EINFÜHRUNG IN DIE TENSORRECHNUNG

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1 EINFÜHRUNG IN DIE ENSORRECHNUNG eil 1 SIEGFRIED PERY Neufassung vom 7 Juni 2016

2 I n h a l t 1 Was sind ensoren? 2 2 Multiplikation von Matrizen 21 Multiplikation einer Vektors mit einem ensor 2 Stufe 5 22 Produkte von Vektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 7 22 Das dyadische Produkt 8 2 Rechengesetze für Dyaden 8 21 Multiplikation einer Dyade mit einem Skalar 8 22 Multiplikation einer Dyade mit einem Vektor Das Vorprodukt Das Nachprodukt 9 Lösungen 10 1

3 1 Was sind ensoren? Hier geht es um drei verschiedene Arten von ensoren: Skalare (das sind reelle Zahlen); sie heißen ensoren 0 Stufe Freie (d h nicht an einen Angriffspunkt oder an eine Achse gebundene) physikalische Vektoren sind gerichtete physikalische Größen ( vektorielle Größen ), zu deren vollständiger Beschreibung außer ihrem Größenwert ihre Richtung gehört Sie heißen ensoren 1 Stufe ensoren 2 Stufe; das sind (vorerst) mathematische Operatoren, durch deren Anwendung auf einen Vektor ein anderer Vektor mit bestimmten Eigenschaften entsteht Alle ensoren können durch Matrizen beschrieben werden Eine Matrix vom yp (m, n) ist ein rechteckiges Schema von m mal n Größen, die in m Zeilen (waagerechte Reihen) und n Spalten (senkrechte Reihen) angeordnet sind Diese Größen heißen Elemente der Matrix Das Element a ik (auch A ik ) der Matrix A steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte Die Elemente der Matrix können reelle oder komplexe Zahlen sein, aber auch andere mathematische Objekte, wie Vektoren, Polynome, Determinanten, Differentiale und andere Die Matrix eines ensors 0 Stufe besteht nur aus einer einzigen Zahl, eben dem Skalar Man ist übereingekommen, die Matrix mit dieser Zahl gleichzusetzen: (a) a Ein (physikalischer) Vektor (zum Beispiel eine Kraft) wird beschrieben durch einen Pfeil von bestimmter Richtung (im Beispiel: die Richtung der Kraft) und von bestimmter Länge, die nach einem verabredeten Maßstab dem Größenwert (hier der Kraft) entspricht (Beispiel: 1 cm entspricht 10 N) Ein Vektor v kann mathematisch beschrieben werden durch seine skalaren Komponenten v 1, v 2, v, die auf ein definiertes dreidimensionales Koordinatensystem (Basissystem, Basis) bezogen sind, das durch drei nicht komplanare (nicht in einer Ebene liegende) Einheitsvektoren e 1, e 2, e gebildet wird v v e + v e + v e (11) Die Wahl des Basissystems ist beliebig Die skalaren Komponenten des Vektors ändern sich, wenn man ein anderes Basissystem wählt Der Vektor selbst bleibt dabei unverändert Diese Unabhängigkeit vom Basissystem ( Invarianz gegenüber Koordinatentransformation genannt) ist eine grundlegende Eigenschaft aller ensoren Die Beschreibung eines ensors 1 Stufe, also eines physikalischen Vektors, kann durch eine Matrix mit drei Zeilen und einer Spalte (eine (, 1)-Matrix) erfolgen: v1 v 2 v Diese Matrix gilt natürlich nur für ein bestimmtes Basissystem und ändert sich mit diesem Sie i s t auch kein Vektor, sondern die (Komponenten-)Matrix eines Vektors Sie sollte daher auch nicht mit dem Vektor v gleichgesetzt werden (Leider sind die Sitten hier etwas verwildert: Die Bequemlichkeit hat über die Präzision gesiegt) Matrizen werden mit kursiven, fetten Großbuchstaben bezeichnet: A, B, M, Daher liegt es nahe, die Matrix eines physikalischen Vektors v mit V zu bezeichnen: 2

