5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz
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- Stephan Grosser
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1 HM III = MATH III FT Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz Der Gaußsche Integralsatz umgangssprachlich am eispiel strömender Flüssigkeiten: Die Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche eines räumlichen Gebiets herausströmt, ist gleich der Flüssigkeitsmenge, die die Quellen in dem Gebiet hervorbringen. 5.1 Divergenz (Ergiebigkeit) Zur Einführung betrachten wir wie oben die stationäre Strömung einer Flüssigkeit durch ein Gebiet G IR 3 mit Geschwindigkeitsfeld V : G IR 3. Im Gebiet G sei ein Quader Q fixiert, der von der Flüssigkeit durchströmt wird. Frage nach dem Überschuß, d.h. herausfließendes Volumen pro Zeiteinheit minus hereinfließendes Volumen pro Zeiteinheit. Definition Sei V : G IR 3 stetig differenzierbar auf einer offenen Menge G IR 3. Dann heißt div V (x 0 ) := lim δ(q) 0 1 V (x) n(x) dσ τ(q) Divergenz (oder Ergiebigkeit ) von V in x0 G. Dabei sind Q achsenparallele Quader mit Durchmesser δ(q), Volumen τ(q) und Rand Q, derart daß x 0 Q G. Ist div V (x 0 ) > 0, so heißt x 0 ein Quelle des Vektorfeldes V ; falls div V (x 0 ) < 0 eine Senke. V heißt quellenfrei in G, wenn div V = 0 in G gilt. Satz Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld V = (V 1, V 2, V 3 ) in G (offen IR 3 ) existiert die Divergenz und berechnet sich wie folgt: Q div V = V 1,x + V 2,y + V 3,z.
2 HM III = MATH III FT Der Gaußsche Integralsatz im IR 3 (allgemeiner Fall) Für ein quaderzerlegbarer ereich, d.h. eine kompakte Menge G IR 3, die sich in endlich viele Quader Q 1,..., Q m zerlegen läßt, ist div V dτ = Gauß = = m div V dτ j=1 Q j m V n dσ j=1 Q j V n dσ, denn alle Integrale über Flächenstücke im Inneren von fallen weg, da über sie zweimal mit entgegengesetzter Flächennormale integriert wird! Allgemeinere ereiche, die sich durch quaderzerlegbare ereiche beliebig gut approximieren lassen (dabei müssen die Außenflächen der Quader den Rand von approximieren) in folgender Definition Eine kompakte (dh. abgeschlossene und beschränkte) Menge IR 3 heißt ein ereich mit stückweise glattem Rand, falls der Rand eine Fläche ist (d.h. setzt sich aus endlich vielen Flächenstücken zusammen.) Dabei besitze jedes Flächenstück eine Parameterdarstellung f : D IR 3 mit f stetig differenzierbar, umkehrbar eindeutig auf D mit Rang f = 2. Zudem werde jeweils D von endlich vielen stückweise glatten urven berandet. Darunter fallen praktisch alle Fälle technischer und physikalischer Anwendungen! (Ausnahme: Doppelpunkte, Spitzen) Vereinbarung: Die Normalenvektoren auf weisen nach außen! Satz Seien V : G IR 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld und ( G) ein ereich mit stückweise glattem Rand. Dann gilt mit dem Volumenelement dτ := dx dy dz div V dτ = V n dσ. Summe der Ergiebigkeiten aller Quellen und Senken (negativ gerechnet) = Fluß aus.
3 HM III = MATH III FT Gaußscher, Greenscher Integralsatz in der Ebene Sei D ein beschränkter, einfach zusammenhängender ereich im IR 2, berandet von einer geschlossenen, stückweise glatten urve : ( ) ( ) x y = γ(t), a t b, γ = γ1 γ 2. Dabei legen wir die Orientierung wie folgt fest: D soll links von der urve liegen, wenn man die urve in Richtung wachsender Parameterwerte durchläuft, d.h. D wird von der urve positiv umlaufen. Auf D sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld gegeben: V = ( ) V1 V 2 : D IR 2. Insgesamt folgt aus dem Gaußschen Integralsatz im IR 3 b [V 1 (γ(t)) γ 2 (t) V 2 (γ(t)) γ 1 (t)] dt = a D {V 1,x (x, y) + V 2,y (x, y)} d(x, y). Analog zum IR 3 schreiben wir div V = V 1,x +V 2,y, zudem kurz dx = γ 1 (t) dt, dy = γ 2 (t) dt und erhalten somit Satz (Gaußscher Integralsatz in der Ebene) Sei V = ( ) V 1 V 2 : G IR 2 stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem Gebiet G. Der ereich D G sei einfach zusammenhängend und durch die stückweise glatte urve : γ = ( ) γ 1 γ 2 : [a, b] IR 2 berandet, die D positiv umläuft. Dann gilt (V 1 dy V 2 dx) = div V d(x, y). Mit der Umbenennung D U 1 = V 2, U 2 = V 1 ; U := folgt der Greensche Integralsatz in der Ebene: ( ) U1 U 2 (U 1 dx + U 2 dy) = (U 2,x U 1,y ) d(x, y). D
