Übung 2: Konsumententheorie

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1 Übung 2: Konsumententheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Intermediate Microeconomics HS 11 Übung 2 1 / 44

2 2 / 44 Präferenzen Aufgabe 1 Worum geht es? Annahmen an rationale Präferenzrelationen verstehen und erkennen können. Liste der wesentlichen Annahmen: Strenge Monotonie. Strenge Konvexität. Artigkeit d.h. streng monoton, streng konvex, sowie differenzierbar. Aufgabe 2 hat das gleiche Ziel.

3 3 / 44 Präferenzen Aufgabe 1 Abbildung: Aufgabe 1(a). Indifferenzkurven und Besserpfeile einer streng konvexen und streng monotonen Präferenzrelation.

4 4 / 44 Präferenzen Aufgabe 1 Abbildung: Aufgabe 1(b). Indifferenzkurven und Besserpfeile einer streng monotonen Präferenzrelation, die nicht konvex ist.

5 5 / 44 Präferenzen Aufgabe 1 Abbildung: Aufgabe 1(c). Indifferenzkurven und Besserpfeile einer Präferenzrelation, die weder konvex noch monoton ist.

6 6 / 44 Präferenzen Aufgabe 1 Nicht vergessen! Für eine artige Präferenzrelation gilt: 1 Die Indifferenzkurven verlaufen streng fallend. 2 Die Indifferenzkurven verlaufen streng konvex. 3 Bessere Güterbündel liegen rechts-oberhalb der Indifferenzkurve.

7 7 / 44 Präferenzen Aufgabe 2 Abbildung: Liegen (2, 5), (3, 4) und (4, 1) auf einer Indifferenzkurve, kann die Präferenzrelation nicht artig sein.

8 8 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3 Worum geht es? Sie verstehen, wie man aus der Angabe einer Nutzenfunktion Eigenschaften der dargestellten Präferenzrelation bestimmt. Sie erkennen, ob eine Nutzenfunktion eine artige Präferenzrelation darstellt.

9 9 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(a) u(x 1,x 2 ) = ax 1 + bx 2 mit a > 0 und b > 0. 1 (Nutzenfunktion ist differenzierbar die Präferenzrelation ist stetig und differenzierbar.) 2 Grenznutzen u 1 (x 1,x 2 ) = a und u 2 (x 1,x 2 ) = b sind streng positiv die Präferenzrelation ist streng monoton. 3 Verhältnis der Grenznutzen a/b ist konstant die Präferenzrelation ist konvex aber nicht streng konvex. Die dargestellte Präferenzrelation ist also unartig. Die Nutzenfunktion stellt sogenannte perfekte Substitute dar, für welche die Grenzrate der Substitution GRS(x 1,x 2 ) = a/b konstant ist.

10 10 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(a) Ein Beispiel für perfekte Substitute: Die Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 sind parallele Geraden mit Steigung 1.

11 11 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(b) u(x 1,x 2 ) = 2a x 1 + x 2 mit a > 0 1 (Nutzenfunktion ist differenzierbar die Präferenzrelation ist differenzierbar.) 2 Grenznutzen u 1 (x 1,x 2 ) = a/ x 1 und u 2 (x 1,x 2 ) = 1 sind streng positiv die Präferenzrelation ist streng monoton. 3 Verhältnis der Grenznutzen a/ x 1 ist streng fallend die Präferenzrelation ist streng konvex. Die dargestellte Präferenzrelation ist also artig. In der Tat ist die Nutzenfunktion quasilinear mit v(x 1 ) = 2a x 1 und stellt somit eine quasilineare Präferenzrelation dar.

12 12 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(b) Abbildung: Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 verlaufen streng fallend und streng konvex.

13 13 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(b) Allgemeiner Test, ob eine quasilineare Nutzenfunktion eine artige Präferenzrelation darstellt: gilt für alle x 1 > 0. v (x 1 ) > 0 und v (x 1 ) < 0 Allgemeiner Test, ob eine Nutzenfunktion eine quasilineare Präferenzrelation darstellt: Die Grenzrate der Substitution hängt nicht von x 2 ab.