4 v1 V v 2 und die "transponierte Matrix" mit V ( v1 v2 v ) (12) v Anmerkung: Beim ransponieren einer Matrix werden ihre Zeilen und Spalten vertauscht Analog dazu wird ein ensor 2 Stufe mit t, seine Matrix mit bezeichnet In der Algebra hat der Begriff Vektor eine andere Bedeutung Er steht hier für Matrizen mit nur einer Spalte ( Spaltenvektor ) oder nur einer Zeile ( Zeilenvektor ) a1 Spaltenvektor: a 2 a Zeilenvektor: ( a a a 1 2 ) (1) Zudem ist es in der Algebra üblich, diese Begriffe auf einzelne Spalten bzw Zeilen anzuwenden, die aus einer größeren Matrix herausgegriffen und in Klammern gesetzt wurden Die Matrix eines ensors 2 Stufe ist eine (, )-Matrix, also eine Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten: t t t t21 t22 t 2 t t t 1 2 Alle t ik sind reelle Zahlen (14) Die in den Klammern der Matrix stehenden Zahlen, also die Elemente der Matrix, heißen hier Komponenten des ensors Auch die Komponenten der ensoren zweiter Stufe beziehen sich auf ein zuvor definiertes Koordinatensystem (Basissystem), das von drei Einheitsvektoren e 1, e 2, e aufgespannt wird Bei Wechsel des Basissystems ändern sich Elemente der Matrizen, während die Vektoren und ensoren 2 Stufe selbst davon unberührt bleiben Sowenig ein (physikalischer) Vektor eine Matrix mit einer Spalte ist, sowenig ist ein ensor 2 Stufe eine (, )-Matrix (und umgekehrt) Ein ensor 2 Stufe ist gleichsam ein Vektor höherer Stufe, zu dessen Beschreibung in einem Basissystem nicht weniger als neun Zahlen nötig sind Analog zur Vektoralgebra und zur Vektoranalysis gibt es eine ensoralgebra und eine ensoranalysis Für das Rechnen mit Matrizen wurden eine Reihe von notwendigen Grundgesetzen verabredet ( gesetzt ), aus denen weitere Regeln abgeleitet wurden Sie alle finden sich in jeder besseren Formelsammlung, sodass ich hier auf die ermüdende Aufzählung verzichten kann Bei Bedarf werde ich jeweils darauf hinweisen Als nächstes brauchen wir einige Regeln für die Multiplikation von Matrizen 2 Multiplikation von Matrizen Eine grundlegende Regel für die Multiplikation von Matrizen ist die Verkettbarkeitsbedingung: Das Produkt AB zweier Matrizen A und B kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist Das Produkt AB zweier Matrizen ist eine Matrix C Wie sich aus der unten beschriebenen Rechenregel ergibt, ist die Anzahl ihrer Zeilen gleich der Anzahl der Zeilen von A, die Anzahl ihrer Spalten gleich der Anzahl der Spalten von B

5 Die rote Markierung zeigt die zu erfüllende Voraussetzung (Verkettbarkeitsbedingung) an, die blaue und die grüne zeigen den Einfluss der Zeilen- bzw Spaltenzahl von A bzw B auf das Ergebnis C Um die Rechenregel für die Gewinnung der Elemente der Produktmatrix C beschreiben zu können, definieren wir zunächst eine Hilfsgröße: das skalare Produkt einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix b1 + + Skalares Produkt ( a a a ) b a b a b a b a b (15) b n 1 Das skalare Produkt (kurz: Skalarprodukt) hat seinen Namen und seine Bedeutung vom skalaren Produkt zweier Vektoren Nach den Regeln der Vektoralgebra ist v v1e 1 + v2e2 + ve und w1 1 + w2 2 + w ( )( ) 4 w e e e v w v e + v e + v e w e + w e + w e v w + v w + v w (16) Die rechts stehende Summe ist eine reelle Zahl, ein ensor 0 Stufe Das oben definierte skalare Produkt ist identisch mit dem Produkt A B aus der transponierten Matrix A des Vektors a und der Matrix B des Vektors b Das Ergebnis entspricht dem Skalarprodukt der Vektoren a und b Und nun die Rechenvorschrift: Das Element c ik der Produktmatrix C AB ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile (ein Zeilenvektor )von A mit der k-ten Spalte von B (ein Spaltenvektor ) Hier zwei wichtige Beispiele: 21 Multiplikation einer Vektors mit einem ensor 2 Stufe Das Produkt eines Vektors mit einem ensor 2 Stufe wird geschrieben vt ( Vorprodukt ) bzw t v ( Nachprodukt) Die Berechnung der Produkte geschieht mithilfe der Matrizen der beiden Faktoren 1 Fall: Der Vektor ist der erste Faktor (Vorprodukt) Da die ensormatrix drei Zeilen hat, muss wegen der Verkettbarkeitsbedingung die Vektormatrix drei Spalten haben Folglich muss die Vektormatrix als Zeilenmatrix geschrieben werden, das heißt, wir müssen statt der Matrix V die transponierte Matrix V als ersten Faktor benutzen Die Produktmatrix C hat dann wie V eine Zeile und wie drei Spalten Also ist mit t t t c c c V ( v1 v2 v ) t21 t22 t 2 c21 c22 c 2 (17) t t t c c c n n