4 HM III = MATH III FT emerkung: eide vorstehenden Integralsätze gelten auch für ereiche D, die sich in endlich viele einfach zusammenhängende ereiche D k zerlegen lassen, wobei die D k stückweise glatt berandet sind. Dabei ist jeweils links über den gesamten Rand von D zu integrieren, wobei die Orientierungen der Randkurven von den Randkurven der D k erzeugt werden; d.h. D liegt stets links von den Randkurven auf D. eispiel eines nicht einfach zusammenhängenden ereiches 5.4 Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder Seien IR 3 ein ereich mit stückweise glattem Rand und φ : G IR ein stetig differenzierbares Skalarfeld. Damit gilt der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder: φ(x, y, z) n dσ = φ(x, y, z) dτ ( IR 3 ) ; oder ausführlicher mit n = n x n y n z, φ = φ x φ y φ z φ n x dσ = φ x dτ, φ n y dσ = φ y dτ, φ n z dσ = φ z dτ. Anwendung: Partielle Integration im Mehrdimensionalen 5.5 Der Stokes sche Integralsatz im IR 3 Vorbereitungen: Hilfssatz Seien V : M IR 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge M des IR 3 und a ein beliebiger Vektor aus dem IR 3. ezeichne V
5 HM III = MATH III FT die Jacobi-Matrix zu V. Dann gilt: (V V ) a = rot V a. Definition Ein Flächenstück F heißt stückweise glatt berandet, falls es eine Parameterdarstellung f : D IR 3 besitzt mit folgenden Eigenschaften: - D ist ein ereich IR 2, der von endlich vielen geschlossenen Jordankurven berandet ist, die stückweise glatt und positiv orientiert sind (d.h. D liegt links von den urven). - f : D IR 3 ist eineindeutig (injektiv) und aus C 2 (D), und es gilt Rang f = 2. - Der Rand F := f(d) des Flächenstückes besteht somit aus endlich vielen geschlossenen Jordankurven, die entsprechend den Urbildkurven auf D orientiert sind. F heißt zudem einfach (zusammenhängend), wenn D einfach zusammenhängend ist. Satz (Stokes scher Integralsatz im IR 3 ) Seien V : M IR 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge M des IR 3 und F M ein stückweise glatt berandetes Flächenstück. Dann gilt: F V (x) dx = rot V (x) n(x) dσ. F 5.6 Interpretation des Stokes schen Integralssatzes eispiel: strömende Flüssigkeiten (oder Gase) Seien V : M IR 3 ein stetig differenzierbares Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit in einem offenen Teil M IR 3 und F ein einfaches Flächenstück in M, wobei F = ( geschlossene Jordankurve). Legen wir eine Zerlegung Z = {x i, i I} der urve zugrunde, dann gibt (bei hinreichend feiner Zerlegung) V (x i ) x i näherungsweise die Geschwindigkeitskomponente von V im Punkt x i in Durchlaufrichtung der urve an. Also ist die Riemannsche Summe V (x i ) x i ein Maß dafür (allerdings i I abhängig von der Zerlegung Z!), wie stark die urve umströmt wird, d.h.
6 HM III = MATH III FT wie stark die Flüssigkeit längs der urve zirkuliert. Durch Grenzübergang max i I δ( x i ) 0 erhält man als ein von der gewählten Zerlegung unabhängiges Maß Z = V (x) dx. Man nennt Z die Zirkulation von V längs der urve, bzw. (da = F ) Zirkulation von V längs der Randkurve F. Division von Z durch den Flächeninhalt σ(f ) liefert die mittlere Wirbelstärke von V bezüglich F : 1 σ(f ) F V (x) dx. Durch Zusammenziehen von F auf einen Punkt x 0 M erhält man die Wirbelstärke von V in x 0, wobei wir jetzt F als eben annehmen und somit die Normale n konstant ist: W n (x 0 1 ) := lim δ(f ) 0 σ(f ) x 0 F Mit dem Integralsatz von Stokes erhält man nun W n (x 0 1 ) = lim δ(f ) 0 σ(f ) x 0 F F F V (x) dx (δ(f ) = Durchmesser von F ) 1 V (x) dx = lim rot V (x) n dσ, δ(f ) 0 σ(f ) x 0 F F dann mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung für geeignete x F W n (x 0 ) = lim δ(f ) 0 x 0 F rot V (x ) n = rot V (x 0 ) n. Damit haben wir die folgende Interpretation des Stokes schen Integralsatzes am eispiel strömender Flüssigkeiten erhalten: Die Zirkulation entlang einer urve, die ein Flächenstück umschließt, ist gleich dem Integral über alle Wirbelstärken auf dem Flächenstück. Folgerung aus dem Stokes schen Integralsatz: Es sei V : M IR 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge M des IR 3 und ein stückweise glatt berandeter ereich in M. Dann gilt: rot V n dσ = 0. urz: Der Wirbelfluß durch eine geschlossene Fläche ist Null.
