$Id: vektor.tex,v /01/21 14:35:13 hk Exp $

Transkript

1 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 $Id: vektortex,v 5 2//2 4:35:3 hk Exp $ Vektorräume 2 Untervektorräume und Erzeugendensysteme Am Ende der letzten Sitzung hatten wir wieder einmal den Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems aus m Gleichungen in n Unbekannten besprochen Blieben nach Durchführung des Gaußschen Eliminationsverfahrens r von Null verschiedene Zeilen übrig, so hatte der Lösungsraum ein Erzeugendensystem aus n r Vektoren Dies sollte an einem kleinen Beispiel klarer werden Wir betrachten das folgende homogene lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x,, x 6 x + 2x 4 x 5 = 3x 4 + x 6 = Die Unbekannten x 2, x 3 kommen hier gar nicht vor, aber das ist gewollt Dieses Gleichungssystem ist bereits in Stufenform, wobei die Unbekannten x und x 4 festgelegt sind, während x 2, x 3, x 5 und x 6 frei bleiben Wir haben x 4 = 3 x 6 und x = x 5 2x 4 = x x 6, benennen wir also die freien Unbekannten x 2, x 3, x 5, x 6 in t, t 2, t 3, t 4 um, so wird der Lösungsraum dieses homogenen linearen Gleichungssystems zu t t 4 t t 2 3 t 4 t 3 t 4 = t t, t 2, t 3, t 4 R + t 2 + t 3 + t t, t 2, t 3, t 4 R 2-

2 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Ein Erzeugendensystem des Lösungsraums besteht hier also aus den vier Vektoren 2 3 u =, u 2 =, u 3 =, u 4 = 3 Die spezielle Gestalt dieses Erzeugendensystems wird später noch einmal wichtig werden, jeder der Vektoren hat oben einige weitgehend beliebige Einträge, dann folgt eine und der untere Teil des Vektors besteht nur aus Nullen Gehen wir die Vektoren dabei von links nach rechts durch, so wird der untere aus Nullen bestehende Teil immer kleiner Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir noch die Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen festhalten Lemma 2 (Grundeigenschaften von Erzeugendensystemen) Sei V ein Vektorraum über K (a) Sind v,, v n, w,, w m V, so ist v,, v n, w,, w m = v,, v m + w,, w m (b) Sind v,, v n ein Erzeugendensystem von V und w,, w m V mit v i w,, w m für alle i n, so ist auch w,, w m ein Erzeugendensystem von V Beweis: (a) Es ist v,, v n + w,, w m { } { m } = λ i v i λ,, λ n K + µ i w i µ,, µ m K i= { = λ i v i + i= (b) Nach Lemma (e) gilt m j= i= µ j w j λ,, λ n K, µ,, µ m K } V = v,, v n w,, w m V, = v,, v n, w,, w m also ist auch V = w,, w m, dh w,, w m ist ein Erzeugendensystem von V Aussage (b) des Lemmas ist oft nützlich um bei gegebenen Vektoren nachzuweisen, dass sie ein Erzeugendensystem bilden Anstatt einzusehen, dass man jeden anderen Vektor als Linearkombination dieser Vektoren schreiben kann, reicht es dies für die Vektoren eines bereits bekannten Erzeugendensystems zu tun 2-2

