Rollender Zylinder in Zylinder
|
|
- Bertold Schreiber
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungen zu Theoretische Physik I - echnik im Sommersemester 013 Bltt 10 vom Abgbe: Aufgbe 43 Rollender Zylinder in Zylinder Ein homogener Zylinder (Gesmtmsse, Rdius, Trägheitsmoment bzgl. seiner Symmetriechse Θ zz = /) rollt ohne Schlupf unter dem Einfluss der Schwerkrft uf der Innenseite eines festen Zylinders. Der innere Rdius dieses festen Zylinders ist R. () Beweisen Sie, dss die folgende Rollbedingung für die Winkelgeschwindigkeit des rollendes Zylinders gilt: ω z = ϕ R Dbei ist ϕ der Winkel zwischen der festen vertiklen Achse und der Verbindungslinie zwischen den ittelpunkten der beiden Zylinder (siehe Abbildung). (b) Benutzen Sie die Rollbedingung, um die kinetische Energie des rollenden Zylinders ls Funktion von ϕ zu bestimmen. Geben Sie die Lgrngefunktion des Zylinders n. Hilfe: Bestimmen Sie zuerst die Bhngeschwindigkeit v S des Schwerpunkts des rollenden Zylinders ls Funktion von ϕ. Überlegen Sie dnn mittels der Rollbedingung den Zusmmenhng zwischen v S und der Winkelgeschwindigkeit ω z der Drehung des rollenden Zylinders um seinen Schwerpunkt. Bechten Sie, dss die gesmte kinetische Energie die Summe us Schwerpunkts- und Rottionsbewegung um den Schwerpunkt ist. () Die Schwerpunktsgeschwindigkeit beträgt v S = ϕ (R ). Betrchten wir die Bewegung vom Schwerpunkt um die Achse, die durch den Auflgepunkt verläuft und senkrecht uf der Ebene steht. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist durch folgende Reltion gegeben: v S = ω D die beide Schwerpunktsgeschwindigkeiten offensichtlich gleich sein müssen, ergibt sich die Rollbedingung: ω = ϕ R 1
2 (b) Die Winkelgeschwindigkeit ω z ergibt sich us der Rollbedingung Rollbedingung: ω z = ϕ R Kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung: T S = 1 v s Kinetische Energie der Rottionsbewegung: T Rottion = 1 Θ zzω z T = T S + T Rottion = 1 v s + 1 Θ zzω z T = (R ) ϕ + 1 (R ) ϕ = 3 4 (R ) ϕ Aufgbe 44 Hängender Hlbzylinder Ein homogener Hlbzylinder (Höhe H, Rdius R, Gesmtmsse ) dreht sich im homogenen Schwerefeld um eine feste Achse A, die mit der Symmetriechse des Zylinders zusmmenfällt (siehe Skizze). Wir wählen den Punkt A ls Ursprung des Koordintensystems. Der Hlbzylinder erstreckt sich jeweils um H/ in die Ppierebene hinein bzw. us der Ppierebene herus. () Hlbzylinder im Gleichgewicht (b) Hlbzylinder um die Achse A gedreht () Berechnen Sie den (körperfesten!) Schwerpunkt des Hlbzylinders. Betrchten Sie dzu den Zylinder in der Gleichgewichtslge (Abb. ). Der Schwerpunkt ist llgemein definiert ls S = 1 xρ( x)d 3 x. Wrum ist nur seine x-komponente ungleich Null? Ws ist ρ in dem Fll? (b) Bestimmen Sie ds Trägheitsmoment Θ zz = Θ A für Drehungen um die Achse A. (c) Betrchten Sie die Drehung des Zylinders um die A Achse (Abb. b). Bestimmen Sie die Lgrngefunktion und die Bewegungsgleichungen. it welcher Frequenz pendelt der Hlbzylinder, wenn der Winkel φ << 1 (d.h. sinφ φ ) ist? () Die ssendichte ergibt sich us ρ = πr H
