Natürliche Zahlen sind interessant

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Natürliche Zahlen sind interessant"

Transkript

1 Natürliche Zahlen sind interessant N. N. Technische Universität München 16. September 2008

2 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

3 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

4 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

5 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

6 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

7 Grundlagen Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen N. Die natürlichen Zahlen erfüllen folgende Axiome: Axiomatik der natürlichen Zahlen N1 Die Zahl 0 ist eine natürliche Zahl: 0 N N2 Ist n eine natürliche Zahl, dann auch (n + 1): n N (n + 1) N N3 Jede Menge M, die die beiden Axiome N1 und N2 erfüllt, ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen: M = N

8 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

9 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

10 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

11 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

12 Wohlordnung Definition Eine lineare Ordnung einer Menge M ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation, die zudem total ist (d.h. für a, b M mit a b gilt: a b oder b a). Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung mit der Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von M ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element hat. Satz Die Relation liefert eine Wohlordnung der natürlichen Zahlen N. Beweis: Übung

13 Beispiele und Eigenschaften Natürliche Zahlen Beispiele für natürliche Zahlen: 0, 1, 2,... 1, keine natürlichen Zahlen

14 Beispiele und Eigenschaften Wohlordnungen Die Wohlordnung : Für alle n N gilt: n (n + 1) 0 n für alle n N.

15 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

16 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

17 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

18 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

19 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Satz (unbekannt, um 500 v.chr.) Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweisidee: 1 Beweis durch Widerspruch 2 Ausnutzen der Wohlordnung

20 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

21 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

22 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

23 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

24 Alle natürlichen Zahlen sind interessant Beweis Beweis durch Widerspruch: 1 Wir nehmen an, dass die Menge U N der uninteressanten Zahlen nicht leer ist 2 ist eine Wohlordnung auf N 3 U hat ein kleinstes Element u 4 Als kleinste uninteressante Zahl ist u natürlich hochinteressant 5 Das ist ein Widerspruch zur Annahme

25 Übersicht 1 Interessante Zahlen Vorbemerkungen Der Zentrale Satz 2 Anwendungen Pädagogik

26 Schülermotivation Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an der Mathematik zu vermitteln:

27 Schülermotivation Der bewiesene Satz hilft gerade jungen Menschen die Freude an der Mathematik zu vermitteln:

28 Literaturhinweise Bill Watterson The Essential Calvin and Hobbes Andrews McMeel Publishing, Riverside, 1988 Till Tantau The BEAMER class Lübeck, 2006

Geordnete Mengen. Eine Relation heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Geordnete Mengen. Eine Relation heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Geordnete Mengen Eine Relation heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Ist eine Ordnungsrelation auf eine geordnete Menge., dann nennt man Die Namensgebung

Mehr

Strukturelle Rekursion und Induktion

Strukturelle Rekursion und Induktion Kapitel 2 Strukturelle Rekursion und Induktion Rekursion ist eine konstruktive Technik für die Beschreibung unendlicher Mengen (und damit insbesondere für die Beschreibung unendliche Funktionen). Induktion

Mehr

Ordnungsrelationen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Ordnungsrelationen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Ordnungsrelationen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Geordnete Mengen Eine Relation R A A heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv,

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft

Mehr

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Ähnlich wie Funktionen besitzen Relationen charakteristische Eigenschaften. Diese Eigenschaften definieren wie

Mehr

Technische Universität München

Technische Universität München Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv,

Mehr

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen

3. Relationen Erläuterungen und Schreibweisen 3. Relationen Eine Relation ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Relationen im Sinne der Mathematik sind ausschließlich diejenigen Beziehungen, bei denen stets klar ist, ob

Mehr

6. Induktives Beweisen - Themenübersicht

6. Induktives Beweisen - Themenübersicht 6. Induktives Beweisen - Themenübersicht Ordnungsrelationen Partielle Ordnungen Quasiordnungen Totale Ordnungen Striktordnungen Ordnungen und Teilstrukturen Noethersche Induktion Anwendung: Terminierungsbeweise

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Partitionen natürlicher Zahlen

Partitionen natürlicher Zahlen Partitionen natürlicher Zahlen wgnedin@math.uni-koeln.de 9. Oktober 03 In dieser Notiz wird der Beweis des Satzes über die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl vorgestellt. Die Darstellung folgt