6 Damit ergibt sich V t11 c ( v v v ) t v t + v t + v t 1 Zeile von V t Spalte von t12 c ( v v v ) t v t + v t + v t 1 Zeile von V t Spalte von t1 c ( v v v ) t v t + v t + v t t ( v t v t v t v t v t v t v t v t v t ) Die Matrix auf der rechten Seite ist die transponierte Matrix W eines Vektors w mit der Matrix v t + v t + v t v t + v t + v t v t + v t + v t W (18) Folglich gilt für das gesuchte Vorprodukt: Das Vorprodukt aus einem Vektor v und einem ensor t 2 Stufe ist ein Vektor w, dessen Matrix (für das zugrundeliegende Basissystem) sich aus Gleichung (18) ergibt v t w 2 Fall: Die Vektormatrix ist der zweite Faktor (Nachprodukt) Wieder wird das Produkt über die Matrizen und V der beteiligten Faktoren t und v berechnethier muss wegen der Verkettbarkeitsbedingung die Matrix V als Spaltenmatrix geschrieben werden: V t t t v t1 t2 t v t21 t22 t 2 v 2 Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis eine Spaltenmatrix: t v + t v + t v t v + t v + t v t v + t v + t v V (19) Für das Nachprodukt gilt folglich: Das Nachprodukt aus einem Vektor v und einem ensor t ist ein Vektor w, dessen Matrix aus Gleichung (19) ergibt: t v w

7 Übungen Übung 11 Zeigen Sie, dass V E V, wobei E die (, )-Einheitsmatrix und V die transponierte Matrix eines beliebigen Vektors v ist Übung 12 Zeigen Sie, dass E V V ist, wobei V die Matrix eines Vektors v ist Übung 1 Beweisen Sie die Distributivität des Vorprodukts: [ ] V A + B V A + V B, + wobei A und B (, )-Matrizen sind und V die transponierte Matrix eines Vektors ist (Hinweis: Hierzu wird die Additionsregel für Matrizen benötigt, die besagt, dass gleichartige Matrizen addiert werden, indem ihre einander entsprechenden Elemente addiert werden: Übung 14 A + B C, wobei c a + b ist i, k i, k i, k Beweisen Sie die Distributivität des Nachprodukts: [ A + B] V AV + BV, wobei A und B (, )-Matrizen sind und V eine Vektormatrix ist Übung 15 Bestätigen Sie durch Ausrechnen die Gleichung (19) 6

8 22 Produkte von Vektoren Es gibt drei Arten von Produkten von je zwei Vektoren: Das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das dyadische Produkt 221 Das Skalarprodukt In der Vektoralgebra wird das Skalarprodukt v w (lies vw oder v Punkt w) zweier Vektoren im Hinblick auf physikalische Belange basisunabhängig so definiert: v w v w cos ϕ, wobei v und w die Beträge der beiden Vektoren sind und φ der von ihnen eingeschlossene Winkel ist Beschreibt man die Vektoren durch ihre Komponenten bezüglich einer Basis {e 1, e 2, e }, dann erhält man für ihr Skalarprodukt formal die Gleichung v w v e + v e + v e w e + w e + w e (110) ( ) ( ) In der Vektoralgebra wird gezeigt, dass die skalare Multiplikation distributiv ist Daher können die Klammern nach den Regeln der Algebra ausmultipliziert werden Berücksichtigt man dabei, dass e e e e e e 1, e e e e e e 0, was sich aus der Definitionsgleichung für φ 0 bzw 90 ergibt, so erhält man v w v w + v w + v w (111) Die rechte Seite der Gleichung (111) ist ein Skalar und identisch mit dem Produkt der Zeilenmatrix V und der Spaltenmatrix W der beiden Vektoren Also gilt: w1 v1w 1 + v2w2 + vw ( v1 v2 v ) w2 V W (112) w v w V W (11) 222 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Das Vektorprodukt v w (lies v Kreuz w ) zweier Vektoren v und w ist definiert als ein Vektor u, der auf v und w senkrecht steht und der so gerichtet ist, dass v, w und u in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, und dessen Betrag gleich dem Größenwert des von v und w aufgespannten Rechtecks ist, das heißt u v w sin ϕ In der Vektoralgebra wird gezeigt, dass für die Komponentendarstellung des Vektors u gilt: ( v w v w ) ( v w v w ) ( v w v w ) u v w e + e + e (114) Als Merkregel ist die Darstellung durch eine Determinante nützlich: 7

