Harmonische Schwingung

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1 Harmonische Schwingung Eine harmonische Schwingung mit Amplitude c 0, Phasenverschiebung δ und Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω hat die Form x x(t) = c cos(ωt δ). δ/ω c t T=2π/ω Harmonische Schwingung 1-1

2 Äquivalente Darstellungen sind oder Re c exp(i(ωt δ)) a cos(ωt) + b sin(ωt) mit a = c cos(δ), b = c sin(δ), d.h. (c, δ) sind die Polarkoordinaten von (a, b). Harmonische Schwingung 1-2

3 Beweis: Umrechnung der Parameter: Harmonische Schwingung 2-1

4 Beweis: Umrechnung der Parameter: Formel von Euler-Moivre, e it = cos t + i sin t = cos(ωt δ) = Re e i(ωt δ) Harmonische Schwingung 2-2

5 Beweis: Umrechnung der Parameter: Formel von Euler-Moivre, e it = cos t + i sin t = Additionstheorem cos(ωt δ) = Re e i(ωt δ) c cos(ωt δ) = c (cos(ωt) cos δ + sin(ωt) sin δ) d.h. a = c cos δ, b = c sin δ Harmonische Schwingung 2-3

6 Beweis: Umrechnung der Parameter: Formel von Euler-Moivre, e it = cos t + i sin t = Additionstheorem cos(ωt δ) = Re e i(ωt δ) c cos(ωt δ) = c (cos(ωt) cos δ + sin(ωt) sin δ) d.h. a = c cos δ, b = c sin δ Berechnung von Amplitude und Phase mit c = a 2 + b 2, δ = arctan(b/a) + ϕ 0, für a > 0 sign(y)π/2, für a = 0 ϕ = π, für a < 0 und b 0 π für a < 0 und b < 0 Harmonische Schwingung 2-4

7 Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen (in der Abbildung fett gezeichnet) x k (t) = c k cos(ωt δ k ), k = 1, 2, ist harmonisch mit Amplitude c = c cos(δ 1 δ 2 )c 1 c 2 + c2 2 und Phase arg ( c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2). x c1 c2 0 δ2/ω δ1/ω t Harmonische Schwingung 3-1

8 Alternativ erhält man aus der Darstellung x k (t) = a k cos(ωt) + b k sin(ωt) für die Amplitude den Ausdruck (a 1 + a 2 ) 2 + (b 1 + b 2 ) 2. Harmonische Schwingung 3-2

9 Beweis: komplexe Form der Überlagerung Re (c 1 e iωt δ 1 + c 2 e iωt δ 2 ) = Re ([c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ]e iωt ) Harmonische Schwingung 4-1

10 Beweis: komplexe Form der Überlagerung Re (c 1 e iωt δ 1 + c 2 e iωt δ 2 ) = Re ([c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ]e iωt ) [...] = ce iδ = z δ = arg ( c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2) und c 2 = z z = (c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 )(c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ) Harmonische Schwingung 4-2

11 Beweis: komplexe Form der Überlagerung Re (c 1 e iωt δ 1 + c 2 e iωt δ 2 ) = Re ([c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ]e iωt ) [...] = ce iδ = z δ = arg ( c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2) und c 2 = z z = (c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 )(c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ) Ausmultiplizieren c 2 = c c 1 c 2 e i(δ 2 δ 1 ) + c 2 c 1 e i(δ 1 δ 2 ) + c 2 2 Harmonische Schwingung 4-3

12 Beweis: komplexe Form der Überlagerung Re (c 1 e iωt δ 1 + c 2 e iωt δ 2 ) = Re ([c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ]e iωt ) [...] = ce iδ = z δ = arg ( c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2) und c 2 = z z = (c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 )(c 1 e iδ 1 + c 2 e iδ 2 ) Ausmultiplizieren c 2 = c c 1 c 2 e i(δ 2 δ 1 ) + c 2 c 1 e i(δ 1 δ 2 ) + c 2 2 e is + e is = 2 cos s = Formel für die Amplitude Harmonische Schwingung 4-4

13 Beispiel: Überlagerung der harmonischen Schwingungen cos(ωt δ k ), δ k = kδ, k = 0,..., n, Harmonische Schwingung 5-1

14 Beispiel: Überlagerung der harmonischen Schwingungen cos(ωt δ k ), δ k = kδ, k = 0,..., n, komplexe Darstellung Überlagerung als Realteil von n e iωt + e i(ωt δ) e i(ωt nδ) = e iωt k=0 e ikδ Harmonische Schwingung 5-2

