Ganze algebraische Zahlen

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1 Seminarvortrag Ganze algebraische Zahlen gehalten von Johannes Hölken an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemester 2012 im Rahmen des Seminars über Elementrare Zahlentheorie. Kontakt: Stand: 27. Juni 2012 Betreuung: Philipp Hartwig, Seminarleitung: Prof. Dr. Ulrich Görtz, Philipp Hartwig Text: A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie (Springer Verlag 2007, Berlin-Heidelberg)

2 Motivation Bisher haben wir über Eigenschaften von ganzen Zahlen und insbesondere von Primzahlen gesprochen. Im Vortrag über die Gauß schen Zahlen sahen wir eine erste Verallgemeinerung des Konzepts der ganzen Zahlen und betrachteten zum Beispiel die Primfaktorzerlegung in Z[i]. Wir wollen nun allgemeinere Ringe der Form Z[α 1,..., α n ] mit α i C untersuchen. Im weiteren Verlauf des Seminars werden uns Zahlen aus solchen Ringen zum Beispiel als ganze Zahlen von Kreisteilungskörpern wieder begegnen. Fassen wir nun die Objekte, die wir in diesem Vortrag untersuchen wollen, genauer mit der ersten Definition 7.1 ( [Ganz] algebraische Zahl ) Eine komplexe Zahl α C heißt... algebraisch über Q, wenn es ein normiertes Polynom mit f(α) = 0 gibt.... ganz (über Z) oder ganz-algebraisch, wenn es ein normiertes Polynom Z[X] mit f(α) = 0 gibt.... transzendent, wenn α nicht algebraisch ist. Beispiel 1 (Algebraische und ganz-algebraische Zahlen) Jede rationale Zahl q Q ist algebraisch über Q, denn X q ist normiert mit Nullstelle q. Analog ist jede ganze Zahl z Z ganz-algebraisch. i C ist ganz-algebraisch, denn X Z[X] ist normiert und hat Nullstelle i. 2 ist ganz-algebraisch, denn X 2 2 Z[X] ist normiert und hat Nullstelle 2. Um zu entscheiden, ob der Begriff ganz-algebraisch eine sinvolle Verallgemeinerung von unserem aus Z Q bekannten Ganzheitsbegriff ist, müssen wir die Frage stellen, wann eine rationale Zahl ganz algebraisch ist. Die Verallgemeinerung kann nur dann sinnvoll sein, wenn die Begriffe auf Q übereinstimmen. Und tatsächlich gilt der folgende Satz 7.2 Eine rationale Zahl ist genau dann ganz-algebraisch, wenn sie ganz ist. Beweis. Wie gesehen ist jede ganze Zahl ganz algebraisch, wir müssen uns also nur um die andere Implikation kümmern. Sei dazu α Q \ Z, dann gibt es p Z und q N 1 mit α = p q. Insbesondere können wir ohne Einschränkung p und q so wählen, dass p und q Teilerfremd sind (sonst kürze den Bruch). Angenommen es gäbe ein normiertes Polynom Z[X] 1 Beachte N N 0 := N {0}. 1

3 mit f(α) = 0, dann erhielten wir durch Multiplizieren mit q n f(q) = 0 ( ) p n + a n 1 q ( p q ) n 1 ( ) p a 1 + a 0 = 0 q p n + p n 1 qa n pq n 1 a 1 + q n a 0 = 0 also wäre p n durch q teilbar. Das ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q. Folgerung ist irrational. Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass 2 ganz-algebraisch ist. Angenommen 2 wäre eine rationale Zahl, dann wäre 2 Z nach Satz 7.2. Das ist offensichtlich falsch. Wir wollen den Zusammenhang von algebraischen und ganz-algebraischen Zahlen noch genauer studieren. Wir wissen, dass es für jede rationale zahl α Q eine natürliche Zahl n N gibt, so dass nq Z ist. Heraus erhalten wir die folgende Charakterisierung Lemma 7.4 Eine komplexe Zahl α C ist genau dann algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl m N so gibt, dass mα ganz-algebraisch ist. Beweis. Sei α C algebraisch, dann gibt es ein Polynom mit f(α) = 0. Wähle nun eine natürliche Zahl m N groß genug, so dass ma i i = 0,..., n 1 gilt. Damit gilt Z für alle (mα) n + m a n 1 (mα) n m n a 0 = 0 wir haben also ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und Nullstelle mα gefunden. Dass heißt aber gerade, dass mα ganz algebraisch ist. Der Umgekehrte Schluss zeigt, dass aus mα ist ganz-algebraisch stets folgt, dass α algebraisch ist. Definition und Lemma 7.5 Sei n N. Für das n-tupel natürlicher Zahlen i = (i 1,..., i n ) setzen wir i := i i n sowie die Kurzschreibweisen a i := a i1,...,i n und X i := X i 1 1 Xin n Seien α 1,..., α n C komplexe Zahlen, dann setzen wir Z[α 1,..., α n ] := { } a i α i d N ai Z i =0 und sagen Z adjungiert α 1,..., α n. Die Menge Z[α 1,..., α n ] ist ein Ring. 2