3 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 3 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimension Haben wir ein Erzeugendensystem v,, v n des Vektorraums V, so können wir jeden Vektor v V als eine Linearkombination v = λ v + + λ n v n schreiben, aber leider ist diese Darstellung im Allgemeinen nicht eindeutig Betrachten wir zum Beispiel einmal im R 2 die drei Vektoren ( ) ( ) ( ) v =, v 2 = und v 3 = 2 Wegen e = (/2)(v + v 2 ) und e 2 = v 3 v sind v, v 2, v 3 nach Lemma 2(d) ein Erzeugendensystem des R 2 In diesem Erzeugendensystem können wir andere Vektoren auf mehrere verschiedene Arten als Linearkombinationen schreiben, zum Beispiel ist e 2 = v 3 v = 2 v 2 v 2 Von besonderem Interesse sind nun natürlich diejenigen Erzeugendensysteme für die die Darstellung anderer Vektoren als Linearkombination eindeutig ist Die hierfür zuständige Bedingung ist die sogenannte lineare Unabhängigkeit Definition : Sei V ein Vektorraum Dann heißen die Vektoren v,, v n linear unabhängig, wenn für alle Skalare λ,, λ n K aus λ v + + λ n v n = bereits λ = = λ n = folgt Die Vektoren v, v 2, v 3 des obigen Beispiels sind dann nicht linear unabhängig, da ja etwa 3 2 v 2 v 2 v 3 = gilt Beachte das die lineare Unabhängigkeit auch die Eindeutigkeit der Koeffizienten in einer Linearkombination bedeutet, sind nämlich λ,, λ n, µ,, µ n K mit so folgt auch λ v + + λ n v n = µ v + + µ n v n (λ µ )v + + (λ n µ n )v n =, und damit ist λ k µ k =, also λ k = µ k, für alle k =,, n Wir wollen uns jetzt kurz klarmachen, wie man die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem Spaltenvektorraum K m rechnerisch nachweist Seien also v,, v n Vektoren im K m, und schreibe v = a a m, v 2 = a 2 a m2 2-3,, v n = a n a mn

4 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Die Linearkombinationen dieser Vektoren sind dann λ v + + λ n v n = a λ + + a n λ n a m λ + + a mn λ n! =, und da die Vektoren v,, v n nach Definition genau dann linear unabhängig sind, wenn diese Gleichung nur durch λ = = λ n = lösbar ist, sind sie auch genau dann linear unabhängig wenn das homogene lineare Gleichungssystem a x + + a n x n = a m x + + a mn x n = nur die triviale Lösung hat Diese Bedingung können wir rechnerisch noch etwas weiter auswerten Nehme hierzu wieder an, dass wir das Gaußsche Eliminationsverfahren mit dem obigen homogenen linearen Gleichungssystem laufen lassen, und das dieses mit einen System in Stufenform, das aus r Gleichungen besteht, endet Dann sind r der n Unbekannten durch das Gleichungssystem festgelegt, es hat also genau dann nur die triviale Lösung wenn r = n ist Damit gilt auch Das Gaußssche Eliminationsverfahren angewandt auf die Matrix deren Spalten v,, v n sind linear unabhängig die Vektoren v,, v n sind endet mit n von Null verschiedenen Zeilen Insbesondere stellt der Nachweis der linearen Unabhängigkeit im K m uns vor keine neuen rechnerischen Probleme Wir wollen jetzt unsere Beispiele von Erzeugendensystemen aus dem vorigen Abschnitt auf lineare Unabhängigkeit überprüfen Starten wir mit den Vektoren e,, e n K n Für alle λ,, λ n K haben wir dann λ k e k = λ + λ λ n = k= λ λ 2 λ n, und damit folgt aus λ e + + λ n e n = sofort λ = = λ n = Damit sind e,, e n linear unabhängig Kommen wir nun zu den n r Vektoren u,, u n r, die den Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = aufspannen 2-4