3 Die Schwerpunktskoordinten sind dnn x S = 1 xρdxdydz = π R πr r sin φrdrdφ = 0 0 πr R3 3 = 4 3π R y S = 1 yρdxdydz = 0 (Symmetrie um Ursprung) z S = 1 zρdxdydz = 0 (Symmetrie um Ursprung) (b) Die Komponente desträgheitstensors Θ zz = Θ A ist Θ A = ρ ( x + y ) R dxdydz = ρl r 3 dr (c) Es folgt T = Θ ω = Θ A φ, V = gx S cos φ, 0 π L = T V = Θ A φ + g 4R cos φ. 3π Es folgen die Lgrngegleichungen und die Frequenz d dt L L φ φ = 0 Θ φ A + g 4R sin φ = 0, 3π φ = g 4R 8g sin φ = 3π R 3πR sin φ sin φ φ φ + ω φ = 0, ω = 0 dϕ = πr R 4 4 π = R. 8g 3πR Aufgbe 45 Drehende Scheibe Eine kreisförmige Scheibe mit Rdius R, Gesmtmsse, und Trägheitsmoment Θ = 1 R dreht sich um seine feste horizontle Symmetriechse. Über die Scheibe läuft ohne Schlupf ein msseloses Seil der Länge l. An den Seilenden sind die ssen m 1 und m befestigt (siehe Skizze). Ds System steht unter dem Einfluss der Schwerkrft. 3
4 () Bestimmen Sie die Lgrnge-Funktion L und wählen Sie dbei zunächst z 1, z und ϕ ls generlisierte Koordinten. (b) Eliminieren Sie ufgrund der Zwngsbedingungen die Vriblen z nd ϕ. Achten Sie dbei uf die Vorzeichen. (c) Bestimmen Sie die Lgrnge-Funktion L(z 1, ż 1 ) und drus die Bewegungsgleichung und geben Sie ihre llgemeine Lösung n. () Wir bekommen für kinetische und potenzielle Energie und dmit für den Lgrnge (b) Die Zwngsbedingungen sind T = m 1 ż 1 + m ż + Θ ϕ, (1) V = m 1 gz 1 m gz, () L = m 1 ż 1 + m ż + Θ ϕ + m 1 gz 1 + m gz. (3) z = l z 1 (eigentlich l + const. z 1 ), (4) ż 1 = R ϕ. (5) (c) und wir erhlten L = 1 (m 1 + m + ΘR ) ż1 + (m 1 m ) gz 1 + const. = 1 ( m 1 + m + ) ż1 + (m 1 m ) gz 1 + const. Die Bewegungsgleichung ist dher ( m 1 + m + ) z 1 = (m 1 m ) g = z 1 = (m 1 m ) g ( ) m1 + m + g eff ws einfch dem freien Fll entspricht, z 1 (t) = z 1 (0) + ż 1 (0) + g eff t. Aufgbe 46 Drehende Scheibe uf Pendel Betrchten Sie ein ebenes Pendel, ds us einer mssenlosen Stnge der Länge L und einer Scheibe der Gesmtmsse und Rdius R besteht, die m Ende der Stnge in ihrem ittelpunkt fixiert ist. Die Stnge erlubt Schwingungen in der Ebene und die Scheibe knn sich um ihre Symmetriechse (die senkrecht zur Schwingungsebene liegt) drehen (siehe Skizze). 4
5 () Bestimmen Sie die Lgrngefunktion L(φ, φ, ψ, ψ) (b) Bestimmen Sie die beiden Bewegungsgleichungen. it welcher Frequenz pendelt die Scheibe, wenn der Winkel ϕ << 1 (d.h. sinφ φ ) ist? () (b) V = Lg cos ϕ T = 1 L ϕ + 1 ( ) 1 R L = T V = 1 L ϕ + Lg cos ϕ + 1 ψ ( ) 1 R d L dt ϕ L ϕ = 0 d L L dt ψ ψ = 0 1 R ψ = 0 ψ = ψ 0 = const. L ϕ + Lg sin ϕ = 0 sin ϕ ϕ g ϕ + ω sin ϕ = 0 ω = L ψ 5
Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrBlatt 9. Bewegung starrer Körper- Lösungsvorschlag
Fkultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhnov Übungen zu Klssischer Mechnik (T) im SoSe 0 Bltt 9. Bewegung strrer Körper- Lösungsvorschlg Aufgbe 9.. Trägheitstensor
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zwei Kugeln und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und
MehrTheoretische Mechanik - Übungen 10 WS 2016/17
Prof. Dr. A. Ms Institut für Physik N A W I G R A Z Theoretische Mechnik - Übungen 1 WS 16/17 Aufgbe P: Poissonklmmern Präsenzufgben 15. Dezember 16 ) Betrchten Sie zwei Erhltungsgrößen A und B, d. h.
MehrWie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?
ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch
Mehr2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)
2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) 09.07.2004 Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie
Mehr10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente
1.3 Sttische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente Sttisches Moment M g eines Mssenpunktes P (der Msse m) bezüglich einer Gerden g: M g := ml Msse Hebelrm l Abstnd von P zu g g 9 P l Bei n Mssenpunkten
MehrBeispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)
. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
MehrHier wurde die Jacobi-Determinante der ZylinderKoordinaten verwendet (det J = ρ). Wir führen zunächst die ρ-integration durch: (R 2 H sin 2 φ )
b) Für einen Zylinder bieten sich Zylinderkoordinaten an. Legt man den Ursprung in den Schwerpunkt und die z- bzw. x 3 - Achse entlang der Zylinderachse, verschwinden alle Deviationsmomente. Dies liegt
MehrPrüfung - Technische Mechanik III
Prüfung - Technische Mechnik III WS 11/12 16. Februr 2012 FB 13, Festkörpermechnik Prof. Dr.-Ing. F. Gruttmnn Nme: Mtr.-Nr.: Studiengng: Pltznummer Einverständniserklärung: Ich stimme hiermit zu, dss meine
MehrKlassische Mechanik - Ferienkurs; Lösungem. Sommersemester 2011, Prof. Metzler
Klassische Mechanik - Ferienkurs; Lösunge Soerseester 2011, Prof. Metzler 1 Inhaltsverzeichnis 1 Quickies 3 2 Lagrange Gleichung 1. Art 3 2.1 Perle auf Schraubenlinie..................................
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
MehrVolumen von Rotationskörpern
Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht
MehrTheoretische Mechanik
Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten
Mehr1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise
. Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt
Mehr4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
MehrMassenträgheitsmomente homogener Körper
http://www.youtube.com/watch?v=naocmb7jsxe&feature=playlist&p=d30d6966531d5daf&playnext=1&playnext_from=pl&index=8 Massenträgheitsmomente homogener Körper 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Drehbewegung um c eine
Mehra S 1 S 2 S G e z a/2 e y e x a/2 Abbildung 1: Werbetafel.
VU Modellbildun Beispiele zu Kpitel : Mechnische Systeme 1.) Geeben ist die in Abbildun 1 drestellte Werbetfel mit der Msse m. Die Werbetfel ist mittels zwei Seilen S 1 und S n einer Wnd befestit. Außerdem
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
Mehr10.2 Kurven und Bogenlänge
10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene
MehrEinführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21
Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
MehrName: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte
T1: Klassische Mechanik, SoSe007 Prof. Dr. Jan von Delft Theresienstr. 37, Zi. 40 Dr. Vitaly N. Golovach vitaly.golovach@physik.lmu.de Nachholklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 007 (8.
MehrMathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer
Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung
MehrFormelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler
Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]
MehrProbeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik
Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
Mehr9.2.3 Durchbiegen eines Balkens ******
9.2.3 ****** 1 Motivtion Ein einseitig eingespnnter Blken wird m offenen Ende belstet. Die Durchbiegung hängt von der Orientierung und dmit vom Flächenträgheitsmoment des Blkens b. 2 Experiment b b s 1
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
MehrKapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
Mehr14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN
120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehr1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
MehrKurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)
Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art
Mehr5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer
Mehr2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der
MehrBlatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus
MehrAlgebra - Lineare Abbildungen
Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen
MehrFakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik
Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in
Mehr3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner
3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrPhysik I Musterlösung 2
Physik I Musterlösung 2 FS 08 Prof. R. Hahnloser Aufgabe 2.1 Flugzeug im Wind Ein Flugzeug fliegt nach Norden und zwar so dass es sich zu jedem Zeitpunkt genau über einer Autobahn befindet welche in Richtung
MehrÜbungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3
Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer
MehrMusterlösungen (ohne Gewähr) knm
rühjhr 2009 Seite 1/17 rge 1 ( 1 Punkt) Gegeben ist eine Krft, die n einem Punkt P mit dem Ortsvektor r ngreift. Berechnen Sie den Momentenvektor M bezogen uf den Koordintenursprung des krtesischen Koordintensystems.
Mehr8. Starre Körper. Die φ-integration liefert einen Faktor 2π. Somit lautet das Ergebnis
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe213 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 8. Starre Körper Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de Übung 8.1: Berechnung von Trägheitstensoren
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 10
Mthemtik I für E-Techniker C. Erdmnn WS /, Univerität Rotock,. Vorleungwoche Zutzmteril zur Mthemtik I für E-Techniker Übung Uneigentliche Integrle Die Funktion f ei für x definiert und in jedem Intervll
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Mehrc a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =
3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert
MehrM1 Maxwellsches Rad. 1. Grundlagen
M1 Maxwellsches Rad Stoffgebiet: Translations- und Rotationsbewegung, Massenträgheitsmoment, physikalisches Pendel. Versuchsziel: Es ist das Massenträgheitsmoment eines Maxwellschen Rades auf zwei Arten
MehrTag der Mathematik 2011
Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.
MehrÜbungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen
Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen Jonas Probst 22.09.2009 1 Teilchen auf der Stange Ein Teilchen der Masse m wird durch eine Zwangskraft auf einer masselosen Stange gehalten, auf
MehrFachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1
Fchhochschule Jen Fchbereich GW Tutorium Mthemtik I Studiengng: BT/MT - Bchelor Serie Nr.: 2 Semester: Them: Vektorrechnung und Geometrie Auf die Lehrmterilien im Internet ( Zum selbständigen Üben ) empfehle
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius
Mehr5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text)
5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 03 ρ α r α R Abbildung 5.1: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4 Kinetische Energie eines Starren Körpers In diesem
Mehr10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.