9 u v w e e e 1 2 v v v 1 2 w w w 1 2 Für die Matrix U des Vektors u gilt: U v v v w 2 2 w w v1 w1 v v w 1 1 w 2 2 (Die Elemente der Matrix sind hier Determinanten) 22 Das dyadische Produkt Das dyadische Produkt (kurz: Dyade) zweier Vektoren v und w wird geschrieben v w und gelesen: v mal im Kreis w Wie die beiden Vektoren ist auch ihr dyadisches Produkt von der benutzten Basis unabhängig Bei der unten folgenden Definition des dyadischen Produkts wird die Komponentendarstellung der beteiligten Vektoren bezüglich einer bestimmten Basis benutzt, und daher ist auch das Ergebnis eine basisabhängige Größe, und zwar eine Matrix Definition: Die Matrix ( v w) des dyadischen Produkts zweier Vektoren v und w mit den Matrizen V bzw W ist das Produkt aus der Matrix V und der transponierten Matrix W : v1 v1w 1 v1w 2 v1w v w w w v w v w v w ( v w) V W ( ) (114) v vw1 vw2 vw (Diese (, )-Matrix wird sich später als die Matrix eines ensors erweisen) 2 Rechengesetze für Dyaden 21 Multiplikation einer Dyade mit einem Skalar Matrizen werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle ihre Elemente v i w k mit diesem Skalar multipliziert werden Dabei ist die Reihenfolge der Faktoren beliebig Dieses für die Matrix einer Dyade geltende Gesetz kann auf die Dyade selbst übertragen werden, indem man vereinbart: k[ v w] [ kv] w v [ k w] [ v w] k (115) Anmerkung: Die eckigen Klammern dienen hier und im Folgenden wieder dazu, die Reihenfolge der Multiplikationen zu regeln (Runde Klammern werden zur Kennzeichnung von Matrizen benutzt) 8

10 22 Multiplikation einer Dyade mit einem Vektor Auch hier müssen wir zwischen Vorprodukt und Nachprodukt unterscheiden 221 Das Vorprodukt Das Vorprodukt eines Vektors u mit dem dyadischen Produkt aus v und w ist das Produkt u[ v w] Die Berechnung des Vorprodukts geschieht wieder über die Matrizen der beteiligten Größen Dabei muss wegen der Verkettbarkeit die transponierte Matrix U des Vektors u benutzt werden: ( u[ v w] ) U ( v w) ( ) v1w 1 v1w 2 v1w u1 u2 u v2w1 v2w2 v2w vw1 vw2 vw ( u1v1 w1 u2v2w1 uvw1 u1v1 w2 u2v2w2 uvw2 u1v1 w u2v2w uvw ) ([ u v u v u v ] w [ u v u v u v ] w [ u v u v u v ] w ) Die erme in den eckigen Klammern sind identisch mit dem Skalarprodukt der Vektoren u und v und als solches eine reelle Zahl k, die nach den Regeln der Matrizenrechnung ausgeklammert werden kann ( ) ( u[ v w]) k w w w kw (117) 1 2 Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die transponierte Matrix des Vektors w, multipliziert mit einer reellen Zahl k Auf die Vektoren selbst angewandt folgt daraus u [ v w] k w (118) Durch Multiplikation eines Vektors mit einer Dyade kann also ein anderer Vektor mit definierten Eigenschaften erzeugt werden: ein Vektor von der Richtung des Vektors w, dessen Betrag durch geeignete Wahl von v beliebig bestimmt werden kann Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden: Durch die Multiplikation wird dem Vektor u basisunabhängig ein Vektor kw zugeordnet oder der Vektor u wird auf einen Vektor kw abgebildet 222 Das Nachprodukt Das Nachprodukt eines Vektors u mit dem dyadischen Produkts aus v und w ist das Produkt [ v w] u (116) Wieder erfolgt die Berechnung über die Matrizen: v w u v v1w 1 v1w2 v1w u1 w U v2w1 v2w2 v2w u 2 vw1 vw2 vw u v1w 1u 1 + v1w2 u2 + v1w u v2w1u 1 v2w2u2 v2wu + + vw1u 1 vw2u2 vwu + + ([ ] ) ( ) (119) Diese Spaltenmatrix kann wie folgt umgeformt werden: 9