5 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Diese Vektoren hatten die spezielle Form u =, u 2 =,, u n r = und wir behaupten, dass sie linear unabhängig sind Seien nämlich λ,, λ n r K mit λ u + + λ n r u n r = gegeben Beachten wir nun, dass nur der letzte Vektor u n r in der untersten Zeile eine Eins hat, während die restlichen Vektoren u,, u n r an dieser Stelle eine Null haben, so haben wir n r = λ k u k = k= λ n r also ist zumindest λ n r = Damit ist aber auch λ u + +λ n r u n r = Schauen wir uns dann beim jetzt letzten Vektor u n r die unterste von Null verschiedene Zeile an, so haben alle anderen Vektoren u,, u n r 2 dort eine Null, und es folgt wieder λ n r = So fortfahrend erhalten wir schließlich λ n r = λ n r = = λ = Damit sind u,, u n r tatsächlich linear unabhängig, und somit wird der Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems von n r linear unabhängigen Vektoren erzeugt, wobei r wieder die Anzahl der nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren verbleibenden von Null verschiedenen Zeilen bezeichnet Wir kommen jetzt zu einer ganzen Sequenz eher theoretischer Aussagen über lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme in einem abstrakten Vektorraum In der Vorlesung wurden diese Tatsachen nur übersichtsweise vorgestellt und nicht weitergehend begründet In diesem Skript wollen wir die vollständigen Beweise mit angeben,, Lemma 3 (Grundeigenschaften der linearen Unabhängigkeit) Seien V ein Vektorraum über K und v,, v n V (a) Ist v V, so sind v,, v n, v genau dann linear unabhängig wenn v,, v n linear unabhängig sind und v / v,, v n gilt (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: Die Vektoren v,, v n sind linear unabhängig 2-5

6 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 2 Kein v i ist eine Linearkombination der anderen, dh für jedes i n ist v i / v,, v i,, v n (dabei ist das sogenannte Auslassungssymbol, dh die so bezeichneten Terme sollen weggelassen werden) 3 Für jedes i n ist v i / v,, v i Beweis: (a) = Dass die Vektoren v,, v n linear unabhängig sind ist klar Wäre v v,, v n, so gäbe es λ,, λ n K mit v = n i= λ iv i, und dann ist auch v + ( λ i )v i = v λ i v i =, i= im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von v,, v n, v = Seien λ, λ,, λ n K mit λv + n i= λ iv i = Wäre λ, so hätten wir v = λ λ i v i = i= i= i= ( λ ) i v i v,, v n, λ also muss λ = sein Wegen n i= λ iv i = ist damit auch λ = = λ n = Damit sind v,, v n, v linear unabhängig (b) ()= (2) Klar nach (a) (2)= (3) Klar (3)= () Dies ergibt sich durch vollständige Induktion aus (a) Nennen wir die Vektoren v,, v n linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig sind, so besagt der Satz, dass v,, v n genau dann linear abhängig sind, wenn für einen der Vektoren v i die Bedingung v i v,, v i,, v n erfüllt ist, dh wenn sich ein v i als Linearkombination der anderen v j schreiben läßt Entsprechend sagt man häufig auch anstelle von v ist eine Linearkombination von v,, v n das v von v,, v n linear abhängt Ist v,, v n ein Erzeugendensystem des Vektorraums V, so läßt sich jedes v V als eine Linearkombination v = λ v + + λ n v n schreiben, und sind die v,, v n zusätzlich linear unabhängig, so sind die Koeffizienten λ,, λ n in dieser Linearkombination eindeutig bestimmt In dieser Situation sprechen wir dann von einer Basis des Vektorraums V Definition 2: Sei V ein Vektorraum über K Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem v,, v n von V Wir wollen einsehen, dass jeder nicht zu große Vektorraum eine Basis hat Was dabei nicht zu groß bedeutet werden wir bald genau sagen Es gibt durchaus Vektorräume die überhaupt kein (endliches) Erzeugendensystem, und damit auch keines Basis, haben, beispielsweise der reelle Vektorraum aller Funktionen f : R R Die Existenz von Basen in den anderen Fällen ergibt sich leicht durch eine kleine Umformulierung des Begriffs einer Basis, die wir in unserem nächsten Lemma beweisen werden 2-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Lemma 4 (Charakterisierung der Basen eines Vektorraums) Seien V ein Vektorraum über K und v,, v n V Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Vektoren v,, v n sind eine Basis von V (b) Die Vektoren v,, v n sind maximal linear unabhängig, also linear unabhängig und es kann kein weiterer Vektor zu ihnen hinzugefügt werden so, dass das vergrößerte System linear unabhängig bleibt (c) Die Vektoren v,, v n sind ein minimales Erzeugendensystem von V, dh sie bilden ein Erzeugendensystem von V und läßt man auch nur einen Vektor weg, so bilden die restlichen Vektoren kein Erzeugendensystem Beweis: (a)= (b) Jedes v V ist eine Linearkombination von v,, v n, also sind v,, v n, v nach Lemma 3(a) nicht linear unabhängig (b)= (a) Ist v V, so sind v,, v n, v nicht linear unabhängig, also ist nach Lemma 3(a) auch v v,, v n Damit ist v,, v n auch ein Erzeugendensystem von V, also eine Basis von V (a)= (c) Für i n ist nach Lemma 3(b) stets v i / v,, v i,, v n und insbesondere sind v,, v i,, v n kein Erzeugendensystem von V (c)= (a) Wäre v i v,, v i,, v n für ein i n, so wären auch die Vektoren v,, v i,, v n nach Lemma 2(b) ein Erzeugendensystem von V, im Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität von v,, v n Also ist v i / v,, v i,, v n für jedes i n, und nach Lemma 3(b) sind v,, v n linear unabhängig, also eine Basis von V Gibt es also überhaupt ein Erzeugendensystem v,, v n von V, so können wir aus diesem solange Vektoren rauswerfen bis wir zu einem minimalen Erzeugendensystem kommen, und dieses ist dann eine Basis von V Man kann also jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums zu einer Basis ausdünnen Das eben bewiesene Lemma scheint auch zu zeigen, dass man linear unabhängige Vektoren immer zu einer Basis ergänzen kann Angenommen wir starten mit linear unabhängigen Vektoren v,, v n in V Sind diese maximal, so sind sie bereits eine Basis von V Andernfalls kann man sie durch einen Vektor v n+ V zu einem linear unabhängigen System v,, v n, v n+ ergänzen Ist dieses System maximal, so haben wir wieder eine Basis von V Andernfalls können wir einen weiteren Vektor v n+2 V hinzufügen Führen wir dies immer so weiter, so sollten wir schließlich auf eine Basis von V stossen Leider muss das nicht so sein, es kann passieren das wir immer wieder einen neuen Vektor hinzufügen können, ohne je zu einem Ende zu kommen Wir werden zeigen, dass dies nur passieren kann wenn der Vektorraum V zu groß ist Sobald sich V von Vektoren w,, w m erzeugen läßt, muss das Verfahren zu einem Ende kommen Zunächst führen wir einen Namen für solche Vektorräume ein 2-7

