κ (B) x 1 =a+δa V κ (D) = V κ (C) + x 2 =b+δb V κ (A Ziel ) = V κ (D) + x 1 =a Γ κ ρ2v ρ dx 2, Γ κ ρ1v ρ dx 1, Γ κ ρ2v ρ dx 2. (4.49) 34 Eine allgemeine Herleitung befindet sich in (Landau und Lifshitz 1961, S. 247) und nutzt den Satz von Stokes. Zu Gunsten der Anschauung wählen wir hier das konkrete Beispiel. 35 Auf eine konkrete Parametrisierung der Wege wird hier der Übersichtlichkeit wegen verzichtet, sie gehen aus Abb. 3 hervor. 42

49 4.4 Paralleltransport Die Änderung δv κ ergibt sich aus der Differenz zwischen Ausgangs- und Endvektor durch sukzessives Einsetzen, δv κ = V κ (A Ziel ) V κ (A Start ) = Γ κ ρ2v ρ dx 2 Γ κ ρ2v ρ dx 2 + Γ κ ρ1v ρ dx 1 Γ κ ρ1v ρ dx 1 x 1 =a = + x 1 =a+δa x 2 =b+δb Γ κ ρ2v ρ dx 2 + x 2 =b Γ κ ρ1v ρ dx 1. (4.50) x 1 =a+δa x 1 =a x 2 =b+δb Wären die Christoffel-Symbole sowie die Komponenten V ρ des Vektors konstant, würden sich die Terme paarweise wegheben. Dem ist aber im Allgemeinen nicht so und darum ergibt sich in niedrigster Ordnung δv κ ( δa) b+δb b x 1 ( Γ κ ρ2 V ρ) dx 2 + (δb) a+δa a x 2 =b δa δb ( Γ κ x 1 ρ2 V ρ) + δb δa ( Γ κ x 2 ρ1 V ρ) [ = δaδb ( Γ κ x 1 ρ2 V ρ) + ( Γ κ x 2 ρ1 V ρ) ] x 2 ( Γ κ ρ1 V ρ) dx 1 = δaδb [( Γ κ ρ2,1 + Γ κ ρ1,2) V ρ Γ κ ρ2 V ρ,1 + Γ κ ρ1 V ρ,2]. (4.51) Bei der ersten Näherung wurde die Taylorreihe des Integranden in der jeweiligen Komponente um a bzw. b gebildet und alle Terme der Ordnung O(δa 2 ), O(δb 2 ) vernachlässigt. Für die zweite Näherung wurde der Integrand als konstant angenommen, was bis zur quadratischen Ordnung in kleinen Größen gerechtfertigt ist. Wir ersetzen nun die partielle Ableitung von V durch V ρ (4.47),ν = Γ ρ λν V λ. Damit ist δv κ δa δb [( Γ κ ρ2,1 + Γ κ ρ1,2 ) V ρ + Γ κ ρ2 Γ ρ λ1 V λ Γ κ ρ1 Γ ρ λ2 V λ] = δa δb [( Γ κ λ2,1 + Γ κ λ1,2) + Γ κ ρ2 Γ ρ λ1 Γκ ρ1 Γ ρ λ2] V λ. (4.52) Dabei entspricht das Produkt aus δa und δb gerade der vom Rundweg eingeschlossenen Fläche. Die spezifische Form resultiert aus der Wahl unseres Weges entlang der Koordinaten x 1 und x 2. Die Herleitung läuft analog für zwei beliebige Koordinatenrichtungen mit δa entlang x ν und δb entlang x µ mit den Ersetzungen 43

50 4 RIEMANN-RAUM 1 µ und 2 ν. Wir definieren die von dem Rundweg eingeschlossene Fläche A µν als antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe, sodass das Flächenstück eine Orientierung erhält. Damit erhalten wir allgemein δv κ = 1 [ 2 Aµν Γ κ λµ,ν Γ κ λν,µ + Γ κ ρν Γ ρ λµ Γκ ρµ Γλν] ρ V λ. (4.53) In unserem spezifischen Fall sind die Komponenten von A µν gegeben durch A 12 = δa δb und wegen der geforderten Antisymmetrie A 21 = δa δb. Die restlichen Komponenten sind null. Beachten wir zusätzlich die Antisymmetrie des Ausdruckes in den Klammern unter der Vertauschung µ ν erhalten wir gerade unsere spezifische Form aus (4.52). Dies führt zur Definition des Riemann schen Krümmungstensors R κ λµν = Γ κ λµ,ν Γ κ λν,µ + Γ κ ρν Γ ρ λµ Γκ ρµ Γ ρ λν (Riemann scher Krümmungstensor) (4.54) und der vom Pfad umschlossenen Fläche A νµ = δx µ δx ν. Damit ergibt sich (4.53) zu δv κ = 1 2 Rκ λµν V λ A νµ. (4.55) Da bei den positiven und negativen Beiträgen µ und ν jeweils gerade vertauscht sind, finden wir die Symmetrieeigenschaft R κ λµν = R κ λνµ. (4.56) Eine weitere Symmetrieeigenschaft, die wir benötigen werden, die sich aber nur aus der Berechnung des kovarianten Tensors direkt ergibt, ist die Antisymmetrie unter Vertauschung der ersten beiden Komponenten, R κλµν = R λκµν. (4.57) Eine Übersicht und Herleitung dieser und weiterer Symmetrieeigenschaften findet sich Kapitel 11.2 aus Grøn und Næss (2011). Waren die Christoffel-Symbole selbst noch keine Tensoren, so ist es jetzt der aus ihnen zusammengesetzte Riemann sche Krümmungstensor; da jeder andere Term 44

51 4.4 Paralleltransport des Audruckes (4.55) ein Tensor ist, ist auch der Riemann sche Krümmungstensor ein solcher und die Bezeichnung daher gerechtfertigt. In ihm haben wir ein quantitatives, koordinatenunabhängiges Maß für die Krümmung eines Raumes gefunden, welches nur von dessen Metrik bestimmt wird. Eine Riemann sche Mannigfaltigkeit ist genau dann flach, wenn die Änderung eines Vektors bei Parallelverschiebung entlang eines geschlossenen Weges gleich null ergibt. Das bedeutet, dass folgende Aussagen äquivalent sind (vgl. Misner u. a. 1973, S. 283): (i) R κ λµν = 0. (ii) Die Mannigfaltigkeit ist flach. (iii) Es gibt eine globale Transformation in kartesische Koordinaten. Beispiel euklidischer Raum Da im euklidischen Raum bereits alle Christoffel-Symbole null sind, verschwinden auch alle Komponenten des Riemann schen Krümmungstensors. Die Theorie ist also insofern konsistent, als dass sie für den euklidischen Raum die Flachheit impliziert. Die Tensoreigenschaft garantiert, dass dies auch für Kugelkoordinaten der Fall ist, der Rechenaufwand für den Nachweis wäre an dieser Stelle allerdings unverhältnismäßig. Beispiel Sphäre In (4.39) haben wir die von null verschiedenen Christoffel-Symbole Γ 1 22 = sin θ cos θ, Γ 2 12 = Γ 2 21 = cos θ (4.58) sin θ der Kugeloberfläche berechnet. Zur Berechnung des Riemann schen Krümmungstensors benötigen wir auch noch deren von null verschiedene partielle Ableitungen Γ 1 22,1 = cos 2 θ + sin 2 θ, Γ 2 12,1 = Γ 2 21,1 = 1 sin 2 θ. (4.59) Zum Nachweis, dass die Kugeloberfläche kein flacher Riemann-Raum ist, genügt nach der Äquivalenz von S. 45 eine von null verschiedene Komponente des Riemann schen Krümmungstensors. 45

52 4 RIEMANN-RAUM Beispielsweise ist R = Γ 2 11,2 Γ 2 12,1 + Γ 2 ρ2 Γ ρ 11 Γ 2 ρ1 Γ ρ 12 = Γ 2 11,2 Γ 2 12,1 + Γ 2 12 Γ 1 11 Γ 2 21 Γ 2 12 = Γ 2 12,1 Γ 2 21 Γ 2 12 = 1 sin 2 θ cos2 θ sin 2 θ 0 (4.60) eine solche Komponente. Genau diese Eigenschaft ist Ursache dafür, dass der geschlossene Weg aus Abb. 2 den Startvektor eben nicht in sich selbst überführt. 46

53 5 Allgemeine Relativitätstheorie Einstein strebte nach einer Erweiterung der SRT, die auch die Gravitation beschreiben sollte. Newtons klassische Mechanik beruht auf der Existenz von Inertialsystemen. Dies sind gerade die relativ zum Fixsternhimmel gleichförmig bewegten BS. Doch wie sähen die Gesetze der Mechanik in einem leeren Universum unter Abwesenheit solcher Fixsterne aus? Um sich von dieser Abhängigkeit zu lösen, führte Newton das Konzept des absoluten Raumes ein, der unabhängig von jeder Massenverteilung existieren sollte. Dieser Raum sei ausgezeichnet insofern, als dass genau in den relativ zu ihm beschleunigten Systemen Trägheitskräfte auftreten. Auch die SRT kann sich davon durch die Einschränkung auf IS nicht lösen. Dieses Konzept des absoluten Raumes wurde im späten 19. Jahrhundert als unzufriedenstellend kritisiert durch Ernst Mach, der davon überzeugt war, dass sämtliche Trägheitskräfte nur durch die Massenverteilung im Universum verursacht würden (vgl. Sharan 2009, S. 6). Von dieser Idee wurde Einstein entscheidend inspiriert und nennt sie in seiner 1918 erschienenen Arbeit Prinzipielles zur Allgemeinen Relativitätstheorie als eines von drei grundlegenden Prinzipien, denn dieser absolute Raum sei bloß eine fingierte Ursache, keine beobachtbare Tatsache (Einstein 1916, S. 771). Ein weiterer Konflikt zur SRT ist, dass die Newton sche Gravitationstheorie mit der Feldgleichung (5.27) ein Fernwirkungsgesetz ist. Veränderungen der Massendichte ρ an einer Stelle bewirken gleichzeitige Veränderungen des Feldes an allen anderen Stellen. Dies ist nicht vereinbar mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit als maximale Geschwindigkeit der Informationsübertragung. Aber auch alleine aus der nichtrelativistischen Struktur der Feldgleichung folgt schon, dass diese so nicht streng gültig sein kann. Eine Abänderung analog zur Feldgleichung der Elektrodynamik scheitert jedoch an zwei Stellen. 36 Während die elektrische Ladung ein Lorentz- Skalar ist, ist die bewegte Masse nicht invariant unter Lorentz-Transformationen, sondern transformiert selbst wie die 0-Komponente eines Vektors 37. Außerdem ist in dem Gravitationsfeld selbst Energie gespeichert, welche nach der Masse- 36 Die Aufstellung der kovarianten Maxwellgleichungen kann in Kapitel 18 aus Fließbach (2012) nachvollzogen werden. 37 Gemeint ist hier der Vierer-Impuls (vgl. Scheck 2007, Kap ). 47

54 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Energie-Äquivalenz 38 der SRT wieder eine Quelle des Feldes darstellt. Eine solche Rückkopplung tritt in der Elektrodynamik nicht auf (vgl. Fließbach 1995, S. 5). Mitte des 19. Jahrhunderts stieß die klassische Gravitationstheorie auch bei der Beschreibung der Planetenbahnen schließlich an ihre Grenzen. Urbain Le Verrier arbeitete zu dieser Zeit altes astronomisches Material auf und stieß bei der Bahn des Merkurs auf eine nicht zu erklärende Drehung des sonnennächsten Punktes, des Perihels. Diese betrug ca. 43 pro Jahrhundert. Alle bekannten Störgrößen waren dabei schon berücksichtigt. Aus Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie ging schließlich genau dieser zusätzliche Wert hervor, wie wir in Abschnitt 6.4 noch sehen werden (vgl. Einstein 1916, S. 822). Erneut hat Einstein mit seiner Theorie an den Grundfesten der damaligen Physik angesetzt und diese revolutioniert: Wenn irgendwo im Haus eine Tür nicht richtig schließt, kann man zweierlei machen. Man kann die Tür abhobeln oder Ringe in den Angeln unterlegen, man kann aber auch das ganze Haus mit Hilfe von Hydraulikpressen, die auf den Fundamenten aufsitzen, so lange anheben oder leicht kippen, bis die Tür wieder schließt (Epstein 1988, S. 38). 5.1 Äquivalenzprinzip Den im Folgenden dargestellten Gedankengang nennt Einstein selbst den glücklichsten Gedanken seines Lebens (Pais 1986, S. 175). Einstein-Kasten Wir betrachten einen Kasten in einem Stück leeren Weltraumes, so weit weg von massereichen Objekten, dass wir den Kasten selbst als kräftefrei annehmen können und er ein IS darstellt. Darin befinde sich eine mit Apparaten ausgestattete, schwerelose Person. Dieser Kasten werde nun von außen gleichförmig über einen in der Kastendecke eingelassenen Haken nach oben beschleunigt. Wie aber würde die Person im Inneren des Kastens den Vorgang beschreiben? Sie konstatiert eine nach unten gerichtete Trägheitskraft. Lässt sie einen Körper los, den sie vorher 38 Zur Vertiefung sei hier ebenfalls Kapitel aus Scheck (2007) empfohlen. 48

55 5.1 Äquivalenzprinzip in der Hand hatte, so wird die Beschleunigung des Kastens auf diesen nicht mehr übertragen und er nähert sich dem Kastenboden mit einer Relativbeschleunigung. Diese Beschleunigung wird für alle Körper dieselbe sein. Auf Grund ihrer Beobachtungen ist die Person berechtigt anzunehmen, sie befinde sich ruhend in einem homogenen, statischen Gravitationsfeld (vgl. Einstein 1918c, S. 54). Lässt man auch zeitlich veränderliche Gravitationsfelder zu, so können darauf auch ungleichförmige, geradlinige Beschleunigungen zurückgeführt werden. Eine Person, die einen Ruck durch einen bremsenden Eisenbahnwagen erfährt, merkt daran dessen ungleichförmige Bewegung, muss diese jedoch nicht auf eine tatsächliche Beschleunigung zurückführen. Sie ist berechtigt anzunehmen, der Wagen verharre im Zustand der Ruhe. Der Bahndamm habe eine ursprünglich rückwärts gerichtete Geschwindigkeit. Unter dem Einfluss eines nach vorne gerichteten, zeitlich veränderlichen Schwerefeldes jedoch, nähme die rückwärts gerichtete Geschwindigkeit des Bahndammes immer mehr ab. Dieses Schwerefeld sei auch die Ursache des gespürten Ruckes nach vorne. Achtung, der Zug selbst dient in diesem Fall nur zu Manifestation des BS, in welches wir ein KS legen können. Tatsächlich ist diese Aussage aber natürlich nicht an das Vorhandensein des Zuges als Materie gebunden. Wir können also annehmen, dass die Gravitationskraft auf unser BS selbst, d. h. auf den Zug, nicht wirkt (vgl. Einstein 1918c, S. 58). Analog zum speziellen Relativitätsprinzip, das sich auf die gleichförmige Bewegung beschränkt, ermöglicht diese Sichtweise eine Übertragung auf beschleunigte Bewegungen. Nach dem speziellen Relativitätsprinzip ist die Geschwindigkeit selbst relativ und nur die Relativgeschwindigkeit zu einem anderen gleichförmig bewegten System bestimmbar. Nach der vorangegangenen Argumentation am Beispiel des Zuges als geradlinig beschleunigtes Bezugssystem ist nun die Erweiterung zulässig, dass auch die Beschleunigung selbst relativ ist und nur die Relativbeschleunigung zu einem anderen System absolut bestimmbar (vgl. Treder 1968, S. 33). 49