Mehr

Lineare Algebra I. Auswahlaxiom befragen. (Wer schon im Internet danach sucht, sollte das auch mal mit dem Begriff

Lineare Algebra I. Auswahlaxiom befragen. (Wer schon im Internet danach sucht, sollte das auch mal mit dem Begriff Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 2 Prof. Dr. Markus Schweighofer 11.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 2.1: Behauptung:

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Mathematische Grundbegriffe Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr,

Mehr

Programmierung 1 - Repetitorium

Programmierung 1 - Repetitorium WS 2002/2003 Programmierung 1 - Repetitorium Andreas Augustin und Marc Wagner Homepage: http://info1.marcwagner.info Donnerstag, den 10.04.03 Kapitel 7 Korrektheit 7.1 Abstrakte Prozeduren Abstrakte Prozedur

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11

Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3 Aufgabe 1 Zu überpüfen sind jeweils folgende Eigenschaften: 1. Reflexivität: x R x x S 2. Symmetrie:

Mehr

1.4 Äquivalenzrelationen

1.4 Äquivalenzrelationen 8 1.4 Äquivalenzrelationen achdem nun die axiomatische Grundlage gelegt ist, können wir uns bis zur Einführung der Kategorien das Leben dadurch erleichtern, daß wir bis dorthin, also bis auf weiteres,

Mehr

Analysis I. Vorlesung 4. Angeordnete Körper

Analysis I. Vorlesung 4. Angeordnete Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 4 Angeordnete Körper Zwei reelle Zahlen kann man ihrer Größe nach vergleichen, d.h. die eine ist größer als die andere oder es handelt sich

Mehr

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen

mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Einführung in die Logik - 6 mathematische Grundlagen der Modelltheorie: Mengen, Relationen, Funktionen Modelltheoretische / Denotationelle Semantik der Prdikatenlogik Ein Modell ist ein künstlich geschaffenes

Mehr

1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen

1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen 1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen Einleitung 1 Wie der Name schon sagt sind Äquivalenzrelationen besondere Relationen. Deswegen erkläre ich hier ganz allgemein, was Relationen

Mehr

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

Mehr

Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik

Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt SS 2015 Aufgabe 2 Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Geben Sie für die folgenden

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und

Mehr

Vorkurs Mathematik Abbildungen

Vorkurs Mathematik Abbildungen Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren.

Mehr

Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8

Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8 Heilbronn, den 14.5.2010 Prof. Dr. V. Stahl WS 10/11 Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz Blatt 8 Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden

Mehr

Anhang B. Relationenalgebraische Definitionen. B.1 Relationen

Anhang B. Relationenalgebraische Definitionen. B.1 Relationen Anhang B Relationenalgebraische Definitionen Die relationenalgebraischen Definitionen bilden die Grundlage der formalen Aspekte der Projekte WebReference und InterMediate [Her00]. Sie sind [SS89] entnommen.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

4. Vektorräume und Gleichungssysteme

4. Vektorräume und Gleichungssysteme technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 41 und 42 4 Vektorräume

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.

Mehr

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A.

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A. Lineare Hülle Def A sei eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums (V,+, ) Die lineare Hülle von A (Bezeichung: span(a)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Elemente aus A { k } span(a) := λ i v

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Ebene Elementargeometrie

Ebene Elementargeometrie Ebene Elementargeometrie Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebung) und Sätzen (nachweisbaren Aussagen) so genannte Axiome. Axiome stellen der Anschauung entnommene Aussagen dar,

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Bäume

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Bäume Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Dozentin: Wiebke Petersen 6. Foliensatz (basierend auf Folien von Gerhard Jäger) Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Baumdiagramme Ein Baumdiagramm eines

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine

Mehr

Mathematik für Informatiker 1 Tutorium

Mathematik für Informatiker 1 Tutorium Mathematik für Informatiker 1 Tutorium Malte Isberner 9.1.2014 M. Isberner MafI1-Tutorium 9.1.2014 1 / 12 Thema heute Thema heute: Verbände M. Isberner MafI1-Tutorium 9.1.2014 2 / 12 Verbände Was ist ein