8 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Definition 3: Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt wenn er ein Erzeugendensystem v,, v n V besitzt Wie bereits gezeigt muss jedes solche eine Basis enthalten, und insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis Es wäre aber immer noch denkbar das es unendlich lange Ketten linear unabhängiger Vektoren gibt, selbst wenn der Vektorraum endlich erzeugt ist Um einzusehen, dass dies nicht passieren kann beweisen wir gleich den sogenannten Steinitzschen Austauchsatz Die Hauptaussage dieses Satz ist ihnen wohlbekannt, in den R 2 passen nur zwei linear unabhängige Vektoren rein, in den R 3 nur drei Stück und der Steinitzsche Austauschsatz verallgemeinert diese Tatsachen und sagt unter anderem, dass in einem Vektorraum mit einer Basis aus n Vektoren auch höchstens n linear unabhängige Vektoren hineinpassen Lemma 5 (Steinitzsches Austauschlemma für Vektorräume) Seien V ein Vektorraum über K, w,, w m V linear unabhängig und weiter seien auch v,, v n w,, w m linear unabhängig Dann ist n m und wir können n der m Vektoren w,, w m durch v,, v n ersetzen so, dass das entstehende System w,, w m linear unabhängig mit w,, w m = w,, w m ist Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach n Für n = ist die Behauptung dabei klar Nun sei n N und die Behauptung gelte für n linear unabhängige Vektoren v,, v n w,, w m Wir kommen zum Induktionsschluß, seien also n + linear unabhängige Vektoren v,, v n+ w,, w m gegeben Nach der Induktionsannahme ist n m und nach eventuellen Umnumerieren der w,, w m können wir annehmen, dass v,, v n, w n+,, w m linear unabhängig mit sind Insbesondere ist v,, v n, w n+,, w m = w,, w m v n+ w,, w m = v,, v n, w n+,, w m, also existieren Skalare λ,, λ m K mit v n+ = λ i v i + i= m i=n+ λ i w i Da v,, v n+ linear unabhängig sind, ist nach Lemma 3(b) aber v n+ / v,, v n und damit kann nicht λ n+ = = λ m = sein, dh es ist n + m und es gibt ein n < i m mit λ i Durch ein weiteres eventuelles Umnumerieren der Vektoren w n+,, w m können wir i = n +, also λ n+ annehmen Da die Vektoren v,, v n, w n+,, w m linear unabhängig sind, ergibt die Eindeutigkeit der Darstellung von v n+ als Linearkombination auch v n+ / v,, v n, w n+2,, w m, also sind v,, v n, v n+, w n+2,, w m nach Lemma 3(a) linear unabhängig Wegen w n+ = λ n+ ( λ i v i + v n+ i= m i=n λ i w i ) v,, v n+, w n+2,, w m