11 v1[ w1 u1 + w2 u2 + w u] v1[ w u] v1 ( v w) U v [ w u + w u + w u ] v [ w u] w u v [ w u] V (120) v[ w1 u1 w2 u2 w u] v[ ] v + + w u Dabei ist das Skalarprodukt w u wieder eine reelle Zahl k und somit Auf die Vektoren selbst angewandt folgt daraus ( v w) U kv (121) v w u k v (122) Das Nachprodukt ist also ein Vektor von k-fachem Betrag des ersten Vektors der Dyade, wobei k das Skalarprodukt des zweiten Vektors der Dyade und des»nachvektors«u ist Übung 16 Ein Ellipsoid ist mathematisch am einfachsten zu beschreiben, wenn die Achsen des benutzten Koordinatensystems mit den Achsen des Ellipsoids zusammenfallen (Ein Ellipsoid hat drei Achsen: den größten Durchmesser, den kleinsten Durchmesser und den auf diesen beiden senkrechten Durchmesser) Für die Koordinaten der Punkte seiner Oberfläche gilt dann: x y z a b c Dabei sind a, b und c die Längen der drei Halbachsen Wie lässt sich mithilfe einer (, )-Matrix das Ellipsoid bei beliebiger Lage zum Koordinatensystem beschreiben? Welche Bedingungen müssen die Elemente der Matrix erfüllen? Lösungen Übung 11 Beweis mittels der Multiplikationsregel für Matrizen oder einfach durch Anwendung der Gleichung (18) Übung 12 Mittels Multiplikationsregel oder durch Anwendung der Gleichung (19) Übung 1 1 Schritt: Man setzt A + B C mit c ik a ik + b ik und wendet im 2 Schritt die Regel gemäß Gleichung (18) an, die auch dann gilt, wenn die (, )-Matrix keine ensormatrix ist Schritt: Man multipliziert die erme v 1 (a 11 + b 11 ) usw aus und ordnet die Produkte um Die 1 Zeile lautet dann v a + v a + v a + v b + v b + v b Schritt: Die entstehende Matrix kann als Summe zweier Matrizen dargestellt werden mit den ersten Zeilen v a + v a + v a bzw v b + v b + v b

12 5 Schritt: Die beiden Matrizen sind gem Gleichung (18) identisch mit den Matrixprodukten Übung 14 Analog zu Übung 1 Übung 16 V A bzw V B Das Ellipsoid wird bei beliebiger Lage im Koordinatensystem durch die Länge und die Richtung seiner halben Achsen eindeutig beschrieben Diese wiederum werden beschrieben durch die Vektoren a (a 1, a 2, a ), b(b 1, b 2, b ), c(c 1, c 2, c ) Das Ellipsoid kann dann durch seine Matrix E beschrieben werden: a b c E a b c a b c Bei der Auswahl (und Beschreibung) der Vektoren a, b, c ist zu beachten, dass sie paarweise aufeinander senkrecht stehen müssen Für die Matrix E bedeutet dies, dass die drei Skalarprodukte, die aus je zwei ihrer Spaltenvektoren gebildet werden können, gleich null sein müssen Fazit: Jedes Ellipsoid kann durch eine (, )-Matrix dargestellt werden, aber nicht jede Matrix kann ein Ellipsoid darstellen Das Ellipsoid ist ein vom Koordinatensystem unabhängiges Gebilde; die Elemente seiner Matrix dagegen sind wie bei den Vektoren von der benutzten Basis abhängig Und: Das Ellipsoid i s t keine Matrix, und die Matrix i s t kein Ellipsoid 11