56 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Schwere und träge Masse Hinter diesen Überlegungen steht eine fundamentale, notwendige Voraussetzung, nämlich die der Gleichheit von träger und schwerer Masse. 39 Schwaches Äquivalenzprinzip: Träge Masse und schwere Masse sind gleich. Die Gleichheit von träger und schwerer Masse ist Voraussetzung dafür, dass in einem Gravitationsfeld alle Gegenstände dieselbe Beschleunigung erfahren. Bestätigen wir dies noch einmal mit Hilfe der beiden relevanten Gleichungen, dem Newton schen Bewegungsgesetz und der Gravitationskraft im homogenen Schwerefeld auf der Erdoberfläche mit Ortsfaktor g, F = m träge a, dann erfährt der Körper die Beschleunigung F = m schwer g, (5.1) a = m schwer m träge g. (5.2) Versuche zur Bestätigung dieses Prinzips wurden schon von Newton über die Vermessung der Schwingungsperioden von Pendeln unternommen. Er konnte es bereits bis auf eine Genauigkeit von 10 3 bestätigen. Eine enorme Verbesserung konnte Eötvös mit einer Torsionswaage erzielen, sodass eine Genauigkeit in der Größenordnung möglich war (vgl. Eötvös 1890). Modernere Experimente diesen Typs erreichen eine Genauigkeit von (vgl. Adelberger u. a. 1990). Eine weitere Verschärfung der Obergrenze ist mit Hilfe von satellitengestützten Experimenten vorgesehen. Ein Beispiel hierfür ist die STEP-Mission (Satellite Test of the Equivalence Principle) (vgl. Overduin u. a. 2012). Die Messung der Relativbeschleunigungen im Orbit frei fallender Testkörper unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung soll zu einer erwarteten Genauigkeit von führen. Gäbe es auch nur einen Gegenstand, für den das schwache Äquivalenzprinzip nicht gälte, so würde sich seine Beschleunigung von den anderen unterscheiden und es 39 Es genügt bereits die Proportionalität von träger und schwerer Masse. Der Proportionalitätsfaktor wurde bei der Bestimmung der Gravitationskonstanten G aber implizit als 1 angenommen. 50

57 5.1 Äquivalenzprinzip würde unserer beobachtenden Person im Kasten dieser eine Gegenstand genügen, um gravitative von Trägheitskraft zu unterscheiden. Diese Tatsache ist keineswegs selbstverständlich. Einsteins Überlegungen verliehen diesem eigentümlichen, experimentell bestätigten Gesetz, dass in einem Gravitationsfeld alle Körper mit derselben Beschleunigung fallen, eine tiefe physikalische Bedeutung, nämlich die der lokalen Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation (vgl. Pais 1986, S. 175). Starkes Äquivalenzprinzip: An jedem Punkt innerhalb eines Gravitationsfeldes gibt es eine Koordinatentransformation in ein IS, sodass lokal die Gesetze der SRT ohne Gravitation gelten. Dies entspricht gerade der in (4.1) genannten Eigenschaft eines Riemann-Raumes. In Abschnitt 4.2 haben wir bereits an einem speziellen beschleunigten Bezugssystem, nämlich dem gleichmäßig rotierenden, gesehen, dass wir bei dessen Vermessung eine Krümmung feststellen würden. Die Äquivalenz von Beschleunigung und Gravitation legt nun nahe, dass auch Gravitation eine Raumkrümmung verursacht und rechtfertigt damit die mathematische Betrachtung des Riemann-Raumes zur Beschreibung der Allgemeinen Relativitätstheorie. Frei fallender Fahrstuhl Für das homogene Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche KS wollen wir diese Koordinatentransformation konkret angeben (vgl. Fließbach 1995, S. 59). Die Behauptung ist, dass ein frei fallendes, d.h. mit der konstanten Erdbeschleunigung g nach unten beschleunigtes BS KS ein IS ist. Ein solches BS kann beispielsweise durch einen frei fallenden Fahrstuhl realisiert werden. Die Koordinatentransformation in das frei fallende BS ist gegeben durch: r = r 1 2 g t2, t = t. (5.3) In KS gilt die Newton sche Bewegungsgleichung (2.3) mit Gravitationskraft auf der rechten Seite, m d2 r = m g. (5.4) dt2 51

58 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Die auftretenden Geschwindigkeiten seien nichtrelativistisch. Für die Bewegungsgleichung in KS ergibt sich unter Einsetzen der Transformation aus (5.3), m d2 r dt = m d2 2 dt ( r g t2 ) = m d2 r m g = m g m g = 0. (5.5) dt2 In KS treten also keine Gravitationskräfte mehr auf. Ein Teilchen im homogenen Gravitationsfeld der Erde bewegt sich in unserem frei fallenden BS kräftefrei. Wir haben eine Transformation in ein IS gefunden, in dem wir keine Effekte der Schwerkraft mehr haben und in dem die Gesetze der SRT gelten. In der Formulierung des starken Äquivalenzprinzips ist bereits angedeutet, dass diese Koordinatentransformation im Allgemeinen nur lokal möglich ist. Diesen Aspekt wollen wir noch einmal genauer beleuchten. 5.2 Lokales Inertialsystem Die Newton sche Bewegungsgleichung (2.3) gilt so nur in ISen. Damit sie auch in beschleunigten Bezugssystemen gilt, müssen wir auf der rechten Seite sogenannte Trägheitskräfte berücksichtigen. In einem gleichförmig rotierenden BS sind dies beispielsweise Zentrifugalkraft F Z = mrω 2 e r und Corioliskraft F C = 2 m v ω. Diese Scheinkräfte zeichnen sich durch folgende chrakteristische Merkmale aus, sie sind universell, das heißt sie wirken auf alle Körper (z. B. im Gegensatz zur Coulombkraft), sind proportional zur Masse, d.h. alle Körper erfahren dieselbe Beschleunigung, und können durch geeignete Koordinatentransformation in ein IS eliminiert werden. Die Gravitation nach Newton weist genau diese Eigenschaften auf, wie wir in Abschnitt 5.1 gesehen haben. Die dritte Eigenschaft dagegen gilt so nur für ein statisches, homogenes Gravitationsfeld. Das IS entspricht dann dem frei fallenden 52

59 5.2 Lokales Inertialsystem BS, das wir im letzten Abschnitt gefunden haben (vgl. Sharan 2009, S. 5). Charakteristisches Merkmal eines Gravitationsfeldes ist, dass es im Unendlichen verschwindet. In Nichtinertialsystemen auftretende Trägheitskräfte weisen diese Eigenschaft nicht auf. Die Zentrifugalkraft beispielsweise wächst mit zunehmender Entfernung vom Rotationszentrum über alle Grenzen. Ein Gravitationsfeld ist damit nicht global äquivalent zu einem beschleunigten BS (vgl. Landau und Lifshitz 1961, S. 245). Einstein selbst schreibt dazu: Natürlich kann man ein beliebiges Schwerefeld nicht durch einen Bewegungszustand eines Systems ohne Gravitation ersetzen, ebensowenig, als man durch eine Relativitätstransformation alle Punkte eines beliebig bewegten Mediums auf Ruhe transformieren kann (Einstein 1911, S. 899). Frei fallende BS auf zwei gegenüberliegenden Seiten der Erde fallen in entgegengesetzte Richtungen. Es gibt kein globales frei fallendes BS, welches immer noch starr ist, das heißt in welchem die Abstände je zweier Punkte zeitlich konstant sind. Eine Transformation in solch ein IS finden wir nur in Abhängigkeit von dem Ort und in einer hinreichend kleinen Umgebung, in der das Gravitationsfeld als homogen angenommen werden kann. Die Transformation gilt damit nur lokal. Durch Verkleinerung der Umgebung kann jedoch stets eine beliebige Genauigkeit im Rahmen der SRT erreicht werden (vgl. Plebański und Krasiński 2006, S. 126). Dieses IS nennen wir darum auch lokales IS (kurz LIS). Angemerkt sei noch, dass es natürlich unendlich viele solcher LIS in einem Punkt gibt. Sie unterscheiden sich in ihrer relativen Geschwindigkeit. Diese Transformation kann im Rahmen der SRT immer gemacht werden. Gemeinsam haben sie die relative Beschleunigung zur Erde (vgl. Schutz 1985, S. 123). Zur Verdeutlichung betrachten wir beispielsweise noch einmal den Kasten aus Abschnitt 5.1. Ist dieser sehr breit und betrachtet man zwei Teilchen an verschiedenen Enden, so wird man feststellen, dass sie sich einander im Gravitationsfeld auf Grund der Radialsymmetrie annähern. In diesem Effekt zeigt sich die Krümmung des Raumes. Wird der Kasten dagegen gleichmäßig nach oben beschleunigt, so tun sie das nicht. Auch würde man für die Beschleunigung am oberen und unteren Ende des Kastens in einem Gravitationsfeld verschiedene Werte bestimmen. 53

60 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Gravitationsfeld und gleichmäßige Beschleunigung sind nur lokal äquivalent. Die Transformation in das frei fallende BS muss in Richtung und Betrag der Beschleunigung in jedem Punkt angepasst werden (vgl. Ryder 2009, S. 8). Im LIS gelten dann die Gesetze der SRT ohne Gravitation, das heißt es gibt zu jedem Zeitpunkt ein KS, sodass der metrische Tensor bezüglich dieser Koordinaten gerade die Form η αβ annimmt. Streng genommen ist die Gravitationskraft in der ART nur noch eine Scheinkraft. Innerhalb des frei fallenden BS, welches zu jedem Zeitpunkt das LIS darstellt, ist die Bahnkurve eines kräftefreien Teilchens tatsächlich eine Gerade, was man sich z. B. an einem geworfenen Ball klarmachen kann. Ein solcher Ball bewegt sich zu jedem Zeitpunkt im LIS auf einer geraden Bahn. Da das LIS aber beschleunigt ist, ergibt sich im Endeffekt eine im Raum gekrümmte Wurfparabel (Beyvers und Krusch 2007, S. 249). Die Tatsache, dass die Transformation in ein LIS an jedem Punkt eine andere ist, impliziert, dass es kein globales KS mehr gibt, welches vor den anderen ausgezeichnet ist, indem die Naturgesetze dort eine besonders einfache Form annehmen. Für Einstein war die einzig logische Schlussfolgerung das Kovarianzprinzip 40 : Kovarianzprinzip: Die allgemeinen Naturgesetze sind durch Gleichungen auszudrücken, die für alle Koordinatensysteme gelten, d.h. die beliebigen Substitutionen gegenüber kovariant sind (vgl. Einstein 1916, S. 776). Mathematisch gesprochen bedeutet das, wir suchen nach Riemann-Tensorgleichungen. 5.3 Energie-Impuls-Tensor In der Allgemeinen Relativitätstheorie identifizieren wir also die Bewegungsgleichungen kräftefreier Teilchen mit den Geodäten der Raumzeit. Die Geodäten werden festgelegt durch die Komponenten des metrischen Tensors g µν. Dieser tritt also an die Stelle des Gravitationspotenzials der Newton schen Bewegungsgleichung und bestimmt die Bahnkurve eines Teilchens. Was uns für die Beschreibung 40 Einstein selbst schreibt: Von gewissen Beschränkungen, welche der Forderung der eindeutigen Zuordnung und derjenigen der Stetigkeit entsprechen, wollen wir hier nicht sprechen (Einstein 1916, S. 776). 54

61 5.3 Energie-Impuls-Tensor einer allgemeinen Gravitationstheorie noch fehlt, ist eine Feldgleichung, aus der sich die Komponenten des metrischen Tensors ergeben. In der klassischen Gravitationstheorie ist die Massendichte Quelle des Gravitationsfeldes. Am Beispiel von Staub finden wir in diesem Abschnitt eine tensorielle Größe, durch die die Massendichte ersetzt wird. Dabei folgen wir Kapitel aus Ryder (2009). Mit Staub meinen wir nicht-wechselwirkende Partikel. Dieser bewege sich mit der relativen Vierergeschwindigkeit u µ (x) aus (3.26) und habe in seinem Ruhesystem die Dichte ρ 0 = Ruhemasse. Aus Sicht des System, zu dem er sich relativ bewegt, beträgt Eigenvolumen seine Dichte dann ρ = ρ 0 γ 2. Aus diesen Größen definieren wir den Energie-Impuls Tensor für Staub, T µν := ρ 0 u µ u ν, (Energie-Impuls-Tensor) (5.6) einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe. Betrachten wir dessen Komponenten noch einmal in Matrixschreibweise: c 2 v 1 c v 2 c v 3 c {T µν } = ρ v 1 c (v 1 ) 2 v 1 v 2 v 1 v 3 v 2 c v 2 v 1 (v 2 ) 2 v 2 v 3. (5.7) v 3 c v 3 v 1 v 3 v 2 (v 3 ) 2 Wir betrachten in zwei Schritten die Divergenz T µν,ν des gefundenen Tensors. Sei zunächst µ = 0, dann ist T 0ν,ν = T 00,0 + T 0i,i = (ρ c2 ) + (ρ c vi ) x 0 x i (c ρ) = + c (ρ vi ) t x i = c ρ t + c i (ρ v i ). (5.8) 55

62 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Dies entspricht in der nichtrelativistischen Näherung, das heißt mit ρ ρ 0, gerade der linken Seite der aus der Hydrodynamik stammenden Kontinuitätsgleichung, multipliziert mit einem Faktor c, Sei nun µ = i, ρ t + (ρ v) = 0. (5.9) T iν,ν = T i0,0 + T ij,j = x (ρ c 0 vi ) + x (ρ j vi v j ) = t (ρ vi ) + v i (ρ vj ) x j = ρ vi t + ρ v j vi x j ρ + vi t + (ρ vj ) vi + ρ v j vi x j x. (5.10) j Für den nächsten Umformungsschritt nutzen wir die bereits hergeleitete Identität aus (5.9), die nach Umstellen einen Ausdruck für die partielle Ableitung des dritten Summanden liefert, T iν (5.9),ν = ρ vi ρ ρ vi + vi vi + ρ vj t t t x j = ρ vi vi + ρ vj ( t x j ) v i = ρ t + v ( v i ). (5.11) Dieser Term reduziert sich im nichtrelativistischen Fall gerade auf den ersten Summanden und entspricht dann gerade der linken Seite der Euler-Gleichung der Strömungsmechanik für eine einzelne Komponente v i im kräftefreien Fall, ( ) v i ρ t + ( v ) v i = 0. (5.12) Wir halten fest, dass sich aus den vier nichtrelativistischen Erhaltungsgleichungen T µν,ν = 0 schließen lässt In Kapitel 32 aus Fließbach (2015) werden die nichtrelativistischen Erhaltungsgleichungen hergeleitet und einfache Anwendungen diskutiert. 56

