ALGORITHMEN- PARADIGMEN

Transkript

1 4. Kapitel ALGORITHMEN- PARADIGMEN Algrithmen & Datenstrukturen Prf. Dr. Wlfgang Schramm

2 Übersicht 1 1. Einführung 2. Algrithmen 3. EigenschaFen vn Prgrammiersprachen 4. Algrithmenparadigmen 5. Suchen & SrNeren 6. Hashing 7. Kmplexität vn Algrithmen 8. Abstrakte Datentypen (ADT) 9. Listen 10. Bäume 11. Graphen

3 Lernziele des Kapitels 2 2 Sie verstehen was ein Algrithmenparadigma ist. Sie lernen verschiedene Algrithmenparadigmen kennenlernen und können diese jeweils in eine Anwendung umsetzen.

4 Inhalt 3 Paradigma (Begriff) WichNge Algrithmenparadigmen applikanve (funknnale), imperanve, bjektriennerte, lgische.

5 4 Paradigma, Algrithmenparadigma, Prgrammierparadigma Paradigma (in der WissenschaFstherie) = Denkmuster, welches das wissenschafliche Weltbild einer Zeit prägt. Algrithmenparadigma = Denkmuster/Denkmdell, das die Frmulierung und den Entwurf vn Algrithmen (und damit letztendlich auch den vn Prgrammier- sprachen) grundlegend prägt. Prgrammierparadigma (Prgrammiersprache vs. Algrithmus!) n Ein Prgrammierparadigma legt das einer Prgrammiersprache zugrundeliegende Prinzip fest. n Prgrammierparadigmen entsprechen Algrithmenparadigmen bzw. setzen diese um. n I.d.R. flgt eine Prgrammiersprache mehreren Prgrammierparadigmen, es gibt jedch ebens i.d.r. ein herausragendes.

6 WichNge Algrithmenparadigmen 5 Grundlegende: applikanve (funknnale), ImperaNve. weitere: bjektriennerte, lgische, genensche, parallele, neurnale, agentenriennerte. Algrithmen

7 ApplikaNve Algrithmen 6 ApplikaNve Algrithmen... sind eine Verallgemeinerung der FunkNnsauswertung mathemansch nnerter FunkNnen. In ihnen spielt Rekursin eine wesentliche Rlle. ApplikaNver Algrithmus = Liste vn FunkNnsdefiniNnen. Eine FunkNn muss nicht für alle Eingaben definiert sein, insbesndere führt eine nicht terminierende Berechnung zu einem undefinierten Ergebnis (die FunkNn heißt dann parnelle FunkNn). Beispiele: FakultätsfunkDn Rekursin x! = x * (x- 1) * (x- 2)... 2 * 1 für x > 0 - mathemansche DefiniNn fac(x) = if x 0 then 1 else x * fac(x- 1) - applikanver Algrithmus if ist eine Funktin! if (a, b, c) sieht jedch sehr ungewhnt aus. Lazy evaluatin

8 ApplikaNve Algrithmen DefiniNn (infrmell) 1/3 7 DefiniNn Term (vm Typ int): n Ein üblicher arithmenscher Ausdruck mit Zahlen und Unbekannten. n Ein Ausdruck der Frm if A then B else C fi (B, C vm Typ int). n Eine FunkNn vm Typ int. n Es gelten übliche Vereinfachungsregeln (Auswertung). Andere Typen analg. Frmale Parameter DefiniNn FunkNn Es sind v 1,, v n UnbesNmmte vm Typ t 1,, t n, swie T(v 1,, v n ) ein Term mit dem Ergebnistyp t T, dann heißt f (v 1,, v n ) = T (v 1,, v n ) eine FunkNn vm Typ t T. Funktinsausdruck

9 ApplikaNve Algrithmen DefiniNn (infrmell) 2/3 8 DefiniNn applikanver Algrithmus Ein applikanver Algrithmus ist eine Liste vn FunkNnsdefiniNnen f 1 (v 11,, v 1n 1 ) = T 1 (v 11,, v 1n1 ) f m (v 11,, v 1n m ) = T m (v 11,, v 1nm ) Die Auswertung der ersten FunkNn f 1 ist die Bedeutung des Algrithmus. Anmerkung Es gibt keine Variablen, keine Zuweisung. Wesentlich: Rekursin. Beispiele: Lisp Scheme

10 ApplikaNve Algrithmen DefiniNn (infrmell) 3/3 9 DefiniNn parnelle FunkNn Eine FunkNn heißt parnell, wenn sie für einige Eingabewerte nicht definiert ist. Anmerkung Eine FunkNn ist nicht definiert, wenn sie n nicht terminiert der n einen Fehler liefert.

11 ApplikaNve Algrithmen - Beispiel 10 Euklid scher Algrithmus zur BesNmmung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen (die sind immer > 0). ggt(x,x) = x ggt(x,y) = ggt(y,x) ggt(x,y) = ggt(x,y- x) für x < y - mathemansche Gesetzmäßigkeiten ggt(x,y) = if (x 0 ) r (y 0) then ggt(x,y) else if x = y then x else if x > y then ggt(y,x) else ggt(x, y- x) fi; - applikanver Algrithmus

12 Diskussin 11 Nehmen wir an, dass wir einen Rechner haben, der nur die AddiNn beherrscht. Wie können wir trtzdem eine MulNplikaNn realisieren? Stellen Sie dazu mathemansche Regeln auf. Setzen Sie die Regeln um in einen applikanven Algrithmus.

