3. Stabilität selbstgravitierender Kugeln

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Daniel Buchholz
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1 3. Stabilität selbstgravitierender Kugeln Stabilisierungsproblem Virialsatz Druck und Zustandsgleichungen Lane-Emden-Gleichung Weiße Zwerge, Neutronensterne, Braune Zwerge und Planeten Energieerzeugung und Energietransport

2 3.1 Stabilisierungsproblem

3 Gravitationskollaps: Kollapszeiten und Anfangsdichten T koll 1 G ρo Anfangsdichte Kollapszeit kollabierendes Objekt kg / m s Neutronenstern wird Schwarzes Loch s Weißer Zwerg wird Neutronenstern s Sonne ohne Gasdruck a Gaswolke wird Stern a Universum

4 Mittlere Sonne: Druck im Zentrum Masse M O kg, Radius R O m, Dichte ρ O 1400 kg m 3, Zentrum 100ρ O zu locker zu dicht.. M O, ρ O, R O α 100 M O, α ρ O, R O /α 1/3 realer Druck im Zentrum Pa < Pa < Pa

5 Stabilisierung gegen Gravitationskollaps

6 3.2 Virialsatz

7 Masse-Leuchtkraft-Beziehung der Hauptreihensterne Das reale Verhalten im unterer Massebereich ist L M 3.2, im oberen dagegen L M 3.8. Die globale Beziehung L M 3.5 berücksichtigt beide Teilbereiche. nach Duschl & Bartekmann, Vortrag U Heidelberg, 2006

8 3.3 Druck und Zustandsgleichungen

9 Kinematische Berechnung des Drucks Teilchen: wechselwirkungsfrei, nichtrelativistisch, Zahldichte N in m 3 Geschwindigkeiten: isotrop, Maxwellverteilung dw(v) v cos(θ) t 2 p Druck P = = p A t 1 A t Z alle v dw(v) N Z Halbraum θ p + p ր ց p p dω v cos(θ) A t 4π {z } 2 v cos(θ) {z m } = Volumen = p (θ) A = Z dw(v)v 2 m N Z π/2 dθ sin(θ) cos 2 (θ) alle v 0 {z } = 1/3 P = 2 3 N ǫ kin

10 Mittlere Kilomolmasse µ mittlere Teilchenmasse m mittlere Kilomolmasse µ = m L Teilchenmenge = M µ Sternmaterie H He sonst 1 kg x kg y kg (1 - x - y) kg z. B. Sonne Zerfall in p e α 2e Kern Ze Massen m p 4 m p 2 Z m p mittlere Massen µ der Bestandteile mp 2 4mp 3 2Zmp Z+1 2m p mp 2 L 4mp 3 L 2Zmp Z+1 L 2m pl 1 kg µ = x kg µ H + y kg µ He + (1 x y) kg µ sonst = x 1/2 + y 4/3 + 1 x y «kg 2 m p L µ = 2m pl 1+3x+y/2 µ Sonne 0.6m p L

11 Mittlere Sonne: Druck und Temperatur im Zentrum Masse M O kg, Radius R O m, Dichte ρ O 1400 kg m 3, Zentrum 100ρ O zu locker zu dicht.. M O, ρ O, R O α 100 M O, α ρ O, R O /α 1/3 realer Druck im Zentrum Pa < Pa < Pa reale Temperatur im Zentrum K < K < K

12 Entartungsdruck. 25 P rel E Wasserstoffkugel, homogen, Dichte ρ Schweredruck im Zentrum, 1 M Sonne P grav Z Fermiimpuls p F der Elektronen relativistische Entartung ab 10 8 kg/m 3 log(drücke/pa) P grav Z. P nrel E P rel E Entartungsdruck, nichtrelativistisch Entartungsdruck, relativistisch 10 P nrel E extrem relativistisch 5 log(pf/mec) log(ρ/kg m 3 ) p F = m e c.

13 Entartungsdruck des Wasserstoffektrons Die Bewegung des Wasserstoffektrons ist permanent. Da es der Atomkern in ein Volumen der Größe 4π 3 a3 o zwingt, reagiert es notwendig mit Geschwindigkeiten der Ordnung v o = E2 c 100. Wie groß muß ein äußerer Druck sein, wenn er die Rolle des Atomkerns übernehmen soll? Druck P = = p A t 2m e v o πa 2 o (πa o/v o ) = 2m ev 2 o π 2 a 3 o m ee 4 a 3 o 2. տv o 2 2m e» Pa (4π/3)a 3 o a o Das ist die vom Entartungsdruck freier Elektronen her bekannte Skalierung mit der Elektronenzahldichte.. + Lichtgeschwindigkeit c, Elektronenmasse m e, Bohr-Radius a o = 2 mee 2, E2 = e2 4πǫo

14 Heisenbergsche Unschärferelation legt Sternradien fest Schalten wir die Gravitation ab! Dann existiert die Sonne als kalte Kugel (Radius R o = km) aus Wasserstoffatomen. Vom Bohr-Wasserstoffatom ist bekannt: Kugelradius a o = 2 mee 2, Elektronengeschwindigkeit v o = E2 c 100, Elektronenmasse m e, c Lichtgeschwindigkeit, E 2 = e2 4πǫo. Analog zur Heisenbergschen Unschärferelation gilt also für das H-Atom = m e a o v o. Mit einem Faktor A, der aus a 0 den Sonnenradius R o macht, entsteht aus der Heisenberg- Relation: c A = m e R o v o m e R o 100 R m o e m e 2000 m e kalte Sonne c relativistischer Weißer Zwerg R o R o c relativistischer Neutronenstern! c 3 realer Neutronenstern Die Radien: km, 7000 km, 3,5 km, 10,5 km sind realistisch.

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