9 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 ist nach Lemma 2(b) auch v,, v n+, w n+2,, w m = v,, v n, w n+,, w m = w,, w m Damit ist die Behauptung auch für n + bewiesen, und per vollständiger Induktion ist damit alles gezeigt In einem endlichen erzeugten Vektorraum V hatten wir bereits gesehen, dass es stets eine Basis gibt, und nach dem Steinitzschen Austauschlemma kann es in V keine beliebig großen Systeme linear unabhängiger Vektoren geben Damit liefert die weiter oben beschriebene Konstruktion, dass sich linear unabhängige Vektoren in V stets zu einer Basis von V ergänzen lassen Damit ist bereits der Hauptteil des nun folgenden Satzes bewiesen Satz 6 (Existenz von Basen und Dimension) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über K (a) Es gibt eine Basis v,, v n von V (b) Jedes Erzeugendensystem von V enthält eine Basis von V (c) Sind v,, v n V linear unabhängig, so lassen sich diese Vektoren zu einer Basis v,, v m von V ergänzen (d) Sind v,, v n und w,, w m zwei Basen von V, so ist n = m Beweis: (b,c) Dies haben wir bereits eingesehen (a) Klar nach (b) (d) Nach Lemma 5 sind n m und m n, also n = m Die nach dem Satz eindeutig bestimmte Länge einer Basis von V wird als die Dimension des Vektorraums V bezeichnet Definition 4: Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum Die Dimension dim V von V ist dann die nach Satz 6 eindeutig bestimmte Länge einer Basis von V Die oben eingeführten Vektoren e,, e n K n sind ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des K n, also eine Basis Diese Basis wird auch als die kanonische Basis des K n bezeichnet Da die kanonische Basis aus n Elementen besteht ist insbesondere dim K n = n Ist a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = a m x + a m2 x a mn x n = 2-9