14 14 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(c) u(x 1,x 2 ) = (x 1 a)(x 2 b) mit a > 0 und b > 0. 1 (Nutzenfunktion ist differenzierbar die Präferenzrelation ist stetig und differenzierbar.) 2 Grenznutzen u 1 (x 1,x 2 ) = (x 2 b) und u 2 (x 1,x 2 ) = (x 1 a) sind für x 2 < b bzw. x 1 < a nicht streng positiv die Präferenzrelation ist nicht monoton. Die dargestellte Präferenzrelation ist also unartig.

15 15 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 3(d) u(x 1,x 2 ) = ln(x 1 + 1) + x 2. Nutzenfunktion ist quasilinear mit v(x 1 ) = ln(x + 1). Anwendung des allgemeinen Tests für quasilineare Nutzenfunktionen: v (x 1 ) = 1 x 1 +1 > 0, v (x 1 ) = 1 (x 1 +1) 2 < 0. Schlussfolgerung: Nutzenfunktion ist artig.

16 16 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 4 Worum geht es? Sie verstehen, dass unterschiedliche Nutzenfunktionen die gleiche Präferenzrelation darstellen können. Sie wissen, dass man mit der Grenzrate der Substitution bestimmen kann, ob unterschiedliche Nutzenfunktionen die gleiche Präferenzrelation darstellen. Sie kennen verschiedene Darstellungen einer Cobb-Douglas-Präferenzrelation.

17 17 / 44 Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aufgabe 4 Rechenbeispiel: Nutzenfunktion durch u(x 1,x 2 ) = x x gegeben. 1 Bestimmt die Summe der Exponenten: = 2. 2 Teile beide Exponenten durch diese Summe. 3 Präferenzrelation kann auch durch die Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x1 0.4x dargestellt werden, bei der die Summe der Exponenten gleich 1 ist. Beachte: Die gleiche Präferenzrelation kann auch durch u(x 1,x 2 ) = 0.4ln(x 1 ) + 0.6ln(x 2 ) dargestellt werden. Vorteil dieser Darstellung ist, dass sich die Grenznutzen und damit auch die Grenzrate der Substitution ohne grossen Rechenaufwand bestimmen lassen.

18 18 / 44 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Aufgabe 5 Worum geht es? Sie können das Nutzenmaximierungsproblem für eine oftmals verwendete quasilineare Nutzenfunktion lösen. Sie verstehen, dass in der Lösung eines Nutzenmaximierungsproblems Randlösungen auftreten können und wissen, wie diese zu bestimmen sind.

19 19 / 44 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Aufgabe 5 Nutzenfunktion: u(x 1,x 2 ) = aln(x 1 ) + x 2 mit a > 0. Beobachtungen, die man vorweg machen sollte: 1 Nutzenfunktion ist quasilinear mit v(x 1 ) = aln(x 1 ). 2 Nutzenfunktion ist artig, da v (x 1 ) = a/x 1 > 0 und v (x 1 ) = a/(x 1 ) 2 < 0. Also... 1 Lösung des Nutzenmaximierungsproblems ist eindeutig bestimmt. 2 Innere Lösung durch die Gleichungen a/x1 = p 1/p 2 sowie x2 = (m p 1x1 )/p 2 bestimmt. 3 Gilt in der Lösung der obigen Gleichungen x2 0, so liegt eine Randlösung mit x1 = m/p 1 und x2 = 0 vor.

20 20 / 44 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Aufgabe 5 Abbildung: Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2.

21 21 / 44 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Aufgabe 5 Lösung des Nutzenmaximierungsproblems: 1 Aus der Gleichung a/x 1 = p 1/p 2 folgt x 1 = ap 2/p 1. 2 Setze diesen Wert von x 1 in die Gleichung x 2 = (m p 1x 1 )/p 2 ein x 2 = m/p 2 a. 3 x 2 > 0 gilt genau dann, wenn m/p 2 > a. In diesem Fall wird das Nutzenmaximierungsproblem durch gelöst. (x 1,x 2 ) = (ap 2 p 1, m p 2 a) 4 Gilt m/p 2 a wird das Nutzenmaximierungsproblem durch die Randlösung gelöst. (x 1,x 2 ) = ( m p 1,0)