4 Beweis. Betrachte den Evaluationshomomorphismus ev : Z[X 1,..., X n ] C X i α i Nach dem Homomorphiesatz ist Im(ev) C ein Unterring. Behauptung Im(ev) = Z[α 1,..., α n ] Die Inklusion ist klar. Für die andere Richtung sei f = a i α i Z[α 1,..., α n ] i =0 dann ist f := a i X i Z[X 1,..., X n ] i =0 ein Urbild von f unter ev, damit ist f Im(ev). Beispiel 2 Wir kennen bereits den Ring der Gaußschen Zahlen Z[i] = { a + ib a, b Z }. Es gilt a n i n = n=0 = ( a n i 2 ) n 2 + n=0 2 n n=0 2 n a n ( 1 ) n 2 } {{ } Z n=1 2 n +i a n i ( n 1 i 2) 2 n=1 2 n ( ) n 1 a n 1 2 } {{ } Z Damit passt unsere Definition tatsächlich auf den bekannten Ring Z[i]. Das im Beispiel entdeckte Phänomen gilt noch allgemeiner. Dies zeigt der folgende Satz 7.6 Seien α 1,..., α n C, dann gilt: (Z[α 1,..., α n ], +) ist genau dann eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, wenn α 1,..., α n ganz-algebraisch sind. Beweis. Seien α 1,..., α n ganz-algebraisch, dann gibt es für i = 1,..., n normierte Polynome i 1 f i (X) = X d i + a i,j X j j=0 Z[X] mit f i (α i ) = 0. Es gilt i 1 f i (α i ) = 0 α d i i + a i,j α j i = 0 α d i i 3 j=0 i 1 = a i,j α j i j=0

5 für alle i = 1,..., n. Wir können also erreichen, dass in den beliebigen endlichen Summen, von denen Z[α i,..., α n ] nach Definition 7.5 erzeugt wird, jedes α i höchstens in der Potenz d i 1 vorkommt. Dann ist aber Z[α i,..., α n ] als abelsche Gruppe bereits von den Elementen { α e 1 1 αen n 0 e i d i 1 } erzeugt. Sei nun (Z[α 1,..., α n ], +) endlich erzeugt. Für alle j = 1,..., n ist auch Z[α j ] Z[α 1,..., α n ] endlich erzeugt, denn aus dem letzten Vortrag wissen wir: Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist selbst endlich erzeugt. Wähle nun ein α := α j fest aus, dann gibt es ein endliches Erzeugendensystem E = { d j } a i,j α i dj N j = 1... N i=0 Z[α] Setze nun n := max{d 1,..., d N }. Dann ist auch E = { 1, α, α 2,..., α n 1 } ein Erzeugendensystem von Z[α], also gibt es ganze Zahlen a 0,..., a n 1 Z mit α n = a n 1 α n 1... a 1 α a 0 0 = α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 Dann ist aber f(x) = X n + a n 1 X n a 0 Z[X] ein normiertes Polynom mit Nullstelle α und damit ist α ganz-algebraisch. Definition und Folgerung 7.7 (Ring der ganz-algebraischen und Körper der algebraischen Zahlen) (i) Die Menge der ganz-algebraischen Zahlen O C über Z ist ein Ring. (ii) Die Menge der algebraischen Zahlen Q C über Q ist ein Körper. Beweis. Für Teil (i) müssen wir zeigen, dass je die Summe und das Produkt zweier ganz-algebraischen Zahlen wieder eine ganz-algebraische Zahl ist. Seien also α, β O ganz-algebraisch, dann ist Z[α, β] nach Satz 7.6 endlich erzeugt. Da Z[α, β] nach Lemma 7.5 ein Ring ist gilt α + β Z[α, β]. Damit ist Z[α + β] als Untergruppe der endlich erzeugten abelschen Gruppe Z[α, β] endlich erzeugt. Nach Satz 7.6 ist α + β dann ganz-algebraisch. Der Nachweis für das Produkt zweier ganzer Zahlen erfolgt ganz analog. Für Teil (ii) müssen wir nicht nur, wie oben, zeigen, dass Produkt und Summe zweier algebraischer Zahlen wieder algebraisch sind, sondern auch, dass das Inverse einer algebraischen Zahl ungleichh Null wieder eine algebraische Zahl ist. Seien nun α, β Q algebraisch, dann gibt es nach Lemma 7.4 natürliche Zahlen a, b N so dass aα und bβ ganz-algebraisch sind. Natürlich sind dann auch abα und abβ ganz-algebraisch. Nach Teil (i) sind dann abα + abβ = ab(α + β) und aα bβ = ab(αβ) ganz-algebraisch. Mit Lemma 7.4 sind damit α + β und αβ algebraisch. Sei nun α Q\{0}, dann gibt es ein normiertes Polynom 4