63 5.4 Bianchi-Identität und Einstein-Tensor Diese verallgemeinern wir zu den vier tensoriellen relativistischen Erhaltungsgleichungen für Energie und Impuls im kräftefreien Fall mit der kovarianten Ableitung zu T µν ;ν = 0 (5.13) und halten fest, dass die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors verschwindet. Darauf werden wir später noch zurückkommen. Im nichtrelativistischen Grenzfall gilt die Näherung (Fließbach 1995, S. 46): ρc {T µν } (5.14) Wir haben nicht-wechselwirkende Materie vorausgesetzt. Der Energie-Impuls-Tensor lässt sich auch allgemeiner für Flüssigkeiten, unter Beachtung des herrschenden Druckes, oder elektromagnetische Felder definieren. Zum Verständnis dieser Arbeit ist dies jedoch nicht notwendig. Eine Übersicht findet sich beispielsweise in Kapitel 5 aus Misner u. a. (1973). 5.4 Bianchi-Identität und Einstein-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor T µν ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe mit verschwindender Divergenz. Dieser sollte die Massendichte in der Feldgleichung ersetzen. Auf der anderen Seite der Gleichung muss ein Tensor stehen, der sich aus dem metrischen Tensor zusammensetzt und ein Maß für die Krümmung des Raumes durch die Energie-Massen-Verteilung darstellt. Um zu einer direkten Proportionalität zum Energie-Impuls-Tensor führen zu können, sollte auch dessen Divergenz verschwinden. Um einen solchen Tensor zu finden, brauchen wir noch einige weitere Tensoren, die mit dem Riemann schen Krümmungstensor zusammenhängen, sowie die wichtige Bianchi-Identität. Diese war Einstein lange unbekannt und war letztendlich der Schlüssel zum Erfolg. 57

64 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Ricci-Tensor und Ricci-Skalar Aus der Kontraktion des ersten und dritten Index des Riemann schen Krümmungstensors definieren wir einen neuen Tensor zweiter Stufe, den Ricci-Tensor R λν := R µ λµν (Ricci-Tensor) (5.15) und durch erneute Kontraktion den Ricci-Skalar: R := R ν ν (Ricci-Skalar). (5.16) Bianchi-Identität Bei der Herleitung der entscheidenden Bianchi-Identität orientieren wir uns an Kapitel 11.3 aus Grøn und Næss (2011). Wir wollen die Divergenz des Ricci- Tensors berechnen. Dazu brauchen wir zunächst die partiellen Ableitungen des Riemann-Tensors. Wir wählen die lokalen Minkowski-Koordinaten des LIS, sodass die Christoffel-Symbole selbst nach (4.1) verschwinden, da die partiellen Ableitungen des metrischen Tensors in Minkowski-Koordinaten null sind. Nur die Ableitungen der Christoffel-Symbole verbleiben. Für die partielle Ableitung des Riemann schen Krümmungstensors bedeutet das R κ σλµ,ν = Γ κ σλ,µν Γ κ σµ,λν. (5.17) Zyklisches Vertauschen von λ, µ, ν liefert zwei weitere Gleichungen. Addiert man diese drei Gleichungen, so heben sich die Terme paarweise auf, R κ σλµ,ν + R κ σνλ,µ + R κ σµν,λ = Γ κ σλ,µν Γ κ σµ,λν + Γ κ σν,λµ Γ κ σλ,νµ + Γ κ σµ,νλ Γ κ σν,µλ, (5.18) da die Differentiationsreihenfolge keine Rolle spielt. Wir erhalten die berühmte Bianchi-Identität R κ σλµ,ν + R κ σνλ,µ + R κ σµν,λ = 0. (5.19) 58

65 5.4 Bianchi-Identität und Einstein-Tensor Wenn ein Tensor in einem Koordinatensystem verschwindet, dann auch in allen anderen. Wir können also den Übergang machen zu kovarianten Ableitungen und das Komma durch ein Semikolon ersetzen, R κ σλµ;ν + R κ σνλ;µ + R κ σµν;λ = 0 (Bianchi-Identität). (5.20) Einstein-Tensor Möglicherweise ist der Ricci-Tensor ein geeigneter Kandidat für unseren gesuchten Krümmungstensor. Berechnen wir also dessen Divergenz. Aus (5.20) folgt mit der Kontraktion λ = κ : 0 = R κ σκλ;ν + R κ σνκ;λ + R κ σλν;κ (4.56) = R κ σκλ;ν R κ σκν;λ + R κ σλν;κ (5.15) = R σλ;ν R σν;λ + R κ σλν;κ, (5.21) wobei wir im zweiten Summanden die Antisymmetrie des Riemann-Tensors beachtet haben. Heben von σ und Kontraktion von σ mit λ liefert 0 = R σ λ;ν R σ ν;λ + R κσ λν;κ 0 = R σ σ;ν R σ ν;σ + R κσ σν;κ Zusammenfassen und Umstellen führt auf: (5.16)(4.57) = R ;ν R σ ν;σ R σκ σν;κ (5.15) = R ;ν R σ ν;σ R κ ν;κ. (5.22) R κ ν;κ = 1 2 R ;ν. (5.23) Die Divergenz des Ricci-Tensors verschwindet also nicht immer, sondern nur, wenn der Ricci-Skalar konstant ist. Wir gehen zurück zum Ausgangspunkt (5.22), 0 = R ;ν R σ ν;σ R κ ν;κ = δ ρ ν R ;ρ 2R ρ ν;ρ 59

66 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE = (δ ρ ν R 2 R ρ ν) ;ρ g λν 0 = (g λν δ ρ ν R 2 g λν R ρ ν) ;ρ = (g λρ R 2 R ρλ ) ;ρ ( 1 2 ) 0 = (R ρλ 1 2 gρλ R) ;ρ. (5.24) Bei der Multiplikation mit g λν im vierten Schritt nutzen wir aus, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors nach (4.46) null ist. Wir haben einen symmetrischen Krümmungstensor zweiter Stufe gefunden, dessen Divergenz verschwindet. Es handelt sich um den Einstein-Tensor: E ρλ := R ρλ 1 2 gρλ R (Einstein-Tensor). (5.25) 5.5 Einstein sche Feldgleichungen Damit lässt sich unmittelbar ein Ansatz für die relativistische Feldgleichung formulieren, die dem Anspruch des Kovarianzprinzips als Riemann-Tensor-Gleichung gerecht wird. Zunächst werden wir sehen, dass wir die Vakuumfeldgleichungen damit bereits gefunden haben. Vakuumfeldgleichungen Unser gefundener Ansatz für die Einstein schen Feldgleichungen lautet: E µν = κt µν, (5.26) beziehungsweise noch einmal ausgeschrieben: R µν 1 2 g µνr = κt µν, (5.27) mit einem noch zu bestimmenden Proportionalitätsfaktor κ. 60

67 5.5 Einstein sche Feldgleichungen Oft findet man die Feldgleichung noch in einer anderen Form. Dazu multiplizieren wir (5.27) mit g µν und setzen T := g µν T µν. Unter Beachtung von g µν g µν = δ µ µ = 4 ergibt sich g µν R µν 1 2 gµν g µν R = κ g µν T µν (4.13) (5.16) R µ µ 2R = κ T R 2 R = κt ( 1) R = κt. (5.28) Einsetzen in (5.27) liefert eine zu (5.5) äquivalente Form der Feldgleichungen, R µν = κ (T µν 1 2 g µν T ). (5.29) Die Vakuumfeldgleichungen haben wir damit bereits gefunden. Im Vakuum verschwinden alle Komponenten des Energie-Impuls-Tensors. Die Vakuumfeldgleichungen lauten R µν = 0. (5.30) Dies gilt an jedem Ort, an dem Vakuum vorliegt, was aber nicht bedeutet, dass es nicht an einem anderen Ort eine felderzeugende Masse gibt, die den Raum krümmt. Insbesondere impliziert der verschwindende Ricci-Tensor auch nicht, dass der Riemannsche Krümmungstensor ebenfalls null ist. Hier sein noch einmal die Analogie zur Elektrostatik aufgegriffen. Betrachten wir beispielsweise eine Punktladung im Koordinatenursprung, dann ist die Ladungsdichte durch ρ e ( r) = q δ( r) gegeben. Die Poisson-Gleichung Φ e = 4πρ e aus (2.8) ergibt für das elektrische Potenzial bei dieser Konfiguration die Lösung Φ( r) = q r. Auch in diesem Fall ist die Ladungsverteilung fast überall null (vgl. Fließbach 2012, Kap. 6). In Abschnitt 6.1 werden wir eine konkrete Lösung in Form der Komponenten des metrischen Tensors der Vakuumfeldgleichung bestimmen. Newton scher Grenzfall Eine weitere Forderung ist die des Übergangs in den Newton schen Grenzfall. Aus dieser Forderung erfolgt nun die Bestimmung des Proportionalitätsfaktors κ. Da- 61

68 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE bei folgen wir zunächst weiter den Darstellungen in Kapitel 12.6 aus Grøn und Næss (2011). Betrachten wir dazu ein zeitunabhängiges, schwaches Gravitationsfeld. Die Bewegung eines freien Teilchens erfolgt nach der Geodätengleichung (4.3). Da wir ein massebehaftetes Teilchen betrachten, können wir für die Parametrisierung der Kurve die Eigenzeit τ einsetzen, d 2 x µ dτ 2 + dx ν dx λ Γµ νλ dτ dτ = 0. (5.31) Das Teilchen sei außerdem momentan ruhend, d. h. dxj = 0 und dx0 = c dt, sowie dτ dτ dτ die Zeiten in diesem Moment synchronisiert dτ = dt. Dann finden wir für die momentane Beschleunigung in x j -Richtung a j = d2 x j dτ 2 = d2 x j (5.31) = Γ j dx ν dt 2 νλ dt dx λ dt = dx 0 Γj 00 dt = Γ j 00 c dt dt c dt dt = c2 Γ j 00. (5.32) Wir führen einen Tensor h µν (x) ein, der die Abweichung der Metrik von der flachen Minkowski-Metrik darstellen soll. Es soll gelten h µν (x) 1, da das Gravitationsfeld schwach ist. Zusätzlich machen wir die Annahme, dass h µν Diagonalgestalt hat, also h µν (x) = 0 für µ ν. Dann sind die Komponenten des metrischen Tensors gegeben durch 1 für µ = ν g µν = η µν + h µν (x), g µν = g µν 0 für µ ν dx 0 dt. (5.33) Das Christoffelsymbol aus (5.32) ist dann unter Beachtung der vorausgesetzten Zeitunabhängigkeit und Diagonalgestalt unserer Metrik Γ j 00 = 1 ( gµ0 2 gjµ x + g µ0 0 x g ) 00 0 x µ stat. = 1 2 gjµ g 00 x µ diag. = 1 g 2 gjj 00 x j (5.33) = (η 00 + h 00 ) η jj + h jj x j 62

69 5.5 Einstein sche Feldgleichungen = 1 1 h 00 2 η jj + h jj x j 1 h 00. (5.34) 2 x j Im letzten Schritt geht ein, dass η jj + h jj η jj = 1. Einsetzen in (5.32) liefert a j = c2 h 00. (5.35) 2 x j In Abhängigkeit vom Gravitationspotenzial Φ gilt außerdem nach (2.3), a j = Φ x j. (5.36) Vergleich mit (5.35) liefert nach Integration, wobei wir die Integrationskonstante gleich null setzen, den folgenden Zusammenhang: h 00 = 2 Φ c 2. (5.37) Dieser Term stellt gerade die Abweichung des metrischen Tensors g µν von η µν in der 00 Komponente dar. Wir blicken an dieser Stelle noch einmal zurück auf Abschnitt 4.2. Am konkreten Beispiel des rotierenden BS haben wir den Zusammenhang zwischen h 00 und dem Zentrifugalpotenzial in (4.17) bereits exemplarisch feststellen können. Nun ist es uns gelungen zu zeigen, dass ebendieser Zusammenhang im Allgemeinen für schwache, statische Felder gilt. Diese Identität aus (5.37) wird sich noch als zentral für unser weiteres Vorgehen erweisen. Unser Ziel ist es nun, die 00-Komponente beider Seiten der Feldgleichung aus (5.29) zu bestimmen. Wir folgen Kapitel aus Ryder (2009) und berechnen zunächst für die rechte Seite der Feldgleichung, T g 00 T = T g 00 g µν T µν (5.14) T g 00 g 00 T 00 (5.33) = T g 1 00 T 00 g 00 = T T 00 = 1 2 T 00 = ρc2 2, (5.38) 63

70 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE wobei im letzten Schritt die nichtrelativistische Näherung des Energie-Impuls- Tensors aus (5.14) einging. Zur Berechnung der linken Seite benötigen wir die Christoffel-Symbole. Dabei beschränken wir uns näherungsweise auf die Terme erster Ordnung in h. Die partiellen Ableitungen der η µν verschwinden in Γ κ (4.26) µν = 1 2 gκσ (g σµ,ν + g σν,µ g µν,σ ) (5.33) = 1 2 (ηκσ + h κσ ) (h σµ,ν + h σν,µ h µν,σ ) 1 2 ηκσ (h σµ,ν + h σν,µ h µν,σ ). (5.39) Für den Ricci-Tensor ergibt sich damit, ebenfalls in erster Ordnung in h, aus (4.54) mit Kontraktion µ = κ R κ λκν = R λν = Γ κ λκ,ν Γ κ λν,κ + Γ κ ρν Γ ρ λκ Γκ ρκ Γ ρ λν Γ κ λκ,ν Γ κ λν,κ (5.39) 1 2 ηκσ (h σλ,κν + h σκ,λν h λκ,σν ) 1 2 ηκσ (h σλ,νκ + h σν,λκ h λν,σκ ) = 1 2 ηκσ (h σκ,λν h λκ,σν h σν,λκ + h λν,σκ ). (5.40) Im letzten Schritt wurde beachtet, dass die partiellen Ableitungen kommutieren und sich die jeweils ersten Terme in der Klammer gegenseitig aufheben. Im statischen Fall ergibt sich: R 00 = 1 2 ηκσ (h σκ,00 h 0κ,σ0 h σ0,0κ + h 00,σκ ) stat. = 1 2 ηκσ h 00,σκ = 1 ( ) c 2 t 2 2 stat. = h 00 h 00 (5.37) = 1 c 2 2 Φ. (5.41) Wir betrachten nun also die Feldgleichungen aus (5.29) für µ = ν = 0 R 00 = κ (T g 00 T ) (5.42) 64

71 5.5 Einstein sche Feldgleichungen und setzen unsere Ergebnisse aus (5.38) und (5.41) für die beiden Seiten ein: 1 c 2 Φ = κ ρc Φ = κ ρc4 2. (5.43) Aus dem Vergleich mit der Newton schen Feldgleichung (2.3) lässt sich κ bestimmen zu κ = 8πG c 4. (5.44) Betrachten wir die Einstein schen Feldgleichungen nun noch einmal komplett: E µν = 8πG c 4 T µν (Einstein sche Feldgleichungen). (5.45) Da die auf beiden Seiten der Gleichung stehenden Tensoren symmetrisch sind, erhalten wir zehn Gleichungen für die einzelnen Komponenten. Wir würden also erwarten, dass die g µν bei Vorgabe geeigneter Randbedingungen vollständig festgelegt sind, da es genauso viele Unbekannte wie unabhängige Gleichungen gibt. Wie in Kapitel aus Rebhan (2012) erläutert ist, zeigt sich jedoch, dass sich für die Vakuumfeldgleichungen tatsächlich nur sechs voneinander unabhängige Gleichungen für die zehn Komponenten des metrischen Tensors ergeben. Dahingegen ist die Anzahl der Unbekannten bei den Materie-Feldgleichungen auf 14 erhöht. Die zusätzlichen vier Unbekannten sind dabei die Dynamik der Materie beschreibende Größen, wie die Materiedichte ρ und die drei räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit. Diese sind enthalten in den vier Erhaltungsgleichungen (5.13), welche sich durch Hinzunahme der Bianchi-Identität aus den Feldgleichungen ergeben. In beiden Fällen, sowohl im Falle des Vakuums als auch für die Materiefeldgleichung, erhalten wir also ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit vier Freiheitsgraden. Daraus ergibt sich, dass der metrische Tensor nur bis auf eine Transformation mit vier Funktionen x µ = x µ (x) eindeutig festgelegt ist. Diese Tatsache ist es gerade, die die Freiheit der Wahl eines Koordinatensystems garantiert. Diese Freiheit muss durch die Kovarianz der Gleichung gegeben sein Vergleiche dazu auch (Einstein 1918a, S. 155). 65