10 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 ein homogenes lineares Gleichungssystem, und verbleiben nach Ablauf des Gaußschen Eliminationsverfahrens r von Null verschiedene Zeilen, so haben wir oben eingesehen, dass das Eliminationsverfahren uns dann ein Erzeugendensystem des Lösungsraums U des Gleichungssystems liefert, das aus n r linear unabhängigen Vektoren besteht Dieses Erzeugendensystem ist dann eine Basis von U, und insbesondere ist dim U = n r Hieraus folgt insbesondere, dass das Gaußsche Eliminationsverfahren unabhängig von den konkret gewählten Zeilenoperationen am Ende immer auf dieselbe Anzahl von Null verschiedener Zeilen führt Ist die Dimension des endlich erzeugten Vektorraums V bereits bekannt, so läßt sich die explizite Bestimmung von Basen rechnerisch noch etwas vereinfachen Wollen wir n Vektoren v,, v n aus V ansehen ob sie eine Basis bilden, so muss man eigentlich zeigen, dass sie zugleich linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind Wenn allerdings die Zahl n bereits die Dimension von V ist, also n = dim V, so reicht es eine der beiden Bedingungen zu überprüfen, dh ein aus n = dim V Vektoren bestehendes Erzeugendensystem ist automatisch auch linear unabhängig und n = dim V viele linear unabhängige Vektoren bilden automatisch ein Erzeugendensystem Diese Tatsachen lassen sich leicht beweisen Korollar 7: Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien v,, v n V (a) Sind v,, v n ein Erzeugendensystem von V, so ist n dim V und v,, v n ist genau dann eine Basis von V wenn n = dim V ist (b) Sind v,, v n linear unabhängig so ist n dim V und genau dann ist v,, v n eine Basis von V wenn n = dim V gilt Beweis: (a) Nach Satz 6(b) bilden m n viele der Vektoren v,, v n eine Basis von V Insbesondere ist n m = dim V und gilt n = dim V, so ist n = m und unsere Vektoren bilden selbst eine Basis von V Sind umgekehrt v,, v n eine Basis von V, so ist n = dim V (b) Nach Satz 6(c) lassen sich v,, v n zu einer Basis v,, v m von V ergänzen, und insbesondere ist n m = dim V Ist dabei n = dim V = m, so sind v,, v n selbst eine Basis von V Ist umgekehrt v,, v n als Basis von V vorausgesetzt, so ist auch n = dim V Sind also insbesondere v = a a n, v 2 = a 2 a n2,, v n = n Vektoren im K n, so ist v,, v n genau dann eine Basis des K n, wenn das homogene 2- a n a nn,

11 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 lineare Gleichungssystem a x + + a n x n = a m x + + a mn x n = nur die triviale Lösung hat, und wie bereits gezeigt ist dies weiter genau dann der Fall wenn das Gaußsche Eliminationsverfahren angewendet auf die n n Matrix mit den Spalten v,, v n bis zur untersten Zeile durchläuft, also n von Null verschiedene Zeilen liefert Wir wollen dies an einem kleinen Beispiel im R 3 illustrieren Betrachte etwa die drei Vektoren v :=, v 2 :=, v 3 := Um zu überprüfen, ob diese eine Basis sind können wir also die Matrix A mit Spalten v, v 2, v 3 hinschreiben, und lassen dann das Gaußsche Eliminationsverfahren auf A laufen Kommt dieses bei der untersten Zeile an, tritt also vorher keine nur aus Nullen bestehende Zeile auf, so sind die drei Vektoren eine Basis des R 3 und sonst nicht Führen wir dies einmal durch Die Stufenform hat also drei von Null verschiedene Zeilen, und somit bilden v, v 2, v 3 eine Basis des R 3 4 Koordinatentransformationen Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und bezeichne n = dim V seine Dimension Weiter sei v,, v n eine Basis von V Dann können wir jeden Vektor v V in eindeutiger Weise als eine Linearkombination v = λ v + + λ n v n schreiben, man nennt λ,, λ n K dann die Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis v,, v n Diese Koordinaten hängen natürlich von der gewählten Basis ab, verwenden wir eine andere Basis, so ergeben sich auch andere Koordinaten Wir wollen uns überlegen wie die Koordinaten eines Vektors bezüglich verschiedener Basen miteinander zusammenhängen Zu diesem Zweck ist es hilfreich die sogenannten Koordinatenabbildungen einzuführen, diese ordnen den Koordinaten λ,, λ n ihren zugehörigen Vektor zu In anderen Worten ist die Koordinatenabbildung Ψ bezüglich der Basis v = (v,, v n ) die bijektive Abbildung Ψ : K n V ; (λ,, λ n ) λ i v i i= 2-

