Weitere Anwendungen quadratischer Funktionen

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1 Weitere Anwendungen quadratischer Funktionen 1. Auf einer Wiese soll mit einem 6 m langen Zaun eine rechteckige Fläche eingezäunt werden; dabei sollen 4 m als Einfahrt frei bleiben: 4 m l Die Funktion A ordnet jeder möglichen Seitenlänge den Inhalt der Fläche zu; Einheiten können dabei ignoriert werden. 1.1 Ermitteln Sie einen Funktionsterm von A (mögliches Ergebnis: A() + ) und geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge an. 1. Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert von der Inhalt der eingezäunten Fläche am größten ist, und geben Sie diesen größten Flächeninhalt an. 1. Ermitteln Sie, für welche Werte von der Inhalt der eingezäunten Fläche größer als (m ) ist.. In einem dreieckigen Dachgiebel ABC soll symmetrisch zur Mittelachse (y-achse) ein rechteckiges Fenster eingebaut werden. Das Fenster soll auf einem Sims der Höhe 1 LE aufsitzen und mit den oberen Ecken P und Q an den Dachgiebel heranreichen (siehe Skizze): y 6 C P Q A -8.1 Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte B und C. Geben Sie damit die Koordinaten des Punktes Q in Abhängigkeit von a (siehe Skizze) an.. Stellen Sie den Flächeninhalt A(a) des Fensters in Abhängigkeit von a dar und geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge an. (mögliches Ergebnis: A(a) 1,5 a + 1 a). Bestimmen Sie nun a so, dass der Flächeninhalt des Fensters möglichst groß ist. Geben Sie diesen größten Flächeninhalt an. Ermitteln Sie auch Breite und Höhe dieses Fensters. 4.4 Ermitteln Sie, für welche Werte von a der Flächeninhalt des Fensters mindestens (FE) beträgt. (nach Abschlussprüfung 7 A II, abgewandelt und vereinfacht!) 1 LE a B 8. Zwei positive reelle Zahlen und y haben die Summe 1..1 Begründen Sie, dass sich für das Produkt p der beiden Zahlen in Abhängigkeit von ergibt: p() + 1. Geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge D p an.. Ermitteln Sie, für welche Zahlen und y das Produkt am größten wird.. Ermitteln Sie, für welche Zahlen das Produkt größer als 1 ist.

2 4. Die lineare Funktion p() m + t gibt an, zu welchem Preis p (in pro Stück) ein Kleinunternehmen seine Waren verkaufen kann, wenn Stück davon produziert werden. Dabei ist bekannt: bei einer Produktionsmenge von 1 Stück kann die Ware zum Preis von 1 pro Stück verkauft werden; werden 1 Stück mehr produziert, so sinkt der erzielbare Preis um. 4.1 Ermitteln Sie einen Term für die Funktion p und begründen Sie damit, dass für den Erlös E (in ) in Abhängigkeit von der produzierten Menge gilt: E(), + Geben Sie eine im Zusammenhang der Aufgabenstellung sinnvolle Definitionsmengen D E an. 4. Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Stückzahl der erzielte Erlös am größten ist. 4. Ermitteln Sie, für welche Stückzahlen der erzielte Erlös größer als 11 ( ) ist. 5. Aus einem Drahtstück der Längen 8 cm soll ein Kantenmodell eines Quaders gebastelt werden. Eine Grundseite soll dabei 1 cm lang sein, die andere hat die Länge ; Einheiten können im Folgenden ignoriert werden. h 1 cm 5.1 Begründen Sie, dass für das Volumen V (in cm ) dieses Quaders in Abhängigkeit von gilt: V() 1 + 1, und geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge an. 5. Berechnen Sie die Seitenlänge, für welche das Volumen V am größten ist, und geben Sie dieses größte Volumen an. 5. Ermitteln Sie, für welche Seitenlängen das Volumen größer als 1 (cm ) ist. (nach Abschlussprüfung 8 AI, vereinfacht!) 6. Ein Doppelrundbogenfenster (siehe Zeichnung) wird von drei Seiten eines Rechtecks sowie von zwei Halbkreisen (jeweils Radius r) begrenzt. Der Umfang des Fensters beträgt 1 m. (Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet!) 6.1 Stellen Sie den Flächeninhalt A(r) des Fensters in Abhängigkeit vom Radius r der Halbkreise dar (mögliches Ergebnis: A(r) r (π + 8) r ) und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A an. 6. Berechnen Sie auf drei Nachkommastellen genau denjenigen Wert von r, für den der Flächeninhalt des Fensters seinen größten Wert annimmt. Wie viel Prozent des Inhalts nimmt in diesem Fall der rechteckige Teil des Fensters ein? (aus Abschlussprüfung 8 AII)