13 ApplikaNve Algrithmen - Aufgabe 12 Nehmen wir an, dass wir einen Rechner haben, der nur die AddiNn beherrscht. Wie können wir trtzdem eine MulNplikaNn realisieren? Stellen Sie dazu mathemansche Regeln auf. Setzen Sie die Regeln um in einen applikanven Algrithmus. ms (a, b) = ms (b, a) - mathematische Definitin ms (a, 0) = 0 ms (a, b) = ms (a, b-1) + a für b > 0 = ms (a, b+1) a für b < 0

14 ImperaNve Algrithmen 13 ImperaNve Algrithmen... basieren auf einem einfachen Maschinenmdell mit änderbaren Werten. Hier werden primär Schleifen und AlternaNven als Kntrllbausteine eingesetzt. Der Algrithmus wird ausgeführt auf einem üblichen Rechner, d.h. n Es gibt Variable, die einen Wert speichern können. n Es gibt Anweisungen, die einen Wert ändern können. Anmerkung Basiert auf der vn- Neumann- Architektur.

15 ImperaNve Algrithmen - Beispiel 14 Beispiel fac (x: int): var y: int; y := 1; while x > 1 d y := y*x; x := x-1; d; utput y; Zustand (x, y) (3, -) (3, -) (3, 1) (3, 3) (2, 3) Aufruf: fac (3) (2, 6) (1, 6) Ausgabe: 6

16 ImperaNve Algrithmen DefiniNnen 1/3 15 DefiniNn Variable Eine Variable hat einen Namen und einen veränderlichen Wert. Der Wert kann durch eine Zuweisung eines Terms geändert werden. DefiniNn Zustand Der Zustand eines Rechners zu einem besnmmten Zeitpunkt ist die Zurdnung vn Werten zu allen Variablen. Anmerkung Ein Term bei der imperanven Algrithmen enthält Variable stax Unbekannte.

17 ImperaNve Algrithmen DefiniNnen 2/3 16 DefiniNn transfrmierter Zustand Ein transfrmierter Zustand Z neu ist der neue sich ergebende Zustand nach der Durchführung einer Zuweisung in einem alten Zustand Z alt. Für den transfrmierten Zustand gilt: n Der Wert einer Variabeln V im Zustand Z neu ist n der gleiche wie in Z alt, falls die Zuweisung die Variable nicht betrffen hat. n der Wert des Terms der Zuweisung, falls die Zuweisung an diese Variable ausgeführt wurde.

18 ImperaNve Algrithmen DefiniNnen 3/3 17 DefiniNn Anweisung (infrmell) Eine Anweisung ist ein Algrithmus- Baustein mit ent- sprechenden Zustandsänderungen. DefiniNn imperanver Algrithmus Ein imperanver Algrithmus ist eine Anweisung. Die Ausführung eines imperanven Algrithmus ist eine Flge vn Zuständen, wbei jeder Zustand der transfrmierte Zustand seines Vrgängers ist. Die Bedeutung (SemanNk) des Algrithmus ist gegeben durch den letzten Zustand. Beispiele: C Frtran

19 18 ImperaNve Algrithmen przedurale Prgrammierung Anmerkung Anweisung n Ein Prgramm ist i.d.r. keine elementare OperaNn, sndern eine Flge (Sequenz) vn OperaNnen. n WichNges Strukturierungsmixel: Przeduren (à imperanve der przedurale Prgrammierung) Bedeutung n OF nur Wert der Ausgabevariablen.

20 Diskussin 19 Schreiben Sie den Euklidischen Algrithmus in imperanver Frm.

21 ImperaNve Algrithmen - Beispiel 20 Berechnung der Fakultät: fac: var x, y: int; y := 1; while x > 1 y := y*x; x := x- 1; d; utput y; Euklid scher Algrithmus (ggt) eine mögliche Lösung: ggt: var x, y: int; input x,y; while x y while x > y x := x- y; d; while x < y y := y- x; d; d; utput x;

22 ObjektrienNerte Prgrammierung 1/2 21 v Idee Es gibt eine Menge vn Objekten (Einheit vn Daten und FunkNnen). Ein Objekt hat einen Zustand. Die Objekte kmmunizieren. Es gibt ein ausgezeichnetes Start- Objekt. Die Ausführung ergibt eine Flge vn verteilten Zuständen. Beispiele: C++ Java Smalltalk

23 ObjektrienNerte Prgrammierung 2/2 22 Beispiel Object +equals Math Vererbung +fac (int i):int Kapselung: Implementierung unsichtbar Plymrphie à Daten Dynamische Bindung à Methden

24 23 v Lgische Algrithmen 1/2 Idee Es gibt eine Menge Frmeln. Es gibt eine Menge lgischen Fakten und Regeln (Fakt = Frmel mit Knstanten). Es gibt eine Anfrage: n Frmel mit Knstanten: Frmel verifizieren. n Frmel mit Variablen: Belegung für Variable suchen. Beispiel Fakten: Shn (Peter, Rainer); Shn (Rainer, Walter) Regeln: Shn (a, b) Shn (b, c) à Enkel (a, c) Anfrage: Shn (Peter, Walter)? false Enkel (Peter, a)? a = Walter

25 Lgische Algrithmen 2/2 24 Auswertung Backtracking (vereinfacht) Gegeben: Anfrage hne bzw. mit einer Variablen. n n Vrgehen: 1. Wähle den ersten Fakt. 2. Teste den gewählten Fakt, d.h. wird die Anfrage durch Einsetzen wahr? 3. Falls ja à ferdg (true bzw. Belegung) (mit erneutem Aufruf nächste Belegung finden). 4. Falls nein à wähle den nächsten Fakt; weiter mit Falls kein Fakt mehr verfügbar à ferdg (false bzw. keine Lösung).

26 Nch Fragen? 25 25