22 22 / 44 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Aufgabe 5 Nachfragefunktion: Die Nachfragefunktion gibt das optimale Güterbündel in Abhängigkeit von den Parametern p 1, p 2 und m an. Für m > ap 2 : Für m ap 2 : f 1 (p 1,p 2,m) = ap 2 p 1 und f 2 (p 1,p 2,m) = m p 2 a f 1 (p 1,p 2,m) = m p 1 und f 2 (p 1,p 2,m) = 0. Diese beiden Fälle kann man auch in jeweils eine Formel fassen: f 1 (p 1,p 2,m) = min{ap 2,m} p 1 und f 2 (p 1,p 2,m) = max{ m p 2 a,0}.

23 23 / 44 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Aufgabe 6 Worum geht es? Sie kennen die folgenden Begriffe: Gewöhnliche und Giffen-Güter Normale, einkommensunabhängige und inferiore Güter Komplemente und Substitute und können für eine gegebene Nachfragefunktion bestimmen, um was für Güter es sich handelt.

24 24 / 44 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Aufgabe 6 Normale Güter: Die nachgefragte Menge ist streng steigend im Einkommen des Konsumenten. Dies wird durch das Vorzeichen der partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Einkommen bestimmt. Gewöhnliche Güter: Die nachgefragte Menge ist fallend im Preis des betrachteten Gutes. Dies wird durch das Vorzeichen der partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach dem eigenen Preis bestimmt. Komplement: Die nachgefragte Menge ist streng fallend im Preis des anderen Gutes. Dies wird durch das Vorzeichen der partiellen Ableitung der Nachfragefunktion nach dem anderen Preis bestimmt.

25 25 / 44 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Aufgabe 6 Nachfragefunktion f 1 (p 1,p 2,m) = Bemerke: m m p 1 + p 1 r, f 2 p1 r 2 (p 1,p 2,m) = p 2 + p 1 r 1 p2 r Der Spezialfall r = 1 ergibt die Nachfragefunktion für Cobb-Douglas-Präferenzen mit u(x 1,x 2 ) = x1 0.5x mit r 0.

26 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Aufgabe 6 Betrachte Gut 1: f 1 (p 1,p 2,m) = m p 1 +p 1 r 2 p r 1 f 1 ist streng steigend in m: Gut 1 ist normal. f 1 ist streng fallend in p 1 : Gut 1 ist gewöhnlich. Für r < 1 ist f 1 streng fallend in p 2 : Gut 1 ist ein Komplement für Gut 2. Für r > 1 ist f 1 streng fallend in p 2 : Gut 1 ist ein Substitut für Gut 2. Die Ergebnisse für Gut 2 sind analog. 26 / 44

27 27 / 44 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Aufgabe 7 Worum geht es? Grundlegende Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen hier Budgetidentität und Homogenität verstehen und erkennen können. Nachfragefunktion gegeben durch: x 1 = f 1 (p 1,p 2,m) = m p p 1, x 2 = f 2 (p 1,p 2,m) = 1 1 p 2 Budgetidentität gilt: p 1 f 1 (p 1,p 2,m) + p 2 f 2 (p 1,p 2,m) = (m p 2 + 1) + (p 2 1) = m. Homogenität vom Grade Null gilt nicht. Z.B.: f 2 (1,2,2) = 1/2 f 2 (2,4,4) = 3/4

28 28 / 44 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Aufgabe 8 Worum geht es? Grundlegende Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen hier die Negativität des Substitutionseffekts verstehen und erkennen können. Nachgefrage Güterbündel: f (5,5,100) = (12,8) und f (4,8,116) = (9,10). Dies ist nicht mit der Annahme einer artigen Nutzenfunktion vereinbar, da unter der Annahme der Artigkeit: = 95 < 100 impliziert, dass u(9,10) < u(12,8) gilt und = 112 < 116 impliziert, dass u(12,8) < u(9,10) gilt.

