Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
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1 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
2 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis und Dimension 5 Skalarprodukt, Norm und Metrik 6 Lineare Abbildungen 7 Bild, Faser, Kern Die Begriffe Bild, Faser und Kern Der Rang einer linearen Abbildung Affine Unterräume Dimensionsformel Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
3 Die Begriffe Bild, Faser und Kern Die Begriffe Bild, Faser und Kern In diesem Kapitel sei K ein Körper und V und W seien K-Vektorräume. Definition 1 Sei F : V W ein Homomorphismus. Dann nennen wir Im F := F (V ) das Bild von F, F 1 (w) := {v V : F (v) = w} die Faser über w W und Ker F = F 1 (0) = {v V : F (v) = 0} den Kern von F. Beispiel 2 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
4 Die Begriffe Bild, Faser und Kern Eigenschaften Proposition 1 Ist F : V W ein Homomorphismus, so gilt: a) Im F W und Ker F V sind Untervektorräume. b) F surjektiv Im F = W. c) F injektiv Ker F = {0}. d) Ist F injektiv und sind v 1,..., v n V linear unabhängig, so sind auch die Bilder F (v 1 ),..., F (v n ) linear unabhängig. Beweis. Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
5 Der Rang einer linearen Abbildung Rang Definition 3 Die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung F bezeichnen wir als den Rang der Abbildung, d. h. rang F := dim Im F Erinnerung: Eine Matrix A M(m n; K) beschreibt eine lineare Abbildung A : K n K m, x y = Ax wobei die Vektoren x K n und y K m als Spalten geschrieben sind. In diesem Spezialfall sprechen wir dann vom Rang der Matrix A und meinen damit den Rang dieser linearen Abbildung. Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
6 Der Rang einer linearen Abbildung Rang von A = Spaltenrang von A Betrachte kanonische Basis (e 1,..., e n ) des K n. Erinnerung: Ae 1,..., Ae n sind die Spalten von A. Also gilt: Im A = A(K n ) = span K (Ae 1,..., Ae n ) Letzteres ist der Spaltenraum von A. Also gilt: Beobachtung 4 Der in Definition 3 eingeführte Begriff des Rangs einer Matrix ist gleich dem in Kapitel 6 eingeführten Begriff des Spaltenrangs einer Matrix. Erinnern Sie sich, wie man den Spaltenrang bzw. den Zeilenrang bzw. den Rang einer Matrix berechnet? Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
7 Der Rang einer linearen Abbildung Faserung Bild und Faserung kann man analog für beliebige Abbildungen F : X Y definieren. Die Menge X wird durch die Fasern in disjunkte Teilmengen zerlegt: X = F 1 (y) y Im F Diese Faserung wollen wir nachfolgend untersuchen. Beispiel 5 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
8 Affine Unterräume Affine Unterräume Bemerkung 5.1 Ist F : V W linear, w Im F und u F 1 (w) beliebig, so ist F 1 (w) = u + Ker F := {u + v : v Ker F } Beweis. Definition 6 Eine Teilmenge X eines K-Vektorraums V heißt affiner Unterraum, falls es ein v V und einen Untervektorraum W V gibt, so dass X = v + W := {u V w W : u = v + w} Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
9 Affine Unterräume Affine Unterräume Proposition 2 Sei X = v + W V ein affiner Unterraum. Dann gilt: a) Für ein beliebiges v X ist X = v + W. b) Ist v V und W V ein Untervektorraum mit v + W = v + W, so folgt W = W und v v W. Merke: Zu einem affinen Unterraum v + W ist der Untervektorraum W eindeutig bestimmt und der Aufhängepunkt v kann beliebig gewählt werden. Beweis. Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
10 Dimensionsformel Dimensionsformel Satz 7 Sei V endlichdimensional und sei F : V W ein Homomorphismus. Sei (v 1,..., v k ) eine Basis von Ker F und sei (w 1,..., w r ) eine Basis von Im F. Seien beliebige Vektoren u 1 F 1 (w 1 ),..., u r F 1 (w r ) gegeben. Dann ist A := (u 1,..., u r, v 1,..., v k ) eine Basis von V und es gilt die Dimensionsformel dim V = dim Im F + dim Ker F. Beweis. Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
11 Dimensionsformel Folgerungen aus der Dimensionsformel Korollar 8 Sei V endlichdimensional und F : V W ein Homomorphismus. Dann gilt für alle nichtleeren Fasern dim F 1 (w) = dim V dim Im F Korollar 9 Zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen V und W gibt es genau dann einen Isomorphismus, wenn dim V = dim W. Korollar 10 Sei dim V = dim W < und sei F : V W ein Homomorphismus. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) F ist injektiv b) F ist surjektiv c) F ist bijektiv Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai / 11
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