15 Beispiel: Überlagerung der harmonischen Schwingungen cos(ωt δ k ), δ k = kδ, k = 0,..., n, komplexe Darstellung Überlagerung als Realteil von n e iωt + e i(ωt δ) e i(ωt nδ) = e iωt geometrische Summe mit q = e iδ iωt 1 qn+1 e 1 q k=0 = e iωt 1 ( e iδ) n+1 1 e iδ e ikδ Harmonische Schwingung 5-3

16 Beispiel: Überlagerung der harmonischen Schwingungen cos(ωt δ k ), δ k = kδ, k = 0,..., n, komplexe Darstellung Überlagerung als Realteil von n e iωt + e i(ωt δ) e i(ωt nδ) = e iωt geometrische Summe mit q = e iδ iωt 1 qn+1 e 1 q k=0 = e iωt 1 ( e iδ) n+1 1 e iδ e iϕ e iϕ = 2i sin ϕ mit ϕ = (n + 1)δ/2 bzw. ϕ = δ/2 n+1 iωt e i 2 δ (2i sin n+1 2 e δ) ( sin n+1 2 e i δ 2 (2i sin δ 2 ) = δ ) sin δ 2 e ikδ e i(ωt n 2 δ) Harmonische Schwingung 5-4

17 Beispiel: Überlagerung der harmonischen Schwingungen cos(ωt δ k ), δ k = kδ, k = 0,..., n, komplexe Darstellung Überlagerung als Realteil von n e iωt + e i(ωt δ) e i(ωt nδ) = e iωt geometrische Summe mit q = e iδ iωt 1 qn+1 e 1 q k=0 = e iωt 1 ( e iδ) n+1 1 e iδ e iϕ e iϕ = 2i sin ϕ mit ϕ = (n + 1)δ/2 bzw. ϕ = δ/2 n+1 iωt e i 2 δ (2i sin n+1 2 e δ) ( sin n+1 2 e i δ 2 (2i sin δ 2 ) = δ ) sin δ 2 e ikδ e i(ωt n 2 δ) harmonische Schwingung mit Amplitude sin((n + 1)δ/2)/ sin(δ/2) und Phase (n/2)δ Harmonische Schwingung 5-5

18 Modulierte Schwingung Die Überlagerung zweier Schwingungen c k e iω kt lässt sich als Produkt c(t)e i ωt, c(t) = c 1 e i ωt + c 2 e i ωt, schreiben mit ω = (ω 1 + ω 2 )/2 und ω = (ω 1 ω 2 )/2. Harmonische Schwingung 6-1

19 Modulierte Schwingung Die Überlagerung zweier Schwingungen c k e iω kt lässt sich als Produkt c(t)e i ωt, c(t) = c 1 e i ωt + c 2 e i ωt, schreiben mit ω = (ω 1 + ω 2 )/2 und ω = (ω 1 ω 2 )/2. Die resultierende sogenannte modulierte Schwingung ist nur dann periodisch, wenn das Frequenzverhältnis ω 1 /ω 2 rational ist. Der Betrag der modulierten komplexen Amplitude schwankt zwischen dem minimalen und maximalen Wert c 1 c 2 bzw. c 1 + c 2. Insbesondere ist für gleiche Amplituden c = c 1 = c 2. c(t) = 2c cos( ωt) Harmonische Schwingung 6-2

20 periodische Überlagerung cos t cos(3t) gleiche Amplituden c k und ω 1 ω cos(10t) + cos(12t) Harmonische Schwingung 6-3

21 aperiodische Überlagerung cos t + 2 cos( 5t + π 4 ) Harmonische Schwingung 6-4

22 Beispiel: Überlagerung ebener Schwingungen mit verschiedenen Schwingungsrichtungen (a 1, a 2 ) und (b 1, b 2 ): ( ) ( ) ( ) x(t) a1 b1 = cos(ω y(t) 1 t δ 1 ) + cos(ω 2 t δ 2 ) a 2 b 2 Harmonische Schwingung 7-1

23 Beispiel: Überlagerung ebener Schwingungen mit verschiedenen Schwingungsrichtungen (a 1, a 2 ) und (b 1, b 2 ): ( ) ( ) ( ) x(t) a1 b1 = cos(ω y(t) 1 t δ 1 ) + cos(ω 2 t δ 2 ) Lissajous-Figuren a 2 y b 2 x Parameter: a = (3, 0), ω 1 = 1, δ 1 = 0, b = (0, 4), ω 2 = 4, δ 2 = π/3 Harmonische Schwingung 7-2