29 29 / 44 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Aufgabe 8 Abbildung: Das Güterbündel (12,8) ist auch bei (4,8,116) (rote Budgetgerade) erschwinglich. Ebenso ist das Güterbündel (9, 10) auch bei (5, 5, 100) (blaue Budgetgerade) erschwinglich.

30 30 / 44 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Aufgabe 9 Worum geht es? Zerlegung der Auswirkung einer Preisänderung in Substitutions- und Einkommenseffekt ε ii = ε ii θ iξ i verstehen und anwenden können. Hier so dass das Gut Giffen ist. ε ii = = 0.01 > 0,

31 31 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Worum geht es? Sie kennen das Beispiel der perfekten Komplemente und die dazugehörige Nachfragefunktion. Zusammenhänge zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung verstehen. Kompensierende und äquivalente Variation berechnen können. Wissen, dass die Eigenpreiselastizität der kompensierten Nachfrage gleich der Substitutionselastizität ist.

32 32 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Definition (Perfekte Komplemente - Allgemeine Version) Die Güter heissen perfekte Komplemente wenn die Präferenzrelation durch eine Nutzenfunktion der Form u(x 1,x 2 ) = min{a x 1,b x 2 } mit a > 0 und b > 0 dargestellt werden kann. Perfekte Komplemente beschreiben eine Situation, in welcher der Konsument die beiden Güter in dem fixen Verhältnis x 1 /x 2 = b/a konsumieren möchte. Perfekte Komplemente sind unartig, da sie nicht differenzierbar, nicht streng monoton und nicht streng konvex sind.

33 33 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Perfekte Komplemente: Die Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 } sind L-förmig, wobei die Knickpunkte auf der Geraden x 1 = x 2 liegen.

34 34 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Perfekte Komplemente: u(x 1,x 2 ) = min{a x 1,b x 2 } Lösung des Nutzenmaximierungsproblems ist nicht ist nicht durch die Bedingung erster Ordnung, sondern durch die folgenden Bedingungen bestimmt: p 1 x 1 + p 2x 2 = m, ax 1 = bx 2. Löst man diese Gleichungen, erhält man: x 1 = bm, x2 bp 1 + ap = am. 2 bp 1 + ap 2

35 35 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Perfekte Komplemente mit b = 1: Das optimale Güterbündel liegt im Schnittpunkt der Budgetgeraden mit der Geraden x 2 = ax 1, welche die Knickpunkte der Indifferenzkurven miteinander verbindet.

36 36 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Nachfragefunktion zu perfekten Komplementen u(x 1,x 2 ) = min{ax 1,bx 2 } ist: bm am f 1 (p 1,p 2,m) = und f 2 (p 1,p 2,m) =. bp 1 + ap 2 bp 1 + ap 2 Einkommenselastizitäten sind ξ 1 (p,m) = ξ 2 (p,m) = 1: Beide Güter sind normal. Ausgabenanteile sind θ 1 (p,m) = bp 1 /(bp 1 + ap 2 ) bzw. θ 2 (p,m) = ap 2 /(bp 1 + ap 2 ). Eigenpreiselastizitäten sind ε 11 (p,m) = bp 1 /(bp 1 + ap 2 ) < 0 bzw. ε 22 (p,m) = ap 2 /(bp 1 + ap 2 ) < 0: Beide Güter sind gewöhnlich. Kreuzpreiselastizitäten sind ε 12 (p,m) = ap 2 /(bp 1 + ap 2 ) < 0 bzw. ε 21 (p,m) = bp 1 /(p 1 + ap 2 ) < 0: Die Güter sind Komplemente für einander.

37 37 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Ein Kochrezept zur Bestimmung der Ausgabenfunktion und der kompensierten Nachfragefunktion: 1 Unkompensierte Nachfragefunktion f (p 1,p 2,m) zur Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) bestimmen. 2 Unkompensierte Nachfragefunktion in die Nutzenfunktion einsetzen, um die indirekte Nutzenfunktion zu bestimmen: U(p 1,p 2,m) = u(f 1 (p 1,p 2,m),f 2 (p 1,p 2,m)). 3 Gleichung ū = U(p 1,p 2,m) nach m auflösen, um die Ausgabenfunktion E(p 1,p 2,ū) zu bestimmen. 4 E(p 1,p 2,ū) nach p i ableiten, um die kompensierte Nachfragefunktion h i (p 1,p 2,ū) zu bestimmen.