72 5 ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE Bewegungsgl. nichtrelativistisch Newton: d 2 x dt 2 = Φ Geodäte: relativistisch d 2 x µ ds 2 + dx ν dx ρ Γµ νρ ds ds = 0 Vakuumfeldgl. Laplace: 2 Φ = 0 Einstein: R µν = 0 Materiefeldgl. Poisson: 2 Φ = 4πρ G Einstein: E µν = 8πG c 4 T µν Tabelle 2: Relativistische und nichtrelativistische Gravitationstheorie Einstein führte auf der linken Seite zunächst noch einen Zusatzterm Λg µν ein (Einstein 1918b, S. 243). Das sollte er später aber als größten Schnitzer seines Lebens bezeichnen. Die kosmologische Konstante Λ hielt er für notwendig, da er von einer statischen, homogenen Materieverteilung im Universum ausging. Diese Vorstellung musste er verwerfen, nachdem Edwin Hubble die Fluchtgeschwindigkeiten der Galaxien entdeckte (vgl. Schröder 2002, Kap. 7.4). Den physikalischen Inhalt dieser Gleichungen brachte John Archibald Wheeler auf den Punkt, in seinem berühmten Zitat: Matter tells space how to curve, and space tells matter how to move. (Ryder 2009, S. 146) Als Abschluss dieses Kapitels liefert Tab. 2 eine Übersicht über nichtrelativistische und relativistische Gravitationstheorie im direkten Vergleich. 66

73 6 Schwarzschild-Lösung und klassische Tests Der Astronom Karl Schwarzschild fand 1916 die erste exakte Lösung der Feldgleichungen für ein Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen Massenverteilung. Diese Lösung wurde später auch nach ihm benannt. Sie ersetzt damit 250 Jahre nach Newton dessen Bewegungsgesetz für die Planeten des Sonnensystems. Es ergeben sich aus der Einstein schen Theorie drei relativistische Effekte, die über die bis dahin bekannte Gravitationstheorie hinausgingen: Die Rotverschiebung der Spektrallinien im Gravitationsfeld. Ein im Vergleich zu früheren Rechnungen doppelt so großer Wert für die Lichtablenkung. Zusätzliche 43, die das Perihel des Merkurs pro Jahrhundert vorrückt. Diese drei klassischen Tests wollen wir in diesem Kapitel erarbeiten (vgl. Schröder 2002, S. 14). 6.1 Schwarzschild-Metrik In diesem Abschnitt wollen wir die exakte Lösung Karl Schwarzschilds der Vakuumfeldgleichungen R µν = 0 nachvollziehen, wobei wir uns an Kapitel 5.3 aus Ryder (2009) orientieren. Mit Lösung meinen wir einen metrischen Tensor g µν, der diese Gleichung erfüllt und die Krümmung der Raumzeit bestimmt. Als Ursache für die Krümmung der Raumzeit nehmen wir dabei einen kugelsymmetrischen, statischen Körper an, so wie unsere Sonne ihn näherungsweise darstellt. Wegen der geforderten Symmetrie bietet sich die Bestimmung des metrischen Tensors in Kugelkoordinaten an, sodass wir annehmen können, dass die Komponenten lediglich von der räumlichen Koordinate r abhängig sind. Eine Abhängigkeit von der Zeit ist durch die statische Voraussetzung bereits ausgeschlossen. Aus der zeitlichen Unabhängigkeit ergibt sich, dass die gemischten Komponenten g 0i ebenfalls verschwinden müssen, da sonst keine Invarianz des Wegelementes unter Zeitumkehr gälte. 67

74 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Als Verallgemeinerung des Wegelementes des Minkowski-Raumes mit dem metrischen Tensor aus (3.15), machen wir den Ansatz ds 2 = e 2 ν(r) c 2 dt 2 e 2 λ(r) dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θ dϕ 2. (6.1) Dieser erfüllt die geforderten Bedingungen. Später werden sich die Setzungen noch als nützlich erweisen. In seiner kovarianten und kontravarianten Schreibweise lesen wir den metrischen Tensor ab e 2ν(r) g µν = 0 e 2λ(r) r 2 0, r 2 sin 2 θ e 2ν(r) g µν = 0 e 2λ(r) r 2. (6.2) r 2 sin 2 θ Die beiden Funktionen ν(r) und λ(r) sind noch aus den Vakuum- Feldgleichungen (5.30) zu bestimmen. Auf den Fall r = 0 werden wir bei einer rückblickenden Diskussion der Ergebnisse noch zurückkommen. Die Berechnung der Komponenten des Ricci-Tensors aus dem metrischen Tensor ist recht umfangreich und kann im Anhang A.2 nachvollzogen werden. Das zu lösende unabhängige Gleichungssystem aus den Komponenten des Ricci- Tensors lautet demnach: ( ) I) R 00 = e 2ν(r) 2λ(r) ν (r) + ν (r) 2 ν (r)λ (r) + 2ν (r) = 0, (6.3) r II) R 11 = ν (r) + ν (r)λ (r) + 2λ (r) ν (r) 2 = 0, r (6.4) III) R 22 = ( 1 rν (r) + rλ (r))e 2λ(r) + 1 = 0. (6.5) Gleichung I) wird durch e 2ν(r) 2λ(r) 0 geteilt und zu Gleichung II) addiert. Es eliminieren sich alle Terme gegenseitig, bis auf 2λ (r) r + 2ν (r) r = 0 r 0 λ(r) + ν(r) = konst. (6.6) 68

75 6.1 Schwarzschild-Metrik Aus der Forderung des Übergangs in den metrischen Tensor des Minkowski-Raumes in Kugelkoordinaten aus (3.15) folgt für r und damit für (6.6), lim ν(r) = lim λ(r) = 0 (6.7) r r Gleichung III) ergibt mit dieser Identität: λ(r) + ν(r) = 0 λ(r) = ν(r). (6.8) 0 = ( 1 rν (r) + rλ (r)) e 2λ(r) + 1 (6.8) = ( 1 rν (r) rν (r)) e 2ν(r) = (1 + 2 r ν ) e 2ν(r) = (r e 2ν(r) ) r r S = r e 2ν(r) (6.9) mit Integrationskonstante r S. Teilen durch r führt schließlich auf e 2ν(r) = 1 r S r. (6.10) Damit kennen wir nun unser Linienelement aus (6.1): ( ds 2 = 1 r ) ( S c 2 dt 2 1 r ) 1 S dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ). (6.11) r r Die Integrationskonstante r S bestimmen wir noch aus dem Newton schen Grenzfall. Es ist h 00 = r S gerade die Abweichung der 00-Komponente des metrischen r Tensors von derjenigen der Minkowski-Metrik. In der Approximation für schwache Felder gilt für diese Abweichung gerade die Identität aus (5.37), r S r = 2 Φ c 2 (6.12) ei- mit dem radialsymmetrischen Newton schen Gravitationspotenzial Φ = G M r ner kugelsymmetrischen Massenverteilung, r S r = 2 G M r c 2 r S = 2 G M c 2. (6.13) 69

76 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Diese Größe nennen wir den Schwarzschild-Radius r S. Für die Sonne ergibt sich mit M Sonne = kg der Schwarzschild-Radius r S,Sonne = 2 G M Sonne c 2 3 km. (6.14) Bei der Schwarzschild-Metrik handelt es sich um eine der wenigen, einfachen exakten Lösungen der Einstein schen Feldgleichungen. 43 Für r geht die durch die Schwarzschild-Metrik gekrümmte Raumzeit in den Minkowski-Raum über. Das heißt, in hinreichend großer Entfernung von felderzeugenden Massen ist die Raumzeit annähernd flach. Wir werden sehen, dass diese Metrik kleine Korrekturen für die Vorhersagen zu Bewegungen im Gravitationsfeld aus der Newton schen Theorie mit sich bringt. Schwarzschild-Radius als Ereignishorizont Die Form des Wegelementes aus (6.11) legt folgende Frage nahe: Was passiert für r gegen r S? Zunächst einmal sei erwähnt, dass in den meisten Fällen der Schwarzschild-Radius r S weit innerhalb der Masse liegt, so wie es nach (6.14) auch für die Sonne mit geometrischem Radius R Sonne = km der Fall ist. Für diesen Bereich besitzen unsere Vakuumfeldgleichungen aber gar keine Gültigkeit mehr. Das Problem wird real für sehr massereiche, kollabierende 44 Sterne, bei denen das Verhältnis von Masse zu Radius so groß ist, dass r S > R außerhalb des Körpers im Vakuum liegt. Zunächst einmal handelt es sich bei der Stelle aber zunächst nur um eine mathematische Koordinatensingularität. So weist auch die 22-Komponente des kovarianten metrischen Tensors der Sphäre in (4.38) für θ {0, π} gerade an Nord- und Südpol eine Singularität auf, obwohl diese Stellen der Sphäre nicht ausgezeichnet gegenüber den anderen sind. Durch eine Transformation in andere Koordinaten lässt sich diese Singularität beheben. Um eine echte Singularität handelt es sich dagegen bei dem Punkt r = 0 (vgl. Ryder 2009, 43 Eine weitere stellt die Kerr-Metrik für rotierende, ungeladene schwarze Löcher dar, siehe dazu beispielsweise Box 33.2 aus Misner u. a. (1973). 44 Da wir außer der Kugelsymmetrie keine Anforderungen an die Massenverteilung selbst gestellt haben, ist der statische Ansatz auch in diesem Fall gerechtfertigt. Dafür muss der Kollaps symmetrisch geschehen sowie Zentrum und Gesamtmasse der Verteilung erhalten bleiben. Der Bereich, in dem die Schwarzschild-Metrik gültig ist, vergrößert sich dabei. 70

77 6.2 Rotverschiebung S. 150). Physikalisch kommt dem Schwarzschild-Radius dennoch eine besondere Bedeutung als Ereignishorizont zu. Was geschieht denn nun tatsächlich, wenn ein Teilchen diesen Radius passiert? Dazu studiert man die Geodäte eines massiven, radial auf den Ursprung zufallenden Teilchens aus dem mitbewegten BS und einem im Zentrum der Massenverteilung ruhenden BS. 45 Es ergeben sich drei erstaunliche Resultate: Das fallende Teilchen erreicht den Mittelpunkt der Massenverteilung nach endlicher Eigenzeit. Aus Sicht eines bei r > r S ruhenden Beobachters erreicht es den Schwarzschild- Radius erst nach unendlich langer Zeit. Lichtstrahlen oder auch Partikeln ist es nicht möglich, den Bereich innerhalb des Schwarzschild-Radius nach außen hin zu verlassen. Damit haben wir ein Modell für ein schwarzes Loch gefunden, eine kugelsymmetrische Massenverteilung, die so dicht ist, dass deren Schwarzschild-Radius größer ist als ihr geometrischer Radius. Ein Beobachter von außerhalb wird niemals eine Information aus dem Bereich jenseits des Schwarzschild-Radius erhalten können. Man kann sich dem Schwarzschild-Radius zwar von außen nähern, die lokale Darstellung (6.11) verliert aber ihre Gültigkeit, wenn man r zu Werten kleiner als r S fortsetzt. Eine Fortsetzung in diesen Bereich ist durchaus möglich, es zeigt sich aber, dass dabei die Rollen der Radius- und der Zeitvariablen vertauscht werden, sodass aus der statischen Lösung eine nichtstatische wird. Die Diskussion ist allerdings nicht trivial und es ist die bereits angesprochene Transformation in andere Koordinaten notwendig (vgl. Scheck 2010, Kap , 6.7) Rotverschiebung In diesem Abschnitt folgen wir Kapitel 5.5 aus Ryder (2009). Das Wegelement der Schwarzschild-Metrik aus (6.11) ist unabhängig von x 0 = c t. Den Parameter t nennen wir Weltzeit. Wir betrachten das Wegelement zwischen zwei Ereignissen 45 Für die entsprechenden Berechnungen sei verwiesen auf Kapitel in Scheck (2010). 46 Es eignen sich die Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Siehe dazu Maier (2015) sowie Kapitel 31.4 und 31.5 in Misner u. a. (1973). 71

78 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS an demselben Punkt der Raumzeit (dx i = 0) im lokalen IS mit Eigenzeit τ und in der Raumzeit mit Weltzeit t: ds 2 = c 2 dτ 2! = g 00 c 2 dt 2 = ds 2. (6.15) Dabei ist g µν der metrische Tensor der Schwarzschild-Metrik, d. h. nach (6.11) insbesondere ( g 00 (r) = 1 r S r ) < 1. (6.16) Auflösen von (6.15) nach dτ > 0 und Einsetzen von (6.16) ergibt dτ(r) = g 00 (r) dt < dt. (6.17) Wir halten fest, die Zeit im Gravitationsfeld vergeht langsamer. Insbesondere ist auch dτ(r 1 ) < dτ(r 2 ) für r 1 < r 2. Das heißt je geringer der Abstand zur felderzeugenden Masse, desto langsamer vergeht die Zeit. Das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist damit auch nur noch im LIS gültig. 47 Von außerhalb des Gravitationsfeldes betrachtet, ist die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld dagegen geringer. 48 Wie können wir nachweisen, dass dieser Effekt tatsächlich auftritt? Wir betrachten einen physikalischen Vorgang, der eine feste Zeit 49 benötigt, zum Beispiel die Periodendauer des emittierten Lichts bei einem atomaren Übergang. Das Licht werde bei r 2 emittiert und bei r 1 > r 2 gemessen. 50 Es sei t 2 die vergangene Weltzeitspanne zwischen zwei ausgesandten Wellenbergen im Punkt r In (6.15) ist c auf der linken Seite als Lichtgeschwindigkeit im LIS zu sehen. In der Schwarzschild-Metrik auf der rechten Seite tritt es tatsächlich auch nur als konstanter Faktor auf, der nicht gleichzusetzen ist mit einer global gesehen konstanten Lichtgeschwindigkeit (vgl. Boblest u. a. 2016, S. 249). 48 Ein direkter rechnerischer Nachweis findet sich in (Boblest u. a. 2016, S. 249). 49 Eine feste Zeit ist hier gemeint sowohl im Sinne von immer wieder dieselbe Zeit als auch in dem Sinne, dass eine sich im Ruhesystem an demselben Ort befindliche Uhr immer dieselbe Zeit anzeigen würde. Eben deswegen wird sich die Anregung atomarer Übergänge auch bei Atomuhren zu Nutze gemacht. 50 Erst durch die verschiedenen Orte von Emission und Detektion ist ein Effekt messbar. Messungen an zwei verschiedenen Orten von je dort emittiertem Licht, würden keinen Unterschied ergeben, da auch die Messgeräte der Zeitdilatation unterliegen. 72

