Komplexe Zahlen. Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen Zahlen auf.

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1 Komplexe Zahle Problem: x = 0 ist i R icht lösbar. Zur Geschichte: Cardao : Auflösug quadratischer ud kubischer Gleichuge. Empfehlug: Reche z.b. mit 1 wie mit gewöhliche Zahle. Descartes 1637: Eiführug sogeater imagiärer eigebildeter Zahle. Euler 1777 führte das Symbol i := 1 mit i 2 = 1 ei. Gauss 1831 stellte eie strege Theorie zur Begrüdug der komplexe Zahle auf. Defiitio 1. Komplexe Zahle Die Mege C := {x, y x, y geordetes Paar x, y R} mit de Eigeschafte = ud de Operatioe + ud 1 x 1, y 1 = x 2, y 2 x 1 = x 2 y 1 = y 2 2 x 1, y 1 + x 2, y 2 = x 1 + x 2, y 1 + y 2 3 x 1, y 1 x 2, y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 heißt Mege der komplexe Zahle. Die Operatioe + ud erfülle die Körperaxiome: K1 a + b = b + a, a b = b a Komm.-Ges. K2 a + b + c = a + b + c, a b c = a b c Assoz.-Ges. K3 a b + c = a b + a c Distrib.-Ges. K4 Existez eutraler Elemete: Es existiere eie Zahl 0 ud eie Zahl 1 1 0, so daß für jedes Elemet a gilt: a+0 = a ud a 1 = a. K5 Existez iverser Elemete: Zu jedem a existiert ei a mit a + a = 0 ud für jedes a a 0 existiert ei a 1 mit a a 1 = 1. 1

2 Algebraische bzw. kartesische Darstellug: Uter eier komplexe Zahl z versteht ma ei Symbol der Form z := x + iy wobei x ud y reelle Zahle sid. Die reelle Zahle etspreche dem Spezialfall y = 0. Begrüdug der Darstellug 1 erfolgte i der Vorlesug. Bezeichuge: x := Re z Realteil, y := Im z Imagiärteil, z := i y, y R rei imagiäre Zahl. z = x + iy, z := x iy kojugiert komplexe Zahl zu z. z z = z 2 = x 2 + y 2, z = x 2 + y 2 Betrag vo z. 1 Mittels Polarkoordiate x = r cos ϕ, y = r si ϕ, r 0, ϕ [0, 2π] leitet ma aus 1 die so geate trigoometrische Darstellug ab. z = rcos ϕ + i si ϕ 2 Euler etdeckte die für alle reelle Zahle x ud y gültige grudlegede Formel e x+iy = e x cos y + i si y. 3 Stellt de Zusammehag zwische Exp.-Fkt. ud trigoometrische Fuktioe dar. Uter Verwedug vo e iy = cos y + i si y ud Formel 2 folgt die expoetielle Darstellug z = r e iϕ. 4 Mit der Darstellug e iϕ = cos ϕ+i si ϕ köe die folgede Eigeschafte bewiese werde. Die Beziehuge gelte für alle ϕ [0, 2π]. 1. e iϕ+2kπ = e iϕ, k Z, 2π-Periodizität 2. e iϕ = 1, 3. e iϕ 1+ϕ 2 = e iϕ 1 eiϕ 2, 4. [e iϕ ] = e iϕ cos ϕ + i si ϕ = cosϕ + i siϕ, 5. [e iϕ ] 1 = e iϕ. 2