10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.
MehrTheoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik
Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin
Mehr1. Stabsysteme. 1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme 1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme 1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
1. Stbsysteme 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM 2 4.1-1 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Längenänderung
MehrÜbungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das
MehrMultiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
MehrLagrange Formalismus
Lagrange Formalismus Frank Essenberger FU Berlin 1.Oktober 26 Inhaltsverzeichnis 1 Oszillatoren 1 1.1 Fadenpendel.............................. 1 1.2 Stabpendel.............................. 3 1.3 U-Rohr................................
MehrRotationskörper mit Integralrechnung
Rottionskörper mit Integrlrechnung W. Kippels 24. Februr 27 Inhltsverzeichnis Grundlgen 2. Herleitung der Berechnungsformel...................... 2.2 Beispiele.................................... 3.2.
MehrGrundwissen Mathematik 8
Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................
MehrKinematik des starren Körpers
Technische Mechanik II Kinematik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes
MehrBewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten
Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. Für jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2: F i = d p i dt. Für n Massenpunkte muss also ein
MehrDas mathematische Pendel
1 Das mathematische Pendel A. Krumbholz, S. Effendi 25. Juni 2013 2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Das mathematische Pendel........................... 3 1.2
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
MehrÜbungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
Mehr1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
MehrÜbungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrVektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrÜbungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen
Übungen zu Lagrange-Foralisus und kleinen Schwingungen Jonas Probst.9.9 Teilchen auf der Stange Aufgabe: Ein Teilchen der Masse wird durch eine Zwangskraft auf einer asselosen Stange gehalten, auf der
MehrPP Physikalisches Pendel
PP Physikalisches Pendel Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen 2 2.1 Ungedämpftes physikalisches Pendel.......... 2 2.2 Dämpfung
MehrParameterabhängige uneigentliche Integrale.
Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,
MehrF A = 2F, F B = F, F C = 2F. Dabei verläuft F A entlang der vorderen Flächendiagonalen, F B und F C verlaufen entlang der Kanten.
Wintersemester / ZÜ. Aufgbe. z C Die Eckpunkte A, B, C eines Würfels (Kntenlänge ) sind die Anfngspunkte der Vektoren F A, F B, F C mit folgenden Beträgen: F C F A F, F B F, F C F. A x F A O B F B y Dbei
MehrVorbereitung. Resonanz. Carsten Röttele. 17. Januar Drehpendel, freie Schwingungen 3. 2 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3
Vorbereitung Resonanz Carsten Röttele 17. Januar 01 Inhaltsverzeichnis 1 Drehpendel, freie Schwingungen 3 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3 3 Messung der Winkelrichtgröße D 4 4 Drehpendel, erzwungene
Mehr2 Blatt - Festkörperphysik 2-2D Gitter
Heiko Dumlich April 9, Bltt - Festkörperphysik - D Gitter. (Oberflächen kubisch rumzentrierter Kristlle) ) In Abbildung () befinden sich die drei Drufsichten der (), () und () Ebenen des kubisch-rumzentrierten
MehrMusterlösungen (ohne Gewähr) Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinaten des Flächenschwerpunktes des dargestellten Querschnitts an!
Seite 1/15 Aufgbe 1 ( 7 Punkte) Geben Sie die Koordinten des lächenschwerpunktes des drgestellten Querschnitts n! 2 Gegeben:. 4 ΣA i = y 2 x Σx i A i = x s = Σy i A i = y s = ΣA i = 8 2 Σx i A i = 13 3
MehrThema 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven
Them 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven Definition 1 Eine Kurve in R n ist eine stetige Abbildung uf einem Intervll I mit Werten in R n. Wir verwenden den Buchstben c für Kurven und schreiben c = (c 1,...,c
MehrEs soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
Mehr1. Impuls- und Drallsatz
1. Impuls- und Drallsatz Impulssatz Bewegung des Schwerpunkts des örpers aufgrund vorgegebener räfte Drallsatz Drehung des örpers aufgrund vorgegebener Momente Prof. Dr. Wandinger 3. inetik des starren
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
Mehr2.5 Messbare Mengen und Funktionen
1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern WS 12/13, 13.02.2013 1. Aufgabe: (TM III) Um vom Boden aufzustehen, rutscht ein Mensch mit konstanter Geschwindigkeitv
MehrGebrochenrationale Funktionen (Einführung)
Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle
MehrÜbungen zur Analysis 2
Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt 2 26.4.2013 Übungen zur Anlysis 2 2.1 Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren
Mehr3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor
3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf
MehrARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
MehrAnforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS
Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist
Mehr