79 6.2 Rotverschiebung Da sich beide Wellenberge mit derselben Geschwindigkeit fortpflanzen, ist dies gleichzeitig die Weltzeitspanne, die zwischen der Registrierung der beiden Wellenberge am Ort r 1 vergeht. Wir können schreiben 1 (6.17) = dτ 2 = t 2 1 r S, ν 2 r 2 1 ν 1 = dτ 1 (6.17) = t 2 1 r S r 1. (6.18) Der Leser beachte den Faktor t 2, der in beiden Gleichungen identisch ist. Dabei ist ν 1 die Frequenz des von r 2 ausgesandten und bei r 1 gemessenen Lichtes und ν 2 die Frequenz des bei r 2 emittierten Lichts, wenn man es auch bei r 2 detektieren würde. Wegen der festen Zeitdauer des physikalischen Effekts, ist dies auch die Frequenz, die ein Beobachter in r 1 feststellt, wenn das Licht bei r 1 emittiert würde. Wir nutzen die lineare Approximation mit der Taylorreihe: 1 x 1 x und x 1 + x. Damit können wir das Frequenzverhältnis näherungsweise 2 berechnen: ( ν 1 = 1 r ) 1 ( S 1 r ) S ν 2 ( 1 + r S 2r r S 2 r 1 ( 1 ) ( 1 r S 2r ) 2 r 1 1 r 2 ) r 2. (6.19) Im letzten Schritt vernachlässigen wir den Term der Ordnung O( 1 r 1 r 2 ). Es gilt ν 1 < ν 2 für r 1 > r 2. Wir schreiben ν 1 =ν 2 + ν, wobei ν < 0 genau dann gilt, wenn die Frequenz rotverschoben ist. Das Vorzeichen ist damit ein Indikator für die Richtung der Verschiebung. Die relative Frequenzänderung sei ν Vergleich mit (6.19) liefert ν 1 = ν 2 + ν ν 2 ν 2 ν ν 2 = r S 2 ( 1 = 1 + ν ν 2. (6.20) r 1 1 r 2 ). (6.21) 73

80 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Sei nun r 2 = R Sonne = m der Radius der Sonne und r 1 der Abstand zur Erdoberfläche, das heißt es entspreche näherungsweise dem Abstand Erde-Sonne, r 1 = m. Wegen r 2 r 1 approximieren wir: ν ν 2 = r S,Sonne 2 R Sonne m m (6.22) Das negative Vorzeichen kennzeichnet die Verschiebung in Richtung des roten Spektrums, hin zu geringeren Frequenzen. Experimentelle Bestätigung Der Effekt ist nur sehr klein und nicht leicht zu messen. Erschwerend kommt hinzu, dass er überlagert wird durch den auftretenden Doppler-Effekt und die Aufweitung der Spektrallinien bei hohen Temperaturen. Tatsächlich haben Charles Fabry und Henri Buisson eine Rotverschiebung der Spektrallinien der entsprechenden Größenordnung bereits 1909 festgestellt, diese aber auf die Wirkung des Druckes in der absorbierenden Schicht zurückgeführt (vgl. Einstein 1911, S. 905). Deutlicher tritt die Verschiebung dagegen bei weißen Zwergen zutage. Deren Masse ist ähnlich groß wie die der Sonne, während der Radius um einen Faktor 10 bis 100 kleiner ist. Die bei 40 Eridani B 51 beobachtete Verschiebung entsprach der vorhergesagten Größenordnung von (vgl. Popper 1954). Ein berühmtes Experiment, welches sehr präzise Messungen ermöglichte, wurde von Robert Pound und seinem Assistenten Glen Rebka durchgeführt (vgl. Pound und Rebka 1960). Sie wiesen den Effekt anhand von Gammaquanten im nahen Gravitationsfeld der Erde nach. Dazu sendeten sie diese vertikal über eine Distanz von h = 22.5 m in Richtung der Erdoberfläche. Wir passen unsere Formel aus (6.21), Kapitel 13.4 aus Grøn und Næss (2011) folgend, an diesen speziellen Fall an. Im Nahfeld der Erde erhalten wir mit r 1 = R Erde und r 2 = R Erde + h: ν = r ( ) S,Erde 1 1 ν 2 2 R Erde R Erde + h = r ( ) S,Erde h 2 RErde 2 + R Erde h Eridani B ist ein weißer Zwerg in einem 16 Lichtjahre von der Erde entfernten Dreifachsternsystem. Bekannter ist sein Nachbar 40 Eridani A aus Film und Fernsehen. In Star Trek ist er die Sonne von Spocks Heimatplaneten Vulkan. 74

81 r S,Erde Bewegungssgleichungen im Gravitationsfeld = h r S,Erde 2 R 2 Erde ( h R 2 Erde ) 22.5 m m 2 ( m) (6.23) Im zweiten Schritt nutzen wir aus, dass h R Erde. Der Versuch lieferte das experimentelle Ergebnis von ( ν ) ν 2 welches die Theorie bestätigte. exp = (2.57 ± 0.26) 10 15, (6.24) Wichtig ist es an dieser Stelle zu erwähnen, dass die experimentelle Bestätigung der Rotverschiebung allein noch keine Bestätigung der Struktur der Einstein schen Feldgleichungen darstellt, sondern im Wesentlichen nur auf dem Äquivalenzprinzip beruht. Eine Herleitung ausgehend von der Quantentheorie über die Energie E = hν eines Photons führt zu demselben Näherungsergebnis. Zu einer Bestätigung der Einstein schen Feldgleichung wird sie erst durch die Bestätigung der exakten Vorhersage aus (6.19) ohne die gemachten Näherungen. Dort gehen die Metrikkoeffizienten noch direkt ein (vgl. Rebhan 2012, S. 324). 6.3 Bewegungssgleichungen im Gravitationsfeld Die Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld der Sonne entsprechen den Geodätengleichungen der durch die Sonne erzeugten Schwarzschild-Metrik. Tatsächlich bewirkt natürlich jeder Körper selbst bei der Bewegung in der durch die Sonne erzeugten Schwarzschild-Metrik eine Veränderung der Metrik. Diese Veränderung soll jedoch vergleichsweise gering sein, sodass wir sie bei der nachfolgenden Diskussion vernachlässigen können. Dieses Vorgehen entspricht den Probeladungen in der Elektrodynamik. Bei der Aufstellung der Gleichung folgen wir Kapitel aus Göbel (2014). 75

82 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Mit der Metrik aus (6.11) und den bereits berechneten Christoffel-Symbolen aus (A.6) können wir die Geodätengleichungen nun konkret angeben. Dabei beachten wir den Zusammenhang d dr e 2ν =1 r S r 2 ν e 2ν = r S r 2 ν = r S 2 r 2 e 2ν = r ( S 1 r S 2 r 2 r ) 1. (6.25) Daraus ergeben sich als nichtverschwindende Christoffel-Symbole Γ 0 01 = Γ 0 10 = Γ 1 11 = ν (r) = r ( S 1 r ) 1 S, 2 r 2 r Γ 1 00 = ν (r) e 2ν(r) 2λ(r) = r S 2 r 2 e 2ν e 2ν(r) 2λ(r) = r ( S 1 r ) S, 2 r 2 r ( Γ 1 22 = Γ1 33 sin 2 θ = r e 2λ(r) = r 1 r ) S, r Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ 2 33 = sin θ cos θ, Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot θ. (6.26) Damit lassen sich die Geodätengleichungen für die einzelnen Komponenten nach (4.3) formulieren. Die Herleitung erfolgt zunächst für massebehaftete Teilchen. In diesem Fall wählen wir die Eigenzeit τ als Parameter der Geodätengleichung. Das bedeutet ẋ µ = dxµ. Für Licht müsste eine entsprechende Ersetzung τ λ zu dτ einem allgemeinen Parameter erfolgen. Betrachten wir die einzelnen Komponenten der Reihe nach. Zunächst gilt für die t-komponente 0 = ẍ 0 + Γ 0 µκ ẋ µ ẋ κ = c 2 ẗ + 2 r ( S 1 r ) 1 S c ṫ ṙ. (6.27) 2 r 2 r ( ) Multiplikation mit 1 c 1 r Sr liefert ( 0 = 1 r ) S c ẗ + r S r r ṫ ṙ 2 = d [( 1 r ) ] S c ṫ dτ r ( 1 r S r ) c ṫ =: k = konst. 76

83 6.3 Bewegungssgleichungen im Gravitationsfeld ṫ = k ( 1 r ) 1 S. (6.28) c r In der Erhaltungsgröße k steckt die Energieerhaltung. Für die θ-komponente: 0 = ẍ 2 + Γ 2 µκ ẋ µ ẋ κ = θ r ṙ θ sin θ cos θ ϕ 2. (6.29) Offensichtlich wird (6.29) gelöst durch θ = π 2, (6.30) das heißt, die Bahn liegt für diesen Fall in der Äquatorebene des Koordinatensystems, welches wir an dieser Stelle geschickt gewählt haben, sodass sich die weiteren Rechenschritte vereinfachen werden. Für die ϕ-komponente: 0 = ẍ 3 + Γ 3 µκ ẋ µ ẋ κ = ϕ r ṙ ϕ + 2 cot θ θ ϕ (6.30) = ϕ r ṙ ϕ r 2 0 = r 2 ϕ + 2 r ṙ ϕ = d dτ (r2 ϕ) r 2 ϕ = : h = konst. ϕ = h r. (6.31) 2 In der Erhaltungsgröße h steckt die Drehimpulserhaltung. Und schließlich für die r-komponente: Anstatt die r-komponente der Geodätengleichung auszuwerten, verwenden wir die Randbedingung für massebehaftete Teilchen. Aus dem Wegelement im Ruhesystem und dessen Invarianz erhalten wir c 2 dτ 2 = g µν dx µ dx ν c 2 = g µν ẋ µ ẋ ν. (6.32) 77

84 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Für Licht stünde auf der linken Seite der Gleichung eine null. Unter Beachtung von θ = π ergibt sich also mit den Komponenten des metrischen Tensors der 2 Schwarzschild-Metrik aus (6.11) ( c 2 = + 1 r ) ( S c 2 ṫ 2 1 r ) 1 S r r ṙ2 r 2 ϕ 2 ( c2 ϕ = 1 r ) S c 2 ṫ 2 1 ϕ ( 2 r 1 r ) 1 S 1 ϕ ṙ2 2 r 2 r2. (6.33) Ausdrücken von ϕ und ṫ durch die beiden Erhaltungsgrößen aus (6.28) und (6.31) liefert c 2 r 4 ( = 1 r S h 2 r ) ( k 2 1 r S r ) 2 r 4 h 2 ( Wir nutzen, dass nach der Kettenregel gilt ṙ = dr dϕ 1 r ) 1 S ṙ 2 r ϕ 2 r2. (6.34) ϕ und damit c 2 r 4 ( = 1 r ) ( S k 2 1 r ) 2 S r 4 ( h 2 r r h 1 r ) ( ) 1 2 S dr 2 r dϕ ϕ 1 ϕ 2 r2 ( = k 2 1 r ) 1 S r 4 ( r h 1 r ) ( ) 1 2 S dr r 2 2 r dϕ ( c2 1 r ) S = k2 h 2 r h 1 ( ) 2 dr 1 ( 1 r ) S 2 r 4 dϕ r 2 r 0 = k2 h 1 ( ) 2 dr 1 ( 1 r ) ( S c2 1 r ) S 2 r 4 dϕ r 2 r h 2 r = k2 h 1 ( ) 2 dr 1 ( 1 r ) ( ) S 1 + c2 r 2. (6.35) 2 r 4 dϕ r 2 r h 2 ) 2 [ ) ] Ersetze 1 2 dr durch : r 4 ( dϕ d dϕ ( 1 r [ 0 = k2 d h 2 dϕ ( )] ( r r 2 1 r ) ( ) S 1 + c2 r 2. (6.36) r h 2 An dieser Stelle setzen wir u(r) := 1 und meinen mit r u = du : dϕ ) 0 = k2 h 2 (u ) 2 u 2 (1 r S u) (1 + c2 u 2 h 2 = k2 h 2 (u ) 2 u 2 + u 3 r S c2 h + r S u c 2 2 h 2 (u ) 2 + u 2 = k2 c 2 + u r S c 2 + u 3 r h 2 h 2 S. (6.37) 78

85 6.4 Periheldrehung Wir differenzieren die Gleichung nach ϕ, 2 u u + 2 u u = u r S c r h 2 S u 2 u :u u + u = r S c 2 2 h r S u 2, (6.38) für u 0, ansonsten erhalten wir die Bewegung auf einer Kreisbahn. Setzen wir noch und schreiben damit A = r S c 2 2 h 2 (6.39) u + u A = 3 2 r S u 2, (6.40) haben wir nun die notwendigen Voraussetzungen geschaffen, um zwei weitere Vorhersagen auf Grundlage der ART zu treffen. 6.4 Periheldrehung Nachdem Johannes Kepler die Gesetze der Planetenbewegung 52 empirisch bestimmt hatte, manifestierten diese sich nach der Newton schen Gravitationstheorie in der Bewegungsgleichung u + u A = 0, (6.41) wobei u(r) = 1 ist und r u die Ableitung nach ϕ darstellt und A analog zu vorangegangenem Abschnitt definiert ist. 53 Diese DGL wird gelöst durch die Kegelschnitte u 0 = A [1 + ε cos(ϕ ϕ 0 )], (6.42) wobei ε für den Fall 0 < ε < 1 die Exzentrizität einer Ellipse beschreibt, deren sonnennächster Punkt, das Perihel, bei ϕ = ϕ 0 liegt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass ϕ 0 = 0 ist. 52 In Kapitel aus Scheck (2007) sind diese sehr ausführlich erläutert. 53 Eine knappe Herleitung mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung findet sich zu Beginn des Kapitels 9.1 in Schröder (2002). 79

86 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Unsere in der ART gefundene DGL (6.40) unterscheidet sich nur in einem Störterm A ɛ (u) = 3 2 r S u 2 (6.43) von der Newton schen DGL aus (6.41). In nullter Näherung ergibt sich also gerade die Newton sche Lösung. Exakt werden wir die neue DGL aber auch nicht lösen. Wir bedienen uns der Variationstheorie, orientiert an Kapitel 9 aus Schröder (2002). Der zusätzliche Störterm sollte nur eine verhältnismäßig geringe Veränderung verursachen. Darum soll auch die Newton sche Lösung u 0 der homogenen DGL nur geringfügig gestört werden zu u 0 + u ɛ, um eine Lösung der inhomogenen DGL darzustellen. Um anzudeuten, dass es sich um kleine Störterme handelt, sind diese mit ɛ indiziert. Dieses ist nicht zu verwechseln mit der Exzentrizität ε der Ellipsenbahn. Wir setzen unseren Lösungsansatz in die neue DGL ein, A ɛ (u 0 + u ɛ ) = (u 0 + u ɛ ) + (u 0 + u ɛ ) A = u 0 + u 0 A + u ɛ + u ɛ = u ɛ + u ɛ. (6.44) Im ersten Schritt haben wir ausgenutzt, dass u 0 (6.41) erfüllt. Da sowohl A ɛ als auch u ɛ als kleine Störterme angenommen werden, vernachlässigen wir auf der linken Seite in erster Näherung den Störterm des Argumentes: mit u 0 aus (6.42) und A ɛ aus (6.43), u ɛ + u ɛ A ɛ (u 0 ) (6.45) u ɛ + u ɛ 3 2 r S A 2 [1 + ε cos(ϕ)] 2 r S = 3 2 r S A 2 [ ε cos(ϕ) + ε 2 cos 2 (ϕ) ] 3 2 r S A 2 [1 + 2 ε cos(ϕ)], (6.46) wobei wir in einer weiteren Näherung den Term der Ordnung O(ε 2 ) vernachlässigen, da die auftretenden Exzentrizitäten der Planeten nur sehr klein sind. Ebenfalls absehen können wir von dem konstanten Summanden, da er nur die Konstante A etwas verändert, aber keinen interessanten beobachtbaren Effekt hervorruft. Wir 80