3 Lösungen allgemeine Anmerkung: Die quadratischen Ungleichungen kann man statt mit einer Skizze auch anders lösen; siehe Buch! 1.1 A l ; l ist noch unbekannt! gesamter Umfang: 6 m Zaun + 4 m Einfahrt 64 m + l 64 l 64 l oben einsetzen A() ( ) + > und l > > < ; damit: D ];[ 1. A() + ( ) ( ) ( ( 16) 56) ( 16) + 56 S(16 56) Die Fläche ist für 16 (m) am größten, nämlich 56 (m ) > + > ; Gleichung lösen: + 1, ± 4 ( 1) ( ) ( 1) ± 1 1 1; Der Flächeninhalt ist größer als (m ) für 1 < <. (weil dort der Graph über der -Achse ist!) 6.1 m,75; t 6 y, Die -Koordinate von Q ist gleich a (siehe Zeichnung); einsetzen y Q,75a + 6. A b h; b a (siehe Zeichnung!); h y Q 1,75a + 5 (1 Meter Sims unten!) einsetzen: A(a) a (,75a + 5) 1,5 a + 1 a b > a > a > und h >,75a + 5 > a < ; damit: D ; 1. A(a) 1,5 a a 1,5 1 1 a a + 1,5 1,5 1 1 a ,5 a + S Die Fläche ist am größten für a (LE), nämlich (FE). 1 1 Breite: b (LE); Höhe: h,75 + 5,5 (LE)

4 .4 1,5 a + 1 a a 1, 1 ± 4 4 4,5 a + a 4 ; Gleichung lösen: 4,5 a + a 4 4 ( 4,5) ( 4) ( 4,5) ± a 1 ; a a Der Flächeninhalt ist mindestens (FE) für a. (weil dort der Graph über bzw. auf der a-achse ist!).1 p y, wobei + y 1 y 1 p() (1 ) + 1 > und y > (positive Zahlen verlangt!) 1 > < 1 D p ];1[. p() ( 1) ( ) ( ( 5) 5) ( 5) + 5 S(5 5) Das Produkt wird am größten (nämlich gleich 5) für 5 und damit auch y > > Gleichung lösen: ; 1, 1 ; 7; 5 1 ± 1 4 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ± Das Produkt ist größer als 1 für < < 7. (weil dort der Graph über der -Achse ist!) 4.1 pro 1 Stück mehr sinkt der Preis um ( ) m 1, p(), + t bei 1 Stück Preis von 1 ( ) 1, 1 + t t p(), + (oder, länger: bei 1 Stück 1, also bei 11 Stück 1 ; man hat also die Punkte P(1 1) und Q(11 1) gegeben; dann stellt man wie bekannt die Gleichung der Gerade durch P und Q auf) Erlös Stückzahl mal Preis pro Stück, also: E() p(), +

5 > und p >, + > < 16; damit: D E ];16[ 4. E(), ( 16), ( ), ( ( 8) 64 ), ( 8) S(8 1 8) Der Erlös ist am größten (nämlich 1 8 ) bei 8 Stück. 4., + > :(,) < ; Gleichung lösen: ; 1, 1 5; 11; 16 ± ( 16) ± Der Erlös ist größer als 11 ( ) für 5< < 11. (weil dort der Graph unter der -Achse ist!) 5.1 V l b h 1 h; h ist noch unbekannt! gesamte Drahtlänge: h 4h 4 4 h 1 oben einsetzen: V() 1 (1 ) > und h > 1 > < 1; damit: D ];1[ 5. V() 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ( 5) 5) 1 ( 5) + 5 S(5 5) Das Volumen ist am größten für 5 (cm), nämlich 5 (cm ) > > ; Gleichung lösen: , 1 ± 1 4 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ± 4 1 ; Das Volumen ist größer als 1 (cm ) für < < 7. (weil dort der Graph über der - Achse ist!)

6 6.1 A A Rechteck + A Halbkreis A Rechteck + A Kreis 4r b + πr ; b ist noch unbekannt! Umfang: 1 m Länge unten + Seitenlängen + Halbkreise Länge unten + Seitenlängen + Kreis 1 4r + b + πr b 1 πr 4r b 5 πr r oben einsetzen: A(r) 4r (5 πr r) + πr r 4πr 8r + + πr r πr 8r r (π + 8)r r > und b > 5 πr r > 5 (π + )r > r < 5 + π,97 6. A(r) (π + 8) r r (π + 8) 1 1 r r + π + 8 π + 8 π π (π + 8) r π ( π + 8) (π + 8) r + π π S,574 5,79 π + 8 π + 8 Der Flächeninhalt nimmt seinen größten Wert (nämlich etwa 5,79 (m )) für einen Radius von etwa,574 (m) an. 1 1 Fläche des rechteckigen Teils: A Rechteck A A Kreis π 4,74 (m ) π + 8 π 4,74 : 5,79,8 Der rechteckige Teil nimmt etwa 8% des Fensters ein.