7 HM III = MATH III FT Der Stokes sche Integralsatz in der Ebene Sei V : G IR 2 (G IR 2 ) ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit V = (V 1, V 2 ). Ferner sei eine stückweise glatte, geschlossene Jordankurve : x = γ(t) G (a t b). Dann wird die Zirkulation Z analog zum IR 3 definiert: Z = V (x) dx = V 1 (x) dx 1 + V 2 (x) dx 2 := b a V (γ(t)) γ(t) dt. Umläuft dabei ein einfach zusammenhängendes Gebiet D IR 2 so, daß D stets links von beim Durchlaufen liegt, und gilt D =, so folgt aus dem Stokes schen Satz im IR 3 (Nullsetzen der 3. omponenten): Der Stokes sche Integralsatz in der Ebene: (V 1 dx 1 + V 2 dx 2 ) = (V 2,x1 V 1,x2 ) d(x 1, x 2 ). D Dies ist der Greensche Satz (in der Ebene)! Und nach Umbenennung der oordinaten erhält man wie oben gesehen den Gaußschen Integralsatz in der Ebene. Also: In der Ebene sind die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes identisch. 5.8 Etwas Differential- und Integrationskalkül im IR 3 Der Nabla-Operator Der symbolische Vektor := wird Nabla-Operator genannt. x y z = x 1 x 2 x 3
8 HM III = MATH III FT Man rechnet mit ihm formal wie mit jedem Vektor des IR 3 : zum eispiel ist ϕ das formale Produkt aus und ϕ, d.h. die Anwendung von x x x auf ϕ. Für stetig differenzierbare Vektorfelder V und stetig differenzierbare Skalarfelder ϕ gilt: ϕ = [grad ϕ] T, div V = V, rot V = V. Der Nabla-Operator ist linear, d.h. für alle stetig differenzierbaren Vektorfelder V, W und alle stetig differenzierbaren Skalarfelder ϕ, ψ gilt auf ihren gemeinsamen Definitionsbereichen (für alle λ, µ IR): Man nennt (λϕ + µψ) = λ ϕ + µ ψ (λv + µw ) = λ V + µ W (λv + µw ) = λ V + µ W. := 2 = 2 x y z 2 den Laplace-Operator. Analog setzt man für ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld V = (V 1, V 2, V 3 ) V = ( V 1, V 2, V 3 ). Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot Seien V, W : M IR 3 Vektorfelder und ϕ, ψ, η Skalarfelder auf einer offenen Menge M IR 3. V, W, ϕ, ψ, η seien geeignet oft stetig differenzierbar. Dann gilt: Doppelte Anwendungen der Differentialoperatoren grad, div, rot (1) div rot V = 0 V C 2 (M) (Jedes Wirbelfeld ist quellenfrei) (2) rot ϕ = 0 ϕ C 2 (M) (Jedes Gradientenfeld ist wirbelfrei) (3) div ϕ = ϕ ϕ C 2 (M) (4) div V = V + rot rot V oder rot rot V = div V V V C 2 (M)
9 HM III = MATH III FT Anwendungen der Differentialoperatoren auf Produkte (5) (ϕ ψ) = ϕ ψ + ψ ϕ (ψ, ϕ C 1 (M)) Folgerung: (ϕ ψ η) = ϕ ψ η + ψ η ϕ + ϕ η ψ (6) div (ϕv ) = ϕ div V + V ϕ (ϕ, V C 1 (M)) (7) rot (ϕv ) = ϕ rot V + ϕ V (ϕ, V C 1 (M)) (8) (V W ) = V rot W + W rot V + V W + W V (V, W C 1 (M)) (9) div (V W ) = W rot V V rot W (V, W C 1 (M)) (10) rot (V W ) = V div W W div V + V W W V emerkung: V ist die Jacobi-Matrix zu V und V W bedeutet in Operatorenschreibweise V W = (W )V. Achtung: Das Skalarprodukt mit ist nicht kommutativ: W W = Richtungsableitung in Richtung von W. Folgerungen: Aus (6) mit V = ψ folgt: div (ϕ ψ) = ϕ div ψ + ψ ϕ = ϕ ψ + ψ ϕ. Durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes folgt ( ) ϕ ψ n dσ = (ϕ ψ + ϕ ψ) dτ wobei ein ereich im IR 3 mit stückweise glattem Rand ist. Es gilt ψ = n ψ (Richtungsableitung von ψ in Richtung des Normalenvektors) n Somit kann ( ) in folgender Form geschrieben werden: Erste Greensche Integralformel ϕ ψ n dσ = (ϕ ψ + ϕ ψ) dτ. Durch Vertauschen von ϕ und ψ und durch Subtraktion der beiden Gleichungen erhält man Zweite Greensche Integralformel ( ϕ ψ n ψ ϕ ) dσ = (ϕ ψ ψ ϕ) dτ. n
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