87 6.4 Periheldrehung erhalten für die partikuläre Lösung folgende DGL: u ɛ + u ɛ = 3 r S A 2 ε cos(ϕ). (6.47) Man verifiziere durch Einsetzen leicht, dass diese gelöst wird durch u ɛ = 3 2 A2 r S ε ϕ sin ϕ. (6.48) Betrachten wir noch einmal die vollständige Lösung der inhomogenen DGL u 0 + u ɛ = A [1 + ε cos ϕ] A2 r S ε ϕ sin ϕ [ = A 1 + ε cos ϕ + 3 ] 2 A r S ε ϕ sin ϕ. (6.49) Wir setzen ϕ 0 := 3 2 A r S ϕ (6.39) = 3 ( ) rs 2 2 c2 2 2 h ϕ (6.13) G M = 3 (6.50) 2 c h und können wegen ϕ 0 1 in (6.49) unter Verwendung der Kleinwinkelnäherungen sin ϕ 0 ϕ 0 und cos ϕ 0 1 schreiben: u 0 + u ɛ = A [1 + ε cos ϕ + ε ϕ 0 sin ϕ] A [1 + ε cos ϕ 0 cos ϕ + ε sin ϕ 0 sin ϕ] = A [1 + ε cos(ϕ ϕ 0 )] [ ( (6.50) = A 1 + ε cos ϕ 3 )] 2 A r S ϕ [ ( ( = A 1 + ε cos ϕ 1 3 ))] 2 A r S. (6.51) Im letzten Schritt wurde das Additionstheorem des Cosinus cos(α β) = cos α cos β+ sin α sin β angewandt. Das Argument des Cosinus ändert sich um 2 π genau dann, wenn ϕ sich um 2 π A r S 2 π ( A r S) (6.52) ändert. Dabei nutzen wir die geometrische Reihe 1 1 x = 1 + x + O(x2 ) für x = 3 2 A r S < 1. Die Abweichung von 2 π zeigt, dass die Lage des Perihels nach einem Umlauf um den Winkel ϕ = 2 π 3 2 A r S = 3 π A r S (6.53) 81

88 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS vorgerückt ist. Der Parameter A der Ellipsengleichung (6.42) steht mit der Exzentrizität ε und der Periheldistanz r min wie folgt in Beziehung: A = 1 r min (1 + ε) und damit ergibt sich schließlich die Periheldrehung in Parametern der Ellipse ϕ = (6.54) 3 π r S r min (1 + ε). (6.55) Experimentelle Bestätigung Für den Planeten Merkur ergibt sich mit den Parametern ε = 0.206, r min = m und 415 Umläufen eine Periheldrehung auf Grund des durch die Sonne erzeugten Gravitationsfeldes von ϕ Merkur = π m m ( ) (6.56) pro Erdjahrhundert. Vor Venus mit 8.6 und Erde mit 3.8 ist dies der größte Wert unseres Sonnensystems, weshalb die Abweichung bei Merkur auch sehr früh registriert worden ist. Bereits 1859 hat Urbain Le Verrier altes astronomisches Material aufgearbeitet und eine nicht erklärbare Differenz von für die Periheldrehung des Merkurs pro Jahrhundert gefunden. Bei dieser Abweichung waren bereits alle damals bekannten Störfaktoren berücksichtigt. Man misst für das Perihel Merkurs eine Drehung von ca pro Jahrhundert. Der größte Anteil lässt sich auf die Newton sche Theorie zurückführen. So entfallen 5025 auf die Präzession der Erdrotationsachse gegenüber den Fixsternen und weitere 532 lassen sich mit der Störung durch andere Planten erklären (vgl. Schröder 2002, Kap. 9.2). Verbleibt ein Rest von 43 pro Jahrhundert, der den Astronomen Kopfzerbrechen bereitet hatte. Verschiedene Varianten der Gravitationstheorie wurden entwickelt und ein neuer Planet vermutet, doch es gab keine befriedigende Erklärung. Erst die Einstein sche Theorie implizierte diesen Effekt, ohne weitere Zusatzannahmen auskommend. Die Periheldrehung des Merkurs gilt als deren erste experimentelle Bestätigung (vgl. Schmutzer 1996, Kap ). 82

89 6.5 Lichtablenkung 6.5 Lichtablenkung Zur Herleitung der Bahnkurve, die durch einen Lichstrahl beschrieben wird, können wir analog zu der der Planetenbahnen vorgehen, wobei wir uns an Kapitel 12.3 aus Göbel (2014) orientieren. Es müssen lediglich die in Abschnitt 6.3 bereits erwähnten Anpassungen vorgenommen werden. Die Änderung der linken Seite in (6.32) zu null bewirkt in der endgültigen DGL (6.40) das Wegfallen des Terms mit dem Faktor c 2. Für die zu lösende DGL bleibt im Falle des Lichtsstrahls noch mit A ε aus (6.43). Die homogene DGL wird gelöst durch mit Integrationskonstante r 0. Wir bedenken u = 1 r u + u = A ɛ (6.57) u + u = 0 (6.58) u 0 = cos ϕ r 0 (6.59) und finden r(ϕ) = r 0 cos ϕ. (6.60) Dies entspricht der Gleichung einer Geraden, die im Abstand r 0 vom Nullpunkt verläuft. Eine weitere Integrationskonstante ϕ 0 können wir wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit ϕ 0 = 0 setzen. Es sei noch angemerkt, dass in diesem Fall bei großen Abständen r für den Winkel ϕ ± π gilt. Für die inhomogene 2 DGL verwenden wir jetzt den Störungsansatz u = u 0 + u ɛ und setzen diesen ein in (6.57), A ɛ (u 0 + u ɛ ) = (u 0 + u ɛ ) + (u 0 + u ɛ ) = u 0 + u ɛ + u 0 + u ɛ = u ɛ + u ɛ. (6.61) Da sowohl A ɛ als auch u ɛ als kleine Störterme angenommen werden, vernachlässigen wir auf der linken Seite in erster Näherung den Störterm des Argumentes: A ɛ (u 0 ) u ɛ + u ɛ. (6.62) 83

90 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Mit der Definition von A ε aus (6.43) ergibt sich für die partikuläre Lösung folgende DGL: u ɛ + u ɛ 3 2 r S (u 0 ) 2 (6.59) = 3 2 r S ( ) 2 cos ϕ. (6.63) Durch Einsetzen verifiziere man, dass diese DGL gelöst wird durch r 0 u ɛ = r S (1 + sin 2 ϕ), (6.64) 2 r0 2 sodass sich unter Hinzunahme von (6.59) für die Gesamtlösung u von (6.57) ergibt: u = 1 cos ϕ + r S (1 + sin 2 ϕ). (6.65) r 0 2 r0 2 Wir untersuchen diese Gleichung für sehr große Radien r, das heißt Abstände von dem die Metrik erzeugenden Körper. Für r gilt u 0. Würde das Licht einer geraden Bahn folgen, so würde der Wert für ϕ gegen ± π streben. Wir nehmen eine 2 Abweichung α 1 von dem Grenzwert π an und bilden den Grenzwert von (6.65), 2 0 = 1 ( π ) cos r α + r ( S π )) (1 + sin 2 2 r α = 1 sin(α) + r S (1 + cos 2 (α)). (6.66) r 0 2 r0 2 Mit den Kleinwinkelnäherungen cos α 1 und sin α α lässt sich approximieren 0 = 1 α + r S (1 + 1) = α + r S r 0 2 r0 2 r 0 r0 2. (6.67) Zwischen tatsächlichem und scheinbarem Ursprungsort des Lichtes liegt ein Winkel von wie sich aus Abb. 4 ergibt. 2 α = 2 r S r 0, (6.68) Beispielhaft bestimmen wir diese Winkeldifferenz für einen Lichtstrahl, der unmittelbar die Oberfläche der Sonne streift, d. h. wir verwenden r min R Sonne m und deren Schwarzschild-Radius r S = 3.0 km. Dann ist 2 α 1.7. (6.69) 84

91 6.5 Lichtablenkung Abbildung 4: Lichtablenkung im Gravitationsfeld der Sonne (nach Schröder 2002, Abb. 12) Experimentelle Bestätigung Gerade die Hälfte dieses Wertes, nämlich 0.83, wurde von Einstein 1911 in seiner Veröffentlichung Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes vorhergesagt. Sein Artikel endet mit der eindringlichen Bitte: Es wäre dringend zu wünschen, dass sich Astronomen der hier aufgerollten Frage annehmen, auch wenn die im vorigen gegebenen Überlegungen ungenügend fundiert oder gar abenteuerlich erscheinen sollten (Einstein 1911, S. 908). Interessant ist, dass sich aus der Newton schen Theorie auch gerade der halbe Wert für die Lichtablenkung ergibt. Auf diesen stieß bereits Johannes Georg von Soldner im Jahr 1801 auf Basis einer mechanischen Korpuskeltheorie (vgl. Schmutzer 1996, S. 138). Er ergibt sich außerdem aus dem metrischen Tensor mit g 00 = 1+ 2 Φ c 2 und g ii = 1. Anders als bei der Schwarzschild-Lösung tritt nur in der Zeitkoordinate eine Krümmung auf, während die Raumkoordinaten unangetastet bleiben. Den korrekten Wert errechnete Einstein selbst erst, als die Feldgleichungen in ihrer endgültigen Form feststanden (vgl. Fließbach 1995, S. 179). Tatsächlich wurden anlässlich der Sonnenfinsternis 1919 von der Royal Astronomical Society Expeditionen nach Brasilien und Guinea unternommen. Eine Sonnenfinsternis ist notwendig, damit die Sterne überhaupt sichtbar sind. Ihre Position erschiene dann relativ zu den anderen Sternen um den Winkel 1.7 verschoben. 85

92 6 SCHWARZSCHILD-LÖSUNG UND KLASSISCHE TESTS Arthur Stanley Eddington, Leiter der Expedition nach Guinea, schrieb vor dem Aufbruch: Diese Finsternis-Expeditionen werden vielleicht zum ersten Mal das Gewicht von Licht nachweisen [den Newton schen Wert]; oder sie werden Einsteins sonderbare Theorie des nicht-euklidischen Raumes beweisen; [... ] (Pais 1986, S. 307). Tatsächlich trat Letzteres ein und die Ablenkung des von Fixsternen ausgesandten Lichtes, welches dicht an der verdunkelten Sonnenoberfläche vorbeiging, ergab einen Wert von 1.61 ±0.30. Es war dieser experimentelle Nachweis, mit dem Einstein letztendlich zur Berühmtheit wurde und auch in der Presse für Schlagzeilen sorgte (vgl. Pais 1986, S. 308). Moderne Messungen werden an Radiowellen durchgeführt, die beispielsweise von Quasaren (quasi-stellar radio source) in großem Maße abgestrahlt werden. Sie nutzen die Very Long Baseline Interferometry (VLBI), eine Methode der Radioastronomie für Messungen mit höchster räumlicher Auflösung und Positionsgenauigkeit. Mit deren Hilfe erreicht man Winkelauflösungen unter Messungen aus dem Jahr 2009 bestätigen die Theorie bis zu einer Genauigkeit von (vgl. Will 2014, S. 41). 86

93 7 Fazit und Ausblick Abschließend wollen wir die gewonnenen Erkenntnisse noch einmal zusammenfassen. Begonnen haben wir mit den physikalischen Grundlagen der ART. In Kapitel 2 haben wir die klassische Mechanik mit den Galilei-Transformationen zwischen zwei IS betrachtet. Der euklidische Raum und die Zeit waren dabei jeweils starr und für sich stehend. Die Newton sche Gravitationstheorie stellt einen Zusammenhang her zwischen der Massendichte als Quelle eines Feldes, das durch ein Potenzial beschrieben wird, welches wiederum die Bewegung eines darin befindlichen Körpers vorherbestimmt. Nachdem wir gesehen haben, dass die Galilei-Transformationen nicht vereinbar waren mit der experimentell bestätigten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, traten in Kapitel 3 notwendigerweise die Lorentz-Transformationen an deren Stelle. In seiner SRT füllte Einstein diese mit Leben, indem er Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raumzeit, dem Minkowski-Raum, vereinigte und physikalische Vorhersagen traf. Im Gegensatz zur Elektrostatik gelang in der Gravitationstheorie keine direkte Neuformulierung, die invariant unter Lorentz-Transformationen ist. Das starke Äquivalenzprinzip führte Einstein zur Annahme einer Krümmung der Raumzeit. Zu deren Beschreibung ist der Übergang in den Riemann-Raum notwendig, den wir in Kapitel 4 vorbereitet haben. Dazu gehören die Aspekte der Krümmung an sich, der Geodäte und des Paralleltransportes. Mit den neuen Begriffen und Größen gelang in Kapitel 5 der Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie, in der die Gravitationskraft nur noch als Wirkung der Raumzeit-Krümmung auftritt. Die formulierten Feldgleichungen sind schließlich invariant unter beliebigen Transformationen und erfüllen den durch das Kovarianzprinzip gestellten Anspruch. Energie-Impuls-Tensor und metrischer Tensor ersetzen Massendichte und Potenzial der klassischen Theorie, die als Grenzfall jedoch enthalten ist. Im letzten Kapitel haben wir mit der Schwarzschild-Lösung eine spezielle Lösung für den statischen, kugelsymmetrischen Fall nachvollzogen, sodass wir die sich ergebenden Konsequenzen an Hand der Rotverschiebung, der Periheldrehung und der Lichtablenkung quantitativ diskutieren konnten. Dabei haben wir außerdem gesehen, dass mittlerweile alle Effekte mit sehr hoher Genauigkeit bestätigt sind. 87

94 7 FAZIT UND AUSBLICK Hier soll dem Leser allerdings kurz ins Bewusstsein gerufen werden, welch ein langer Schaffensprozess bis zur endgültigen Formulierung notwendig war. 54 Kurze Zeit nach der Veröffentlichung der SRT sprach Einstein bereits von einer tiefen Sehnsucht, den Grund dafür zu erkennen 55, warum sich das Gravitationsgesetz nicht in Begriffen der SRT beschreiben lässt. Bis zur Vervollständigung seiner Theorie, mit der Veröffentlichung der ART, dauerte es weitere acht Jahre. Diese waren geprägt von Irrwegen und Rückschlägen. Nicht zuletzt verdankt Einstein den endgültigen Erfolg auch der Hilfe anderer genialer Wissenschaftler und Mathematiker, deren Beiträge er auch stets aufs Neue würdigte. Besonders bei der Literatur seiner Originalarbeiten empfand ich tiefe Bewunderung dafür, dass er nicht davor zurückschreckte, die Struktur von Raum und Zeit gleich zwei Mal grundlegend in Frage zu stellen und neu zu schaffen. Und man kann wohl nur erahnen, was es für ein Gefühl sein muss, wenn sich die eigenen Vorhersagen schließlich bestätigen und die Theorie über das eigene Leben hinaus Gültigkeit behält. Zuletzt im September vergangenen Jahres wurde eine weitere Prophezeiung Einsteins, die Gravitationswellen, bestätigt. Am um 09:50:45 Weltzeit wurden in den beiden Observatorien des Laser Interferometer Gravitation Wave Observatory (LIGO) in den USA, genauer in Hanford und Livingston, Gravitationswellen direkt beobachtet (vgl. Abbott u. a. 2016). Zwei schwarze Löcher von rund 29 und 36 Sonnenmassen kreisten umeinander und fusionierten zu einem Schwarzen Loch von 62 Sonnenmassen, sodass drei Sonnenmassen an Energie in Form von Gravitationswellen abgestrahlt wurden. Das Ereignis fand in einer Entfernung von 1.3 Milliarden Lichtjahren statt. Einstein hatte die Existenz von Gravitationswellen tatsächlich bereits 1918 vorausgesagt, jedoch auf Grund der winzigen Größenordnung nicht für möglich gehalten, dass diese je detektiert werden könnten. Am LIGO werden die gemessenen Signale erzeugt durch eine Längenveränderung im Bereich des tausendstel Durchmessers eines Protons (vgl. Einstein 1918a). 54 Als wissenschaftliche Biographie sei Pais (1986) empfohlen. 55 Siehe (Pais 1986, S. 177). 88