6 mit f(α) = 0. Ohne Einschränkung sei a 0 0 (sonst teile genügend oft durch X). Dann gilt und f(α) a o α n = 0 1 a 0 }{{} =: b 0 + a n 1 a 0 }{{} =: b 1 ( 1 ( 1 ) n = 0 α) α g(x) := X n + b n 1 X n b 1 X + b 0 ist ein normiertes Polynom mit g( 1 α ) = 0 also ist 1 α algebraisch. Anmerkung Es gibt kein Polynom f mit f(π) = 0, also ist π transzendent. Wegen π C und 2 / Q sind die Inklusionen Q Q C echt. Definition und Satz 7.8 Sei α C. Es gelten Ist α Nullstelle eines normierten Polynoms f O[X], so ist α O Ist α Nullstelle eines normierten Polynoms f, so ist α Q Wir sagen O ist ganz abgeschlossen und Q ist algebraisch abgeschlossen. Beweis. Sei α eine Nullstelle von O[X] dann ist Z[α, a 0,..., a n 1 ] als abelsche Gruppe endlich erzeugt, denn wegen f(α) = 0 α n = a n 1 α n 1... a 1 α a 0 können wir die gleiche Argumentation wie im Beweis von Satz 7.6 anwenden. Aus eben diesem Satz folgt dann auch die Behauptung. Sei nun α eine Nullstelle von Dann gibt es nach Lemma 7.4 natürliche Zahlen m i N so dass m i a i O für alle i = 0,..., n 1. Setze m := max{m i i = 0,..., n 1}, dann ist mf O[X] und mf(α) = mα n + ma n 1 α n ma 1 α + ma 0 = 0 aber das Polynom mf ist nicht normiert. Betrachte daher m n f O[X], dann gilt 0 = m n f(α) = m n α n + m n a n 1 α n m n a 1 α + m n a 0 = (mα) n + ma n 1 (mα) n m n 1 a 1 (mα) + m n a 0 also ist mα Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganz-algebraischen Koeffizienten, also nach dem bereits bekannten Teil selbst ganz-algebraisch. Schließlich ist α nach Lemma 7.4 algebraisch. 5