Mehr

Übung zur Vorlesung Multiagentensysteme

Übung zur Vorlesung Multiagentensysteme Ludwig-Maximilians-Universität München SS 2007 Institut für Informatik Aufgabenblatt 1 Dr. Brandt / Fischer & Harrenstein 23. April 2007 Übung zur Vorlesung Multiagentensysteme Tutorübung: 25. April 2007

Mehr

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

Ergänzende Übungen Lineare Algebra I. Wintersemester 2010/11. Prof. Dr. Kristina Reiss Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Ergänzende Übungen Lineare Algebra I. Wintersemester 2010/11. Prof. Dr. Kristina Reiss Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik Ergänzende Übungen Lineare Algebra I Wintersemester 2010/11 Prof. Dr. Kristina Reiss Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik 1 Äquivalenz Was bedeutet Äquivalenz? Wie wird der Begriff

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

[Ausarbeitung Mathe 3 Prüfungsfragen WH]

[Ausarbeitung Mathe 3 Prüfungsfragen WH] 2008 [Ausarbeitung Mathe 3 Prüfungsfragen WH] Wichtige Anmerkung des Autors: Diese Ausarbeitung ist meine persönliche Interpretation der Antworten. Es gibt keinerlei Gewähr, dass die Antworten stimmen

Mehr

Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4

Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik Dr. Astrid Brinkmann Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4 Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 12. Dezember Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/22

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 12. Dezember Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/22 1/22 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 12. Dezember 2007 2/22 Bäume Baumdiagramme Ein Baumdiagramm eines Satzes stellt drei Arten von Information

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich  Name: Vorname: Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1)

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1) und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen.

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Betrachtungen zu Sprache, Logik und Beweisen Sprache Wir gehen von unserem Alphabet einigen Zusatzsymbolen aus.

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Wir starten mit der Entwicklung einer algebraischen Struktur, welche u.a. gut zur Kennzeichnung von Geometrien geeignet ist.

Wir starten mit der Entwicklung einer algebraischen Struktur, welche u.a. gut zur Kennzeichnung von Geometrien geeignet ist. 2 Verbände Wir starten mit der Entwicklung einer algebraischen Struktur, welche u.a. gut zur Kennzeichnung von Geometrien geeignet ist. 2.1 Verbandsdefinition. Beispiele 2.1.1 Definition (Verband): Sei

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Zahlentheorie. Vorlesung 14. Fermatsche Primzahlen

Zahlentheorie. Vorlesung 14. Fermatsche Primzahlen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 14 Fermatsche Primzahlen Definition 14.1. Eine Primzahl der Form 2 s + 1, wobei s eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 15

Aufgaben zu Kapitel 15 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation

Mehr

2.2 der Größenbegriff

2.2 der Größenbegriff (mit Äquivalenzrelationen) Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau Zu Größen gelangt man ausgehend von realen Gegenständen durch einen Abstraktionsvorgang. Man geht

Mehr

Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Natürliche, ganze und rationale Zahlen Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit dem reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!)

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 28. November 2011 Definition Beispiel: Wassermengen und Konzentrationen in einem Fluss Beispiel Zeilenstufenform Beispiel (Fortsetzung) Anhang

Mehr

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation 4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B

Mehr

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich 9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Reinhard Riedl (riedl@ifi.unizh.ch) Nadine Korolnik (korolnik@ifi.unizh.ch)

Mehr

Theoretische Informatik Mitschrift

Theoretische Informatik Mitschrift Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen 2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir

Mehr

Kapitel 4. Induktive Definitionen und Beweise

Kapitel 4. Induktive Definitionen und Beweise Kapitel 4 Induktive Definitionen und Beweise Bei der Definition der Semantik der Programmiersprache IMP haben wir an vielen verschiedenen Stellen induktive Definitionen benutzt: angefangen bei der Syntax

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht . Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7

Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7 Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo 1.Motivation 3 1.1. Konstruktion von R im allgemeine 3 2.Voraussetzung 3 2.1Die Menge Q zusammen mit den beiden Verknüpfungen 3 2.2Die Rationalen Zahlen

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner WS / Blatt 6 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag Wir verwenden das Unterraumkriterium,

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Einführung in die Mengenlehre

Einführung in die Mengenlehre Einführung in die Mengenlehre D (Menge von Georg Cantor 845-98) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unseres Denkens oder unserer Anschauung zu einem Ganzen wobei

Mehr