95 Damit ist Einsteins Theorie seit nun mehr als einem Jahrhundert Gegenstand aktueller Forschung und konnte bislang jedem Test standhalten. Sie bietet neue Ansätze und Möglichkeiten zur Erforschung des Universums. Die theoretische Physik steht vor der Herausforderung, sie mit dem Standardmodell der Elementarteilchenphysik zu vereinen, welches die anderen drei Wechselwirkungen neben der Gravitation beschreibt. 89

96

97 A Anhang A.1 Metrischer Tensor in Kugelkoordinaten Die Koordinatentransformation von kartesischen zu Kugelkoordinaten lautet: x = r sin θ cos ϕ dx = x x x dr + dθ + r θ ϕ dϕ = cos ϕ sin θ dr + r cos ϕ cos θ dθ r sin ϕ sin θ dϕ, y = r sin ϕ sin θ dy = y y y dr + dθ + r θ ϕ dϕ = sin ϕ sin θ dr + r sin ϕ cos θ dθ + r cos ϕ sin θ dϕ, z = r cos θ dz = z z dr + dθ = cos θ dr r sin θ dθ. r θ (A.1) Einsetzen in das Wegelement liefert ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = c 2 dt 2 (cos ϕ sin θ dr + r cos ϕ cos θ dθ r sin ϕ sin θ dϕ) 2 (sin ϕ sin θ dr + r sin ϕ cos θ dθ + r cos ϕ sin θ dϕ) 2 (cos θ dr r sin θ dθ) 2. (A.2) Ausmultiplizieren zeigt, dass sich die gemischten Terme der Koordinatendifferenziale gerade gegenseitig wegheben, sodass am Ende nur die quadratischen übrigbleiben, ds 2 = c 2 dt 2 (cos 2 ϕ sin 2 θ dr 2 + r 2 cos 2 ϕ cos 2 θ dθ 2 r 2 sin 2 ϕ sin 2 θ dϕ 2 ) (sin 2 ϕ sin 2 θ dr 2 + r 2 sin 2 ϕ cos 2 θ dθ 2 + r 2 cos 2 ϕ sin 2 θ dϕ 2 ) (cos 2 θ dr 2 + r 2 sin 2 θ dθ 2 ) = c 2 dt 2 (cos 2 ϕ sin 2 θ + sin 2 ϕ sin 2 θ + cos 2 θ) dr 2 (r 2 cos 2 ϕ cos 2 θ + r 2 sin 2 ϕ cos 2 θ + r 2 sin 2 θ) dθ 2 (r 2 sin 2 ϕ sin 2 θ + r 2 cos 2 ϕ sin 2 θ) dϕ 2 = c 2 dt 2 dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θ dϕ 2. (A.3) Aus den Koeffizienten der Koordinatendifferentiale können wir dann die Komponenten des metrischen Tensors ablesen und erhalten gerade (3.15). 91

98 A ANHANG A.2 Herleitung des Ricci-Tensors in der Schwarzschild-Metrik Um die Vakuumfeldgleichungen für eine statische, kugelsymmetrische Verteilung zu lösen, müssen wir die Komponenten des Ricci-Tensors explizit durch die Komponenten des metrischen Tensors (6.2) ausdrücken. Dazu gehen wir schrittweise vor. Der Ricci-Tensor hängt ab von den Christoffel-Symbolen und deren Ableitungen, welche wiederum durch die Komponenten des metrischen Tensors bestimmt sind. Dabei nutzen wir die Diagonalität g µν = 0 für µ ν des metrischen Tensors. Wir geben jeweils nur die Identitäten an, die nicht null sind. Zur besseren Übersicht führen wir hier noch einmal die Komponenten des metrischen Tensors auf, g 00 = e 2 ν(r), g 11 = e 2 λ(r), g 22 = r 2, g 33 = r 2 sin 2 θ. (A.4) Beginnen wir also mit den Ableitungen der Komponenten des metrischen Tensors, g 00,1 = 2ν (r)e 2ν(r), g 11,1 = 2λ (r)e 2λ(r), g 22,1 = 2r, g 33,1 = 2r sin 2 θ Daraus ergeben sich als von null verschiedene Christoffel-Symbole: g 33,2 = 2r 2 sin θ cos θ. Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1 2 g00 ( g 01,0 + g 00,1 + g 10,0 ) = 1 2 (e 2ν(r) ) ( 2ν (r) e 2ν(r)) = ν (r), Γ 1 00 = 1 2 g11 ( g 00,1 + g 01,0 + g 01,0 ) = 1 2 ( e 2λ(r) ) ( 2ν (r) e 2ν(r)) = ν (r) e 2ν(r) 2λ(r), Γ 1 11 = 1 2 g11 ( g 11,1 + g 11,1 + g 11,1 ) = 1 2 ( e 2λ(r) ) ( 2λ (r) e 2λ(r)) = λ (r), Γ 1 22 = 1 2 g11 ( g 22,1 + g 21,2 + g 21,2 ) = 1 2 ( e 2λ(r) ) (2r) = r e 2λ(r), (A.5) Γ 1 33 = 1 2 g11 ( g 33,1 + g 31,3 + g 31,3 ) = 1 2 ( e 2λ(r) ) ( 2r sin 2 θ ) = r sin 2 θ e 2λ(r), Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 2 g22 ( g 12,2 + g 12,2 + g 22,1 ) = r ( 2r) = 1 2 r, Γ 2 33 = 1 2 g22 ( g 33,2 + g 32,3 + g 32,3 ) = 1 1 ( 2r 2 sin θ cos θ ) = sin θ cos θ, 2 r 2 92

99 A.2 Herleitung des Ricci-Tensors in der Schwarzschild-Metrik Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 2 g33 ( g 13,3 + g 13,3 + g 33,1 ) = 1 ( ) 1 ( 2r sin 2 2 r 2 sin 2 θ ) = 1 θ r, Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1 2 g33 ( g 23,3 + g 23,3 + g 33,2 ) = 1 ( ) 1 ( 2r 2 2 r 2 sin 2 sin θ cos θ ) = cot θ θ (A.6) und die Ableitungen der Christoffel-Symbole: Γ 0 01,1 = Γ 0 10,1 = ν (r), Γ 1 00,1 = ν (r) e 2ν(r) 2λ(r) + ν (r) e 2ν(r) 2λ(r) [2ν (r) 2λ (r)] = e 2ν(r) 2λ(r) [ ν (r) + 2ν (r) 2 2ν (r)λ (r) ], Γ 1 11,1 = λ (r), Γ 1 22,1 = r [ 2λ (r)] [ e 2λ(r) e 2λ(r)] = e 2λ(r) [2rλ (r) 1)], Γ 1 33,1 = sin θ e 2λ(r) [2rλ (r) 1] Γ 1 33,2 = 2r sin θ cos θ e 2λ(r), Γ 2 12,1 = Γ 2 21,1 = 1 r 2, Γ 2 33,2 = cos 2 θ + sin 2 θ, Γ 3 13,1 = Γ 3 31,1 = 1 r 2, Γ 3 23,2 = Γ 3 32,2 = sin2 θ + cos 2 θ sin 2 θ = 1 sin 2 θ. (A.7) 93

100 A ANHANG Schließlich können wir die Komponenten des Ricci-Tensors berechnen, die nach den Einstein schen Feldgleichungen im Falle des Vakuums gerade verschwinden sollen: R 00 = R κ 0κ0 = Γ κ 00,κ Γ κ 0κ,0 + Γ κ ρκγ ρ 00 Γ κ ρ0γ ρ 0κ = Γ 1 00,1 + Γ κ 1κΓ 1 00 (Γ 1 00Γ Γ 0 10Γ 1 00) = e [ 2ν(r) 2λ(r) ν (r) + 2ν (r) 2 2ν (r)λ (r) ] + [ ν (r)e 2ν(r) 2λ(r)] [ ν (r) + λ (r) + 1 r + 1 ] 2 [ ν (r)e 2ν(r) 2λ(r)] ν (r) r [ ] = e 2ν(r) 2λ(r) ν (r) + ν (r) 2 ν (r)λ (r) + 2ν (r)! = 0, (A.8) r R 11 = R κ 1κ1 = Γ κ 11,κ Γ κ 1κ,1 + Γ κ ρκγ ρ 11 Γ κ ρ1γ ρ 1κ = Γ 1 11,1 (Γ κ 1κ,1) + (Γ κ 1κΓ 1 11) (Γ κ 1κ) 2 = λ (r) [ν (r) + λ (r) 1r 1r ] 2 2 [ν (r) 2 + λ (r) 2 + 1r + 1r ] 2 2 = ν (r) + ν (r)λ (r) + 2λ (r) r [ + λ (r) ν (r) + λ (r) + 1 r + 1 ] r ν (r) 2! = 0, (A.9) R 22 = R κ 2κ2 = Γ κ 22,κ Γ κ 2κ,2 + Γ κ ρκγ ρ 22 Γ κ ρ2γ ρ 2κ = Γ 1 22,1 Γ 3 23,2 + Γ κ 1κΓ 1 22 [ Γ 1 22Γ Γ 2 12Γ (Γ 3 23) 2] = e 2λ [2rλ (r) 1] + 1 sin 2 θ + [ re 2λ(r)] [ ( re 2λ(r) ) 1 r + ( re 2λ(r) ) 1 ] r + cot2 θ [ ν (r) + λ (r) + 1 r + 1 r = e 2λ [2rλ (r) 1 rν (r) rλ (r) ] + 1 sin 2 θ + cot2 θ = e 2λ(r) [ 1 rν (r) + rλ (r)] + 1! = 0. (A.10) Eine analoge Rechnung ergibt eine Gleichung für R 33 = 0, die sich jedoch als äquivalent zu R 22 = 0 erweisen wird. Man wird zudem feststellen, dass alle anderen Komponenten des Ricci-Tensors unabhängig von den Werten von λ(r) und ν(r) bereits verschwinden. ] 94

101 A.3 Glossar A.3 Glossar Äquivalenzprinzip Aussage, die in ihrer schwachen Formulierung besagt, dass schwere und träge Masse gleich sind. In seiner starken Version behauptet es die lokale Äquivalenz von Trägheits- und Gravitationskräften ( Lokales Inertialsystem). Äther-Theorie Vorstellung, der Raum müsse mit einem homogenen Medium gefüllt sein, in dem sich Licht mit Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreite. Dieser stelle ein absolutes Bezugssystem dar. Die Äther-Theorie wurde endgültig widerlegt durch das Michelson-Morley-Experiment. Christoffel-Symbol Dreifach indizierte Größe aus (4.26), welche die einzelnen Komponenten der Änderung eines Basisvektors bei Verschiebung in eine der Koordinatenrichtungen beschreibt. Sie tauchen auf in der Geodätengleichung, der Kovarianten Ableitung und dem Riemann schen Krümmungstensor. Einstein sche Feldgleichungen Tensorgleichung aus (5.5), die das Newton sche Gravitationsgesetz ersetzt und den Zusammenhang zwischen Massenverteilung ( Energie-Impuls-Tensor) und Raumkrümmung ( metrischer Tensor) beschreibt. Energie-Impuls-Tensor Tensor zweiter Stufe aus (5.6), der die Massendichte der klassischen Mechanik auf der rechten Seite der Einstein schen Feldgleichungen ersetzt. Eötvös-Experiment 1890 durchgeführtes Experiment an einer Torsionswaage, welches das schwache Äquivalenzprinzip mit einer Genauigkeit von bestätigte. Euklidischer Raum 3-dimensionaler Raum, ausgestattet mit dem metrischen Tensor δ αβ, dessen Wegelement invariant unter orthogonalen Transformationen und Translationen ist. Galilei-Transformation Transformation aus (2.10) zur Umrechnung der Zeitund Ortskoordinaten zwischen zwei relativ zueinander mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegten Inertialsystemen im nichtrelativistischen Fall. 95

102 A ANHANG Geodätengleichung Gleichung aus (4.3), die in der ART an die Stelle der Newton schen Bewegungsgleichung für ein freies Teilchen tritt. Sie ist festgelegt durch den Metrischen Tensor und ergibt sich aus dem extremalen Abstand zweier Punkte. Im Euklidischen Raum wird sie gelöst durch eine Geradengleichung. Inertialsystem Bezugssystem, in dem für ein freies Teilchen das Trägheitsgesetz gilt. Dies sind gerade die sich zum Fixsternhimmel mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden BS. In der ART findet man für jeden Punkt eines Gravitationsfeldes ein Lokales Inertialsystem. Kovariante Ableitung Ableitung aus (4.43), welche die tatsächliche Änderung eines Vektors beschreibt. Der Einfluss des verwendeten KS wird dabei durch die Christoffel-Symbole eliminiert. Kovarianzprinzip Forderung nach einer Formulierung der Naturgesetze als Tensorgleichungen ( Tensor). Lichtablenkung Ablenkung des Lichtes im Gravitationsfeld der Sonne, die durch die Bewegungsgleichungen der ART vorhergesagt wurde. Sie liegt im Bereich von 1.7 und ist einer der drei klassischen Tests ( Rotverschiebung, Periheldrehung). Lokales Inertialsystem Frei fallendes BS, welches wegen des Äquivalenzprinzips in jedem Punkt eines Gravitationsfeldes für eine kleine Umgebung ein Inertialsystem darstellt. Lorentz-Transformation Transformation aus (3.9), die die Galilei-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen in der SRT ersetzt, da sie das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit erfüllt. Mach sches Prinzip Aussage, dass es keinen absoluten Raum gibt, stattdessen würden sämtliche Trägheitskräfte durch die Massenverteilung im Universum verursacht. Mannigfaltigkeit Punktmenge, die lokal so aussieht wie der R n, beispielsweise eine Kugeloberfläche. Eine solche spezifische Form erhält sie erst durch Ausstattung mit einem metrischen Tensor. Damit wird sie zu einem Riemann-Raum. 96

103 A.3 Glossar Minkowski-Raum 4-dimensionale Raumzeit, bei der die Zeit zu den drei Raumkoordinaten hinzugefügt ist. Er ist ausgestattet mit dem metrischen Tensor η αβ und einem Wegelement, welches invariant unter Lorentz-Transformationen ist. Metrischer Tensor Tensor zweiter Stufe, der das Gravitationspotential der klassischen Mechanik auf der linken Seite der Einstein schen Feldgleichungen ersetzt. Er verleiht einem Riemann-Raum eine Form, indem er an jedem Punkt den Abstand zu infinitesimal entfernten Punkten definiert ( Wegelement). Michelson-Morley-Experiment 1887 durchgeführtes Experiment, welches die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen ergab. Damit war die Äther-Theorie endgültig widerlegt und die Galilei-Transformationen nicht länger haltbar. Paralleltransport Verschiebung eines Vektors, sodass dessen kovariante Ableitung null ist. Seine Änderung entlang eines geschlossenen Weges ist ein Maß für die Krümmung des Raumes, welches durch den Riemann schen Krümmungstensor erfasst wird. Periheldrehung Zusätzliche Drehung des Perihels astronomischer Objekte, die durch die Bewegungsgleichungen der ART erklärbar wurde. Für den Merkur beträgt sie 43 pro Jahrhundert und ist einer der drei klassischen Tests ( Rotverschiebung, Lichtablenkung). Relativitätsprinzip Aussage, dass nur die relative Geschwindigkeit zu einem anderen BS bestimmbar ist, in der speziellen Form. Allgemeiner gefasst ist wegen des Äquivalenzprinzips auch die Beschleunigung nicht absolut, sondern nur die Relativbeschleunigung. Ricci-Skalar Kontraktion des Ricci-Tensors aus (5.16). Ricci-Tensor Kontraktion des Riemann schen Krümmungstensors aus (5.15). Er bildet die linke Seite der Einstein schen Feldgleichungen. 97