3 Multiplikatio komplexer Zahle Gegebe sid z k := r k cos ϕ k + i si ϕ k i trigoometrischer ud z k := r k e iϕ k k = 1, 2 i expoetieller Darstellug. Gesucht ist z 1 z 2. z 1 z 2 = r 1 cos ϕ 1 + i si ϕ 1 r 2 cos ϕ 2 + i si ϕ 2 = r 1 r 2 [cos ϕ 1 cos ϕ 2 si ϕ 1 si ϕ 2 + icos ϕ 1 si ϕ 2 + cos ϕ 2 si ϕ 1 ] = r 1 r 2 [cosϕ 1 + ϕ 2 + i siϕ 1 + ϕ 2 ]. *: Verwedet werde die Additiostheoreme: cos ϕ 1 cos ϕ 2 si ϕ 1 si ϕ 2 = cosϕ 1 + ϕ 2, cos ϕ 1 si ϕ 2 + cos ϕ 2 si ϕ 1 = siϕ 1 + ϕ 2. Mit Formel 4 gewit ma leicht die Darstellug der Multiplikatio vo z 1 mit z 2 i expoetieller Form: z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e iϕ 1 e iϕ 2 = r 1 r 2 e iϕ 1 +ϕ 2. Geometrische Kostruktio vo z 1 z 2 z 1 z 2 r z 2 r 2 r1 z 1 ϕ 1 0ϕ 2 ϕ 1 1 Abbildug 1: Geometrisches Multipliziere zweier komplexer Zahle Die Dreiecke 0, 1, z 1 ud 0, z 2, z 1 z 2 sid ähliche Dreiecke. Nach dem Ählichkeitssatz gilt: r 2 r = 1 r 1 r = r 1 r 2. Damit ist der Betrag vo z 1 z 2 bestimmt, die Richtug ergibt sich aus ϕ 1 +ϕ 2. Merkregel: Zwei komplexe Zahle z 1, z 2 werde multipliziert, idem Ihre Argumete ϕ 1, ϕ 2 addiert ud ihre Beträge r 1, r 2 multipliziert werde. 3

4 Wurzelziehe aus eier komplexe Zahl Für eie atürliche Zahl suche wir komplexe Zahle z = r cos ϕ + i si ϕ = re iϕ, r 0, ϕ [0, 2π, die die Potezgleichug z = w für ei gegebees w i der trigoometrische bzw. expoetielle Form w = ρ cos ψ + i si ψ = ρe iψ, ρ 0, ψ [0, 2π erfülle M.a.W.: Ziehe der -te Wurzel aus der komplexe Zahl w. Wege der Periodizität der trigoometrische Fuktioe für reelle Argumete ψ erhalte wir r e iϕ = ρe iψ+2kπ = ρ cos ψ + 2kπ + i si ψ + 2kπ, k = 0, ±1, ±2,.... Uter Ausutzug der Gleichheit komplexer Zahle i Betrag ud Argumet folgt r = ρ, ϕ = ψ + 2kπ, k = 0, ±1, ±2,.... Hieraus ergibt sich mit der reelle Wurzel der Betrag r = ρ, sowie das Argumet ϕ = ψ+2kπ, k = 0, ±1, ±2,.... Wege der Periodizität der Fuktio e iϕ = cos ϕ + i si ϕ sid ur die Wikelwerte relevat. ϕ κ = ψ + 2kπ, k = 0, 1, 2,..., 1 5 Wir formuliere u das Ergebis im Satz 2. -te Wurzel Die -te Wurzel der Zahl w = ρe iψ = ρ cos ψ + i si ψ, ρ 0, ψ [0, 2π sid die komplexe Zahle z k = ρ e i ψ+2kπ = ρ cos ψ + 2kπ ψ + 2kπ + i si, k = 0, 1, 2,...,

5 Der z-wert für ϕ 0 erhält eie besodere Bezeichug. Defiitio 3. Hauptwert Uter dem Hauptwert der -te Wurzel versteht ma i 5 de Wert für k = 0 ud schreibt dafür w H = ρe i ψ = ρ cos ψ + i si ψ. Dies gibt us eie geometrische Iterpretatio als Merkregel. Folgerug Geometrische Iterpretatio. Die -te Wurzel teile de Kreis mit dem Radius ρ vom Hauptwert der Wurzel aus etgege dem Uhrzeigersi i gleiche Teile siehe Beispiel 4 ud Abb. 2. Beispiel 4. Sei w := 2 = 2e iπ. Ma bereche die füfte Wurzel aus w also z = 5 2 ud bezeiche sie mit zk, k = 0, 1, 2, 3, 4. Es gilt gemäß Formel 6 mit ψ = π, ρ = 2, = 5 z k = e i π+2kπ 5 5 π + 2kπ π + 2kπ = 2 cos + i si, 5 5 ud berechet z 0 = 5 2 cos π 5 + i si π 5 z 1 = 5 2 cos 3π 5 + i si 3π 5 z 2 = 5 2 cos 5π 5 + i si 5π 5 z 3 = 5 2 cos 7π 5 + i si 7π 5 z 4 = 5 2 cos 9π 5 + i si 9π 5 k = 0, 1, 2, 3, 4 = i , = i , = 5 2 = , = i , = i

6 y 1 z z 0 0 z 2 0 x z 3 z Abbildug 2: Alle Lösuge der Gleichug z = 0 6