38 38 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 10 Ein Kochrezept zur Bestimmung der kompensierenden Variation: 1 Nutzenniveau ū in der Ausgangssituation bestimmen (mit der indirekten Nutzenfunktion). 2 Ausgaben E bestimmen, die in der neuen Situation erforderlich sind, um das Nutzenniveau ū zu erreichen (mit der Ausgabenfunktion). 3 Die kompensierende Variation ist CV = E m. Ein Kochrezept zur Bestimmung der äquivalenten Variation: 1 Nutzenniveau ū in der neuen Situation bestimmen (mit der indirekten Nutzenfunktion). 2 Ausgaben E bestimmen, die in der alten Situation erforderlich sind, um das Nutzenniveau ū zu erreichen (mit der Ausgabenfunktion). 3 Die äquivalente Variation ist EV = m E.

39 39 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 11 Worum geht es? Berechnung der Konsumentenrente bei quasilinearer Präferenzrelation.

40 40 / 44 Ausgabenfunktion und Wohlfahrtsmessung Aufgabe 11 Ein Kochrezept zur Bestimmung der Konsumentenrente: 1 Bestimme die Nachfragefunktion d(p 1 ) = f 1 (p 1,1,m) von Gut 1 zu der quasilinearen Nutzenfunktion u(x 1,x 1 ) = v(x 1 ) + x 2. Dabei ist m als gegeben unterstellt und Gut 2 ist Numeraire. 2 Setze die nachgefragte Menge in die Zahlungsbereitschaft ein und ziehe die Ausgaben p 1 d(p 1 ) ab. Das Ergebnis ist die Konsumentenrente. kr(p 1 ) = v(d(p 1 )) p 1 d(p 1 ). Beachte: Bei quasilinearen Präferenzrelationen stimmt die Änderung der Konsumentenrente mit kompensierender und äquivalenter Kompensation überein.

41 41 / 44 Wohlfahrtsanalyse Aufgabe 12 Worum geht es? Aufgabe 12 (a): Sie verstehen das Anwendungsbeispiel des Inflationsausgleichs. Aufgabe 12 (b): Wie Aufgabe 11.

42 42 / 44 Wohlfahrtsanalyse Aufgabe 12(a) Das Güterbündel aus dem Basisjahr ist in dem Folgejahr erschwinglich: p t 1 x b 1 + pt 2 x b 2 = = 1602 < mt = Also ist die Konsumentin im Folgejahr besser gestellt. Beachte: Da die Präferenzrelation artig ist, können wir das Budget in der Ausgangssituation als m b = p b 1 x b 1 + pb 2 x b 2 = = bestimmen. Die Inflationsrate hat hier also nur ca Prozent betragen, während das Einkommen um mehr als 1 Prozent gestiegen ist.

43 43 / 44 Wohlfahrtsanalyse Aufgabe 12 (b) Beachte: Die Bearbeitung beruht darauf, dass die Informationen in der Aufgabenstellung genügen, um die Cobb-Douglas-Präferenzrelation der Konsumentin zu identifzieren: Fragt die Konsumentin bei Preisen (p 1,p 2 ) das Güterbündel (x 1,x 2 ) nach, so ist der Parameter der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x a 1 x 1 a 2 durch a = p 1 x 1 /(p 1x 1 + p 2x 2 ) gegeben. Ansonsten folgt die Bearbeitung dem zuvor angegebenen Kochrezept zur Bestimmung der kompensierenden Variation, die hier CV = = 160 beträgt. Beachte, dass trotz positiver Inflationsrate die kompensierende Variation negativ ist.

44 44 / 44 Wohlfahrtsanalyse Aufgabe 13 Abbildung: Bei gleich hohen Subventionszahlungen kann sich der Konsument das bei der Mengensubvention gewählte Güterbündel auch bei der Kopfsubvention leisten. Er stellt sich bei der Kopfsubvention also besser.