12 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 Wir schreiben Ψ = Ψ v für die Koordinatenabbildung von V bezüglich der Basis v = (v,, v n ) wenn wir die betrachtete Basis in der Notation hervorheben wollen Ist beispielsweise V = K n und e := (e,, e n ) die kanonische Basis des K n, so ist die zugehörige Koordinatenabbildung durch Ψ(x) = x e + + x n e n = gegeben, dh Ψ e = id K n ist die identische Abbildung Ist dagegen v :=, v 2 :=, v 3 := 3 die schon oben als Beispiel verwendete Basis des R 3, so ist die zugehörige Koordinatenabbildung gegeben als x y Ψ(x, y, z) = x + y + z 3 = 3z x y y z Zu verschiedenen Basen eines Vektorraums gehören auch verschiedene Koordinatenabbildungen, und wir wollen uns jetzt überlegen wie genau sich diese Koordinatenabbildungen unterscheiden Definition 5 (Transformationsmatrizen) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien v,, v n sowie w,, w n zwei Basen von V Für jedes i n können wir dann v i bezüglich der Basis w,, w n als v i = n j= a jiw j mit a i,, a ni K schreiben, und mit diesen Zahlen bilden wir die Matrix A := a a n a n a nn Diese Matrix ist dann die Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix von der Basis v,, v n zur Basis w,, w n von V Die Transformationsmatrix A überführt die Koordinaten bezüglich der ersten Basis v = (v,, v n ) in diejenigen bezüglich der anderen Basis w = (w,, w n ) Damit ist die folgende Beobachtung gemeint Angenommen wir haben einen Vektor u V, der bezüglich der Basis v,, v n die Koordinaten x,, x n hat, also u = Ψ v (x), beziehungsweise u = x v + + x n v n Setzen wir hier die Darstellung von v i für i =,, n bezüglich der Basis w ein, so ergibt sich ( ) u = x i v i = a ji x i w j = a ji x i w j = (Ax) j w j, i= i= j= j= 2-2 i= x x n j=

13 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 dh der Koordinatenvektor y K n von u bezüglich der Basis w ist gerade y = Ax In anderen Worten haben wir Ψ v (x) = Ψ w (Ax) für jedes x K n Die Transformation von v- auf w-koordinaten erfolgt also durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix zwischen v und w Die Transformationsmatrix A ist immer invertierbar und ihre Inverse A ist gerade die Transformationsmatrix in der anderen Richtung, also von der Basis w,, w n von V zur Basis v,, v n von V Satz 8 (Invertierbarkeit der Transformationsmatrix) Seien V ein endlich erzeugter Vektorraum, v,, v n sowie w,, w n zwei Basen von V und bezeichne A K n n die Transformationsmatrix von der Basis v,, v n zur Basis w,, w n Dann ist A invertierbar und die Inverse A ist die Transformationsmatrix von der Basis w,, w n zur Basis v,, v n Beweis: Sei B die Transformationsmatrix von der Basis w = (w,, w n ) zur Basis v = (v,, v n ) Für jedes x K n gilt Ψ v (x) = Ψ w (Ax) = Ψ v (BAx), also BAx = x da Ψ v bijektiv ist Für jedes i n ist die i-te Spakte von BA gleich dem Vektor BAe i = e i, also haben wir BA = Analog folgt AB = und damit ist A invertierbar mit A = B 5 Lineare Abbildungen Definition 6: Seien V, W zwei Vektorräume über K Eine Abbildung f : V W heißt linear, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt: (L) Für alle x, y V ist f(x + y) = f(x) + f(y) (L2) Für alle x V, λ K ist f(λx) = λf(x) Wir wollen kurz einige Beispiele linearer Abbildungen angeben Die Abbildung f : R 3 R; x y z x + y + z 2-3