7 Definition 7.9 (Minimalpolynom von α) Sei α C algebraisch über Q. Ein Polynom f α heißt Minimalpolynom von α, falls die folgenden Bedingungen gelten: (1) f α ist normiert, das heißt der höchste Koeffizient ist 1. (2) α ist eine Nullstelle von f α, also f α (α) = 0. (3) Für alle f die die Eigenschaft (2) erfüllen gilt deg(f α ) deg(f). Anmerkung Nach dieser Definition ist sofort klar, dass zu jedem α mindestens ein Minimalpolynom f α existiert, denn α ist genau dann algebraisch, wenn ein Polynom existiert, dass die Bedingungen (1) und (2) erfüllt. Genaueres über Minimalpolynome zeigt der nächste Satz 7.10 Sei α C algebraisch über Q, dann gelten (i) Das Minimalpolynom f α von α ist eindeutig bestimmt. (ii) Das Minimalpolynom f α von α ist irreduzibel. (iii) Das Minimalpolynom f α von α teilt jedes Polynom g mit g(α) = 0. Beweis. Seien f α ein Minimalpolynom von α und g ein weiteres Polynom, dass die Eigenschaft g(α) = 0 erfüllt. Sei weiter h ein größter gemeinsamer Teiler von f α und g. Dann gibt es ϕ, ψ mit h = ϕf α + ψg also ist h(α) = ϕ(α) f α (α) + ψ(α) g(α) = 0 Nach Voraussetzung hat f α unter allen Polynomen, die α als Nullstelle haben, minimalen Grad. Damit gibt es ein q Q mit f = qh, also f ˆ=h. Da g ein beliebiges Polynom mit der Eigenschaft g(α) = 0 war, ist f α ein größter gemeinsamer Teiler von allen Polynomen mit dieser Eigenschaft, also folgt Teil (iii). Für die erste Aussage nimm an, dass auch g normiert sei und minimalen Grad habe, dann gilt f ˆ= h ˆ= g Es gibt also ein q Q, so dass f = qg aber der höchste Koeffizient von Beiden Polynomen ist 1, also müssen die Polynome gleich sein. Für den Nachweis von (ii) nimm an, dass f α nicht irreduzibel sei. Dann gäbe es Polynome k, r mit deg(k), deg(r) > 0 und f α = k r. Da aber α eine Nullstelle des Minimalpolynoms f α ist, müsste auch k(α) = 0 oder r(α) = 0 gelten. Dies Widerspräche aber der Bedingung, dass f minimalen Grad unter allen Polynomen mit dieser Eigenschaft haben soll. Abschließend wollen wir überlegen, was wir über Minimalpolynomen von ganz-algebraischen Zahlen sagen können. Dafür benötigen wir zunächst ein allgemeineres Ergebnis: Lemma 7.11 Sei f Z[X] ein normiertes Polynom. Sei f = p 1 p n seine Zerlegung in nicht notwendig verschiedene aber normierte Primpolynome aus Q[X]. Dann haben alle Primpolynome p i bereits ganzzahlige Koeffizienten, liegen also in Z[X]. 6

8 Beweis. Wir zeigen zunächst eine noch allgemeinere Aussage Behauptung Seien f, g normierte Polynome. Gilt fg Z[X] so sind bereits f, g Z[X]. Beweis. Seien n 1 m 1 f(x) = X n + a i X i und g(x) = X m + b i X i i=0 Seien nun M, N N die kleinste Natürliche Zahl, mit der Eigenschaft Nf, Mg Z[X], dann setze und B j analog. Es gilt A i := N a i für alle i = 0,..., n 1 MNfg = A n B n X n+m + (A n B m 1 + A n 1 B m )X n+m A 0 B 0 Nach Voraussetzung ist fg Z[X], also sind alle Koeffizienten auf der linken, und damit auch auf der rechten Seite, der Gleichung durch NM teilbar. Angenommen NM > 1, dann gibt es eine Primzahl p Z, die MN teilt. Da p eine Primzahl ist, ist Z p Z [X] = F p [X] ein Polynomring über einem Körper und als solcher Nullteilerfrei. Da MN von p geteilt wird, ist (Nf) (Mg) = (Nf)(Mg) = MNfg = 0 also muss bereits Nf = 0 oder Mg = 0 gelten. Ohne Einschränkung gelte Nf = 0, dann werden alle A i von p geteilt. Da f normiert ist, wird also insbesondere A n = N a n = N von p geteilt. das heißt es gibt ein N N mit N = p N und N < N. Weiter erfüllt N die Eigenschaft N f Z[X]. Da N aber als minimal mit dieser Eigenschaft gewählt wurde, muss es ein A j geben, dass nicht von p geteilt wird. Dies ist offensichtlich Widersprüchlich. Aus dieser Behauptung folgt die Aussage des Lemmas mit einer einfachen Induktion. Satz 7.12 Ist α O eine ganz-algebraische Zahl, dann hat das Minimalpolynom f α ganzzahlige Koeffizienten, also f α Z[X]. Beweis. Per Definition gibt es ein normiertes Polynom f Z[X] mit f(α) = 0. Nach Teil Satz 7.10 (iii) wird f von f α geteilt. Nach Teil (ii) des selben Satzes ist f α ein Primpolynom. Also ein Faktor in der Primzerlegung von f. Mit Lemma 7.11 folgt dann die Behauptung. i=0 7