104 A ANHANG Riemann-Raum Differenzierbare Mannigfaltigkeit, ausgestattet mit einem koordinatenabhängigen metrischen Tensor g µν (x). Er enthält den Euklidischen Raum und den Minkowski-Raum als Spezialfall. Riemann scher Krümmungstensor Quantitatives Maß für die Krümmung eines Raumes aus (4.54). Er charakterisiert die Änderung eines Vektors beim Paralleltransport entlang einer geschlossenen Kurve und ist bestimmt durch die Christoffel-Symbole. Rotverschiebung Verschiebung von Spektrallinien, deren Entstehungsort näher an der gravitativen Masse liegt als der Ort der Detektion, die sich aus dem Äquivalenzprinzip ergibt. Für auf der Erdoberfläche detektiertes Sonnenlicht liegt die relative Verschiebung bei Sie ist einer der drei klassischen Tests ( Lichtablenkung, Periheldrehung). Schwarzschild-Metrik Exakte Lösung der Einstein schen Feldgleichungen außerhalb einer statischen, kugelsymmetrischen Massenverteilung aus (6.11). Sie wird bestimmt durch den von der Masse abhängigen Schwarzschild-Radius. Schwarzschild-Radius Körperabhängige Konstante aus (6.13), die in die Schwarzschild-Metrik eingeht. Dort wirkt er als Ereignishorizont, aus dem kein Signal nach außen dringen kann. Für die Sonne beträgt er etwa 3 km. Tensor Größe, welche durch ihre Transformationseigenschaften nach (4.8) bzw. (4.9) definiert ist. Ein kontravarianter Tensor transformiert bezüglich jedes Index wie die Koordinatendifferentiale, ein kovarianter genau invers. Tensorgleichungen gelten in beliebigen KS. Der metrische Tensor oder der Riemann sche Krümmungstensor sind Beispiele für Tensoren. Wegelement Skalar des jeweiligen Riemann-Raumes aus (4.10). Er ist das Quadrat des Abstandes zwischen zwei infinitesimal entfernten Punkten und wird bestimmt durch den metrischen Tensor. 98

105 B Literaturverzeichnis Abbott, B. P. u. a. (2016). Observation of gravitational waves from a binary black hole merger. Physical Review Letters 116, S Adelberger, E. G. u. a. (1990). Testing the equivalence principle in the field of the earth: Particle physics at masses below 1 µev. Physical Review D 42, S Beyvers, G. und Krusch, E. (2007). Kleines 1 1 der Relativitätstheorie: Einsteins Physik mit Mathematik der Mittelstufe. Books on Demand, Norderstedt. Boblest, S. u. a. (2016). Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie: Grundlagen, Anwendungen in Astrophysik und Kosmologie sowie relativistische Visualisierung. Springer Spektrum, Berlin u. a. Einstein, A. (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik 17, S Einstein, A. (1911). Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik 35, S Einstein, A. (1915). Zur allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, S Einstein, A. (1916). Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik 49, S Einstein, A. (1918a). Über Gravitationswellen. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, S Einstein, A. (1918b). Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik 55, S Einstein, A. (1918c). Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie: gemeinverständlich. Vieweg, Braunschweig. Epstein, L. C. (1988). Relativitätstheorie anschaulich dargestellt: Gedankenexperimente, Zeichnungen, Bilder. Birkhäuser, Basel u. a. 99

106 B LITERATURVERZEICHNIS Eötvös, R. (1890). Über die Anziehung der Erde auf verschiedene Substanzen. Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn 8, S Fließbach, T. (2012). Elektrodynamik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik 2. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg. Fließbach, T. (2015). Mechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik 1. Springer, Berlin u. a. Fließbach, T. (1995). Allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. Galilei, G. (1891). Dialog über die beiden hauptsächlichtsten Weltsysteme, das Ptolemäische und das Kopernikanische. Aus dem Italienischen übersetzt und erläutert von Emil Strauss. B.G. Teubner, Leipzig. Göbel, H. (2014). Gravitation und Relativität: Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie. De Gruyter, Berlin u. a. Grøn, Ø. und Næss, A. (2011). Einsteins theory: a rigorous introduction for the mathematically untrained. Springer, New York u. a. Landau, L. D. und Lifshitz, E. M. (1961). Course of theoretical physics: The classical theory of fields. Pergamon Press, London u. a. Maier, S. (2015). Die Kruskal-Szekeres Koordinaten: Ein Beitrag zum Seminar gekrümmter Raum und gedehnte Zeit. Universität Regensburg, Regensburg. Michelson, A. A. und Morley, E. (1887). On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. American Journal of Science 34, S Misner, C. W. u. a. (1973). Gravitation. Freeman, New York u. a. Oloff, R. (2002). Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Vieweg, Wiesbaden. Overduin, J. u. a. (2012). STEP and fundamental physics. Classical and Quantum Gravity 29, S

107 Pais, A. (1986). Raffiniert ist der Herrgott...: Albert Einstein: Eine wissenschaftliche Biographie. Vieweg, Braunschweig u. a. Plebański, J. und Krasiński, A. (2006). An introduction to general relativity and cosmology. Cambridge University Press, Cambridge u. a. Popper, D. M. (1954). Red Shift in the Spectrum of 40 Eridani B. Astrophysical Journal 120, S Pound, R. V. und Rebka, G. A. (1960). Apparent weight of photons. Physical Review Letters 4, S Rebhan, E. (2012). Theoretische Physik: Relativitätstheorie und Kosmologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg. Ruder, H. und Ruder, M. (1993). Die spezielle Relativitätstheorie: mit 26 Übungsaufgaben. Vieweg, Braunschweig u. a. Ryder, L. H. (2009). Introduction to general relativity. Cambridge University Press, Cambridge u. a. Scheck, F. (2007). Theoretische Physik 1: Mechanik. Von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos. Springer, Berlin u. a. Scheck, F. (2010). Theoretische Physik 3: Klassische Feldtheorie. Von Elektrodynamik, nicht - Abelschen Eichtheorien und Gravitation. Springer, Berlin u. a. Schmutzer, E. (1996). Relativitätstheorie aktuell: Ein Beitrag zur Einheit der Physik. Teubner, Stuttgart. Schröder, U. E. (2002). Gravitation: Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie. Deutsch, Frankfurt. Schutz, B. F. (1985). A first course in general relativity. Cambridge University Press, Cambridge u. a. Sharan, P. (2009). Spacetime, geometry and gravitation. Birkhäuser, Basel u. a. 101

108 B LITERATURVERZEICHNIS Treder, H.-J. (1968). Relativität und Kosmos: Raum und Zeit in Physik, Astronomie und Kosmologie. Akademie - Verlag u. a., Berlin u. a. Will, C. M. (2014). The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Reviews in Relativity 17, S Zeidler, E., Hrsg. (2013a). Springer - Handbuch der Mathematik II. Springer Spektrum, Wiesbaden. Zeidler, E., Hrsg. (2013b). Springer - Handbuch der Mathematik IV. Springer Spektrum, Wiesbaden. 102

109 Teil II Präsentation

110

111 Allgemeine Relativitätstheorie Eine Einführung Antonia Berger Johannes Gutenberg-Universität Mainz 17. September 2016 A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Inhaltsverzeichnis 1 Vorrelativistische Mechanik 2 Spezielle Relativitätstheorie 3 Mathematische Grundlagen 4 Newton sche Gravitationstheorie 5 Allgemeine Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Krümmung Feldgleichungen und spezielle Lösung Klassische Tests A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

112 Vorrelativistische Mechanik Relativitätsprinzip Das Bewegungsgesetz der Newton schen Mechanik besitzt in allen Inertialsystemen (IS) dieselbe Form. Galilei-Transformation Zwei IS K und K : x = D x + u t + w mit D O(3) t = λ t + b mit λ {±1} invariant: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 Geschwindigkeitsaddition Quelle: htm/chap24.htm ( ) Grenzen Das Michelson-Morley-Experiment zeigt Konstanz der Lichgeschwindigkeit in allen IS. A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Spezielle Relativitätstheorie Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen IS unabhängig von deren Bewegungsrichtung konstant. Lorentz-Transformation Verallgemeinerung: x = (c t, x, y, z) Ansatz: x = Λ x Annahme: In jedem IS gilt c 2 dt 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 0 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 invariant: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 Spezielle Lorentz-Transformation K bewege sich relativ zu K mit v = βc in positive x Richtung: γ γβ 0 0 Λ = γβ γ Grenzen keine Verallgemeinerung der Gravitationstheorie Einschränkung auf IS A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

113 Mathematische Grundlagen vorrelativistisch speziell-relativistisch allgemein-relativ. Euklidischer Raum Minkowski-Raum Riemann-Raum x = (x 1, x 2, x 3 ) x = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) x = (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (x, y, z) = (ct, x, y, z) Galilei-Transformationen Lorentz-Transformationen beliebige Transf. ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 ds 2 = g µν dx µ dx ν g µν = g µν = g µν = g µν ( x) Einstein sche Summenkonvention Über gleichnamige Indizes wird summiert: 3 g µν dx µ dx ν = g µν dx µ dx ν = g 00 dx 0 dx 0 + g 01 dx 0 dx g 33 dx 3 dx 3 µ,ν=0 A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Mathematische Grundlagen Tensoren mathematische Objekte gekennzeichnet durch m Indizes hat in 4-dimensionalem Raum 4 m Komponenten Komponenten sind Zahlen, auch in Form von Formeln besondere Eigenschaft: Transformationsverhalten in jeweiligem Raum Eine Tensorgleichung sieht in jedem Koordinatensystem gleich aus, auch wenn sich die Komponenten der einzelnen Tensoren ändern. Beispiel Minkowski-Raum ds 2 ist ein Tensor mit 0 Indizes Transformationsverhalten: ds 2 = ds 2 g µν ist ein Tensor mit 2 Indizes in K: ds 2 = g µν dx µ dx ν in K : ds 2 = g µνdx µ dx ν A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

114 Newton sche Gravitationstheorie 1687 Philosophiae naturalis principia mathematica erste mathematische Formel für die Gravitation ermöglichte grundlegendes Verständnis für die Dynamik des Sonnensystems Massenverteilung ist Ursache eines Potentials, welches die Bewegung eines Körpers bestimmt Feldgleichung Φ( r) = 4π G ρ( r) Bewegungsgleichung m d 2 r dt 2 = m Φ( r) Grenzen Mitte des 19.Jhd. entdeckte man eine zusätzliche Periheldrehung des Merkurs. A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Äquivalenzprinzip Besonderheit Im Gravitationsfeld erfahren alle Körper dieselbe Beschleunigung a = träge Masse schwere Masse g Notwendige Voraussetzung: Quelle: ( ) Schwaches Äquivalenzprinzip träge Masse = schwere Masse Starkes Äquivalenzprinzip Gravitation und Beschleunigung sind lokal äquivalent. Einstein: Der glücklichste Gedanke meines Lebens (Pais 1986, S. 175). A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

115 Äquivalenzprinzip Lokales Inertialsystem Frei fallender Fahrstuhl im Gravitationsfeld der Erdoberfläche keine Effekte der Gravitation mehr spürbar kräftefreie Körper verharren im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung frei fallender Fahrstuhl ist ein Inertialsystem Achtung! Das gilt so nur in homogenen Gravitationsfeldern! Im Allgemeinen variiert Betrag der Erdbeschleunigung mit Abstand nähern sich Objekte einander wegen Radialsymmetrie an Die Transformation gilt daher nur für ein hinreichend kleines Volumen ein hinreichend kleines Zeitintervall A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Krümmung Ein intrinsisch gekrümmter Raum ist ein Raum, in dem die Regeln der Euklidischen Geometrie nicht gelten, wie z.b. die Winkelsumme 180 in einem Dreieck das Parallelenaxiom der Zusammenhang U = 2πr für Umfang U und Radius r eines Kreises Rotierende Scheibe Kugeloberfläche Für außerhalb ruhenden Beobachter ist Radius r unverändert, da senkrecht zur Bewegungsrichtung ist Umfang U in jedem Punkt in Bewegungsrichtung verkürzt gilt daher U < 2πr Winkelsumme ist stets größer als 180 je zwei Großkreise schneiden sich für jeden Kreis ist U < 2πr Extrinsische Krümmung ist nur durch Einbettung in höhere Dimensionen erkennbar, z. B. Zylindermantel Äquivalenzprinzip Auch Gravitation entspricht Krümmung der Raumzeit A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

116 Krümmung Frage: Wie sieht die kräftefreie Bewegung im gekrümmten Raum aus? Ansatz: Minimierung der Bogenlänge ds 2 = g µν dx µ dx ν Lösung: Prinzip der kleinsten Wirkung Geodätengleichung 1 2 g λρ ( g µκ x λ + g µλ x κ + g κλ x µ ) + ẍ ρ = 0 Euklidischer Raum metrischer Tensor ist konstant partielle Ableitungen verschwinden: ẍ i = 0 für i = 1, 2, 3 entspricht dem Trägheitsgesetz wird gelöst durch Geraden im Raum Kugeloberfläche Geodäten sind Großkreise A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Krümmung Paralleltransport Transport eines Vektors, sodass er sich im Raum nicht ändert dabei bleibt der Winkel zu je einer Geodäte konstant Betrachtung eines geschlossenen Weges Euklidischer Raum Kugeloberfläche Vektor wird in sich selbst überführt Vektor dreht sich um π 2 A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

117 Krümmung Riemann scher Krümmungstensor R κλµν Tensor mit 4 Indizes setzt sich aus dem metrischen Tensor, dessen ersten und zweiten Ableitungen zusammen beschreibt die Änderung eines Vektors bei Paralleltransport entlang eines geschlossenen Weges verschwindet im flachen Raum quantitatives Maß für die Krümmung eines Raumes A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Einstein sche Feldgleichungen Einstein sche Feldgleichungen E µν = 8πG c 4 T µν Einstein-Tensor E µν setzt sich zusammen aus Krümmungstensor und metrischem Tensor metrischer Tensor ersetzt Newton sches Potential Φ Energie-Impuls-Tensor T µν für Staub: c 2 v x c v y c v z c ρ v x c v 2 x v x v y v y v z v y c v y v x v 2 y v y v z v z c v z v x v z v y v 2 z ersetzt Massendichte ρ A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

118 Schwarzschild-Metrik Voraussetzungen: Vakuum, statisch, kugelsymmetrisch Metrischer Tensor in Kugelkoordinaten gµν 1 rrs 0 = rrs r r 2 sin2 θ Schwarzschild-Radius rs rs = 2G M c2 rs,sonne 3 km Kein Signal kann den Bereich r < rs verlassen. Objekte mit Radius R < rs stellen schwarze Löcher dar. A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20 Schwarzschild-Metrik Kräftefreie Bewegung entspricht Bewegung entlang einer Geodäte Am Modell eines Rotationskörpers: Quelle: (Göbel 2014, S.179) Die Raumkrümmung ist die Ursache der Schwerkraft. A. Berger Allgemeine Relativitätstheorie 17. September / 20

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