14 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 ist linear Für alle x, y R 3, λ R gelten nämlich f(x + y) = f und x x 2 x 3 + y y 2 y 3 = f x + y x 2 + y 2 x 3 + y 3 = (x + y ) + (x 2 + y 2 ) + (x 3 + y 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) + (y + y 2 + y 3 ) f(λx) = f λ x x 2 x 3 = f λx λx 2 λx 3 = λx + λx 2 + λx 3 = f(x) + f(y) = λ (x + x 2 + x 3 ) = λf(x) Im nächsten Kapitel werden wir lineare Abbildungen f : K n K m etwas näher untersuchen 2 Sei M eine Menge und bezeichne V := K M den Vektorraum aller Funktionen von M nach K Weiter sei x M ein Element von M Dann ist die Abbildung ω x : V K; f f(x) linear In der Tat, sind f, g V und λ K, so gelten ω x (f + g) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) = ω x (f) + ω x (g) und ω x (λf) = (λf)(x) = λf(x) = λω x (f) 3 Ist V der Vektorraum aller konvergenten Folgen in K, so ist die Abbildung lim : V K; (a n ) n N lim n a n linear Dies ist gerade eine Umformulierung von 6Satz 6(a,b) 4 Sind U, V, W drei Vektorräume über K und f : V W, g : W U zwei lineare Abbildungen, so ist auch die Hintereinanderausführung g f : V U eine lineare Abbildung Sind nämlich x, y V und λ K, so haben wir (g f)(x + y) = g(f(x + y)) = g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y)) = (g f)(x) + (g f)(y) und (g f)(λx) = g(f(λx)) = g(λf(x)) = λg(f(x)) = λ (g f)(x) 2-4

15 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 5 Sind V ein endlich erzeugter Vektorraum und v,, v n eine Basis von V, so ist die Koordinatenabbildung Ψ : K n V bezüglich der Basis v,, v n eine lineare Abbildung Für x, y K n, λ K rechnen wir Ψ(x + y) = (x i + y i )v i = i= x i v i + i= y i v i = Ψ(x) + Ψ(y) i= und Ψ(λx) = λx i v i = λ i= x i v i = λψ(x) i= Wir starten jetzt mit der Auflistung einiger unmittelbar aus der Definition folgender Tatsachen über lineare Abbildungen Lemma 9 (Grundeigenschaften linearer Abbildungen) Seien V, W zwei Vektorräume über K und f : V W eine lineare Abbildung Dann gelten: (a) Es ist f() = (b) Das Bild Bild(f) := f(v ) = {f(x) x V } von V ist ein Untervektorraum von W (c) Ist v,, v n ein Erzeugendensystem von V, so ist f(v ),, f(v n ) ein Erzeugendensystem von Bild(f) (d) Ist V endlich erzeugt, so ist auch Bild(f) endlich erzeugt mit dim Bild(f) dim V (e) Die Menge Kern(f) := f ({}) = {x V f(x) = } ist ein Untervektorraum von V (f) Genau dann ist die Abbildung f : V W injektiv wenn Kern(f) = {} ist Beweis: (a) Es ist f() = f( + ) = f() + f(), also f() = (b) Nach (a) ist Bild(f) Sind u, v Bild(f) und λ K, so existieren x, y V mit f(x) = u und f(y) = v, also ist auch u + v = f(x) + f(y) = f(x + y) Bild(f) und λu = λf(x) = f(λx) Bild(f) Damit ist das Bild Bild(f) von f ein Untervektorraum von W (c) Sei u Bild(f) Dann existiert ein v V mit u = f(v) und da v,, v n ein Erzeugendensyszem von V ist, existieren weiter λ,, λ n K mit v = λ v + + λ n v n Damit ist auch u = f(v) = f(λ v + + λ n v n ) = λ f(v ) + + λ n f(v n ) Dies zeigt, dass f(v ),, f(v n ) ein Erzeugendensystems des Bilds von f ist (d) Klar nach (c) und Korollar 7(a) 2-5

16 Mathematik für Physiker I, WS 2/2 Freitag 2 (e) Nach (a) ist Kern(f) Sind x, y Kern(f) und λ K, so haben wir auch f(x + y) = f(x) + f(y) = und f(λx) = λf(x) =, also x + y Kern(f) und λx Kern(f) Damit ist der Kern Kern(f) von f ein Untervektorraum von V (g) = Klar nach (a) = Seien x, y V mit f(x) = f(y) Dann ist auch f(x y) = f(x) f(y) =, also x y Kern(f) = {}, und es folgt x = y Also ist f : V W injektiv 2-6